第25章 一元二次方程 易错强化训练&第25章 一元二次方程 章末复习-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

年=0，三式相加，得(a+6+e)P+(a+b+e)1++4= 4 0,即(a+6+e)(2++）=0.:++}=(+2)》 ≥0a+6+e=0或1=-分，当a+6+6=0时，即c= -a-b时，原式=c2-a2-&=（-a-b)2-a2-2 ab ab 02+2ab+-2-2=2:当1=-号时，分别代入三 ab ab 个方程可得a-2b+c=0,a+b-2c=0,联立两式解得a=b =c,此时C-g-6=02-4-4=1-1-1=-1 ab-6-a=a·aa-a 综上所述，代数式 2-4-b的值为2或-1. b-b-a 2.(1)解：x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0, 把x=2代入cx2+2x+1=0,得4c+4+1=0, 解得c=一子 (2)证明：一元二次方程ax2-2x+c=0无解， .4=(-2)2-4ac<0.ac>1, 一元二次方程ax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+a=0. △'=(-2)2-4ca=4-4ac, 而ac>1,∴△'<0，.它的倒方程也一定无解. (3)解：一元二次方程aax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+ a=0,而倒方程只有一个解， c=0,则-2x+a=0,解得x=2 把受代人am2-2:=0,得ax号-a0, 而a≠0，∴a=2或a=-2. 数学活动（二）神奇的线段分割 ra=b+c, (1)证明：由题意，得{1,1 1 L a 把a=b+e代入日+古=日得，+e+6=日 1 11 整理，得b2-bc-c2=0. 把上式看成关于6的一元二次方程，由求根公式，得6=1±5。 2 、因为6>0，c>0,所以取正根6=125c, 代人a6+6得al告5。+e3生5。 2c, 所以a:b:c=(3+5):(1+5):2, 所以这样的“完美分割”存在，三条线段的最简比为(3+√5)： (1+5):2. (2)解：如答图所示，点M,V即为所求. IN B 答图 参考答案及解析 第二十五章易错强化训练 1.A2.-23.B4.22-225.5或-7 6.解：(1)③配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半 的平方而在右边忘记加 (2)移项，得2x2+8x=18.两边同时除以2，得x2+4x=9. 配方，得x2+4x+4=9+4,即(x+2)2=13, .x+2=±√13，.x1=-2+√13，x2=-2-√13. 7.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)方程化成一般形式为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1,.b2-4ac=25+4=29, 322②与5-四 2,2=° 2 8.解：小敏：×，小霞：×. 正确的解答：移项，得3(x-3)-（x-3)2=0. 提取公因式，得(x-3)(3-x+3)=0, 则x-3=0或3-x+3=0,.x1=3,x2=6. 9.解：①当k=0时，原方程为-3x+2=1,解得x=3, .k=0符合题意； ②当k≠0时，此时原方程为一元二次方程. 化简，得kx2-3x+1=0, 54=(-32-4k≥0，解得k≤骨k≤是且60， 综上所述，k的取值范围是k≤ 4 第二十五章章未复习 【知识体系构建】 ①-②整式③2④-b±B2-4ac 2a 【常考题型训练】 1.D2.C3.-24.C5.B6.C7.12 8.解：(1)x2+4x+4=3+4,即(x+2)2=7, .x+2=±7，.x1=-2+7,x2=-2-万 (2)a=1,b=-22,c=-3, ∴.4=b2-4ac=(-22)2-4×1×(-3)=20>0, x=-b±B=4c_225=2±5， 2a 2×1 .1=2+5,x2=2-5. (3)(x+4)(x-4)-2(x+4)=0,(x+4)(x-4-2)=0, 即(x+4)(x-6)=0,.x+4=0或x-6=0, x1=-4,x2=6. 9.B10.C11.C 12.-4[解析]：a,B是方程x2-x+k-1=0的根，a2- a+k-1=0,即a2-a=-k+1,a+B=1,.a2-2a-B= a2-a-(a+B)=-k+1-1=-k=4,∴k=-4. 13.D 14.3[解析]在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3cm,AC= 5cm,.AB=√AC2-BC2=4cm.设运动时间为ts,则AP =方tcm,BQ=im,BP=(4-宁）m依题意，得 合p0=只即宁·(4)1=只理，得2 8t+15=0,解得t1=3,2=5.当t=3时，BQ=1×3= 3(cm),符合题意；当t=5时，BQ=1×5=5(cm),5>3,不 。7… 全程导练·九年级数学（上册） 符合题意，舍去，点P运动的时间是3s 15.解：(1)设该市改造老旧小区投人资金的年平均增长率 为x, 根据题意，得1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%, x2=-2.2(不符合题意，舍去)， 故该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%， (2)设该市在2026年可以改造y个老旧小区，由题意，得 80×(1+15%)y≤140×(1+20%)，解得y≤182贤 ·y为正整数，.最多可以改造18个老旧小区， 即该市在2026年最多可以改造18个老旧小区， 16.解：(1)(30-x)(20+1.5x) (2)根据题意，得(30-x)(20+1.5x)=700, 解得1=10，为=3 20 :10>9,为让市民得到实惠，x应取10. 答：每盆应降价10元 第二十六章二次函数 26.1 二次函数的概念 【知识要点分类练】 1.A2.C3.(1)-4(2)1或-4 4.-0.92-3-20-7-110100 5.B6.B 7.y=x(x-1)(或y=x2-x)8.S=-x2+8x 9.解：(1)0=(x-30)(-2x+80)=-2x2+140x-2400. (2)二次项系数是-2，一次项系数是140，常数项是 -2400. 【能力提升综合练】 10.A 11.B[解析]如答图.设直线x=t交 y x=t OA于点C,交OB于点D.在 A C Rt△ABO中，AB⊥OB,且AB=OB =3,.∠A0B=∠A=45°.又CD ⊥OB,∴.∠OCD=90°-∠A0B= ODB 45°，∴.∠A0D=∠0CD,.0D= 11题答图 CD=,SAm=分0DxCD=2P(0<≤3)，即S 名(0<≤3).激选B 12J=-22+号：13.(10(2)m0且m1 9 14.(1)y=300+20x(2)W=-20x2+100x+6000 15.解：(1)：运动的时间为xs,点P的速度为2cm/s,点Q的 速度为4cm/s, .'PB=(12-2x)cm,BQ =4x cm, y=号×12x24-2(12-2)x4x=42-24x+14, rx>0, (2)由题意，得12-2x>0,解得0<x<6. 24-4x>0, (3)不能.理由如下： 令y=172,则4x2-24x+144=172 解得x1=7,x2=-1(不符合题意，舍去)： 又，0<x<6,x=7不符合题意， ∴.四边形APQC的面积不能等于172cm2. ·8… 【素养探究创新练】 16.解：(1)1361015(2)m=n(1+m2 2 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 【知识要点分类练】 1.C2.A3.C4.C5.A6.y1>y2 7.解：(1)在同-平面直角坐标系中，画出函数y=}2,y= -子，y=3,y=-32的图象如答图所示 y↑y=3x2 -1-人--1 3 3- 5432江7校2345x ￥2 3 -4 5 7题答图 (2)①=-3gy=-写2 ②相同变小变大 8.解：(1)根据题意，得m+2≠0且m2+m-4=2, 解得m1=2,m2=-3,所以满足条件的m值为2或-3. (2)当m+2>0,即m>-2时，抛物线有最低点， 所以m=2,此时抛物线的函数解析式为y=4x2, 所以抛物线的最低点的坐标为(0,0)， 当x>0时，y随x的增大而增大. (3)当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 此时抛物线的函数解析式为y=-x2, 所以二次函数的最大值是0， 当x>0时，y随x的增大而减小 【能力提升综合练】 9.B10.B11.D12.2m 13石<a≤4[解析]：正方形ABCD的顶点A,B,C的坐标 分别为(1,1)，(1,4)，(4,4)，∴.D(4,1).当抛物线经过点 B1,4)时，a=4;当抛物线经过D(4,1)时，a=6观察国 象可知，抛物线y=ax2与正方形ABCD有公共点时，a的 取值范国是6≤a≤4 14.1315.①②④ 16.解：(1)把A(2,-4)代入y=ax2中，得-4=a×22, 化简，得-4=4a,解得a=-1. (2)设点C的横坐标为m(m>0), ,:四边形CDFE为正方形，.CD=CE=2m. ·点E的坐标为(m,-4+2m). a=-1,.y=-x2,.-4+2m=-m2, 整理，得m2+2m-4=0,第二十五章 易错点1忽视一元二次方程中二次项系数不为0 而出错 1.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4 =0的常数项为0，则m的值等于 A.-2 B.2 C.-2或2D.0 2.若方程(m-2)xm1+3x+5=0是关于x的一元二 次方程，则m的值为 、易错点2解一元二次方程开平方时漏解 3.已知方程(x2+y2-1)2=16,则x2+y2的值为 A.5或-3 B.5 C.4或-4 D.4 4.方程x2-√64=0的两根为x1= 5.在如图所示的计算程序中，输入的x的值 为 输入x x+1→x+12→输出36 5题图 易错点3解方程时的步骤出错 6.阅读下列解答过程，并完成相应任务 解方程：2x2+8x-18=0. 解：移项，得2x2+8x=18.① 两边同时除以2，得x2+4x=9.② 配方，得x2+4x+4=9,③ 即(x+2)2=9, .x+2=±3，④ ∴.x1=-5,x2=1.⑤ 任务： (1)上述过程从步骤 (填序号)开始出现 错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程， 第二十五章一元二次方程Y 易错强化训练 [答案7] 7.小明在解方程x2-5x=1时出现了错误，解答过 程如下： 解：a=1,b=-5,c=1,（第一步) .b2-4ac=（-5)2-4×1×1=21,（第二步) x-5±②I,（第三步) 2 5+2I,5-,2 2 2 .(第四步) (1)小明解答过程是从第 步开始出错 的，其错误的原因是 (2)写出此题正确的解答过程. 8.小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2 的过程如下： 小霞： 小敏： 移项，得3(x-3)-(x-3)2=0. 两边同时除以(x- 提取公因式，得(x-3)(3-x 3), 3)=0, 得3=x-3, 则x-3=0或3-x-3=0, 则x=6. ∴.x1=3,x2=0. 她们的解法是否正确？若正确，请在框内打 “√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答 过程. 、易错点4未对方程进行分类讨论导致漏解 9.若关于x的方程kx2-3x+2=1有实数根，求k的 取值范围。 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园昌自 27 全程导练·九年级数学（上册） 第二十五章 章末复习 [答案7] 知识体系构建色 (1)只含有① 个未知数 (2)含有未知数的式子都是② 念 审：审清题意 (3)未知数的最高次数是③ 元 设：设未知数 列：列一元二次方程 直接开平方法：x2=p(p≥0)或(mx+n}P=pm≠0，p≥0) 次 用 解：解方程 配方法：配成完全平方的形式 方 验：检验是否符合题意及实际意义 公式法：x=④ (b2-4ac≥0) 法 程 答：写出答案 因式分解法：若ab=0,则a=0或b=0 常考题型训练单' 考点1)一元二次方程的有关概念 8.解下列方程： 1.下列方程是一元二次方程的是 ( (1)x2+4x=3; A.ax2+bx+c=0 B.3x2-2x=3(x2-2) C.x3-2x-4=0 D.(x-1)2+1=0 2.方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常 数项分别为 A.6,2,9 B.2,-6,9 C.2,-6,-9 D.-2,6,-9 (2)x2-22x-3=0; 3.若方程(m-2)x-2+(5+m)x+3=0是关于x 的一元二次方程，则m=】 考点2一元二次方程的解法 4.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是 (3)x2-16=2(x+4). A.（x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 5.方程x2-2x-24=0的根是 ( A.x1=6,x2=4 B.x1=6,2=-4 C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4 6.已知关于x的方程(x-2)2=1-m无实数根，那 么m满足的条件是 考点3一元二次方程的根的判别式及根与系数的 A.m>2 B.m<2 关系 C.m>1 D.m<1 9.若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个 7.若三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是 不相等的实数根，则a的取值范围是（) 方程x2-12x+35=0的一个根，则该三角形的周 A.a≠0 B.a>-1且a≠0 长是 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1 28 见此图标暖微信扫码进人初中智慧学园自自 10.若一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1,x2, 则上+上的值为 X1 X2 A B.-3 C.3 D.- 11.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根 的情况是 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 12.若a,B是关于x的方程x2-x+k-1=0的两个 实数根，且a2-2a-B=4,则k的值为 考点4用一元二次方程解决实际问题 13.某市计划在一块正方形空地的正中间修建一个 圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水 池，其余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都 相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m,种植 花草的区域的面积为100m2.设水池的半径为 xm,可列出方程为 13 A.(2x+3)2-Tx2=100 B.(x+6)2-πx2=100 31 C.(2x+3)2-2x2=100 13题图 D.(2x+6)2-2πx2=100 14.如图，在Rt△ABC中，∠B= 90°，BC=3cm,AC=5cm,动 点P,Q分别从点A,B同时 A P 开始运动（运动方向如图所 14题图 示)，点P的速度为2cms,点Q的速度为 1cm/s,点Q运动到点C后停止，点P也随之停 止运动若使△PB0的面积为cm,则点P运 动的时间是 15.建设美丽城市，改造老旧小区.某市2023年投入 资金1000万元，2025年投入资金1440万元，现 假定每年投入资金的增长率相同. (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增 长率； (2)2025年老旧小区改造的平均费用为每个80 万元.2026年为提高老旧小区品质，每个小 第二十五章一元二次方程Y 区改造费用增加15%.如果投入资金年增长 率保持不变，求该市在2026年最多可以改 造多少个老旧小区. 16.“中国开封菊花文化节”始于1983年，是开封市 实现文化大发展、提升城市文化软实力、建设国 际文化旅游名城的重要名片之一.每年的10月 至11月，开封市都为八方来客奉上一场既有时 代气息，又具开封特色的菊花文化盛宴，市民们 也常在当季购买菊花观赏.某菊花供应商有一种 菊花，进货价为每盆30元，销售价为每盆60元， 菊花节期间，平均每天可以售出20盆.菊花节落 幕后决定降价出售，经市场调查发现，如果每盆 每降价4元，那么平均每天就可多售出6盆.设 每盆降价x元. (1)降价后每盆的利润是 元，每天售出 盆；（用含x的代数式表示） (2)菊花供应商想要获得每天700元的利润，同时 想让市民得到实惠，则每盆应降价多少元？ 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园昌自 29