第28章 旋转 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

第二十八章 旋转 知识梳理导图 把一个图形绕着某一，点旋转180°， 把一个平面图形绕着平面 如果旋转后的图形能与另一个图形 内某一点0转动一个角度， 叫作图形的旋转 概念 重合，那么就说这两个图形关于这 中心 定义个点对称或中点对称 特 对称 对称点所连线段都经过对称中心， 而且被对称中心所平分 性质 旋转前、后的图形全等 旋 的 中心对称的两个图形是全等图形 把一个图形绕着某一个，点旋转180°，如果 对应点到旋转中心的距离相等 转 中心对旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 对应点与旋转中心所连 性质 称图形。么这个图形叫作中心对称图形 线段所成的角相等，都 关于原点对称 等于旋转角 的点的坐标 横、纵坐标互为相反数 重难疑点解法 分上分点个旋转的概念及性质的应用 名师启发 探究：利用SAS证明△ABD≌ 例①(2026·四川广元苍溪期末)感知：如图(1)， △ACE,得BD=CE; 应用：①同理可得△ABD≌△ACE(SAS),得 △ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC= ∠ABD=∠ACE=45°； ∠DAE=90°，点B在线段AD上，点C在线段AE ②由△ACE≌△ABD,得∠ACE=∠ABD= 上，我们很容易得到BD=CE,不需证明， 45°，则∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，再利用勾股 探究：如图(2)，将△ADE绕点A逆时针旋转α 定理可得答案. (0°<a<90),连接BD和CE,此时BD=CE是否依 然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明 理由. 应用：如图(3)，当△ADE绕点A逆时针旋转， 使得点D落在BC的延长线上，连接CE.求： ①∠ACE的度数； ②若AB=AC=2√2，CD=2,则线段DE的长 是多少？ (1) (2) (3) 19 实验班提优训练数学九年级上MJY 少归纳总结 Y 本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性 质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与 性质，勾股定理等知识，证明△ACE≌△ABD是 解题的关键。 0 分上分点2轴对称和中心对称图形的识别 例2(2025·徐州中考)传统纹样作为中华传统 文化的一部分，具有深厚的底蕴.徐州出土汉代玉器 名师启发(1)根据中心对称的性质找到A,B, 的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 C的对应点A1,B1,C1,顺次连接即可，再依据平面直 ( 角坐标系写出点A1,B1,C1的坐标，即可求解；(2)根 据旋转的性质画出△A2B2C2 B C 名师启发根据轴对称图形和中心对称图形的 定义进行判断即可. 个关键提醒 本题考查轴对称图形和中心对称图形，明确中 心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键. 分上分点3平面直角坐标系内的旋转作图 例3(2026·泸州一模)如图，网格中每一个小正 方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点A,B,C 均在格点上. (1)若△ABC和△A1B,C1关于原点成中心对 称，请直接写出顶点A1,B1,C1的坐标. 扩方法技巧 本题考查画中心对称图形与旋转图形，关键是 (2)将△ABC以点A为中心，顺时针旋转90°，请 根据旋转的性质画出图形进行解答， 作出旋转后的图形△A2B,C2. 易错易混辨析 )易错点1 不能正确描述旋转变换或确定： 所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一 旋转要素 一指出。 例①如图是两个等边三角形拼成的四边形. (1)这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心 对称图形？若是，指出对称中心 (2)若△ACD旋转后能与△ABC重合，则图形 20 第二十八章 解答(1)这个图形是旋转对称图形，是中心对 的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是 称图形，对称中心为AC的中点， 中心对称图形的情况有( (2)3个，旋转中心可以为点A、点C、AC的 中点. 辨析归纳------------ 一个图形的旋转中心可能不止一个，若观察不 :细致、分析不到位易造成错误.本题(2)中图形的旋 转中心就不止一个 A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 巩固特训 解析根据中心对称图形的定义，可涂黑的小正 1.如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形 方形的位置分别为第1行的第1个，第3个，第3行 CDEF重合，那么图形所在的平面上可以作为旋 的第3个，共3种. 转中心的点共有( 答案C D 寐析归纳 本题考查中心对称图形的识别，只要保证组成 的新图案是中心对称图形即可.中心对称图形是绕 着它的对称中心旋转180°后能与原来的图形重合 (第1题) 的图形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 对中心对称图形识别不清楚导 巩固特 )易错点2 致错误 2.(2026·广东广州番禺区期末)下列数学符号是中心对 例2(2025·江西南昌三中期末)如图所示，在3× 称图形的是(). 3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余 A.2 B.XC.≥ D.士 素养考向提分 新情境 案，并说明方案的合理性。 例为培养学生正确的劳动价值观和良好的 劳动品质.某校决定在一块长16m,宽12m的矩形 荒地ABCD上建造一个花园，要求花园所占面积为 荒地ABCD面积的一半.小明的设计方案如图(1)所 (1) (2) 示，其中阴影部分表示花园， (要求：在图(2)中画出示意图，将花园涂成阴影， (1)请你帮小明求出图中x的值； 并在图上标出必要的字母和数据) (2)小明的方案具有如下3个特征： 解析(1)根据矩形的面积公式列方程即可得到 ①花园既是轴对称图形又是中心对称图形； 结论； ②花园的边沿与矩形荒地ABCD的四边都有公 (2)根据轴对称图形和中心对称图形的定义、矩 共部分； 形的性质和菱形的判定和性质即可得到结论 ③点A,B,C,D都在花园外部 请你设计一种具有以上特征且不同于小明的方 答景（0D根据题意，得(16-x(12-x)-之× 21 实验班提优训练数学九年级上MJY 16×12, 传统文化 解得x=4或x=24(不合题意，舍去)， 例2(2025·黑龙江中考)我国古代有很多关于 故x的值为4. 数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图 (2)依次连接各边的中点得如图所示的设计方案 形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( (答案不唯一). 16m 12m A B 0 解析根据轴对称图形与中心对称图形的定义 E,F,G,H是矩形各边的中点， 解答即可.A.原图形是轴对称图形，不是中心对称图 AB=DG-=3CD,∠A= 1 ∴AH=DH,AE= 形，不符合题意；B.原图形既是中心对称图形，又是 轴对称图形，符合题意；C.原图形是中心对称图形， ∠D=90°，∴.△AEH≌△DGH(SAS), 不是轴对称图形，不符合题意；D.原图形既不是轴对 ∴.HE=HG 称图形，也不是中心对称图形，不符合题意. 同理EF=GF=EH=GH, 答案B ∴.四边形EFGH是菱形， 四边形EPGH的面积=号AB·AD=矩形 拔判断轴对称图形的关健是寻找对称 形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对 ABCD面积的一半. 称图形的关键是要寻找对称中心，图形绕对称 的点拨 中心旋转180°后与自身重合 本题考查了利用旋转设计图案、矩形的性 质、菱形的判定和性质，正确地设计出图形是解 举反白 题的关键， 2.(2025·扬州中考)窗棂是中国传统木构建筑的重要 举命反日 元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美.下 1.九年级数学组举行了学科创意设计大赛，九(1)班 列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图 的数学课代表在几何画板上设计图案.他在平面 形的是( 直角坐标系中设计了一个图案，并把该图案上一 点A绕点P逆时针方向旋转一定角度，此时，点 A(0,4)的对应点是点B(4,0),同时发现把点B 逆时针旋转相同的角度后，点B的对应点为点 C(4+4V2,0). (1)请用尺规作图，找出旋转中心P的位置， (2)请直接写出该旋转中心P的坐标： C D 3.(2025·自贡中考)起源于中国的围棋深受青少年喜 爱.以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图 形的是( B C x (第1题) 22 第二十八章 新考法 ∴.BD=AE,BE=AF,.AE=AB十BE=AB十 例3如图(1)，已知△ABC是等边三角形，点 AF,∴.BD=AB+AF,即AB=BD-AF. E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC,将 点拨 灵活掌握旋转的性质，即对应，点到旋转中 △BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF,连接EF. 心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的 (1)求证：AB=BD+AF. 夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题 (2)如图(2)，如果点E在线段AB的延长线上， 的关键， 其他条件不变，线段AB,BD,AF之间又有怎样的数 量关系？请说明理由. 举反白 4. 如图，在等边三角形ABC中，AB=5,点D为边 AB上一点，点E为边AC上一点，连接DE. (1)如图(1)，过点E作EF∥BC交AB于点F,延 长ED交CB的延长线于点G,若AE=BG=1,求 (1) (2) DB的长； 解答(1)，△ABC是等边三角形，.∠ABC= (2)如图(2)，将DE绕点D逆时针旋转60°得到 ∠BAC=∠ACB=60°.，△BCE绕点C顺时针旋转 DH,连接AH,请猜想CE,AH,BD的数量关系 60°至△ACF,∴.AF=BE,∠CAF=∠CBE=60°， 并证明。 CE=CF,∠ECF=60°，∴.△CEF为等边三角形， ∴.EF=EC,∠CEF=60°.，∠AEC=∠EBC十 ∠ECB,即∠AEF+∠CEF=∠EBC+∠ECB, D ∴∠AEF=∠ECB..ED=EC,.∠D=∠ECB, ED=EF,∴.∠D=∠AEF.,∠EBD=180° (1) (2) ∠EBC=120°，∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°+ (第4题) 60°=120°，.∠DBE=∠EAF.在△BDE和△AEF I∠DBE=∠EAF, 视频学重难 中，∠D=∠AEF,.△BDE≌△AEF(AAS), ED-FE, ∴.BD=AE,BE=AF,∴AB=AE+EB=BD+AF. (2)AB=BD一AF.理由如下：，∠ABC=60°， ∴.∠CBE=120°.，△BCE绕点C顺时针旋转60°至 △ACF,∴.AF=BE,∠CAF=∠CBE=120°，CE= CF,∠ECF=60°，.△CEF为等边三角形，.EF= EC,∠CEF=60°.'∠ABC=∠BEC+∠ECB, ∴.∠ECB=6O°-∠BEC.,∠AEF=∠CEF-∠AEC 60°-∠AEC,∴∠AEF=∠ECB.,ED=EC,∴.∠D= ∠ECB,ED=EF,.∠D=∠AEF.,∠EBD= ∠ABC=60°，∠EAF=∠CAF-∠CAB=120° 60°=60°，.∠DBE=∠EAF.在△BDE和△AEF I∠DBE=∠EAF, 中，∠D=∠AEF,∴.△BDE≌△AEF(AAS), ED=FE, 23者之间的关系式为1是，1与R成反比例丽数关 系，但R不能小于0，所以选项A不可能，选项B 可能； 当R一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的 关系式为U=R,I和U成正比例函数关系，所以 选项C,D均有可能.故选A. 5.A[解析].开机加热时水温每分钟上升10℃， .水温从30℃加热到100℃，所需时间为 100-30-7(mim),故A选项符合题意； 10 由题可得，(7,100)在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为y=元， 代入点(7,100)，得=700， 水温下降过程中，y与x的函数解析式是y= 700,故D选项不符合题意： 700 当y=100时，则100= ,解得x=7, x 当y=30时，则30=700， 静得一 即水温从100℃降至30℃， 所需时间为9-7-号6mm。 49 故C选项不符合题意； 令y=30,则30=700， ,解得=70 ∴水温不低于30℃的时间为mi, 故B选项不符合题意.故选A. 举反目 1.()设当1≤x≤4时，y与x的函数解析武为y三名， 把点1,180)代入，得180-年， .k=180, 当1区x≤4时y与x的函数解析式为y=180, 180=45. ∴.当x=4时，y= ，42 故当1<x≤4时，y与x的函数解析式为y=180, 该种水果4月份的销售额为45万元. (2)设当x>4时，y与x的函数解析式为y= kx+b, 把点(4,45)和(5,60)代入， 4k1+b=45, 得 5k1+b=60, .k1=15, b=-15, ∴.当x>4时，y与x的函数解析式为y=15x一15. 当1≤c≤4时，令y=90,则90=180，解得x=2, ∴.2月、3月和4月的销售额不超过90万元； 当x>4时，令y=90,则90=15x-15,解得x=7, ∴.5月、6月和7月的销售额不超过90万元， ∴.该村水果有6个月的月销售额不超过90万元. 归纳总结本题考查反比例函数的应用、一次函 数的应用，利用数形结合的思想是解答本题的 关键， 2.(1设P与S的函数解析式为户-号(P为常数，且 F≠0)， F 将S=3,p=50000代入p= F 得3=50000，解得F=150000, ∴·力与S的函数解析式为p= 150000 S (2)根据题意，得150000 ≤40000， 解得S≥4， 15 :“施工过程中受力面积应不小于。 第二十八章旋转 例探究：成立.证明如下： △ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ..AB=AC,AD=AE. .将△ADE绕点A逆时针旋转a, ∴∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ..BD=CE 应用：①，AB=AC,∠BAD=CAE,AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ∴.∠ABD=∠ACE ,△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=45°， ∴.∠ACE=45. ②'AB=AC=2√2， ∴.BC=√AB2+AC2=4. .∠ACE=∠ABD=45°， ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， ,△ABD≌△ACE, ∴BD=CE, ..BC+CD=BD=CE=4=2-6, ∴.DE=√CE2+CDz=√62+2=2√10. 例2B 例3(1)作出与△ABC关于原点成中心对称的 △A1B1C1,如图(1)所示. B (1) A1(0,-1),B1(-3,-3),C1(-1,-3). (2)作出△ABC以点A为中心，顺时针旋转90°后的 图形△A2B2C2,如图(2)所示 0 (2) 巩固特训 1.C2.B 释反白 1.(1)如图，点P即为所求 (第1题) (2)(4十2√2,4十2√2)[解析]如图，PE垂直平 分线段BC,E是垂足 A(0,4),B(4,0),C(4+4√2,0)， .OA=OB=4,E(4+2√2,0)， .AB的垂直平分线经过点O, ∴.∠POE=∠OPE=45°， ∴.OE=PE=4+2√2， .P(4+2W2,4+2W2). 旧纳拓展一个基本图案可以通过平移、旋转和 轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图 案.利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个 要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）， 通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心 向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的 图案 2.C3.C 4.(1)△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=∠C=60°. .EF //BC, ∴.∠FED=∠G,∠AFE=∠ABC=60°， ∠AEF=∠C=60°， .△AEF是等边三角形， .'.AE=EF=AF. .AE=BG=1, ∴.EF=GB=1. 43 又∠EDF=∠GDB, ∴.△EFD≌△GBD, .'.DF=DB. .AB=5, ∴.BF=AB-AF=4, BD-号BF-2. (2)CE=AH+BD.证明如下： 过点E作EMBC,交AB于点M, 由(1)可知△AME是等边三角形， ∴.AE=ME,∠AEM=60°. 由旋转可知，DE=DH,∠HDE=60°， ∴△DEH是等边三角形， ∴.HE=DE,∠HED=60°， '.∠AEH+∠HEM=∠HEM+∠DEM=6O°， ∴.∠DEM=∠AEH, ∴.△AEH≌△MED, ∴.AH=MD, .'.BM=BD+AH. .'AM=AE,AB=AC, ∴.BM=CE, ..CE=AH+BD 第二十九章圆 例①[探究一]三角形的任意两边之和大于第三边 [探究二].∠ACB=90°，O为AB的中点， .OC=OA=OB,.点C在⊙O上. [拓展应用](1)如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆 盖圆 (2)5[解析]：四边形ABCD是矩形，且AB= 1 cm,BC=2 cm, ∴.∠ABC=90°， ∴.BD=AC=√12+22=√5(cm). 例2(1)：在⊙0中，AD=AD, ∠ACD=∠ABD=45°， 即∠FCE=45°. ，44 .∠CFE=45°， ∴.∠CEF=180°-∠CFE-∠FCE=180°-45° 45°=90°， 即直线l⊥直线CE. (2)①.四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°. ∠GDE+∠ADC=180°， ∴.∠ABC=∠GDE. ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° 由(1)知∠CEF=90°， 即∠GED=90°， ∴.∠ACB=∠GED. 在△ABC和△GDE中， ∠ACB=∠GED, ∠ABC=∠GDE, AB=GD, ∴.△ABC≌△GDE(AAS). ②由①，得△ABC≌△GDE, ..BC=DE, BC+CD=DE+CD=CE=多， R=1,AB=2R=2. AB为⊙O的直径， ∠ADB=90° ∠ABD=45°， ∠BAD=45°， ∴.AD=BD 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2+BD2=AB2, 即2AD2=AB2=22=4,.AD=√2， ∴.四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD= 2++-名+ 例3(1).四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴.AD=BC=5,∠ADC=90°. .AE=3,.DE=2, ∴.DE=DF=2. .OE=OF=2,