第30章 直线与圆的位置关系 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

B (1) (2) (第2题) (2)如图(2)，延长AP交⊙O于点N, 连接BN,则∠C=∠N. .∠APB=2∠C, ∴∠APB=2∠N. ∠APB=∠N+∠PBN, ∴.∠N=∠PBN, ∴.PN=PB. .PA=PB, ∴.PA=PB=PN, P为该圆的圆心 (3)如图(3)，过点B作BC的垂线交CA的延长线 于点E,连接AB,延长AP交⊙O于点F,连接 CF,FB. (3) (第2题) ,∠APB=90°， ∠C-2∠APB=45 又BC⊥BE, .△BCE是等腰直角三角形， ∴BE=BC, ∴.CE=√2BC BP⊥AF,PA=PF, ∴.BA=BF. AF是直径， .∠ABF=90°， ∴.∠EBC=∠ABF=90°， ∴.∠EBA=∠CBF, ∴.△EBA≌△CBF(SAS), ..AE=CF. 46 .CD=2CB-CA=CE-CA=AE, ∴.CD=CF, ∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求 思路得本题对圆周角定理进行了创新，对于 (3)构造一条线段等于√2CB-CA是关键. 第三十章直线与圆的位置关系 例设OC交AB于点E. .OC是⊙O的半径，C为AB的中点， .OC垂直平分AB, ∴.∠OEB=90°. .CD∥AB, .∠OCD=∠OEB=90°. 又OC是⊙O的半径， .CD是⊙O的切线. 例2A[解析]如图，过点O分别作AB,AC,BC 的垂线，垂足分别为E,G,F, ∴.S△ABc=S△AOB+S△B0C+S△M0C ×AB·R+×BC·R+2×AC.R 1 2R·(AB+AC+BC). AB-AC-BC, S-R·(停8C+Bc)-R,BC .AD的长为h, 1 S△Ac=2BC·h, ,8BC2 BC·h, 8 h=2R, 3 例3①[解析]，正六边形ABCDEF和正六边形 HIJKLM, .MH=LM,∠HFM=∠MEL=∠HML=120°. .∠HME=∠FHM+∠HFM=∠HML+∠EML, .∠FHM=∠EML. '.△FHM≌△EML, .'.ME=HF, .AH+ME=AH+HF=AF=1,故①正确； 连接OF,OH,OM,即∠AOF=∠HOM=60°， OA-OF,OH-OM, 则△OHM,△OAF为等边三角形，故HM=OH, OA=AF=OF=AB-1. 作OG⊥AF于点G, 0c-9 由垂线段最短可知OH的最小值即为OG的值， 即OH故小为.即HM的最小值为号放②循误： .'∠FMH+∠FHM=180°-∠HFM=60°， ∠APH=180°-∠OAF-∠AHP=120° ∠AHP, 且∠AHP<60°， .120°-∠AHP>60°， ∴.∠APH≠∠FMH+∠FHM,故③错误. 综上所述，①正确. 饥固特训 1.(1)连接OD,如图. (第1题) DE是⊙O的切线， ∴.OD⊥DE .DE⊥AC,∴.OD∥AC, ∴.∠ODB=∠C. .'OB=OD, .∠B=∠ODB, ∴∠B=∠C, ∴.AB=AC. (2)①如图，过点O作OH⊥AF于点H, 设⊙O的半径为r. ∠ODE=∠OHE=∠DEH=90°， .四边形ODEH为矩形， ∴.OH=DE=6,OD=HE=r, .AH=r-3. 在Rt△AOH中，(r-3)2+62=r2, 解得，一只，即©0的￥径为号 ②：HE=OD=15」 2’ 39 AH-HE-AE-15 2 .OH⊥AF, MF=24MH=2x号-0 2.(1)连接O℃. BD切⊙O于点B,∠OBD=90° .'OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA, .ED∥AC, ∴.∠BOD=∠OAC,∠COD=∠OCA, ∴.∠BOD=∠COD, ∴.△BOD≌△COD, ∴.∠OCD=∠OBD=90°. 又OC为半径， CD是⊙O的切线 (2),AB=12,AB是⊙O的直径， ..OB=OA=OC=6. .OP:AP=1:2, .OP=2,AP=4. .∠APC=90°，OC=6, .PC=√OC2-OP2=√62-2=4√2. 举反目 1.①②③[解析]①如图(1)，设圆心为O,连接 OA,OB,NA,NB,OP. 、0入B 重物， CHAE TK花T (1) 由切线性质，得OA⊥PA,OB⊥PB.又OA=OB, 47 ∴.PO平分∠APB, :∠AP0=2∠APB=30 在四边形OAPB中， ∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=60°， 则圆心角∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°. 由图可知点N一直在优弧AB上， ∠ANB-方∠A0B=60故D正确： ②：∠AP0-号∠APB=-30, 在Rt△OAP中，OA=5cm, 则AP=53cm, 同理，BP=5√3cm. ∴.AP=BP=5√3cm,故②正确； ③如图(2)，取DE的中点为Q,CF的中点为M. (2) ,∠AP0=30°，OA=5cm, ∴.OP=2OA=10cm. ,正方形CDEF的边长为2cm,底部居中放置， 其中心在对称轴上， 则点Q,M,O,P都在对称轴上， 点P到CF的距离即为PM的长度. .DQ-DE-1cm, ∴.OQ=√D02-DQ=v√52-12=2√6cm, .PM-PO+OQ-MQ-10+26-2- (8十2√6)cm.故③正确； ④如图(3)， (3) (第1题) ，48 圆锥的母线长PB=5√3cm,设圆锥底面圆心为 O',且在PO上，在直角三角形OBP中，OB= PB·OB5W3×55W PO 10 2 2(cm), 等面积法 六圆锥底面周长1=2π·0B=2x×5y 2 =5√3πcm, 根据弧长公式1-，则以= 180L180×5/3π r πX5√3 180°， .展开图是圆心角为180的扇形，不是120° 故④错误.故正确结论的序号是①②③. 2.如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥ AC于点E,AD和BE交于点O. D (第2题) 设AB=2a,则BD=a. ,∠ADB=90°， ∴.AD=√AB2-BD2=√3a, OD-AD- 3a, ∴.圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是 √3π 2a·√3a 18 2 3.连接OP,延长BO与圆交于点C,则OP=OB= OC. .AP与⊙O相切于点P, .∠APO=90°， .∠PAO+∠AOP=90. MO⊥CN, ∴.∠AOP+∠POC=90°， .∠PAO=∠POC .OP=OB, .∠OPB=∠PBO, .∠POC=∠OPB+∠PBO=2∠PBO, ∴.∠PAO=2∠PBO.第三十章 直线与圆的位置关系 知识梳理导图 d>r直线与圆相离 任何正多边形都有一个外接圆和一个 d=r 内切圆，并且这两个圆为同心圆 切线垂直于过切线的 切点的半径 性质 直线与 个正多边形的外接圆的圆心 经过半径的外端并且 切线 圆相切 与圆 叫作这个正多边形的中心 垂直于这条半径的直线的判定 多 外接圆的半径叫作正多边形的半径 切线长定理 d<r直线与圆相交 直线与圆的 形 正多边形每一边所对的圆心角 位置关系 与三角形各边都相切的圆。定义 圆 叫作正多边形的中心角 内切圆的圆心是三角形三 三角形的 中心到正多边形的一边的距离叫作 条角平分线的交点 性质 内切圆 正多边形的边心距 重难疑点解法 上分点个与切线有关的计算和证明 :☆方法技巧 判定切线时常用的方法有：①点在圆上，连半径， 例①(2024·甘孜州中考改编)如图，AB为⊙0 证垂直；②点不在圆上（或不确定），作垂直，证半径， 的弦，C为AB的中点，过点C作 CD∥AB,交OB的延长线于点D. 上分点2三角形的内切圆与内心 连接OA,OC.求证：CD是⊙O的 例2(2025·杭州西湖区紫金 切线； 港中学一模)如图，在△ABC中， 名师启发设OC交AB于点E,由C为AB的 中点，根据垂径定理得OC垂直平分AB.再由CD∥ AB+AC=号BC,ADLBC于点 AB,得到∠OCD=90°，即可得证； D,⊙O为△ABC的内切圆，设 0 ⊙O的半径为R,AD的长为h,则 B 尽的值为 ) A香 c号 D.Z 名师启发根据三角形内切圆特点作出三条半 径，用两种形式表示出△ABC的面积，利用面积相等 列出等式即可解决问题， 型归纳总烤 本题考查三角形内切圆的相关性质，根据已知 条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解 题关键 30 第三十章 上分点3正多边形与圆 名师启发先由正六边形的性质证明△FHM 例3(2026·北京大兴区期末改编)如图，H,1,J, ≌△EML从而可得ME=HF,再根据线段的和差可 判断①；连接OF,OH,OM,判断△OHM,△OAF为 K,L,M分别为正六边形ABCDEF各边上的动点 等边三角形，由等边三角形的性质可得HM=OH, (不与顶，点重合)，且六边形HIJKLM也是正六边 OA=AF=OF=AB=1,作OG⊥AF于点G,可求 形，它们的中心都是点O,连接AO交HI于点P.当 出OG,由垂线段最短可判断②；根据三角形内角和可 AB=1时，给出下面四个结论： 知∠FMH+∠FHM=60°，∠APH=120°-∠AHP, ①AH+ME=1; 结合∠AHP<60°可判断③. ②HM的最小值为： 关键提醒 本题主要考查正多边形的性质、正多边形中心 ③∠APH=∠FMH+ 的概念、全等三角形的判定与性质、等边三角形的 ∠FHM. 判定与性质等知识，灵活运用相关知识是解题的 上述结论中，所有正确 关键。 结论的序号是 易错易混辨析 )易错点]对切线的性质和判定理解不准确 巩固特训 例1(2024·重庆潼南区一模)如图，AC是⊙0 1.(2025·鄂尔多斯东胜区二模)如图，在△ABC中，以 的切线，B为切点，连接OA,OC.若∠A=30°，AB= AB为直径的⊙O交BC于点D,DE是⊙O的切 OC=23,则BC的长度是(). 线，且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F. (1)求证：AB=AC; (2)若AE=3,DE=6. ①求⊙O的半径的长； ②求AF的长 A.3 B.2√2 0 C.25 D.4 解析如图，连接OB.,AC是⊙O的切线，B (第1题) 为切点，∴.半径OB⊥AC..∠A=30°，AB=23, .OB=2..OC=2√3，∴.BC=√OC2-OB2=2√2. 答案B 辨析伯纳 运用判定和性质时，要严格根据方法和定理进 行推理，不能凭主观进行判断： 31 实验班提优训练数学九年级上MJY )易错点2 不能准确地利用切线的性质与 .∠DOF=60°， 判定加以证明 .∠ODF=30°， 例2如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一 ∴.OD=2OF. 点，∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC,交BC 在Rt△ODF中，DF=3, 的延长线于点E. OD2=OF2+DF2=(20F)2, (1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； ∴.DO=23,FO=√3.（负值已舍去） (2)过点D作DF⊥AB于点F,若∠ABD=30°， 故图中阴影部分的面积为 0π×(23)2 1 DF=3,求图中阴影部分的面积. 360 3X3=2x-33 2 辨析伯纳 注意不得混淆切线的性质和判定，问题(1) “DE与⊙O相切”是要证的结论，不能错将其作为 条件 解析(1)直接利用角平分线的定义结合平行线 的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出 饥固特训 答案； (2)利用勾股定理结合扇形面积的求法分别分析 2.如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B,C是 得出答案。 圆上一点，过点C作AB的垂线，交AB于点P, 答亲(1)DE与⊙O相切.理由如下： 与DO的延长线交于点E,且ED∥AC,连接CD. 如图，连接DO, (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=12,OP:AP=1:2,求PC的长. B .DO=BO, (第2题) ∴∠ODB=∠OBD :∠ABC的平分线交⊙O于点D, ∠EBD=∠OBD, .∠EBD=∠ODB, ..DO//BE, ∴.∠EDO+∠BED=180° ,DE⊥BE,∴∠BED=90°， .∠EDO=90°， .OD⊥DE. ,OD为⊙O的半径， .DE与⊙O相切. (2),DF⊥AB于点F, ∠BFD=90° ,∠ABD=30°， 32 第三十章 素养考向提分 新情境 举反美 例](2026·河南驻马店汝南期末)抖空竹可见于 1.(2026·北京昌平区期未)“不倒翁”是生活中极具趣味 全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛 性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精 行.在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空 美的摆件.它的核心设计原理是降低重心.如图是 竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC,BD分 小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分 别与空竹⊙O相切于点C,D,连接左右两个绳柄A, 为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一 B,AB经过圆心O,交⊙O于点E,F,AE=BF. 正方体重物，并固定)及其主视图（主视图为轴对 (1)求证：AC=BD. 称图形).已知PA,PB分别与弧ANB所在圆相 (2)若AE=4,AC=8,求两个绳柄之间的距离AB. 切于点A,B,点N是该圆与地面水平线的切点， 圆的半径是5cm,∠P=60°，正方形CDEF的边 长为2cm.以下所有正确结论的序号是 解析(1)连接OC,OD,证明Rt△ACO≌ Rt△BDO即可得出AC=BD; 重物 C重物 (2)设OE=OC=x,则AO=x十4， /B 7777777771T 7777T1T7777 在Rt△ACO中，由勾股定理得出方程，解方程即 DNE 可得出答案。 (第1题) 答案(1)连接OC,OD. ①无论不倒翁如何摇晃，∠ANB的度数始终不变 .AC,BD分别与⊙O相切于点C,D, 且为60°； ∴.∠ACO=∠BDO=90°. ②AP=BP=5√3cm; .AE=BF, ③点P到CF的距离为(8+2√6)cm; ..AE+OE=BF+OF, ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴处忽略不计）的 即AO=BO. 展开图是圆心角为120的扇形. .Rt△ACO≌Rt△BDO(HL). 传统文化 ∴.AC=BD. 例2(2025·山东中考)在中国古代文化中，玉璧 (2)设OE=OC=x,则AO=x十4， 寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家 在Rt△ACO中， 的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形 由勾股定理，得 的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图 (x十4)2=x2+82, 中阴影部分的面积是( 解得x=6. .AO=10. ∴.AB=20. 色点拔 本题主要考查了切线的性质、勾股定理、 A.π B.2π 全等三角形的判定和性质等知识，掌握切线的 C.3π D.4π 性质是解题的关键， 解析如图，连接AB,DC相交于O. 33 实验班提优训练数学九年级上MJY D 3.(2025·济南市中区二模)在古代，智慧的劳动人民已 0 经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一 个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动， 将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲 ,正方形的内切圆的半径是2， 柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆 ∴.AC=BC=4,OA=OB, 机构”，设计图如图(1)，两个固定长度的“连杆” ∴.AB=√AC2+BC2=√42+4=4√2， AP,BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上 转动时，带动点A,B分别在射线OM,ON上滑 0A=0B=2AB=22, 动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落 ∴.图中阴影部分的面积是π·(2W2)2-π·2=4元 在⊙O上，如图(2).请仅就图(2)的情形求证： 答亲D ∠PAO=2∠PBO. 点拨 本题主要考查了正方形的内切圆、外接 圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想是解 M 视频字重堆 题的关键 举反白 2.如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代 (1) 的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称， 求圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比. 0 B (2) (第2题) (第3题) 34