专题02 二次根式的乘除（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 围绕二次根式乘除，以9类题型构建从概念条件到运算化简再到实际应用的递进训练体系，突出高频考点与难点突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|9题型（含高频/难/重标注）|覆盖条件判断、乘除运算、性质应用（积商算术平方根、因式互移）、化简（最简二次根式、有理化）、化简求值及应用|从乘除成立条件（概念）→运算规则→性质应用→化简标准→有理化技巧→综合应用，形成完整知识链| |综合攻坚·知能拔高|选择6/填空4/解答5|综合考查概念辨析、运算推理与实际问题|通过跨题型整合，强化知识迁移与实际应用能力，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的乘除 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次根式乘除成立的条件 题型2二次根式的乘除运算（高频） 题型3积或商的算术平方根（难） 题型4根号内外的因式互移 题型5最筒二次根式的判断与化筒（高频） 题型6由最筒二次根式求参数（难） 题型7分母仔有理化（重） 题型8与二次根式的乘除有关的化筒求值（难） 题型6二次根式乘除的应用 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1二次根式乘除成立的条件 1.若等式x·V3-x=Vx(3-x)成立，则x的取值范围是 2.下列式子中一定成立的是() A.9V22+32=2+3=5 B.Vab =Va.b c.-5-6=V5x/6 D.-2-3=-2x-3 /x-2 =98-2 3.(25-26九年级上·河南南阳阶段检测)等式3-X-3- 成立的条件是 a oa oa Va 4小东在学习了元后，认为元 也成立，因此他认为一个化简过程： 0542是正稀的，你认为他的化简对鸭9说脚 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2二次根式的乘除运算 36.V7 5(25:26八年级下·贵州遵义：期中)27×6的结果为（） A.1 B.V2 c.3 D.2 6.计算：6V15÷2V3= 7.(25-26九年级下·广东中山阶段检测)在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到 同样的结果，则图中的值为 1 6 3 8.(25-26八年级下·云南昭通阶段检测)对于任意不相等的两个非负实数a,b,新定义一种运算“#”如 下：a#b= Va×/6 /b-a b>a,则3#7= ◆题型3积或商的算术平方根 9.(25-26八年级上江苏扬州阶段检测)若a0,化简 4a 25 10.(25-26八年级下.陕西延安·期中)化简： 127 La4大年须下河南南阳用y个是滋样化方：迈沿贤-报 2_2 2，则地 没有用到的数学知识是() A.商的算术平方根性质 B.分数的基本性质 c.a}=aa≥0l D.Va=aa≥0 12.阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根 与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：V25×4=V100=10 ,而V25=5,4=2 ∴.V25×4=5×2=10,即V25×4=V25×V4 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，请直接写出ab和Va×Vb之间的关系： 217 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)运用以上结论，计算：①V16×25;②只49×121： (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为32，宽为V8,求长方形的面积. ◆题型4根号内外的因式互移 13.对式子mV-3m作恒等变形，使根号外不含字母m,正确的结果是() A.-3m B.-3m3 c.--3m D.V3m3 -1 把根号外数放到根号内的值 15.把根号外的因式移到根号内：(a-1) 1-a 16.把(y- 的根号外的(y-x)适当变形后移入根号内，得· x-V ◆题型5最筒二次根式的判断与化筒 17.(25-26八年级下·湖北武汉阶段检测)在二次根式3,4x, /0.25,√20中，最简二次根式 的个数有个. 18.(25-26八年级下·贵州遵义期末)请写出一个大于1小于3的最简二次根式 19.（25-26八年级下·江西·阶段检测)将 2化为最简二次根式为 20.(25-26八年级下北京期中)若a>0,b>0,把 3a 6 化简成最简二次根式为 ◆题型6由最简二次根式求参数 21.(25-26八年级下.甘肃临夏·期中)若V3m-4是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： 22.若√a2n+3b3m是最简二次根式，则m,n的值为() A.0,-1 B.-1,0 c.1,-1 D.0,0 23.最简二次根式1+a与V4-2a的被开方数相同，则a的值为() 4a=-星 _3 B.a=4 c.a=1 D.a=-1 24.(25-26八年级下.福建福州·阶段检测)若6n是最简二次根式，则正整数n的值可以是（写出一 个符合条件的即可)· 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7分母子有理化 25.设a= 10-3b=10+3,则a b.(填“>”“<”或“=”) 26.下列各式中不是Vx+9的有理化因式的是() A.x-9Y B.-x+y C.x+y D.-2Vx+2 2江〈2526八年数下江苏南京阶段检测)已知有理数ab满号32-125-1，则 a 2b a= ，b= 1 1 28,在进行二次根式化简与计算时我们经常会遇到如可22+1这样的式子，观察下列等式，按照你观察 到的规律回答下列问题： V2 2 022×22 V2-1 ②2+1(2+12-1 =V2-1: 3-V2 ③3+92(3+92)(3-92) =V3-V2. 4-3 ④可4+3(4+3)4-3) =4-/3:… 1 ,1 1 (1)计算： 1+V22+V3'V3+2 V99+V100 (2)计算： 1+ 1 1 3+15+37+5++ 92023+9V2021 ◆题型8与二次根式的乘除有关的化简求值 29.(25-26八年级上全国课后作业)若mn>0,m+n<0,则化简Vmn÷ m 30(24-25八年级下全国课后作业)若x0,y0,则化简xyy×化所得结果为() A.义V灯 B.XV灯 C.xy D.xyxy X 31,化简：-93m-3n-3m+n.2 2a1 Ym-n 32.(25-26七年级下.上海期中)化简： .-39ab 3 a>0,b>0,c>0 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型9二次根式乘除的应用 33.(2026江苏常州二模)己知某物体的质量m=5V6g,体积v=3cm3,则它的密度p等于」 g/cm3(参考公式：m=pv). 34.(2425八年级下·广东广州·期中)如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角 剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 V3cm.求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积. 35.(24-25八年级上·贵州毕节期末)“海阔千江辏，风翻大浪随.”海浪的大小与风速和风压有很大的关 系，用风速估计风压的通用公式为w,1600,其中w为风压kN/m,v为风速(m/s),当风压为 0.25kN/m时，估计风速为 m/s. 36.(25-26九年级上·山西晋城期中)交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用 的经验公式是v=16Vf,其中v表示车速（单位：km/h),d表示刹车后车轮滑过的距离（单位： m),f表示动摩擦因数.若在某次交通事故调查中，测得d=40m,f=0.9,则肇事汽车行驶的速度约为 () A.16km/h B.32km/h C.48km/h D.96km/h 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 2V3 1.(25-26八年级下重庆忠县期末)在给出的4个代数式 数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26八年级下重庆期中)估计训/52+8×2的值应在() A.4和5之间B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 3.(25-26八年级下·陕西西安期末)下列算式中，你认为错误的是() 5/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tbatb=1 A. a+b B.1:bx2=1 a b 1 =只/2+1 1 a2-b2_1 C.2-1 D. (a+b2 a-b a+b 4.(25-26八年级下.山东威海期末)设3=a,V2=b,用含a,b的式子表示0.96，则下列表示正确的 是() A.0.4ab B.4ab c.0.4ab2 D.0.4a2b 5.(22-23九年级上·吉林长春·开学考试)下列运算正确的是（) A.V20÷V2=10 B.V8÷42=2 4 C.32+42=3+4=7 D.V27÷V3=3 6.(25-26八年级下湖北荆州期中)已知X=3+1,则x3+x2-8x+1的值为() A.0 B.1 C.3 D.7 二、填空题 3a 7.(25-26八年级下黑龙江齐齐哈尔期末)把可27b 化去分母中的根号后得 8.(25-26八年级下-四川成都期末)如果m-n=2,m0,那么代数式 m2+n2 2m -n 的值是 m 9.(25-26八年级下·陕西商洛期末)计算5-2255+2206的结果是 y-亚= 10.(24-25八年级下四川南充期中)已知，当x>0,y0时，及灵文 ,则当x<0,y<0时， 化简 (直接写化简结果)· 三、解答题 11.(25-26八年级下山东东营·期末)计算： (1)3+V513-V5: 3-2+号”-6xE 10 12.（25-26八年级下·广东湛江·期末)计算： a8×32+4店 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)只V6÷V2+1-V32+π-2026°. 1-1 .x2-4x+4 13.（21-22八年级下·河南新乡·阶段检测)先化简，再求值： 1x-1x2-1 其中x=5+2. 14.(24-25八年级下·四川南充·阶段检测)代数求值 2 (1)若m= 3+1:求m2+2m的值： 、1 (2)若n V5-2, 求2n2-8n+5的值. 15。（25,26八年级下云南昆明期未)荷楠同学在解决向题：“已知a=2,求'-2a的值”时，他 是这样分析的： a= 只V2+1 2-12-12+1 =2+1. ∴.a-1=V2, ∴.a-12=2,a2-2a+1=2, ∴.a2-2a=1. 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： 1 (0若a-可2+1求a2+2a的值： @在(1)的条件下，求2a+2a493a+1的值. 717的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的乘除 常考题型精准突破 ◆题型1二次根式乘除成立的条件 1.0≤x≤3 2.c 3.2≤x<3 4.【详解】解：错误，原因是被开方数应该为非负数. 5×4 =只4=2. 故答案为错误。 ◆题型2二次根式的乘除运算 5.B 6.3V5 7.V6 8Z2 22 ◆题型3积或商的算术平方根 2-ab 9. b 105353 11.C 12.(1)RVab=Va×V6 (2)①20：②77 (3)16 ◆题型4根号内外的因式互移 13.C 14.-V-a 15.-91-a 16.y-x 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5最简二次根式的判断与化简 17.1 18.V2(答案不唯一) 19. 3 6 3ab 20 b ◆题型6由最简二次根式求参数 21.2 22.A 23.C 24.1（答案不唯一) ◆题型7分母子有理化 25.= 26.C 27.-1,1 28.(1)9 只2023-1 ◆题型8与二次根式的乘除有关的化简求值 29.-m 30.C 31.-3V61a 32.-a2bc2Vab ◆题型9二次根式乘除的应用 33.5V2 34.96cm2 35.20 36.D 综合攻坚·知能拔高 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.c 2.D 3.B 4.A 5.D 6.D 7. 616 3b3b 8.1 9.5+2 _x型 10. X 11.(1)-2 (2)3-5V3 12.1)4-9V2 (25-3 13.化简结果为： x+1 +35 -2, 值为：5 14.(1)2 (2)7 15.(1)1 3/3 专题02 二次根式的乘除 常考题型·精准突破 题型1 二次根式乘除成立的条件 题型2 二次根式的乘除运算（高频） 题型3 积或商的算术平方根（难） 题型4 根号内外的因式互移 题型5 最简二次根式的判断与化简（高频） 题型6 由最简二次根式求参数（难） 题型7 分母/子有理化（重） 题型8 与二次根式的乘除有关的化简求值（难） 题型6 二次根式乘除的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1二次根式乘除成立的条件 1.若等式成立，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义分别列出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式有意义的基本条件是解题关键． 2.下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件逐一判断即可； 【详解】解：A，∵，，∴A错误； B，∵成立的条件是，若或等式不成立，∴B错误； C，∵，，左右两边相等，∴C正确； D，∵在实数范围内负数没有平方根，和无意义，∴D错误． 3.（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）等式成立的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法法则、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是关键．根据二次根式的除法法则成立的条件：且，即可确定． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故答案为：． 4.小东在学习了=后，认为=也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由． 【答案】错误；理由见解析. 【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可． 【详解】解：错误，原因是被开方数应该为非负数． ====2. 故答案为错误. 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法. ◆题型2 二次根式的乘除运算 5.（25-26八年级下·贵州遵义·期中）的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 6.计算：_____． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法法则即可得到结果． 【详解】解：． 7.（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则图中m的值为_______________． 1 m 6 3 【答案】 【分析】根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果”列方程求解即可． 【详解】解：∵横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果， ∴， 解得：． 8.（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ◆题型3 积或商的算术平方根 9.（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）若，化简______． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10.（25-26八年级下·陕西延安·期中）化简：_____． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 11.（24-25九年级上·河南南阳·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（   ） A．商的算术平方根性质 B．分数的基本性质 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，还涉及算术平方根和分数的基本性质．从解答过程中分析，找出对应的知识点即可． 【详解】解：A、，这里用到商的算术平方根性质，故不符合题意； B、，这里用到分数的基本性质，故不符合题意； C、没有用到，故符合题意； D、，这里用到，故不符合题意， 故选：C． 12.阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)①20；②77 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答． （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）①， ②； （3）由题意得：长方形的面积． ◆题型4 根号内外的因式互移 13.对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 14.求把根号外数放到根号内的值______ 【答案】 【分析】由题意可知a＜0，再利用根式的性质即可算出结果． 【详解】解：要使根式有意义，则−≥0，解得a＜0， ∴=−(−a) =−=． 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的运算，利用二次根式成立的条件确定a＜0是解题关键． 15.把根号外的因式移到根号内： ＝_______. 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得a与1的关系，根据a与1的关系，可得答案． 【详解】原式=- 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，被开方数是非负数得出a＜1是解题关键． 16.把 的根号外的适当变形后移入根号内，得_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出＜0，求出＞0，再根据二次根式的性质把根号外的因式移入根号内即可． 【详解】∵要使有意义，必须≥0， 解得：＜0， ∴＞0， ∴ = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质与化简，能求出是解此题的关键． ◆题型5 最简二次根式的判断与化简 17.（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 18.（25-26八年级下·贵州遵义·期末）请写出一个大于1小于3的最简二次根式________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】解题思路是先将整数1和3化为二次根式形式，再找出被开方数介于1和9之间的最简二次根式即可． 【详解】解：，， 所求最简二次根式的被开方数只需满足大于1且小于9，且的因数中没有除1以外的完全平方数即可，其中符合条件的一个最简二次根式是(答案不唯一)． 19.（25-26八年级下·江西·阶段检测）将化为最简二次根式为___________． 【答案】 【详解】解： ． 20.（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． ◆题型6 由最简二次根式求参数 21.（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 22.若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 23.最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 24.（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． ◆题型7 分母/子有理化 25.设，，则a_________b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先对进行分母有理化化简，得到最简结果后，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴． 26.下列各式中不是的有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理化因式的定义，两个含根式的代数式相乘，若积不含有根式，则二者互为有理化因式，将各选项与相乘，判断积是否含根式即可得到结果． 【详解】解：A：，积不含根式，是有理化因式； B：，积不含根式，是有理化因式； C：，乘积仍含有根式，不是有理化因式； D：，积不含根式，是有理化因式． 27.（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知有理数a、b满足，则，． 【答案】， 【详解】解：∵， 且， ∴， 解得：． 28.在进行二次根式化简与计算时我们经常会遇到如，这样的式子，观察下列等式，按照你观察到的规律回答下列问题： ① ②； ③； ④；… (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． ◆题型8 与二次根式的乘除有关的化简求值 29.（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则化简________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 30.（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 31.化简：___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可． 【详解】解： ． 故答案： 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 32.（25-26七年级下·上海·期中）化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 ◆题型9 二次根式乘除的应用 33.（2026·江苏常州·二模）已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 34.（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【详解】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 35.（24-25八年级上·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压，v为风速，当风压为时，估计风速为__________． 【答案】20 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：20． 36.（25-26九年级上·山西晋城·期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆忠县·期末）在给出的4个代数式，，，中，最简二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：，，，中， ，是最简二次根式， 的被开方数含有分母，的被开方数含有能开得尽的因式，都不是最简二次根式， 故最简二次根式的个数是2. 2．（25-26八年级下·重庆·期中）估计的值应在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再利用相邻整数的平方数估算无理数的范围，即可得到原式的取值范围． 【详解】首先化简原式，根据二次根式乘法运算规则： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 不等式两边同时加2，得 ， 即 因此原式的值在7和8之间． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列算式中，你认为错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式分母有理化及同级运算的运算顺序，逐个计算各选项即可判断出错误的算式． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·山东威海·期末）设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分解变形为含有和的形式，再代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：， 又， ， ． 5．（22-23九年级上·吉林长春·开学考试）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法法则以及相关运算逐项判断即可． 【详解】解：A．，即选项A错误； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D正确． 6．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】先由得出，再两边平方可得，进而得出，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 二、填空题 7．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式 ． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）如果，，那么代数式的值是_______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴原式． 9．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是___________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 【答案】 【分析】利用化去根号内的分母的方法，结合二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·山东东营·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26八年级下·广东湛江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质进行计算，再计算加减即可得出结果； （2）先利用二次根式的除法法则、完全平方公式、零指数幂的运算法则进行计算，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解：              ； （2）解： ． 13．（21-22八年级下·河南新乡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为：，值为： 【分析】先计算括号，再计算除法，最后求值求解即可； 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 14．（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）代数求值 (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】先将二次根式分母有理化，再将字母的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 15．（25-26八年级下·云南昆明·期末）楠楠同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对a进行分母有理化，再结合完全平方公式求解． （2）利用第一问得到的关系对第二问的高次代数式降次，整体化简后约分得到结果． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：由（1）可知：，且， ∴， ， ∴原式 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $