第25章 一元二次方程 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（人教版·新教材）

第二十五章 一元二次方程 知识梳理导图 等号两边都是整式，只含有一个 未知数，并且未知数的最高次数 4>0←→ 方程有两个不 是2的方程，叫作一元二次方程 。概念 等的实数根 a.x2十bx十c=0(a≠0).一般形式 根的判别式： 使一元二次方程左右两边相等 4=0<→方程有两个相 解的 次 4=b2-4ac 等的实数根 的未知数的值 概念 方程 根的判别式 形如x2=巾(p≥0) 及根与系数 4<0←→方程无实数根 或(x十n)=p(p≥0) 的关系 的一元二次方程，可 直接开 根与系数的关系： 用直接开平方法求解 平方法 ax2+bx十c=0(a≠0)， 元二 x1十x2= =8 6 则+名) b2-4ac 次方程 4a2 配方法 列一元二次方程解应 x=-b±√B2-4ac 用题的一般步骤： 2a 一元 (1)审；(2)设； (b2-4ac≥0) 公式法 次方程 (3)列；(4)解； 的解法 元二次方 代数问题、 几何问题 (5)验；(6)答 (x+a)(x+b)=0, 程的应用 则x1=一a,x2=一b 因式分解法 重难疑点解法 分上分点个巧用一元二次方程的根求值 个关键提醒 本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求 例①(2026·北京大兴区期末)已知m是方程 代数式进行变换求解是解题的关键. x2-x-5=0的一个根，求代数式m-2m+1。 m 分上分点2一元二次方程的解法技巧与运用 m2的值 m-1 例2(2025·青海西宁七中期中)[阅读材料]方程 名师启发先化简代数式，再利用方程根的意义 (x2-1)2一5(x2-1)+4=0是一个一元四次方程， 得到关于m的代数式的值，最后利用整体代入法，即 我们可以把x2一1看成一个整体，设x2-1=y,则原 可求出化简后的代数式的值。 方程可化为y2-5y十4=0.① 解方程①可得y1=1,y2=4, 当y=1时，x2-1=1,∴x2=2,.x=土√2： 当y=4时，x2-1=4,∴.x2=5,.x=土√5， .原方程的解为x1=√2，x2=一√2，x3=√5， x4=-√5】 [解决问题](1)在由原方程得到方程①的过程 1 实验班提优训练数学九年级上MJY 中，是利用换元法达到 的目的（填“降次”或：数的关系可得x1十x2=3,即可得出结论. “消元”)，体现了数学的转化思想 (2)请仿照材料的方法，解下列方程： ①x4-x2-6=0; ②(x2-x)2-4(x2-x)-12=0. 名师启发(1)化4次为2次，达到降次的目的； (2)①设x2=a,则原方程可化为a2-a一6=0，然后 利用因式分解法解该方程，进而求得α的值，再利用 型归纳总线 直接开平方法求得x的值；②设x2一x=y,则原方 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二 程可化为y2一4y一12=0，然后利用因式分解法解该 次方程的根、根与系数的关系，代数式求值，解题的 方程，进而求得y的值，再求得x的值. 关键是熟练运用这些知识。 上分点4应用 一元二次方程在日常生活中的 例4(2025·深圳一模)第九届亚洲冬季运动会 于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售， 就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进 某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售.经统 计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月 份的销售量为400件.从2025年1月份起，商场决定 采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉 祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降 型归纳总结 了x元，请完成下列问题： 本题主要考查换元法和因式分解法解一元二 (1)降价x元后的月销售量为 件.（用含 次方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元， x的式子表示) 理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问 (2)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达 题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准 8400元？ 型问题标准化、复杂问题简单化， 名师启发(1)设降价x元，则降价x元后的月 销售量为(400+20x)件.(2)设降价x元，则每件的 利润为(68-45-x)元，月销售量为(400+20x)件， 公上分点3 一元二次方程根与判别式及系 数的应用 根据月销售利润为8400元列方程求解即可， 例3(2026·河南平顶山鲁山期末)已知关于x的 方程(x-1)(x-2)-p2=0. (1)求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的 实数根； (2)若p=1,设方程的两个实数根分别为x1, x2,求x1一2x1十x2的值. 关肆提醒 名师启发(1)先把方程(x一1)(x一2)一p2= 本题考查一元二次方程的应用，找出题中的等 0化为x2-3x十2-p2=0,再根据△的取值即可得 量关系是解本题的关键 出结论；(2)由根的定义可得x一3x1的值，由根与系 2 第二十五章 易错易混辨析 )易错点1 忽略一元二次方程的二次项系 辨析归纳 数不能为零 本题易错点为对直接开平方法没有真正理解. 例1已知关于x的-元二次方程(a-1)x2+ x+a2-1=0. 巩固特训 (1)分别写出它的二次项系数，一次项系数和常 2.(2026·黑龙江齐齐哈尔铁锋区期末)解方程： 数项； (2x-1)2=(4-x)2. (2)若它的一个根为0，求a的值， 解答(1)二次项系数为a一1，一次项系数为1， 常数项为a2一1， (2)把x=0代入，得a2-1=0,解得a=士1. 当a=1时，a一1=0，此时方程不是一元二次方 程，.a=-1. 辨析归纳 一元二次方程的一般形式为ax2十bx十c=0, !其中二次项系数a≠0.当一元二次方程的二次项 )易错点3 利用根与系数的关系时，忽略 系数是含有字母的代数式时，一定要注意该代数式 方程是否有实数根 !不能等于0. 例3已知关于x的一元二次方程x2一2kx十 2+=0有两个实数根x1,x2,若x1十x?十 视固特 3x1x2=6,求k的值. 1.(2026·陕西咸阳秦都区金山学校期中)已知关于x的 解答，关于x的一元二次方程x2一2kx十 一元二次方程(m-1)x2-2mx十m十4=0有实 2+=0有两个实数根， 数根.若m是符合条件的最大整数，求m的值. ∴.△=(-2k)2-4×1X(k2+k)≥0，獬得≤0. ,x1,x2为一元二次方程x2一2kx十2十k=0 的两个实数根， .x1十x2=2k,x1x2=k2十k. x7+x2十3x1x2=6,.(x1+x2)2+x1x2=6, ·(2k)2+(2+)=6,解得=1或=-6 k≤0，∴k=- 5 舞析归纳 一元二次方程有两个实数根的前提是二次项 )易错点2解方程时方法不当而失根 系数非零，且根的判别式△≥0. 例2解方程：(x十3)2=(2-2x). 解答两边开方，得x十3=士(2一2x),即x十 巩固特训 3=2-2x或x+3=-(2-2x),解得x1=- 3.(2026·上海金山区期末改编)已知x1,x2是关于x的 3, 一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个 x2=5. 实数根. 3 实验班提优训练数学九年级上MJY (1)求m的取值范围； 当x=3时，30-2x=24>18,舍去； (2)若(x1一1)(x2一1)=28，求m的值. 当x=12时，30-2x=6<18,符合题意。 故x的值是12. 辨析伯纳 求出苗圃园垂直于墙的一边长时，一定要注意 苗圃园与墙平行的一边长是否符合实际意义， 巩固特训 4.(2026·上海浦东新区建平中学期末)如图是一排形状 相同、大小相等的3个长方形猪圈，总面积为20平 )易错点4忽略实际问题中量的实际意义 方米，一面靠墙（墙长a米），其他各边用总长为 例④某中学课外兴趣 18米 24米的木栅栏围成， 活动小组准备围建一个矩形 (1)若a=24,则AB和BC各为多少米？ 苗圃园 苗圃园，其中一边靠墙，另外 (2)若a=8,则AB和BC各为多少米？ 三边由长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如 D 图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.若 苗圃园的面积为72平方米，求x的值 (第4题) 解答由题意，得苗圃园与墙平行的一边的长为 (30-2x)米，则x(30-2x)=72, 即x2-15x+36=0, 解得x1=3,x2=12. 素养考向提分 新情境 续表 例)(2026·福建泉州晋江学校期末)项目式学习 (1)当涨价x元时，每个盲盒的利润为 分析问题 元，此时平均每天可卖出盲盒 项目主题 如何销售获利最大？ 个 2025年某款玩偶凭借其萌态与搞怪、叛逆 (2)若老板想每天获利2210元，在不违反 的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩 解决问题 商场规定的前提下应该如何定价？ 项目背景 偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制 (3)在不违反商场规定的前提下，是否能 更是让年轻人狂热不已.某商场店铺老板 深入研究 每日获利2300元？请说明理由. 瞄准商机，准备购买该盲盒进行销售】 该老板以40元/个的成本购进一批盲盒， 解答 (1)(20+x) x 100- 现按60元/个进行销售，平均每天可以卖 出100个，为了提高利润，经市场调研发 (2)根据题意，得(60+x-40)(100-5×)- 市场调研 现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个， 2210,解得x1=14,x2=6. 且商场规定该盲盒的价格不得高于70 因为每个盲盒的价格不能超过70元/个， 元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元. 所以x1=14不符合题意，舍去. 则盲盒定价为60十6=66（元/个）. 第二十五章 故老板想每天获利2210元，在不违反商场规定 p-√p2-4g 的前提下应该将盲盒定价为66元/个. ,请通过计算x1十x2及x1x2,探究 (3)不能.理由如下：根据题意，得(60十x一40)· 出它们与，9之间的关系. (100-5×受)）=2300，整理，得x2-20z+120=0, 解答(1)-32(2)3 -4 △=b2-4ac=(-20)2-4×120=-80<0,所以 （3)x1= -p十p=9，x4= 2 方程无解。 -p-√b2-4g 故在不违反商场规定的前提下，不能每日获利 2 2300元. 十，=p十D=g+二力=P=g=-p, 2 2 点拔 本题考查一元二次方程的应用，找准等量 x1x,=二p十/p=49.-力-p-4g 关系，正确列出一元二次方程是解答本题的 2 关键 即x1十x2=一力，x1x2=9. 举反白 6o点拔 本题考查了一元二次方程根与系数的关 1.(2026·云南昭通绥江期末)云南省城市足球联赛（滇 系，解答本题的关键是根据方程所给的两根求 超联赛)是云南历史上规模最大的省级足球赛事， 出两根之和与两根之积，然后得出一元二次方 于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主 程根与系数的关系， 体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组 织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球 ￥反白 队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场 2.(2026·黑龙江绥化十中期末)设一元二次方程ax2十 比赛，求云南共有多少个州（市）？ bx十c=0有两个根x1,x2,则方程可化为a(x x1)(x-x2)=0即ax2-a(x1+x2)x十ax1x2= 0,与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与 系数的关系为十=名，-忌 利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程 2x2一4kx+2k2+3k一3=0有两个实数根x1,x2. (1)直接写出实数k的取值范围 新考法 @是香存在实数，俊得等式十成议？ 例2阅读下列材料，并解决问题： 如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明 (1)已知方程x2+3x+2=0的两根分别为 理由. x1=-1,x2=一2，计算：x1十x2= x1·x2= ； (2)已知方程x2-3x一4=0的两根分别为x1= 4,x2=一1，计算：x1+x2= ,x1·x2= (3)已知关于x的方程x2+px十q=0有两根分 别记作x1,x2,且x1=p十p- 2 ,x2= 5答案6D详解 第二十五章一元二次方程 .p2≥0， 例0m-2m十1m-1 .△>0， m m2 ∴.无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根。 =m2-2m+1 .m9 (2)当力=1时，原方程可化为x2-3x十1=0. m m-1 -(m-1)2 ,x1,x2为该方程的两个实数根， m ^m-1 ∴.x-3x1=-1,x1十x2=3, =m(m-1) 则x1-2x1十x2=x1-3x1十x1十x2=一1十3=2. =m2-m. 例4(1)(400+20x) .m是方程x2-x一5=0的根， (2)设该款吉祥物降价x元， ∴.m2-m-5=0, 则每件的利润为68-45-x=(23-x)元， 即m2-m=5, 月销售量为(400+20x)件， ∴代数式m2-2m十1m-1 m 22 的值为5. 根据题意，得(23-x)(400+20x)=8400, 整理，得x2一3.x一40=0， 例2(1)降次 解得x1=8,x2=一5（不符合题意，舍去）. (2)①x4-x2-6=0, 故当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达 设x2=a,原方程可化为a2-a-6=0, 8400元. ∴.(a-3)(a+2)=0,解得a1=3,a2=-2. 当a=3时，x2=3,解得x1=√3，x2=一√3； 巩固特训 当a=一2时，x2=一2，此方程无解， 1.由条件可知m-1≠0，△=(-2m)2-4(m-1)· ∴.原方程的根为x1=√3，x2=一√3. (m+4)=-12m+16>≥0， ②(x2-x)2-4(x2-x)-12=0, 解得m≤号且m≠1. 设x2-x=y,原方程可化为y2-4y-12=0, ,m是符合条件的最大整数， ∴.(y-6)(y+2)=0,解得y1=6,y2=-2. ∴.m=0. 当y=6时，x2-x=6,即x2-x一6=0， 2.(2x-1)2=(4-x)2, .(x一3)(x十2)=0，解得x1=3,x2=-2; 化简，得2x-1=士(4-x), 当y=一2时，x2-x=-2, 则2x一1=4-x或2x-1=-(4-x), x2-x+-2+即(》°=7 5 解得x1=3x2=-3. .此方程无解， 一题3解(2x-1)2=(4一x)2, ∴.原方程的根为x1=3,x2=一2. 化简，得4x2-4x十1=16-8x十x2, 素养考向本题考查了换元的数学思想，学生应 整理，得3x2+4x-15=0, 具有运算能力、应用意识等素养，通过构造元或设 因式分解，得(x+3)(3x-5)=0, 元求解复杂问题 5 例3(1)(x-1)(x-2)-p2=0可化为x2-3x十 解得x1=-3,x23· 2-p2=0, 3.(1),一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0 则△=9-8十42=1十4p2. 有两个实数根， 35 ∴.△≥0，即[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0， 中，a=2,b=-4k,c=2k2+3k-3, 解得m≥2， ∴.△=(-4k)2-4X2X(2k2+3k-3) ∴.m的取值范围是m≥2. =16k2-16k2-24+24=-24k+24. (2),x1,x2是关于x的一元二次方程x2 ,该方程有两个实数根， 2(m十1)x十m2十5=0的两个实数根， ∴.△≥>0，即-24k+24≥0，解得k≤1. .x1+x2=2m+2,x1x2=m2+5. (2):1+1=x1+x2 (x1-1)(x2-1)=28, .x1x2-(x1十x2)+1=28, 又x1十x2= b=2k, ∴.m2+5-(2m+2)+1=28, c2k2+3k-3 解得m=6或m=一4. x1x2= a 2 由(1)知m≥2，∴.m的值为6. 2k 4.(1)设AB的长为x米，则BC的长为(24一4x)米， …2k+36-3 一2 依题意，得x(24一4x)=20, 2 整理，得x2-6x十5=0， 解得= 2或=3（不满足k≤1，舍去）. 解得x1=5,x2=1. 当x=5时，24-4x=24-4×5=4<24,符合 故的值为一宁· 题意； 第二十六章 二次函数 当x=1时，24-4x=24-4×1=20<24,符合 例IB [解析].抛物线的对称轴为直线x=1, 题意 故AB的长为5米，BC的长为4米或AB的长为 b .一2a =1,∴.b=-2a,.2a十b=0,故①正确； 1米，BC的长为20米 .抛物线y=ax2+bx十c的对称轴为直线x=1,与 (2)设AB的长为y米，则BC的长为(24-4y)米， x轴的一个交点在2,3之间， 依题意，得y(24一4y)=20, .与x轴的另一个交点在一1,0之间， 整理，得y2-6y+5=0, >关于对称轴对称的两个点到对称轴的距离相等 解得y1=5,y2=1, '.方程ax2+bx十c=0一定有一个根在-1和0之 当y=5时，24-4y=24-4×5=4<8,符合题意； 间，故②错误； 当y=1时，24-4y=24-4×1=20>8,不符合题 意，舍去 ~抛物线y=ar2+bx十c与直线y=有两个交点， 故AB的长为5米，BC的长为4米. 3 释反白 ∴方程ax2+br十c一2=0一定有两个不相等的实 1.设云南共有x个州（市）， 数根，故③正确； 根据题意列一元二次方程，得 抛物线与x轴的另一个交点在一1,0之间， .a-b+c<0. 2x(x-1)=120, ,抛物线与y轴交点的纵坐标是2， 整理，得x2-x-240=0, .c=2, 解得x1=16,x2=-15(不符合题意，舍去). ∴.a-b+2<0, 故云南共有16个州（市）. .b一a>2,故④错误. 2.(1)k≤1[解析]在2x2一4kx十2k2十3k-3=0综上，正确的结论为①③，共2个.故选B. 36