第1章章末复习 特殊平行四边形-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

追梦第一章章末复】 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.下列命题正确的是() A.三条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 2.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点 O,P为边BC上一点，且BP=OB,则∠COP的 度数为() A.15° B.22.5 C.25° D.17.5° 0 B 第2题图 第3题图 3.如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB 的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C 点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距 离() A.始终不变 B.不断变小 C.不断变大 D.先变小后变大 4.生活情境·标志线道路上的菱形标志名称为 人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方 已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人 横过马路。若测得菱形标志ABCD的对角线 AC+BD=14,边长AB=5,则该标志的占地面 积为( A.12 B.20 C.24 D.48 第4题图 第5题图 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm, BE平分∠ABC交AD于点E,连接CE,取CE 的中点F,连接DF,则DF的长为() A.2.5 cm B.5 cm C.2√3cm D.√3cm 25分钟同步练习，精炼高效 特殊平行四边形 6.如图，在正方形ABCD中，AE平分 BC于点E,点F是边AB上一点，连接DF。若 BE=AF,则∠CDF的度数为( A.45° B.60° C.67.5° D.77.5 A 0 第6题图 第7题图 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是AB 上一动点，PQ∥BC交CD于点Q,M是AD上 一动点，MN∥AB交BC于点N,则PM+NQ的 最小值为( A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题（每小题3分，共9分） 8.新趋势·开放性试题四边形ABCD的对角线 AC与BD互相平分，且相交于点O,在不添加 其他辅助线的前提下，要使四边形ABCD为矩 形，还需添加一个条件，这个条件可 以是 9.如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于O, 若∠A0D=120°，AB=5,则这个矩形的对角线 长为 第9题图 第10题图 10.学科内融合如图，正方形ABC0 分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对 角线。若∠D=60°，BC=2,则点D的坐标 是 考点BS九年级数学上册 9 三、解答题（共28分） 11.(9分)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E 第 是AD边上的动点，作∠BEF=60交CD于点 章 F,在AB上取点G,使AG=EG,连接EG。 (1)求LEGB的度数； (2)求证：EF=BE。 D 12.(9分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD 交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC 至点F,使CF=BE,连接DF。 (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)若BF=16,DF=8,求CD的长。 10 25分钟同步练习，精炼高效 13.(10分)(1)如图1，在正方形ABCD中，点E, F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点 G。则DE与CF的数量关系是 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别 在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到，点H,使 CH=DE,连接DH。求证：∠ADF=∠DHC; 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在 边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED= 60°，求CF的长。 D G 图1 图2 图3 考点BS九年级数学上册24x2、 24x21 ×2x2=6。 第2课时正方形的判定 1.D2.D3.①②4.B5.C6.D 7.(1)证明：AB=AC,AD⊥BC,.AD平分∠BAC,∠ADC=90° ∴.∠BAD=∠CAD= 2LBMC。:∠CMN=2LCAM,:∠DAE =∠CAN+∠DAC= 2∠CAM 2∠BAC= 2×180°=90°。CE ⊥AN,.∠AEC=90°，.∠AEC=∠ADC=∠DAE=90°，∴.四边 形ADCE为矩形 (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正 方形。理由如下：由(1)知四边形ADCE为矩形。∠BAC 90°，∴.∠BAD=∠CAD=45°，∴.∠ACD=45°，∴.AD=DC,∴.四 边形ADCE为正方形。 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：(1)1 (2)证明：.·矩形ABCD,ANCM为两个大小一样的矩形纸片 ..AD∥BC,AN∥CM,AM=CD,∠M=∠D=90°，..四边形AFCE I∠AEM=∠CED 是平行四边形，在△AME和△CDE中， ∠M=∠D LAM=CD △AME兰△CDE(AAS),AE=CE,∴.四边形AECF是菱形； (3)如图3，四边形AECF即为所求： (4)方法一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=18,.S矩形CD =6×18=108,由(1)可知，S菱形Gp=2S矩形BcD=54; 方法二：如图2，设菱形AECF边长为x,即AF=CF=x,·AB= 6,BC=18,∴.BF=18-x,在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+ BF=AF2,62+(18-x)2=x2,解得x=10,.S菱形Cr=CF·AB =60. 方法三：如图3，由方法二可知，同理可得菱形AECF的边长为 10,.S菱形Bcr=60。:54<60,.此矩形的内接菱形的面积最大 值为60。 图1 图2 图3 追梦第一章章末复习特殊平行四边形 1.B2.B3.A4.C5.B 6.C【解析】.·四边形ABCD是正方形，∴.AD=AB,∠B=∠ADC ∠DAF=90°，∠BAC=45°。'BE=AF,.△ABE≌△DAF (SAS),∴.∠ADF=∠BAE。.'AE平分∠BAC,∴.∠BAE= 22.5,.LADF=22.5°，.∠CDF=LADC-∠ADF=67.5。 故选C 7.A【解析】设PQ交MN于点F,连接AF、CF、AC。.四边形 ABCD是矩形，PQBC,MW∥AB,可证得四边形APFM、四边形 CQFN是矩形，.PM=AF,NQ=CF,∴.PM+NQ=AF+CF。.'FA +FC≥AC,AC=√32+4=5，.AF+FC的最小值为5，.PM+ NO的最小值为5。故选A。 8.∠ABC=90°（答案不唯一）9.10 10.(2+√3,1)【解析】过点D作DG⊥x轴于点G,DM⊥BC于 点M,易证四边形MCGD为矩形，.MC=DG。四边形 BDCE是菱形，∴.BD=CD。BC=2,∠D=60°，∴.△BCD是 等边三角形，CM=DG=1,CD=2。∠DCC=90°，CG= √22-12=√5，.D(2+3,1) 11.(1)解：：∠A=60°，AG=EG,△AGE是等边三角形， ∠AGE=60°.·.∠EGB=120°： (2)证明：由(1)知，∠EGB=120°。.·四边形ABCD为菱形， AB∥CD,AB=AD,.∠A+∠D=180°。：∠A=60°， ∠D= 120° 角形∠DEF+∠DFE=60°，LD=人BGB。△AGE是等边 ,.AE=AG,∠AEG=60°，.DE=GB。,∠BEF=60 ∴.∠DEF+∠GEB=6O°，∴.∠DFE=∠GEB,∴.△DFE≌△GEB （AAS),∴.EF=BE。 70 同步练习，精炼高效抓考 12.解：(1)四边形ABCD是菱形，∴.ADBC,AD=BC=CD=AB CF=BE,∴.CF+EC=BE+EC,∴.EF=BC,∴.EF=AD。.AD∥ BC,.四边形AEFD是平行四边形。AE⊥BC,.LAEF= 90°。∴.平行四边形AEFD是矩形； (2)'BC=CD,BF=16,∴.CF=16-CD。.·四边形AEFD是矩 形，∠F=90°。.DF=8,在Rt△CFD中，CD=√DF2+CF =√82+(16-CD)2,解得CD=10。 13.(1)DE=CF (2)证明：.·四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,AD∥BC ∠ADE=∠DCF=90°。：AE=DF,.Rt△ADE≌RL△DCF (HL) :DE=CF,又：CH=DE,.CF=CH。点H在BC的 延长线上，.LDCH=∠DCF=90°。在△DCF和△DCH中， (CF=CH ∠DCF=∠DCH,∴.△DCF≌△DCH(SAS),∴.∠DHC= DC=DC ∠DFC。AD∥BC, ∴.∠ADF=∠DFC,∴.∠ADF=∠DHC; (3)解：延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG。·四边形 ABCD是菱形，.AD=DC,AD∥BC,.LADE=∠DCG。在 (AD=DC △ADE和△DCG中， ∠ADE=∠DCG,∴.△ADE≌△DCG DE=CG (SAS),.∠DGC=∠AED=60°，DG=AE。.'DF=AE,∴.DG= DF,∴.△DFG是等边三角形，∴.FG=CF+CG=DF=11,∴.CF= FG-CG=11-8=3. 高效同步练习1认识一元二次方程 1.D 【知识点拨】一元二次方程需要满足的三个条件：1.是整式方 程；2.整理后的方程只含有一个未知数；3.整理后的方程未知 数的最高次数是2。 2.A【解析】2x2=x+3化为一般形式为2x2-x-3=0,二次项系 数、一 次项系数、常数项分别是：2，-1，-3。故选A。 3.B4.C5.A6.B 7.1【解析】，·关于x的方程(m+1)xm1+1+x-3=0是一元二次 ∫m+1≠0 方程，{ml+12解得m=1。 8.解：将x=1代人方程ax2+bx+c=0,得：a+b+c=0;又，b= √a-2+√2-a-1,a-2≥0,2-a≥0，∴.a=2,b=-1,则c= 9解：行建美愁方器次方程为210， 1,c=-8,.∴.3a-2b+c=6 -(-2)+(-8)=0。故此方程为美妙方程 (2)将x=-1代入原方程，得a-2+c=0①，，·此方程为美妙方 方程，3a-4+c=0②，由①②解得{81这个美妙方程为 +2x+1=0 高效同步练习2求解一元二次方程 第1课时直接开平方法和配方法 1.C2.D 3.B【解析】原方程移项可得x2-12x=5,配方得：x2-12x+36=5 +36,即（x-6)2=41,∴.m=41。故选B。 4.解：(1)配方，得2-4+(2×4)2-(（2×4)2-3=0，即(x-2)2- 7=0。移项，得(x-2)2=7。两边开平方，得x-2=±√7，即x-2 =√7，或x-2=-√7。所以x1=2+√7，x2=2-√7； (2)配方，得-2x+(2×2)2-(2×2)2-5=0,即(x-1)2-6= 0。移项，得(x-1)2=6。两边开平方，得x-1=±√6，即x-1= √6，或x-1=-√6。所以x1=1+√6，x2=1-√6。 5.解：(1)② (2)配方，得x2-2x+1-1-9=0,即(x-1)2-10=0。移项，得(x 1)2=10。两边开平方，得x-1=±W10,即x-1=√10，或x-1 =-√/10。所以x1=1+√10，x2=1-√10。 6.解：(1)由题意，.a2-2a+b2-8b+17=0,.a2-2a+1+b2-8b+16 =0,.（a-1)2+(b-4)2=0,.a-1=0,b-4=0,.a=1,b=4; (2)由题意，a=1,b=4,.4-1<c<4+1,即3<c<5,c为偶 数，∴.c=4,∴.△ABC周长=a+b+c=1+4+4=9。 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.C2.D 3.-12【解析】小.2x-3=±√6，∴.（2x-3)2=6,∴.4x2-12x+9=6, ∴.4x2-12x+3=0,.4x+bx+a=0,∴.b=-12,a=3。 4.-10【解析】由题意得m-3m=5,.-2m2+6m=-2(m2-3m) =-2×5=-10。 解：(1)两边都除以3，得2+2x-4=0。配方，得x+2x+(〉 BS九年级数学上册