第30章 直线与圆的位置关系 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

第三十章提优测评卷 答案P92 时间：90分钟总分：100分 第I卷（选择题 共20分) 一、 选择题（本题包括10小题，每小题2分，共20分） 1.(2026·浙江嘉兴桐乡期末)已知直线1与半径为4的⊙O相交，则点O到直线1的距离可能是 (). 数 A.3 B.4 C.5 D.6 2.分类讨论思想(2026·辽宁大连金普新区期末)在△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,以C为圆心，r n 为半径画⊙C,使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是( ). A.5≤r≤12 B.5≤r<12 60 C.g≤r≤5 D.3r≤5 60 3.(2026·天津期末)如图，AB与⊙O相切于点A,OB交⊙O于点C,D为⊙O上一点，连接DA, DC,若∠B=36°，则∠D的大小为( A.25° B.27° C.34° D.56° (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) 4.(2026·河北沧州河间期中)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一点，过点A作 AE⊥CD,垂足为E,连接OC,OE.若使CD切⊙O于点C,添加的下列条件中，不正确的是 ( ) A.OC∥AE B.OA2CE2=OE2 C.AC是∠OAE的平分线 D.OA=AC 5.(2025·山东德州德城区期末)如图，∠MPN=60°，O是∠MPN的平分线上的一点，半径为4的⊙O 经过点P,将⊙O向左平移，当⊙O与射线PM相切时，⊙O平移的距离是( ) A.2 B43 3 e号 D.23 6.如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°，则下 列结论错误的是( A.AE⊥DE B.AE//OD C.DE-OD D.∠BOD=50° 7.(2024·牡丹江中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直 径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为( (第7题) 37 A.100° B.110° C.120 D.130° 8.(2026·河北石家庄四十中期末)如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得 O为AD的中点，且点A,B,C,D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF,则 ∠BCF的度数为(). A.18 B.30° C.36 D.54° P (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，P1~P8是⊙O的八等分点.若△P1P3P7、四边形P3P4P6P,的周长分别为a,b,则下列 正确的是( A.a<b B.a=b C.ab D.a,b大小无法比较 10.将军饮马模型(2024·绵阳中考)如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE,点H在BE 上运动，G为EF的中点，当△AGH的周长最小时，AH十GH=( A.23 B.√13 C.12 D.13 第Ⅱ卷（非选择题共80分） 二、填空题（本题包括8小题，每小题2分，共16分） 11.分类讨论思想(2026·湖北宜昌期末)在直角坐标系中，以P(3,1)为圆心，r为半径的圆与坐标轴恰好 有三个公共点，则r的值为 12.(2026·天津河西区期未)如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，以AE为直径的⊙O与边 BC相切.若CE=1,则这个正方形的边长为 R F八B (第12题) (第13题) (第14题) (第15题) 13.(2025·北京期末)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC,BC,延长BC至点T,连接 AT.在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件 ,使得直线AT是⊙O的切线 14.(2026·四川自贡富顺期末)如图，已知AB,AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE垂 直于AC,交AC的延长线于点E,连接BC,若DE=6cm,CE=2cm,下列结论正确的是 ①DE是⊙O的切线；②直径AB长为20cm;③弦AC长为15cm;④C为弧AD的中点， 15.(2026·宁夏吴忠期末)如图，PA与⊙O相切于点A,PB与⊙O相切于点B,M为AB上一点，过 点M与⊙O相切的直线分别交PA,PB于点E,F.若△PEF的周长为12，则PA的长为 38 16.(2024·包头中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则 ∠ADC的度数为 C (第16题) (第17题) (第18题) 17.如图，⊙O是以原点为圆心、23为半径的圆，点P是直线y=一x十8上的一点，过点P作 ⊙O的一条切线PQ,Q为切点，则切线长PQ的最小值为 18.(2026·广东东莞期中)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=8,以CD为直径作⊙O.将矩形AB- CD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E,边CD'与⊙O相交于 点F,则D'F的长为 三、解答题（本题包括8小题，第1921题每题6分，第22~25题每题8分，第26题14分，共64分） 19.(2025·广东中考)如图，点O是Rt△ABC斜边AC上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切 于点D.求证：AD平分∠BAC. (第19题) 20.(2025·内蒙古中考改编)如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB.垂足为O,OC=2,P是BA延长 线上一点，连接CP,交⊙O于点D,连接AD,∠OCP=60°.过点P作⊙O的切线，切点为E. 交CO的延长线于点F. (1)求CD的长； (2)求∠DAB的度数. E (第20题) 39 第三十章提优测评卷 21.如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C,交AB的延长线于点D,连接AC,BC,∠D =30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E,过点B作BF LCE,垂足为F. (1)求证：CA=CD; (2)若AB=12,求线段BF的长. 0 E (第21题) 22.课本再现：(1)如图(1)，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.若图中的PA=5,则 PB的长度是多少？如果∠APO=40°，则∠BPO的度数是多少？请说明理由？ (2)知识应用：如图(2)，PN,PD,DE分别与⊙O相切于点A,B,C,且DE∥PN,连接OD, OP,延长PO交⊙O于点M交DE于点E,过点M作MN/OD交PN于N.求证：MN是 ⊙O的切线. (2) (第22题) 实验班提优训练数学九年级上RMJY 40 23.(2025·宿迁中考)如图，点A在⊙O上，点B在⊙O外，线段OB与⊙O交于点C,过点C作⊙O 的切线交直线AB于点D,且AD=CD (1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若∠B=30°，CD=4,求图中阴影部分的面积. (第23题) 24.(2025·银川兴庆区模拟)已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,BC>AC,点P是 △ABC的内心，延长CP交⊙O于点D,连接BP. (1)求证：BD=PD; B (2)已知⊙O的半径是32，CD=8,求BC的长 E D (第24题) 41 25.(2025·湖北中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足为E,交 AC于点D,交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G. (1)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,求⊙O的半径. 0 E (第25题) 26.(2025·自贡中考)如图，等⊙O1和⊙O2相交于A,B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2,连接AB, 作直径AC,延长O2B到点D,使DB=O2B,连接DC. (1)∠ABO2= 度； (2)求证：DC为⊙O2的切线： 0 (3)若DC=33,求⊙O2上AB的长. (第26题) 42实验班提优训练数学九年级上RY (1) 分 (第4题) (2)变强[解析]由题意和题图可知，接触角越大，水滴越 趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角的 变大而变强 (3)∠CAD=2∠BAC.理由如下： 如图(2)，连接OA,则OA=OB, ∴∠ABC=∠OAB.AD为⊙O的切线，.OA⊥AD, .∠OAB+∠BAD=90°..BC⊥AC,..∠ABC+ ∠BAC=90°.：∠ABC=∠OAB,∴.∠BAD=∠BAC, ∴.∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC. (4)”水滴弧的长度为1= r-180 “可以根据二的大小进行判断，越大，水滴越趋近于球 形，疏水性越强（答案不唯一）. 综合与实践 生活中的优化问题 任务一：连接OA, .⊙O,⊙P,⊙Q两两外切，∴.OP=PQ=OQ=acm 又PA=QA,.OA⊥PQ, i.On-aa(cm). 任务二：[解决问题]在弧CD取一点P,连接BP,AP,FP, AO,FO. .六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF=AB,∠AOF=360° 6 =60, 1 ∠APF=2∠AOF=30°， ,AF=AB,∠APB=∠APF=30, ∴∠BPF=∠APB+∠APF=60. [深入探究]：∠AOF=60°，AO=FO, ∴△AOF是等边三角形，∴∠DAF=60°， .DF=√3AF, 1 'SMADE=7 AFX DF-Y AF-2V3. AF=2,即⊙0的半径为2， ∴.⊙0的面积=πX22=4元. 竞赛思维空间 1.C[解析]首先根据题目说明画 图如图所示.通过图易知LA1= IB1=IC1=2r(r为△ABC的内 切圆半径)..I点同时是 △A1B1C1的外接圆的圆心，设 IA1与BC的交点为D,则IB IA1=2ID,.∠IBD=30°.同 (第1题) 理，∠IBA=30°，∴∠ABC=60°.故选C. 2.C[解析]如图，当圆形纸片运动到与∠EAD的两边相切 的位置时，过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分 别为D,E,连接AO1, 會92 则Rt△AD01中，∠O1AD=30°， OD=r,.AO =20D=2r, AD=√/AO-O1D2=√3r. S0-20:D.AD 1 2 ∴S四边形AD0,E=2S△A01=√3r2. 由题意，得∠D01E=120°， (第2题) So,0E=子， ∴.圆形纸片不能接触到的部分的面积为3(3r2一 吾P）=(33-x0r.故选C 3.√5[解析]如图，设⊙O1与△ACD的三边AC,CD,DA 分别相切于点G,H,E,边DB切⊙O2于点F,CD,CB的 延长线切⊙O2于点M,N, 则由⊙O1,⊙02的半径都是r, △ABC是边长为8的正三角形及切 线长定理，得AG=AE=√3r,CH= , CG-8-/3r,BF BN=3 r, 0 E D/ CM-CN=-8+9∴EP=M (第3题)》 CM-cH-(®+9）-8-3-45， 3. 点AB=AE+EF+FB-5r+45,+5,-85,=8, 3r十 3r= 3 解得r=√3. 4.延长AI交⊙O于D,连接OA,OD,BD,BI,如图. OA=OD,OI⊥AD,∴.AI=ID. 又∠DBI=∠DBC+∠CBI= ∠DBC与∠DAC同张 M DACt∠CBI=}(∠BAc+ ∠ABC)=∠DIB,∴.BD=ID=AI, 易证BD=DC, 故OD⊥BC,记垂足为E,则有BE= (第4题) BC. 作IG⊥AB于G,IN⊥BC于点N,IM⊥AC于点M. 又∠DBE=∠IAG,而BD=AI, ∴△BDE≌△AIG(AAS,iAG=BE-7BC. .AG=AM=x,BG=BN=y,CM=CN=, .AB=x+y,AC=x+,BC=y+x, AB+AC-BC=(x+y)+(x+)-(y+x)=2x =2AG, AG-(AB+AC-BC), 故AB+AC=2BC. 第三十章提优测评卷 1.A2.D3.B4.D5.B6.C7.B8.B9.A 10.B11.3或√10 24[解析]如图，设⊙O与边BC相切于点F,连接OF, 作OH DE于点H,则DH=EH=号DE.:OA- OE,0H=号AD.四边形ABCD是正方形，BCL OF,E为边CD上一点，CE=1,.AD =CD,∠OFC=∠OHC=∠C=90°， ∴.四边形OFCH是矩形.设AD= O CD=m,则OH=2m,DE=m-1, EH=2DE=名(m-1)=2m (第12题) 合，0E-OF-CH=BH+cE=2m-3+1-m+ 1 1 or+Er=0Ee,(分m)°+（合m-号） 112 侵m十》，解得阳=4或m-0(不特合凝高，合去. 1 这个正方形的边长为4 3.∠TAC=∠B(答案不唯一)[解析]：AB是⊙O的直 径，∴.∠ACB=90,∴.∠B+∠BAC=90°.当∠TAC= ∠B时，则∠TAC+∠BAC=90°，即∠OAT=90°.又OA 是⊙O的半径，∴直线AT是⊙O的切线。 14.①②[解析]如图，D为弧BC的中 点，连接OD,交BC于点F,连接 OC,.OD⊥BC,且CF=BF.AB 为⊙O的直径，DE⊥AE,,∴.∠BCE= ∠DEC=∠CFD=90°，.四边形 CEDF为矩形，.OD⊥DE.OD 是圆的半径，.DE为⊙O的切线， (第14题) 故结论①正确，符合题意； 由矩形性质得DF=CE=2cm,CF=DE=6cm, ∴.BC=2CF=12cm.设半径为rcm,OF=(r-2)cm,在 Rt△OCF中，由勾股定理得OC2=OF2+CF2,即r2= (r-2)2+62,解得r=10,∴.AB=20cm,故结论②正确， 符合题意； 在Rt△ABC中，BC=12cm,AB=20cm.由勾股定理得 AC=√AB2-BC=√202-122=16(cm),故结论③ 不正确，不符合题意； 若C为弧AD的中点，则AC=CD.连接CD.在Rt△CDE 中，CE=2cm,DE=6cm,由勾股定理得CD=2√I0 cm≠AC,故结论④不正确，不符合题意. 综上所述，结论正确的是①②. 15.6[解析]由题意可得PA=PB.EA,EM是⊙O的切 线，切点分别为A,M,EA=EM.FB,FM是⊙O的 切线，切点分别为B,M,∴.FB=FM '.CAPEF=PE+EF+PF,..CAPEF=PE+EM+FM+ PF=(PE+EA)+(PF+FB)=PA+PB..PA=PB, .C△PEF=2PA.:△PEF的周长为12，.C△PEF= 2PA=12,..PA=6. 16.105°[解析]连接OC. C为切点，OC⊥PC,∠OCP=90°. ,∠BCP=35°，∠OCB=90°-∠BCP=55°. .'OC=OB,.∠OBC=∠OCB=55°， ∴.∠BO℃=180°-∠OCB-∠OBC=70° .'∠AOB=140°，.∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC= 150,∠ABC= 2∠A0C=75, ∴.∠ADC=180°-∠ABC=105° 17.2√5[解析]：点P在直线y= x十8上，∴设点P的坐标为(m,8 m).如图，连接OQ,OP,由PQ为圆 O的切线，得到PQ⊥OQ.在Rt △OPQ中，根据勾股定理，得OP2= PQ+OQ,.∴.PQ=m2+(8- (第17题) 答案6D详解◇ m)2-(2√3)2=2m2-16m+52=2(m-4)2+20,则当 m=4时，切线长PQ有最小值为25. 名师点搬本题可以用代数法和几何法求解.上面解析 所给的方法即为代数法，通过列二次函数解答.因为 OP2=PQ十OQ,OQ为定值，所以求切线长PQ的最小 值，可以先求出OP的最小值，我们可用几何法求出点O到 直线y=一x十8的距离，该距离的长即为OP的最小值 18.2[解析]如图，连接OE,延长 EO交CD'于点G,作OH⊥B'C A 于点H,则∠OEB'=∠OHB'= 90°.，矩形ABCD绕点C旋转 所得矩形为A'B'CD,.∠B= ∠B'CD'=90°，AB=CD=10, BC=BC=8,.四边形OEB'HB 和四边形EB'CG都是矩形，OE= (第18题) OD=OC=5,..B'H=OE=5,..CH=B'C-B'H=3, ∴.CG=B'E=OH=√OC2一CH2=4..四边形EB' CG是矩形，∴.∠OGC=90°，即OG⊥CD',.CF= 2CG=8,∴.D'F=CD'-CF=10-8=2. 19.连接OD. ,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D, .OD⊥BC. :∠ABC=90°，.OD∥AB,.∠ODA=∠BAD. OA=OD,∴.∠ODA=∠OAD,∴.∠BAD=∠OAD, ∴.AD平分∠BAC 20.(1)连接OD. ,OC=OD,∠OCD=60°，∴.△OCD是等边三角形， .∠COD=60° 0C=2,.CD的长=60x×2_2 180=3元. (2).OC⊥AB,∴.∠AOC=90°， ∴.∠AOD=∠AOC-∠COD=30°. .OD=OA, 1 六∠DAB=∠AD0=2×(180°-30)=75°， 21.(1)如图，连接0C. :CD与⊙O相切于点C, .∠OCD=90° ./D=30°， .∠COD=90°-∠D=60°. .OA=OC, ∴.∠A=∠OCA, 1 ·∠A=2∠C0D=30, （第21题) ∴.∠A=∠D=30°，∴.CA=CD. (2):AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°. ∠A=30,AB=12,BC=2AB=6 :CE平分∠ACB∠BCE=2∠ACB=45 .BF⊥CE,∴.∠BFC=90°， ∴△BFC是等腰直角三角形，，BF=CF」 在Rt△BFC中，BC2=BF2+CF2,BC=6, .BF=3√2，∴线段BF的长为3√2. 22.(1)PB的长度是5，∠BP0的度数 是40°， 理由如下，如图，连接OA,OB,则 OA=OB. ,PA,PB是⊙O的两条切线，切点分 别为A,B, (第22题) 93合 实验班提优训练数学九年级上RMY .PA⊥OA,PB⊥OB ∴.∠OAP=∠OBP=90°， .Rt△OAP≌Rt△OBP ,PA=5,∠APO=40°， .PB=PA=5,∠BPO=∠APO=40°. (2)PN,PD,DE分别与⊙O相切于点A,B,C, ∴.∠OPD=∠OPA,∠ODP=∠ODE. DEPN,∴∠E=∠OPA,∴∠OPD=∠E,∴.DP= DE.DO平分∠PDE,.DO⊥PE..MN∥OD ∴∠OMN=∠DOE=90°.OM是⊙O的半径，且MN ⊥OM,∴.MN是⊙O的切线 23.(1)直线AB与⊙0相切.理由如下： 如图，连接OA,OD. 直线CD与⊙O相切，∴.OC ⊥CD,∴.∠OCD=90° 在△OAD和△OCD中， (OA=OC, OD-OD, AD-CD, .∴.△OAD≌△OCD(SSS), (第23题) ,.∠OAD=∠OCD=90°，.OA⊥AD. ,OA是⊙O的半径，∴.直线AB与⊙O相切. (2)由(1)得△OAD≌△OCD,∠OAD=∠OCD=90°， .∠AOD=∠COD,S△aAD=S△ocD. .∠B=30°，∴.∠AOC=60°，∴.∠AOD=∠COD=30°， .OD=2CD=8, .∴.OC=/OD2-CD2=/82-42=4√3， ….S△04D=S△0cD=2X4W5X4=8W3, ∴.S阴影=S△aAD十S△0CD-S扇形0AC =83+8w/3_60m×(43) -=16√/3-8π. 360 24.(1)AB为直径，∴.∠ACB=90°. .点P是△ABC的内心， ∴∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP=∠EBP, .∠ABD=∠ACD=45. ∠DPB=∠BCP+/CBP=45°+∠CBP,∠DBP= ∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP, .∠DPB=∠DBP, ..BD-PD (2)连接AD,过点B作BH⊥CD于点H,如图所示 ,AB是直径，∠ABD=45°， ∴.AB=6√2，△ABD是等腰直角 三角形，.2BD2=AB2=72, .BD=6.∠BCD=45°，BH⊥ CD,∴.∠BCH=∠CBH=45, .BH CH,.2BH2 BC2, ∴.BC=√2BH.,BD=DH+ (第24题) BH,.36=(8-BH)2+BH2,∴.BH=4士√2. .BC>AC, .BC=4W2+2. 25.(1).DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF, ∴.ABGF,.∠BAC=∠G=45°， ∴.∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角 形，∴FD=FG. ()DF LAB,AE=BE-2AB=6. ∠BAC=45°， .∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE是等腰直角三角 拿94 形，.EA=ED=6. 由(1)得FD=FG=10, ∴.EF=DF-DE=10-6=4. 连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x十4=OA, ∴.在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2, (十0=8+，解得红号 0A=x+4=多十4-号00的半径为号 5 26.(1)30[解析]连接O1A,O1B,O1O2,BC,如图所示. :⊙01和⊙02是等圆，.01B=02B=O1O2=O1A= O2A,.△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形， ∴.∠01B02=60°，0102⊥AB, 利用菱形对角线互相垂直的性质 ∴∠AB02=2∠01B02=30°， (2):△OO2B和△O1O2A都是等边 三角形，∴·∠A02O1=∠B02O1=60, ∴.∠B02C=60°.：O2B=O2C, ∴.△O2BC是等边三角形，∴∠O,CB= ∠O2BC=60°，BC=O2B.DB= O2B,∴.DB=BC,∴∠D=∠BCD. ∠O2BC是△BCD的外角， (第26题) ∠D+∠BCD=∠O2BC=60°，∴∠D=∠BCD=30°， ∴∠O2CD=∠O2CB+∠BCD=90°， 即O2C⊥CD. O2C是⊙O2的半径， .DC为⊙O2的切线. (3)设O2C=O2B=R, ..DB=O2 B=R, ..O2 D=DB+02B=2R. .∠O2CD=90°， ∴.△O2CD是直角三角形. 在Rt△O,CD中，由勾股定理，得 DC=√O2D2-O2C=√(2R)2-R2=√3R. .DC=3√3，W3R=3√3，解得R=3, ∴.O1A=02B=R=3. ,∠A02O1=∠B02O1=60°，∴∠AO2B=120°， ©0：上前长为1203-2x 期末专题提优 专题（一）一元二次方程 1.A[解析]由条件可知，a-c=-2b.,a-2b-c<0, ∴.-2b-2b<0,即-46<0，.b>0,∴.a-c=-2b<0.由 a+2b-c=0知x=1是方程ax2+2bx-c=0(a≠0)的 根，∴.(2b)2-4aX(-c)≥0，即b2十ac≥0.故选A 一题超解由条件，可知a-c=-2b.“a-2b-c<0, ∴.-2b-2b<0,即-4b<0,.b>0,∴.a-c=-2b<0, b2+ac=b2+a(a+2b)=a2+2ab+b2=(a+b)2≥0， ∴.a-c<0,b2+ac≥0.故选A 超晨山3m十n=合m=后3加m-经 ∴.3m,n是关于一元二次方程ax2-bx十3c=0(a≠0)的 两个根， ∴.(-b)2-4a×(3c)≥0，即b2-12ac≥0，为非负数.