第29章 圆 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

又∠EDF=∠GDB, ∴.△EFD≌△GBD, .'.DF=DB. .AB=5, ∴.BF=AB-AF=4, BD-号BF-2. (2)CE=AH+BD.证明如下： 过点E作EMBC,交AB于点M, 由(1)可知△AME是等边三角形， ∴.AE=ME,∠AEM=60°. 由旋转可知，DE=DH,∠HDE=60°， ∴△DEH是等边三角形， ∴.HE=DE,∠HED=60°， '.∠AEH+∠HEM=∠HEM+∠DEM=6O°， ∴.∠DEM=∠AEH, ∴.△AEH≌△MED, ∴.AH=MD, .'.BM=BD+AH. .'AM=AE,AB=AC, ∴.BM=CE, ..CE=AH+BD 第二十九章圆 例①[探究一]三角形的任意两边之和大于第三边 [探究二].∠ACB=90°，O为AB的中点， .OC=OA=OB,.点C在⊙O上. [拓展应用](1)如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆 盖圆 (2)5[解析]：四边形ABCD是矩形，且AB= 1 cm,BC=2 cm, ∴.∠ABC=90°， ∴.BD=AC=√12+22=√5(cm). 例2(1)：在⊙0中，AD=AD, ∠ACD=∠ABD=45°， 即∠FCE=45°. ，44 .∠CFE=45°， ∴.∠CEF=180°-∠CFE-∠FCE=180°-45° 45°=90°， 即直线l⊥直线CE. (2)①.四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°. ∠GDE+∠ADC=180°， ∴.∠ABC=∠GDE. ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° 由(1)知∠CEF=90°， 即∠GED=90°， ∴.∠ACB=∠GED. 在△ABC和△GDE中， ∠ACB=∠GED, ∠ABC=∠GDE, AB=GD, ∴.△ABC≌△GDE(AAS). ②由①，得△ABC≌△GDE, ..BC=DE, BC+CD=DE+CD=CE=多， R=1,AB=2R=2. AB为⊙O的直径， ∠ADB=90° ∠ABD=45°， ∠BAD=45°， ∴.AD=BD 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2+BD2=AB2, 即2AD2=AB2=22=4,.AD=√2， ∴.四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD= 2++-名+ 例3(1).四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴.AD=BC=5,∠ADC=90°. .AE=3,.DE=2, ∴.DE=DF=2. .OE=OF=2, ∴.DE=DF=OE=OF=2, ∴.四边形OEDF为正方形， ∴.∠EOF=90°， ∴.∠EMF= 2∠E0F-45. >同孤所对的圆周角是圆心角的一半 (2)如图(1)连接EF,交BD于点H E D (1) (2) .四边形OEMF为菱形， ∴.OE=EM=OF=MF=2,EH⊥MD. .OM=OE=OF=2, ∴.△OEM,△OFM为等边三角形， ∴.∠OEM=∠OME=∠OMF=∠OFM=60°， ∴.EH=5! .四边形ABCD是边长为5的正方形， .DB平分∠ADC, ∴.∠ADB=45°， ∴.△EDH为等腰直角三角形， ∴.DH=EH=√3， .DE=√6. (3)如图(2)，当∠EOF=150°，即EMF为劣弧时， “EMF的长=150mX2_5x 180=39 如图(3)，当∠EOF=150°，即EMF为优弧时， A E D (3) ·EMF的长=210xX2_7x 180 31 综上，当∠B0F=150时，EM的长为号x或了元 7 风固特训 1.105或15° 3.2或14 4.B[解析]：在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∠ACB=30°，BC=4, ∴∠ABC=60',AB=2BC=4X2=2 由旋转性质，知△BAC≌△BEF,即∠ABC= ∠EBF=60°，BC=BF=4, ∴.∠CBF=∠ABE=120°， ∴边AC扫过的阴影面积 120x(BC2-AB)= 360 3×4-2= ×12=4π. →割补法：阴影面积=扇形BCF的面积一扇形 BAE的面积 故选B. 锋反日 上B[,析由题意可知，一个流支的宪角为-0. 从“已”时开始到“申”时结束走过的图形是扇 形，且圆心角为120°， ∴.∠AOB=120°. 又晷面内圈的半径OA为24cm, .S扇形 120π×242 =192r(cm2), 360 ∴.晷针投影在晷面上划过的图形面积是192πcm. 故选B. 2.(1)①.∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C, ∴.3∠C=135°，.∠C=45°. ②如图(1)，连接AB,过点A作AM⊥BC,垂足为M. :∠C=45°，AC=8, ∴.△ACM是等腰直角三角形： 且AM=CM=4√2. ,∠AOB=2∠C=90°，OA=OB, ∴.△AOB是等腰直角三角形， ∴AB=√OA2+OB2=√2OA=5√2. 在直角三角形ABM中， BM=√AB2-AMP=3√2， ∴.BC=CM+BM=4√2+3√2=7√2. 45 B (1) (2) (第2题) (2)如图(2)，延长AP交⊙O于点N, 连接BN,则∠C=∠N. .∠APB=2∠C, ∴∠APB=2∠N. ∠APB=∠N+∠PBN, ∴.∠N=∠PBN, ∴.PN=PB. .PA=PB, ∴.PA=PB=PN, P为该圆的圆心 (3)如图(3)，过点B作BC的垂线交CA的延长线 于点E,连接AB,延长AP交⊙O于点F,连接 CF,FB. (3) (第2题) ,∠APB=90°， ∠C-2∠APB=45 又BC⊥BE, .△BCE是等腰直角三角形， ∴BE=BC, ∴.CE=√2BC BP⊥AF,PA=PF, ∴.BA=BF. AF是直径， .∠ABF=90°， ∴.∠EBC=∠ABF=90°， ∴.∠EBA=∠CBF, ∴.△EBA≌△CBF(SAS), ..AE=CF. 46 .CD=2CB-CA=CE-CA=AE, ∴.CD=CF, ∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求 思路得本题对圆周角定理进行了创新，对于 (3)构造一条线段等于√2CB-CA是关键. 第三十章直线与圆的位置关系 例设OC交AB于点E. .OC是⊙O的半径，C为AB的中点， .OC垂直平分AB, ∴.∠OEB=90°. .CD∥AB, .∠OCD=∠OEB=90°. 又OC是⊙O的半径， .CD是⊙O的切线. 例2A[解析]如图，过点O分别作AB,AC,BC 的垂线，垂足分别为E,G,F, ∴.S△ABc=S△AOB+S△B0C+S△M0C ×AB·R+×BC·R+2×AC.R 1 2R·(AB+AC+BC). AB-AC-BC, S-R·(停8C+Bc)-R,BC .AD的长为h, 1 S△Ac=2BC·h, ,8BC2 BC·h, 8 h=2R, 3 例3①[解析]，正六边形ABCDEF和正六边形第二十九章 圆 知识梳理导图 点P在圆外→d>r点与圆的 ,点P在圆上←→d=r 位置关系 孤长公式：1= nπR 圆 圆 180 点P在圆内→dr 的 有 扇形的面积公式： 不在同一条直线上的 三个点确定一个圆 概 S扇形= nπR=R 念 计算 360 2 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条孤，垂径定理 圆 ·条孤所对的圆周角等于 平分弦（不是直径）的 轴对称 圆周角定理它所对的圆心角的一半 直径垂直于弦，并且 垂径定理 平分弦所对的两条孤 的推论 圆 同孤或等孤所对的圆周角相等 在同圆或等圆中，相等的 圆的 等量关 的 圆心角所对的孤、弦相等 系定理 对称性有 圆周角推论 直径所对的圆周角是直角 性 同圆或等圆中，两个圆心角、 90°的圆周角所对的弦是直径 旋转 两条孤、两条弦中如果有一组 对称 量相等，那么它们所对应的其 圆内接四边形对角互补 余各组量都相等 推论 重难疑点解法 分上分点1与圆的相关概念有关的综合题 .⊙O是线段AB的最小覆盖圆. “▲”处应填写的推理依据为 例1(2025·长春中考改编)数学活动：探究平面 探究二]直角三角形的最小覆盖圆 图形的最小覆盖圆. 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其 [定义]我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该 转化为[探究一]中线段的最小覆盖圆问题.这样就可 平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图形 以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再 的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即 判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三 直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆。 角形的最小覆盖圆. [探究一]线段的最小覆盖圆 如图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙O是 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直 以AB为直径的圆. 径的圆是其最小覆盖圆。 请你判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由. 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过 又由[探究一]可知，⊙O是Rt△ABC最长边 点A,点B.如图(1)，以AB为直径作⊙O,再过A,B AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆 两点作⊙O'(O与O不重合)，连接O'A,O'B. 盖圆 在△OAB中，有OA+O'B>AB(▲). [拓展应用]矩形的最小覆盖圆， .O'A=O'B, 如图(3)，在矩形ABCD中，AB=1cm,BC= ∴.2O'A>AB,即⊙O'的直径大于⊙O的直径.2cm. 24 第二十九章 (1)用圆规和无刻度的直尺在图(3)中作矩形 与圆的基本性质有关的计算和 分上分点2 ABCD的最小覆盖圆； 证明 (不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑 例2 如图所示，四边形 色字迹的签字笔描黑) ABCD是半径为R的⊙O的内 (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 接四边形，AB是⊙O的直径， cm. ∠ABD=45°，直线L与三条线 段CD,CA,DA的延长线分别交 0 于点E,F,G,且满足∠CFE=45° (1)求证：直线l⊥直线CE (1) (2) (3) (2)若AB=DG. 名师启发[探究一]根据三角形的三边关系可 ①求证：△ABC≌△GDE; 得答案。 ②若R=1,CE-号，求四边形ABCD的周长。 [探究二]利用直角三角形斜边上的中线的性质 名师启发(1)根据同弧所对的圆周角相等及三 证明OC=OA=OB即可得到答案. 角形内角和定理即可得到直线L⊥直线CE. [拓展应用](1)连接AC,BD,交于点O,以O为 (2)①根据圆内接四边形对角互补，邻补角的定 圆心，OA为半径作圆即可；(2)结合矩形性质与勾股 义，直径所对的圆周角是直角即可证明. 定理计算即可 ②由①可以得出BC=DE,于是有BC十CD= DE+CD=CE,再根据⊙O的半径求出直径AB的 长，再证△ABD为等腰直角三角形，从而求出AD的 长，即可求出四边形ABCD的周长. 妙归纳总结 归纳总结 正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在 本题是圆的相关概念的综合题，考查的是三角 同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的孤相等， 形的三边关系、直角三角形斜边上的中线的性质、 ③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余 勾股定理的应用、矩形的性质，熟练地作图是解本 二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即圆绕其圆 题的关键。 心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合 25 实验班提优训练数学九年级上MJY 分上分点3与孤长、扇形有关的计算 (3)利用分类讨论的思想分两种情况画出图形， 例3(2025·河北中考)如图(1)，图(2)，正方形 利用弧长公式解答即可 ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心O在对 角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2,点E,F 分别在边AD,CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF 的弧交线段OB于点M,记为EMF. (1)如图(1)，当AE=3时，求∠EMF的度数； (2)如图(2)，当四边形OEMF为菱形时，求DE 的长； (3)当∠EOF=150时，求EMF的长. (1) (2) 名师启发(1)利用正方形的性质得到AD= BC=5,∠ADC=90°，利用已知条件得到DE= DF=OE=OF=2,再利用正方形的判定得到四边形 型归纳总结 OEDF为正方形，最后利用圆周角定理解答即可； 本题综合考查圆的有关性质、圆周角定理、正 (2)连接EF,交BD于点H,利用菱形的性质得 方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、 到OE=EM=OF=MF=2,EH⊥MD,利用直角三 直角三角形的性质、勾股定理、孤长公式，以及分类 角形的边角关系定理和等腰直角三角形的判定与性 讨论的思想方法 质解答即可； 易错易混辨析 ∴.∠ANB=120°. 易错点1 错误理解圆的有关概念和性质 造成漏解 故这条弦所对的圆周角的度数为60或120°. 例一个圆的半径为2，弦长AB是23，则 答案60°或120° 这条弦所对的圆周角的度数为 解析如图，连接OA,OB,过 一条非直径的弦所对的圆周角的度数有2个， 点O作OD⊥AB于点D. 一个是锐角，一个是钝角.一般地，对没有给出图形 0 .OA=2,AB=2√3， 的问题，应先根据题意画出图形，并注意是否有多 种情况. .AD=BD=√3， 在Rt△ADO中， OD=VOA2-AD2=1, 心饥固特训 ∴∠OAD=30°， 1.已知在半径为3的⊙0中，弦AB=3√2，弦AC= ∴.∠AOD=60°， 3,则∠BAC的度数为 .∠AOB=120°， 2.已知点P到⊙O上各点的距离的最小值是2，最 ∴.∠AMB=60°， 大值是9，则⊙O的半径等于 26 第二十九章 )易错点2忽视两弦与圆心的相对位置 例2(2026·天津和平区益中学校期末)如图，一下 水管道横截面为圆形，直径为260cm,下雨前水面宽 B 为100cm,一场大雨过后，水面宽为240cm,则水位 解析如图，连接CE,过点C作CF垂直于AB 上升 cm. 交AB于点F 解析如图，作半径OD⊥AB于点C,连接OB, A" ,∠CAB=60°，AC=CE， B" ∴△ACE是等边三角形， .∠ACE=60°，AE=AC=3, A D E B ∴.∠ACF=30, 由垂径定理，得BC=2AB=50(cm). C℉-3③ 2 ,∠ACB=90°， 在Rt△OBC中，OC=√1302-502=120(cm), ∴∠B=30°， 当水位上升到圆心以下，且水面宽240cm时， .BC=3√3，∠DCE=90°-∠ACE=90° 则OC'=√1302-1202=50(cm), 60°=30°， 此时水面上升的高度为120-50=70(cm); ·S阴影=S扇形CAD十SR△ABC一2(S△ACE十 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为 S角50m) 90 1 120+50=170(cm). 30x×32+7×33×3-2×(2×3× 综上可得，水面上升的高度为170cm或70cm. 3√3 30 9π， 9√3933π3π 2 360xX3）- 2 2 24 答案170或70 辨析伯纳-- 答案 3π 4 求两条弦间的距离时，要分类讨论两条弦与圆 辨析归纳 心的相对位置，即两弦在圆心的同侧，两弦在圆心 计算不规则图形的面积的方法：①和差法； 的异侧. ②割补法；③等积法，要注意不重复、不遗漏地进行 计算. 饥固特 3.(2025·吉林四平郭家店一中月考)已知⊙0的直径为 巩固特训 20cm,AB,CD是⊙O的两条弦，AB/∥CD,AB= 4.(2026·广东江门台山期末)如图，在Rt△ABC中， 16cm,CD=12cm,则AB与CD之间的距离为 ∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=4.将△BAC绕 cm. 点B按顺时针方向旋转 )易错点3计算图形的面积时出现重复或漏算 至△BEF,点E恰好在 射线CB上，则边AC扫 例3(2026·广东汕头潮阳区期末)如图，在Rt△ABC 过的阴影面积为( 中，∠ACB=90°，AC=3,∠CAB=60°，以点C为圆 A.3π B.4π (第4题) 心，AC的长为半径作弧，分别交边BC,AB于点D, D. 13 E,则阴影部分的面积为 27 实验班提优训练数学九年级上MJY 素养考向提分 传统文化 的圆周角，AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接CD, 例)(2026·青海海西格尔木 BD.已知BD=3,∠BAD=30°，则∠BDC的度数为 °，点D到直线AC的距离为 期末)近年来传统服饰马面裙受到 [类比迁移] 大众的喜爱，如图所示的马面裙可 (2)如图(2)，∠BAC是⊙O的圆周角，AD平分 以近似的看作扇环，其中AB的长 ∠BAC交⊙O于点D,过点D作DM⊥AB,垂足为 度为号x米，裙长AD为1米，圆心角∠c0D=60, M,探索线段AB,AC,AM之间的数量关系，并说明 求CD的长.（结果保留π） 理由； 解析由弧长公式求出OA的长，从而得到OD [问题解决] 的长，再由弧长公式即可求出弧CD的长， (3)如图(3)，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形，∠BAD=90°，AC平分∠BAD,AB=5,AD+ 苦案：AB的长度为号x米，∠C0D=60, AC=15,求线段AC的长 :60rX0A5 180 01米， 6 0D=0A-AD-8-1 2(米)， 3 (1) 2 (3) ..CD-- 60rX2_元（米） 180 解答(1)120 3v3 2 提示：AD平分∠BAC, 点拨 ∴∠CAD=∠BAD=30°， 本题以传统服饰马面裙为背景考查孤长 ∴.∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°， 的计算，关键是灵活运用孤长公式. ∴.∠BDC=180°-∠BAC=120°， 举反目 .∠BDC的度数为120°. 如图(I),过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC 1.(2026·广西南宁二中期中)日晷 交AC的延长线于点F,则DF=DE 仪也称日晷，是我国古代较为 酉B 寅 AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. 普遍使用的计时仪器，外圈被 ∠BAD=30°，BD=3,.AB=2BD=6, 分为十二个全等的图形，分别 标示着“十二地支”，如图所 午已 .AD=√AB2-BD2=√62-32=3√3， (第1题) 示.通过测量得到晷面内圈的 ∴.S△ABD= 2X6DE= 2X3X33, 半径OA为24cm.若晷针投影的长度不变，且都 在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“已”时 2,DF=33 DE=3 ,点D到直线AC 开始到“申”时结束（从OA旋转到OB)划过的图 形面积（图中阴影部分）是( ). 的距腐为35。 A.16πcm B.192x cm2 C.384πcm2 D.400πcm2 新考法 例2[特例感知] (1)如图(1)，AB是⊙O的直径，∠BAC是⊙O (1) (2) 28 第二十九章 (2)AB+AC=2AM.理由如下： 如图(2)，连接BD,CD,过点D作DN⊥AC交 本题重点考查圆内接四边形的对角互补、 AC的延长线于点N. 直径所对的圆周角等于90°、角平分线的性质、 ,AD平分∠BAC,∴.DN=DM. 全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角 :∠DCN+∠ACD=180°，∠B+∠ACD= 所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、一元 180°，∴.∠DCN=∠B. 二次方程的解法等知识与方法，正确地作出所 ∠N=∠DMB=90°， 需要的辅助线是解题的关键， ∴.△DCN≌△DBM(AAS), ∴.CN=BM. 锋反白 .∠N=∠AMD=90°，AD=AD,DN=DM, 2.已知A,B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为 ∴.Rt△ADN≌Rt△ADM(HL), AB所对的圆周角. ∴.AN=AM, ..AB+AC=AM+BM+AC=AM+CN+ AC=AM+AN=2AM. (3)如图(3)，过点C作CG⊥AD 于点G,CH⊥AB交AB的延长线于 0 (1) (2) (3) 点H. (第2题) .AC平分∠BAD, [知识回顾] ..CG-CH. (3) (1)如图(1)，⊙O中，B,C位于直线AO异侧， ,∠D+∠ABC=180°， ∠AOB+∠C=135°. ∠CBH+∠ABC=180°， ①求∠C的度数； ∴∠D=∠CBH ②若⊙O的半径为5，AC=8,求BC的长. [逆向思考] ,∠CGD=∠H=90°， (2)如图(2)，若P为圆内一点，且∠APB<120°， ∴.△CGD≌△CHB(AAS), PA=PB,∠APB=2∠C.求证：P为该圆的 .DG=BH.设DG=BH=x. 圆心. ,∠BAD=∠AGC=∠H=90°， [拓展应用] ∴.四边形AGCH是矩形 (3)如图(3)，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点 ,CG=CH,.四边形AGCH是正方形， C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动. ∴.AG=AH=CG. 点D在⊙P上，满足CD=√2CB一CA的所有点 .AB=5,AD+AC=15, D中，必有一个点的位置始终不变.请证明. ..CG=AG=AH=5+x,AD=AG+x= AH+x=5+2x, ∴.AC=15-AD=15-(5+2x)=10-2x. ,在Rt△AGC中，AG2+CG2=AC2, ∴.(5+x)2+(5+x)2=(10-2x)2, 解得x1=15-10√2，x2=15+10√2（不符合题 意，舍去)， ∴.AC=10-2×(15-10W2)=20√2-20， ∴.线段AC的长为20W2-20. 29