第一章 特殊平行四边形 能力提优测试卷-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

第一章 特殊平行四边形 能力提优测试卷 ·时间：120分钟 ·满分：120分 第一部分选择题（共30分） % 、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小 装 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.（广东广州期中)下列关于矩形的说法，正确的是( 答题卡 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 少 C.矩形的对角线互相垂直且平分 蕾 D.矩形的对角线相等且互相平分 2.(深圳中考)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段 AB水平向右平移a个单位长度得到线段FE,若四边形ECDF为 菱形，则a的值为 线 A.1 B.2 C.3 D.4 内 2题图 3题图 4题图 3.(青岛中考)如图，0为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为 等边三角形.若AB=2,则OE的长度为 号 B.√6 C.22 D.23 不 郊 4.如图，A,B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是 格点的矩形为格点矩形，在此图中以A,B为顶点的格点矩形共可 以画出 () 要 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图是小颖买的一个正方形教具，轻轻一拉便可使教具发生形变， 若正方形教具ABCD边长为20cm,∠A'=150°，则此时教具 A'BCD'的面积为 A.200 cm B.300cm2 答 C.2003cm2 D.(400-200√3)cm2 A \M 题 B 5题图 6题图 6.(呼和浩特中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线 MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为 ( A.23 B.3 C.25 D.3.2 7.如图，一架长5m的梯子(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙 (OW)上，这时梯子的顶端A距地面4m.梯子的正中间点P处有 一只老鼠，梯子顶端A的正下方墙角O处有一只猫.下列说法错误 的是 () A.梯子的底端B到墙的距离为3m B.点P处的老鼠离地面的距离为2m C.梯子下滑的时候老鼠就会离猫越来越近 D.梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离 不一定相等 0 7题图 8题图 9题图 8.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE= BC,P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则 PQ+PR的值是 A号 0.3 D.② 2 9.(东营中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为 2√6，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点 O逆时针旋转60°，得到四边形OA'B'C'(点A'与点C重合)，则点 B'的坐标是 A.(3V6,3√2) B.(3√2,3√6) C.(3√2,62) D.(6√2,36) 10.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽，他 用一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如 图①，将菱形ABCD沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这 四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形，记阴影部分面积 为S,空自部分面积为号，若-名则品的值为 S 10题图① 10题图② B.4 9.2 5 5 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个条 件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是 .（写出一个即可) 九年级数学 北师版 上册第3页 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶月 2.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,要在该矩形中剪出一个面积最 大的菱形，则菱形的边长为 3.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,CE =3,H是AF的中点，那么CH的长是 13题图 14题图 15题图 4.如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A,D 为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P,连接AP,DP;②连 接BP,CP,则∠BPC= 5.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点E,F分别在BC,AD边 上，且BE=DF,连接AE,CF,将矩形ABCD分别沿AE,CF折叠， 点B的对应点为B',点D的对应点为D',连接B'D',当B'D'与矩 形的边平行时，BE的长为」 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 或推理过程) 6.(10分)下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB 上，AF=CE,连接BD,DF.求证：四边形BFDE是矩形. 小星和小红分别给出了自己的思路. 小星：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即 可得证； 小红：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角 的四边形是矩形”即可得证. (1)请你选择一位同学的思路，并进行证明； (2)若BD=2√5，BE=4,求BC的长 16题图 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶司 17.(8分)如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足 分别为点E,F,且BF=CE.求证： (1)△BFD≌△CED; (2)当∠A=90时，四边形AFDE是正方形. 17题图 18.(8分)如图，在正方形ABCD的内部作等边△ABE,连接DE, CE,BD. (1)求证：CE=DE; (2)求∠EDB的度数， 18题图 19.(8分)（乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上 任意一点（不与点A,B重合），过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别 交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证：四边形ECFD是矩形； (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 19题图 20.(8分)（北京中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD, 对角线AC,BD相交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交 AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=√5，BD=2,求OE的长 20题图 21.(8分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC,0为对角线BD的中点， 过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E 不与点D重合) (1)求证：△D0E≌△B0F; (2)当直线ILBD时，连接BE,DF,试判断四边形EBFD的形状， 并说明理由. 八EA 21题图 22.(12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,DE⊥BC于点E,且 DE=4√3，AD=18,∠C=60°. (1)BC= (2)若动点P从点D出发，速度为2个单位长度/秒，沿DA向点 A运动，同时动点Q从点B出发，速度为3个单位长度/秒， 沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时 停止运动.设运动的时间为ts. ①当t= 时，四边形PQED是矩形； 九年级数学北师版上册第4页 ②当t为何值时，线段PQ与梯形ABCD的边构成平行四 边形？ ③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形？若存在，请求 出t值；若不存在，请说明理由. 0 22题图 3.(13分)汇核心素养]（辽宁辽阳期末）综合与实践数学活动课上， 同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动， 【探索发现】 (1)如图①，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥BE于点 F,将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG,连接DG, 可证得△ABF≌△ADG.请写出证明过程； 【深入思考】 (2)在(1)的条件下，如图②，延长BE,GD交于点H,试猜想线段 BF,FH,DH之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，如图③，连接CH,将线段DH绕点H逆时针 旋转90°得到线段HP,点P在BH上，试猜想BP与CH的数 量关系，并证明你的猜想， 23题图① 23题图② 23题图③全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 23.解：(1)①正方形②AA'=CC平行四边形 （2)可以是菱形.理由如下： A 如答图，连接AD',BC :AB=6cm,∠ACB=30°，∠ABC=90°， ∴.AC=12cm,∠BAC=60. ·.将三角板ACD沿CA方向平移， 23题答图 .CD=CD'=AB,CD∥C'D'∥AB, .四边形ABCD'是平行四边形， ∴.当BC'=AB=6cm时，四边形ABC'D'是菱形. .BC'=AB=6cm,∠BAC=60°， ∴.△ABC'是等边三角形，∴.AB=AC'=BC'=6cm, ∴.CC'=AC-AC'=6cm. 第一章特殊平行四边形 能力提优测试卷 1.D2.B3.B4.D5.A6.A7.C8.D9.B 10.D[解析]设菱形对角线A0=a,B0=b,.OF=b-a, ∴S=4S=4×7d2=22.在RAA0D中，由勾殿定 理，得AD2=G+,S=A02-S=0-d, 2景保号2598告-号 62=25·a>0,b>0, 号=房AC=2,=26品-号 1.AC=BD(答案不唯-）12.草13.514.150~ 15哥或【解折]①如参用①，当8”/AB时，延长 B'D'分别交AD,BC于点G,H.四边形ABCD是矩形， .AB=CD,∠B=∠D=90°，则GH⊥BC,GH⊥AD, ∴.∠CHG=∠AGH=90°..·BE=DF,∴.△ABE≌△CDF, ∴.∠BAE=∠DCF.由折叠的性质可得∠BAB'=∠DCD', .∠D'CH=∠B'AG,.△D'CH≌△BAG,.AG=CH,易 GD=HC,..AG DG =3..AB'AB =5,..GB'= AB2-AG=4,同理HD'=4,.B'D'=GB'+HD'-HG =3,.GD'=B'H=1,.在Rt△HEB'中，HE2+B'H= BE,即(3-BE2+1=BE,解得BB=子；②如答图②， 当B'D'∥AD时，延长B'D'交AB于，点M,同理得M是AB 的中点在RAAMB中，0=子LA8M=30, ·LBMB=60°，∠BAE=7∠BAB=30.设BE=x,则 AE=2,2x-2=5,x=,即BE=2综上 31 所迷，当BD'与矩形的边平行时，BE的长为多或5 G 3D B--- 15题答图① 15题答图② ·2· 16.解：(1)选择小星的思路. 证明：：四边形ABCD是菱形，∴AB=CD,AB∥CD. :AF=CE,∴.BF=DE,四边形BFDE是平行四边形. CD⊥BE,∠BED=90°，.四边形BFDE是矩形. 选择小红的思路 证明：·四边形ABCD是菱形， .AD=BC,LA=∠C. .AF=CE,∴.△ADF≌△CBE, .∠AFD=∠CEB=90°，∴.∠DFB=90° .CD∥AB,∴.∠FBE=∠CEB=90°， .∠DFB=∠FBE=∠BED=90°， .四边形BFDE是矩形. (2)在Rt△BDE中，DE=√BD-BE=√(25)2-42=2. 四边形ABCD是菱形，.BC=CD, .CE=CD DE=BC-2. 在Rt△BCE中，BC2=CE2+BE2, ∴.BC2=(BC-2)2+42,解得BC=5, ..BC的长为5. 17.证明：(1)：DE⊥AC,DF⊥AB .∠DFB=∠DEC=90°. D是BC的中点，.BD=CD. .BF=CE,.∴.Rt△BFD≌Rt△CED (2)DE⊥AC,DF⊥AB, .∠DFA=∠DEA=90° .·∠A=90°，.四边形AFDE是矩形 由(1)得△BFD≌△CED,∴.DF=DE, .∴.矩形AFDE是正方形. 18.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∴.AD=AB=BC,∠DAB=∠CBA=90°. △ABE是等边三角形， ·.AE=BE=AB,∠EAB=∠EBA=60°， .∠DAE=30°，∠CBE=30°， .∠DAE=∠CBE,.△DAE≌△CBE,∴.CE=DE, (2)解：·四边形ABCD是正方形，BD是对角线， .LADB=LADC=45, 由(1)可知∠DAE=30°，AD=AE=AB, LADE=2(180-LDAE)=75, .·.∠EDB=∠ADE-∠ADB=75°-45°=30°. 19.(1)证明：FD∥CA,BC∥DE, .四边形ECFD为平行四边形. 又∠C=90°， .四边形ECFD为矩形. (2)解：如答图，过点C作CH⊥EF于点H, 在Rt△ECF中，CF=2,CE=4, .EF=√CE2+CF=√I6+4=25. 19题答图 aCF.CE-EF.CH. CH=CF·CE_45 EF 4号5：点C到BF的距离为号5. 20.（1)证明：.AB∥CD,.∠OAB=∠DCA. AC为LDAB的平分线，.∠OAB=∠DAC, .∴.∠DCA=∠DAC,∴.CD=AD=AB. AB∥CD,四边形ABCD是平行四边形 .AD=AB,.四边形ABCD是菱形 (2)解：.四边形ABCD是菱形， .OA=OC,BD⊥AC. .CE⊥AB,∴.OE=OA=OC BD=2..OB-BD-1. 在Rt△AOB中，AB=W5,OB=1, .0A=√AB2-0B=2,.0E=0A=2. 21.(1)证明：：AD∥BC,∴.∠ODE=∠OBF. .O为对角线BD的中点，∴.OD=OB. 在△DOE和△BOF中， r∠ODE=LOBF, OD=OB. L∠DOE=∠BOF, .△DOE≌△BOF(ASA). (2)解：四边形EBFD是菱形. 理由：：OD=OB,直线l经过点O且直线ILBD, .直线1是线段BD的垂直平分线， ∴.DE=BE,DF=BF .·△DOE兰△BOF,∴.DE=BF, ∴.DE=BE=DF=BF, ∴.四边形EBFD是菱形 22.解：(1)26 20号 2.AD=18,BC=26,BO=3t,DP=2t. .CQ=26-3t,AP=18-2t. 分两种情况： a.当四边形ABQP是平行四边形时，BQ=AP, 31=18-2,解得1= b.当四边形PQCD是平行四边形时，DP=CQ, ·21=26-36,解得1=26 综上所述，当t的值为或2时，线段PQ与梯形ABCD 5 的边构成平行四边形。 ③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形， 理由：在Rt△DEC中，DE=43,∠C=60°， .∠CDE=30°，∴.CD=2EC 由勾股定理，得EC2+DE2=4EC2, ∴.EC=4,CD=8,∴.AB=CD=8. 当：=8时，B0=31=4B0AB, ·.平行四边形ABQP不是菱形； 当1=时，Dp=21=号。 .DP≠CD,.平行四边形PQCD不是菱形 参考答案及解析 23.(1)证明：.·四边形ABCD是正方形， .∴.∠BAD=90°，AB=AD 将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG, .∠GAF=90°，AG=AF, .∠GAF=∠DAB, ∴.∠GAD=∠BAF,△ABF≌△ADG. (2)解：BF+DH=FH.证明如下： 由(1)知△ABF≌△ADG, .∠G=∠AFB=90°，BF=DG ∠GAF=∠AFH=∠G=90°， ∴.四边形AFHG是矩形. .AG=AF,∴.矩形AFHG是正方形， .FH=GH=DG+DH=BF DH. (3)解：BP=√2CH.证明如下： 如答图，在BH上截取BX=DH,连接CX. ∠GHF=∠BCD=9O°，∠DEH=∠BEC, .∠CDH=∠CBX. CD=BC,DH=BX, H .∴.△CDH≌△CBX, .∴.CX=CH,∠BCX=∠DCH, .∠BCX+∠DCX=∠DCH+∠DCX, 23题答图 .LHCX=∠BCD=90°， .HX=√2CH. DH=HP,.'.BX HP .BH-PH=BH BX, .BP=HX,..BP =2CH. 专项巩固训练卷（一） 特殊平行四边形的折叠问题 1.（1)证明：如答图，连接BD. 四边形ABCD是菱形，∠A=60°， .AB∥CD,△BCD是等边三角形. G是CD的中点，BG⊥CD,即∠CGB=90°， ∴.∠FBG=∠CGB=90°， 即△FBG是直角三角形. 1题答图 (2)解：由(1)可知△BCD是等边三角形，G是CD的中点. .CD=AB=2,.CG=1,CB=2. 在Rt△GBC中，由勾股定理，得 BG2=BC2-CG2=22-12=3. ,△AEF翻折至△GEF,∴.AF=GF, 设BF=x,则AF=GF=2-x. 在Rt△FBG中，GF2=BF2+BG, 即(2-x)2=x2+3, 解得x=子，即BF=子 。3.全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 第一章能力提优测试卷答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 二、选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 填 注 正确填涂 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 涂样 意 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、 要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] I11I1II11111IIl111I11111111 第二部分非选择题（共90分）》 二、填空题 11 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题 16. 16题图 17. B D 17题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 18题图 19. 19题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20: 20题图 21. 21题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22. D4-D →Q 22题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. G ■ E L C 23题图① G F 23题图② 色 D 检 H 23题图③ 请 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效