第4章 投影与视图 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（北师大版·新教材）

第四章投影与视图 例1D(1)画这个几何体的主视图和左视图如图所示： 主视图 左视图 (2)2 例24√3[解析]由三视图可知该几何体为三棱 柱，三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形， “该几何体底面三角形的高为，2-（号）-3， ∴.该几何体的左视图的面积为4×√3=4√3. 例3(1)由题意，得CFDE, .△BCF△BDE, 器腮、 即B8Cg-解得BC=3n (2).AC=5.4m, ∴.AB=5.4-3=2.4(m). 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴.∠FBC=∠GBA. 又∠FCB=∠GAB=90°， .'.△ABGC∽△CBF, 架铝 9-24餐得AG=12m 故灯泡到地面的高度AG为1.2m. 巩固特训 1.(1)中心投影 (2).AB⊥CP,PO⊥PC, ∴.OP∥AB, ∴.△ABC∽△OPC, .AB_BC OPPC' 2 3 即0P3+4.5 解得OP=5m, .路灯的高度为5m. 2.(1)左视图如图所示.（答案不唯一) ，50 (第2题) (2)n的所有值为8,9,10,11. →根据主视图和俯视图可还原出不同的几 何体，符合题意的几何体块裁最多为11， 最少为8，即8≤n≤11(n为正整数) 3.(1)10(2)123 (3)5×2+4×2+3×3+2×2+1=32(个)，即露 出的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为 32×102=3200(cm2). 样反9 1.(1)如图(1)，射线AD即为所求. (1) (2) (第1题) (2)如图(2)，延长AB,交CN于点E. 按下开关1，使椅背从与凳面垂直时的状态顺时 针旋转54°， .∠ABC=90°+54°=144°. 又∠BCN=27°， ∴.∠CEB=∠ABC-∠BCN=117°. .AE//MN, ∴.∠CNM=∠CEB=117°. 2.D 3.(1)由三视图，可知该几何体是一个长、宽、高分别 为8,6,4厘米的长方体在上底面中间挖去一个直 径为4厘米的半圆柱，体积V=8×6×4一2π× 22×6=192-12π(cm3). (2)由题意，得192-12×3=156(cm3), 156×7.8=1216.8(g) 故该机器零件的质量为1216.8g 4.(1)如图所示： 主视图 左视图 俯视图 (第4题) (2)(5+6+4)×2×(2×2)=120(cm2). 故该几何体的表面积（包括底部）是120cm2. (3)6 5.(1)由主视图可以看出该几何体从左到右共三列，第 一列最多1层，第二列最多3层，第三列最多1层； 由左视图可以看出，几何体共两排，第一排最多3层， 第二排最多2层， .它最少需要小正方体：3+1十2十1=7（个），最 多需要小正方体：7十2=9（个）. (2)最多小正方体搭成的几何体从上面看到的形 状如图所示： 131 121 (第5题) 第五章二次函数 例1DD[解析]，直线x=1是二次函数y=a.x2十 bx十c(a,b,c是实数，且a≠0)的图象的对称轴， = b =1,.b=-2a, ..y=ax2-2ax+c. ,点A(x1y1)和点B(x2,y2)为其图象上的两点， ∴.y1=ax1-2ax1+c,y2=ax2-2ax2十c, 当x1<x2y1<y2,即y1-y2<0, ..axi-2ax+c-(ax?-2ax2+c)<0, 整理，得a(x1-x2)(x1十x2-2)<0. x1-x2<0, ∴.a(x1十x2-2)>0,故A,B不符合题意； 当x1>x2,y1<y2,即y1-y2<0, ∴.ax-2ax1十c-(ax-2a.x2+c)<0, 整理，得a(x1一x2)(x1十x2一2)<0. x1一x2>0, .a(x1十x2-2)<0, 故C不符合题意，D符合题意. 故选D. 例2(1)二次函数y=ax2+bx一2的图象的对称轴 为直线x=- 2a1 ,点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上， -63 ∴.-2a-2’ 6=-3. a (2)①由(1)可得b=-3a, ∴.该函数的表达式为y=ax2一3ax-2, 函数图象的顶点坐标为（停，-是a一2小： ”函数的最大值为1一子2， a<0且a-2=1-a 42, 解得a=一1或a=4(舍去)， .该二次函数的表达式为y=一x2十3x一2. ②，点M(x1,m)在函数y=-x2+3x-2的图象 上，.m=-x+3x1-2. 痴，点M(z1,m),N(x2,m)关于直线x=号 称，不妨设x1<x2, 33 则x2一2=2-x1,即x1十x2=3, :1-1)2x2-2 x1-2 =（x1-1)2(x1-2)-m(x2-2) m(x1-2) =（x1-1)(x1-2)(x1-1)-m(x2-2) m(x1-2) =xi-3x1+2)(x1-1)-m(x2-2) m(x1-2) =-m(x1-1)-m(x2-2) m(x1-2) -m(x1十x2-3) =0, m(x1-2) :-1D2=x2-2 m x1-2 51第四章 投影与视图 知识梳理导图 由同一点发出的光线形成 的投影叫作中心投影 从正面看得到主视图 如物体在灯泡发出的光线照 中心投影 射下形成影子就是中心投影 三种视图 从上面看得到俯视图 太阳光线可以看成平行光线，平行 投 投影 视 从左面看得到左视图 光线所形成的投影称为平行投影 与视图 图 看得见的用实线 视图画法 如物体在太阳光下形成影子 平行投影 看不见的用虚线 就是平行投影 重难疑点解法 2上分点个几何体的三视图 的主视图和左视图如图所示，其俯视图是等边三角 例①(2026·湖南衡阳期末改编)如图是由若干个 形，则该几何体的左视图的面积为 完全相同的小正方体组成的一个几何体， (1)请结合俯视图画出这个几何体的主视图和左 视图. 42 主视图左视图 名师启发由三视图可知该几何体为三棱柱，三 正面 主视图 左视图 俯视图 棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，再求出 (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正 该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积 方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那 方法技巧 么最多可以再添加 个小正方体： 本题先由三视图判断几何体，再根据等边三角 名师启发(1)由已知条件可知，主视图有3列，每 形的性质以及勾股定理求解，掌握常见几何体的三 列小正方形的数目分别为3,2,1；左视图有2列，每列 视图是解答本题的关键」 小正方形的数目分别为3,1； (2)结合主视图和俯视图不变即可求解. 上分点3生活中投影的应用 关键提 例3如图，小嘉同学正在使用手电简进行物理 本题考查根据已知的俯视图画出主视图和左 视图，以及在保持主视图和俯视图不变的情况下确 光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜。 定可添加小正方体的最大数量，掌握三视图的特征 手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B 是解题的关键， 处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点 E处.点E到地面的高度DE=3.5m,点F到地面的 分上分点2利用三视图进行计算 高度CF=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m, 例2(2026·宁夏银川兴庆区期末)已知某几何体墙到木板的水平距离CD=4m.已知光在镜面反射 21 实验班提优训练数学九年级上BSD 中的入射角等于反射角，图中点A,B,C,D在同一水线段的长即可求出AG的长. 平面上. (1)求BC的长； (2)求灯泡到地面的高度AG, E 墙 、B 地面D 平面镜A 名师启发 (1)由题意知CF∥DE,可证△BCF ∽△BDE, BC CF BD=DE,代入各线段的长，即可求出 扩方法技巧 BC的长； 本题主要考查了相似三角形和投影的应用，正 AG AB (2)证明△ABG∽△CBF,则CF CB,代入各 确判断出相似三角形是解题的关键， 易错易混辨析 )易错点1混淆中心投影与平行投影的区别 巩固特 例)(2025·辽宁沈阳沈河区期中)平地上立有三 1.(2026·广东揭阳惠来期末)如图，小树AB在路灯O 根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根 的照射下形成投影BC 木杆在阳光下的影子可能是( (1)此光源下形成的投影属于 .(填“平行 投影”或“中心投影”) (2)已知树高AB为2m,树影BC为3m,树与路 灯的水平距离BP为4.5m.求路灯的高度OP. 路灯P B B (第1题) D 解析根据平行投影的定义可知，在某一时刻三 根木杆在阳光下的影子是平行的.在四个选项的图形 中，只有选项D中三根木杆的影子是平行的. 答亲D 点 太阳光照射形成平行投影，解题的关键是 理解平行投影的定义 22 第四章 )易错点2由视图判断物体个数错误 你写出n的所有值. 例2(2026·宁夏银川兴庆区期末)用小立方块搭 一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图 所示，从上面看的形状图中的小正方形中字母表示该 主视图 俯视图 位置小立方块的个数，试回答下列问题： (第2题) (1)a= ,b= ,f= (2)这个几何体最少由 个小立方块搭 成；最多由 个小立方块搭成； (3)当c=1,d=e=2时，画出这个几何体从左面 看的形状图 主视图 俯视图 解答(1)113提示：从正面看的图形中， 最左侧一列只有1个正方形，所以a=b=1, 从正面看的图形中，最右侧一列有3个正方形， 3.如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为 且从上面看的图形中，最右侧一列只有1个正方形， 10cm的正方体堆成的一个几何体， 所以f=3. (1)这个几何体由 个正方体组成； (2)911提示：从正面看的图形中，中间一列 (2)如果在这个几何体的表面（露出的部分）喷上 有2个正方形，且从上面看的图形中，中间一列有 黄色的漆，那么在所有的正方体中，有 个 3个正方形， 正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只 所以当c=d=e=2时，小立方体个数最多，最多 有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是 为1+1+2+2+2+3=11（个）； 黄色： c,d,e中有一个为2，另外两个为1时，小立方体 (3)求这个几何体喷漆的面积， 个数最少，最少为1十1+2+1+1+3=9（个）. (3)当c=1,d=e=2时，从左面看如图所示： (第3题) 辨析归纳 根据从不同方向观察几何体得到的视图的概 念解题，其中，确定a,b,f的值时，易混淆从上面 看和从正面看得到的视图信息导致判断出错. 巩固特 2.已知一个用小立方体摆放的模型的主视图，俯视 图如图所示 (1)画出一种左视图； (2)若组成这个几何体的小立方体的块数为n,请 23 实验班提优训川练数学九年级上BSD 素养考向提分 新情境 例①如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的 影子是BC,小明（用线段DE表示）的影子是EF,在 M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN. 从正面看 (1)在图中画出路灯的位置并用点P表示； (1) (2) (2)在图中画出表示大树的线段MQ, A (3) (4) 解析(1)连接CA,FD并延长，交点即为路灯 (第1题) P的位置； (1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图(3）) (2)连接PN,过点M作MQ⊥MN交PN于 作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请 点Q,MQ即为所求作. 作出此时腿托AD所在的射线；（要求：尺规作图， 答案(1)如图，点P即为所求. 保留作图痕迹) (2)如图，线段MQ即为所求作. (2)如图(4)，按下开关1，使椅背从与凳面垂直时 的状态顺时针旋转54°，此时测得∠BCN=27°，求 ∠CNWM的度数. 4 本题考查了中心投影，理解影子与物体的 端，点的连线所在的直线一定经过点光源是解题 的关键. 程反妇 1.某学校自主研制了一种椅子（实物如图(1）所示)， 可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的 跨学科 凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不 例2已知一个模型的三视图如图所示（单位：m). 同状态下的主视图.上课时椅背与凳面垂直，腿托 (1)请描述这个模型的形状， AD与凳面成70°夹角（如图(2）)，有利于学生坐直 (2)若制作这个模型的木料密度为360kg/m3,则 听课.按下开关1，轴1（安装在点B处）可以控制 这个模型的质量是多少？ 椅背以9°/s顺时针旋转，按下开关2，轴2（安装在 (3)如果用油漆刷这个模型，每千克油漆可以刷 点A处)可以控制腿托以10°/s顺时针旋转. 4m2,需要油漆多少？ 24 第四章 3.某机器零件的三视图如图所示（单位：cm),其中主 2.5 视图中半圆的半径为2cm. (1)请描述该机器零件的形状，并求出它的体积： 6 (2)若该零件的密度为7.8g/cm3,请求出该机器 主视图 左视图 俯视图 零件的质量（π取3）. 解析(1)由三视图，得这个模型是由两个长方 体组成：上面的是小长方体，下面的是大长方体； (2)先计算模型的体积，再根据质量=体积×密 主视图 左视图 度，求质量； (3)先求模型表面积，再求所需油漆的质量 答案(1)此模型由两个长方体组成：上面的是 小长方体（长、宽、高分别为2.5,2,2.5），下面的是大 俯视图 (第3题) 长方体（长、宽、高分别为6,6,3） (2)模型的体积=6×6×3+2.5×2×2.5= 120.5(m3), 模型的质量=120.5×360=43380(kg) (3)模型的表面积=2×2.5×2+2.5×2.5×2十 4×6×3+2×6×6=166.5(m2), 需要油漆质量=166.5÷4=41.625(kg). 点 由三视图确定几何体，该三视图中的数据 确定长方体的长、宽和高，进而求出体积和质 新考法 量、表面积和油漆的质量，体现了数形结合的数 例3(2025·广东佛山南海区期中)某玩具旗舰店 学思想， 根据积木数量的不同，订制了不同型号的外包装盒， 举反 所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板 面积刚好等于底面面积的2倍)，如图(1)，长方体纸 2.(2026·河南郑州五十七中期末)物理学中经常用到如 箱的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米， 图所示的U形磁铁，则该U形磁铁的俯视图 为( ) 主视图 左视图 俯视图 (1) (2) 正面 (第2题) 甲 (3) (1)请用含有a,b,c的代数式表示制作长方体纸 B 箱需要 平方厘米的纸板； (2)图(2)为若干包装好的同一型号玩具堆成的 几何体的三视图，则组成这个几何体的玩具个数最少 25 实验班提优训练数学九年级上BSD 为多少个； 保持从上面看到的视图和从左面看到的视图不 (3)旗舰店在双十一期间推出买一送一的活动， 变，最多可以再添加 块小正方体 现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长 方体的外包装盒内（如图(1）)，已知单个乐高积木的 长方体纸盒长和高相等，且宽小于长.现有甲、乙两种 摆放方式，如图(3)所示，请分别计算甲、乙两种摆放 了从正面看 方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上），并 (第4题) 比较哪一种方式所需纸板面积更少，说明理由 答案(1)(2ac+2bc+3ab) (2)根据三视图知，组成这个几何体的玩具个数 最少的分布情况如图所示： 121 212 俯视图 所以组成这个几何体的玩具个数最少为9个 (3)由题意，得a=c,a>b, 甲所需纸板面积：2(ac+2bc+2ab)十2ab, 乙所需纸板面积：2(2ab+2ac+bc)+2ab, 5.用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它满足 ,a>b, 以下条件：主视图和左视图如图所示 ∴.ac>bc, (1)这样的几何体最多需要多少个小正方体？最 .'.ac-bc>0. 少需要多少个小正方体？ ,甲所需纸板面积-乙所需纸板面积=2(ac十 (2)请你画出最多小正方体搭成的几何体的俯视 2bc-2ac-bc)=2(bc-ac)<0, 图，并在小正方形内标注该位置小正方体的个数 ∴.甲种摆放方式所需外包装盒的纸板面积更少. N ⊙点拨 本题考查了简单几何体的三视图，理解视 主视图 左视图 图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是解 (第5题) 决问题的关键. 举反目 4.(2025·四川雅安期中)如图是由一些棱长都为2cm 的小正方体组合成的简单几何体. (1)请在给出的方格中分别画出这个几何体从三 个不同的方向看得到的视图； 主视图 左视图 俯视图 (2)求该几何体的表面积（包括底部）； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并 26