第4章 图形的轴对称 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（青岛版·新教材）

今实验班提优训练数学八年级上QD 正确： 如图，过点O作OMLAB于点M,作ON⊥BC于点N,连 接OA. M (第1题) 因为在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, 所以ON=OD=OM,故③正确； 设ON=OD=OM=m, 所以SaAr=SaE+Sm=号AE·OM+2AF· 0D= .1 2OD·AE+AF)=2m,故④正确. 故选D. 2.B3.5 4.如图，连接PR,PQ (第4题) 因为△ABC为等边三角形， 所以AB=AC=BC,∠A=∠B=60° 因为P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点， 所以BP=AP=2AB,AQ=2AC,BR=2BC, 所以AP=AQ,BP=BR,所以△APQ和△BPR都是等边 三角形，所以AP=PQ=BP=PR,∠APQ=∠BPR=60°， 所以∠RPQ=180°-2×60°=60°. 因为△PSM是等边三角形，所以PM=PS,∠MPS=60°. 又∠QPS=∠MPS-∠MPQ=60°-∠MPQ, ∠RPM=∠RPQ-∠MPQ=60°-∠MPQ, 所以∠QPS=∠RPM. (PQ=PR, 在△PQS与△PRM中，{∠QPS=∠RPM, PS=PM, 所以△PQS≌△PRM(SAS),所以RM=QS. 5.CN=MN+BM.证明如下： 如图，在CN上截取点E,使CE= BM,连接DE. 因为△ABC为等边三角形， 所以∠ACB=∠ABC=60°. 又△BDC为等腰三角形， 且∠BDC=120°， 所以BD=DC,∠DBC=∠BCD= 30°.所以∠ABD=∠ABC+∠DBC= (第5题) ∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°.所以∠MBD=90°， (BD=CD, 在△MBD与△ECD中，∠MBD=∠ECD, BM=CE, 50 所以△MBD≌△ECD(SAS) 所以MD=DE,∠MDB=∠EDC. 又∠MDN=60°，∠BDC=120°， 所以∠EDN=∠BDC-(∠BDN+∠EDC) =∠BDC-(∠BDN+∠MDB) =∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°. 所以∠MDN=∠EDN. (ND=ND, 在△MND与△END中，∠MDN=∠EDN, MD=ED, 所以△MND≌△END(SAS).所以NM=NE. 所以CN=NE+CE=MN+BM. 6.(1)因为△ABC是等边三角形， 所以AB=AC=BC,∠BAE=∠ACD=60°. (AB=CA, 在△BAE和△ACD中，∠BAE=∠ACD, AE-CD, 所以△BAE≌△ACD(SAS). 所以∠ABE=∠CAD. 所以∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP= ∠BAC=60°. 因为BQ⊥AD,所以∠PBQ=30°.所以BP=2PQ. (2)因为∠ABE=∠CAD,∠ABC=-∠BAC=60°， 所以∠ABC-∠ABE=∠BAC-∠CAD, 即∠PBC=∠BAQ. 因为BQ⊥AD,BP⊥PC,所以∠BQA=∠CPB=90°· [∠BQA=∠CPB, 在△BAQ和△CBP中，∠BAQ=∠CBP, AB=BC, 厅以△BAQ≌△CBP(AAS). 所以AQ=BP=-2PQ,所以AP=PQ,即S-1 第4章提优测评卷 1.D2C3.C 4.B[解析]设∠A=x°.因为AD=BD, 所以∠ABD=∠A=x°，所以∠BDC=2x°. 因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2x°， 因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=2x° 根据三角形内角和定理，得x十2x十2x=180,解得x= 36,所以∠BDC=2x°=72°.故选B. 方法技巧本题中运用了方程思想来求角的度数，一般 情况下我们设较小的角为x,其他相关联的角用含x的代 数式来表示，然后根据三角形的外角或内角和定理得出方 程，求出方程的解即可得实际问题的解。 5.c6.D7.C 8.C[解析]由折叠可知，∠BDC=∠BDE,∠EDF= ∠GDF.因为DG平分∠ADB, 所以∠BDG=∠GDF,所以∠EDF=∠BDG, 所以∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF, 所以∠BDC=∠BDE=3∠GDF, ∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF, 因为∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF, 所以∠GDF=18°，所以∠ADB=36°，故选C. 9.B O.C[解析]①因为EG/BD,所以∠GEB=∠EBC,∠GEC= ∠ECD.因为△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线交 于点E,所以∠ABE=∠EBC,∠ACE=∠ECD,所以 ∠ABE=∠GEB,∠ACE=∠GEC,所以BG=GE,CH= HE,所以BG-CH=GE-HE=GH,故①正确； ②△HEF与△CBF只有角是相等的，但不含相等的边， 所以不能得出全等的结论，不能推出BF=EF,故② 错误； ④△BCE的面积为BC乘点E到直线BC的距离再乘 ，△BGE的面积为GE乘点B到直线GE的距离再乘 1 1 ,点E到直线BC的距离与点B到直线GE的距离相 等，所以S△cE:S△GE=BC:GE,故④正确； ⑤如图，过点E作EN⊥AC于点N,ED⊥BC于点D, EM⊥BA于点M, D (第10题) 因为BE平分∠ABC,所以EM=ED.因为CE平分 ∠ACD,所以EN=ED,所以EN=EM,所以AE平分 ∠CAM.设∠ACE=∠DCE=x,∠ABE=∠CBE=y, ∠MAE=∠CAE=x,则∠BAC=180°-2x,∠ACB= 180°-2x.因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，所 以2y+180°-2x+180°-2x=180°，所以x+之=y+90°， 因为之=y十∠AEB,所以x十y十∠AEB=y十90°，所 以x十∠AEB=90°，即∠ACE+∠AEB=90°，故⑤正确； ③若∠ACB=106°，由⑤可得AE是△ABC的外角的角 平分线，所以可证∠AEB=∠ACB=53,故③错误 综上所述，正确的结论有3个.故选C. 旧纳总结本题考查平行线的性质、角平分线的定义、角 平分线的性质与判定、等腰三角形的判定、三角形内角和 定理、三角形外角的性质等多个知识点，解题的关键是灵 活运用相关的定理进行求解. 140212181714号 15.3×2°[解析]如图，因为△A,B1A2是等边三角形， 所以A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°，所以∠2 120°.因为∠M0N=30°，所以∠1=180°-120°-30°= 30°.因为∠3=60°，所以∠5=180°一60°一30°=90°.因 为∠MON=∠1=30°，所以OA1=A1B1=3,所以 A2B1=3.因为△A2B2A3,△A3B3A4是等边三角形， 所以∠11=∠10=60°，∠13=60°.因为∠4=∠12=60° 所以A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,所以∠1= ∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，所以A2B2=2B1A2, B3A3=2B2A3,所以A3B3=4B1A2=4×3,A4B4= 8B1A2=8×3,A5B5=16B1A2=16×3,…,以此类推， A10B10=2B1A2=2X3. 答案6D详解◇ B B △1 (第15题) 16.如图，灯柱的位置P在∠AOB的平分线OE和CD的垂 直平分线的交点上理由如下： 因为P在∠AOB的平分线上， 所以到两条路的距离一样远。 因为P在线段CD的垂直平分线上， 所以P到C和D的距离相等，符合题意 (第16题) 17.,点O在直线AB上， ∴∠AOB=180°（依据：平角的定义）. :∠DOE=90°，∴.∠COD+∠COE=90°， ∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°. :OD平分∠AOC, ∠AOD=∠COD(依据：角平分线的定义)， ∴.∠COE=∠BOE. 18.(1)补全图形如图(1)所示. (1) (2)因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=60°. 因为射线DA绕点D顺时针旋转a,得到射线DQ, 所以∠ADF=a,所以∠BDF=180°-a. 因为∠DEB=a,所以∠BDE=180°-∠B-∠DEB= 180°-60°-a=120°-a, 所以∠EDF=∠BDF-∠BDE=180°-a-(120°- a)=60° (3)FE=FC.证明如下： 如图(2)，在CA上截取CG,使CG=CE,连接EG,DG, A 0 (2) (第18题) 因为△ABC是等边三角形， 所以∠ACB=60°，AC=BC, 51● 今实验班提优训练数学八年级上QD 所以△EGC是等边三角形， 所以∠GEC=60°，GE=EC. 因为∠EDF=60°，DE=DF, 所以△DEF是等边三角形， 所以∠DEF=60°，DE=EF, 所以∠DEF+∠FEG=∠GEC+∠FEG, 即∠DEG=∠FEC, 所以△DEG≌△FEC(SAS),所以DG=FC. 因为AC-GC=BC-EC,所以AG=BE. 因为点D是AB的中点，所以AD=DB. 因为∠A=∠B,所以△BDE≌△ADG(SAS), 所以DE=DG,所以FE=FC. 19.(1):∠BDC=∠BAC,∠DFB=∠AFC,且∠ABD+ ∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°， ∴.∠ABD=∠ACD. (2)如图(1)，过点A作AM⊥CD于点M,作AN⊥BE于 点N,则∠AMC=∠ANB=90°. OB=OC,OA⊥BC,.AB=AC 又∠ABD=∠ACD,∴.△ACM≌△ABN(AAS). .'.AM=AN. .DA平分∠CDE >到角的两边距离相等的点在角的平分线上 E (第19题) (3)∠BAC的度数不变化，∠BAC=60°.理由如下： 如图(2)，在CD上截取CP=BD,连接AP 'CD=AD十BD,.AD=PD. ,AB=AC,∠ABD=∠ACD,BD=CP, ∴.△ABD≌△ACP(SAS), ∴.AD=AP,∠BAD=∠CAP, ∴.AD=AP=PD,即△ADP是等边三角形， .∠DAP=60°， .∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP十∠BAD=60° 20.(1)因为EF∥BC,所以∠E=∠CBD. (∠CBD=∠E 在△BCD和△EFD中，BD=ED, ∠BDC=∠EDF, 所以△BCD≌△EFD(ASA), 所以CD=DF. (2)因为BG=GE,所以∠GBE=∠E=25°， 由(1)知∠E=∠CBD=25°， 所以∠ABC=∠GBE+∠CBD=50°，所以∠A=180°- ∠ABC-∠ACB=180°-50°-70°=60° 21.(1)AB=AC,∠C=∠ABC. .∠C=40°，∴./ABC=40° AB=AC,D为BC的中点， .AD⊥BC,∴.∠BDA=90°， ∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50° 52 (2),BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠EBC. 又EF∥BC,∠EBC=∠BEF, ∴∠EBF=∠FEB,∴.BF=EF, ,△BEF是等腰三角形. (3),△AEF的周长为15，∴.AE+AF+EF=15. BF=EF,∴.AE+AF+BF=15,即AE+AB=15. BE平分△ABC的周长， ..AE+AB=BC+CE=15, ∴.△ABC的周长=AE+AB+BC+CE=15+15=30. 旧纳总结本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的 关键是理解题意、灵活运用所学知识 22.(1)BD为△ABC的角平分线， .∠ABD=∠EBC, (AB-EB, 在△ABD和△EBC中，∠ABD=∠EBC, BD=BC, ∴.△ABD≌△EBC(SAS). (2)△ABD≌△EBC,∴.∠BCE=∠BDA. :∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA, ∴·∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA. .'BD=BC,BE=BA, ∴△BCD和△BEA为等腰三角形， ∠ABD=∠EBC,∴∠BCD=∠BEA. .∠DCE=∠DAE.∴AE=EC. (3)如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G, B (第22题) BE平分∠ABC,EF⊥AB,EG⊥BG, ∴EF=EG, (EF=EG, 在Rt△BFE和Rt△BGE中， BE=BE, ∴.Rt△BFE≌Rt△BGE(HL),∴.BF=BG 在R△AFE和R△CGE中，F二， ∴.Rt△AFE≌Rt△CGE(HL),.AF=CG. .BA+BC=BF+AF+BG-CG=BF+BG=2BF. 23.(1).AB=AC,.∠ABC=∠ACB. :∠BDC是△ADC的一个外角， .∠BDC=∠A+∠ACD. :∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A, ∠BDC=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC,∴.CD=CB. (2)①：BE⊥AC,∠BEC=90°， ∴.∠CBE+∠ACB=90° 设∠CBE=a,则∠ACB=90°-a, .∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a, .∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-a)- (90°-a)=2a,∴.∠BCD=2∠CBE. ②：∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+2a=3a. 分三种情况： 当BD=BF时，∠BDC=∠BFD=3a ,∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a, .90°-a=3a,a=22.5°， ∴∠A=∠BCD=2a=45°； 当DB=DF时，∠DBE=∠BFD=3a. ∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-a-a=90°-2a, ∴.90°-2a=3a,.a=18°，.∠A=∠BCD=2a=36°； 当FB=FD时，∠DBE=∠BDF. ,∠BDF=∠ABC>∠DBF,∴.不存在FB=FD. 综上所述，如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45° 或36°. 期中提优测评卷 1.A2C3.A4.C5.D6.B7.A8.C 9B[解析]由方程兰+千。=1，可知甲做了4天，乙做了 x天.由此可以推出，开始他们合做了4天，故条件③是甲、 乙合做了4天.故选B. 1O.D[解析]因为CD⊥AB于点D,BM⊥AC于点M, 所以∠BDC=∠ADC=∠CMB=∠AMB=90°， 所以∠ABM=∠ACD=90°-∠A,故①正确. 因为DN⊥MD,交BM于点N,所以∠MDN=90°， 所以∠CDM=∠BDN=90°-∠CDN. 因为∠BDC=90°，∠ABC=45°， 所以∠DCB=∠DBC=45°，所以CD=BD. ∠CDM=∠BDN, 在△CDM和△BDN中，CD=BD, ∠MCD=∠NBD, 所以△CDM2△BDN(ASA), 所以DM=DN,故②正确. 因为DM=DN,∠MDN=90°， 所以∠DMN=∠DNM=45°， 所以∠AMD=∠AMB-∠DMN=90°-45°=45°， 故③正确， 因为∠END=45°，∠AMD=45°， 所以∠END=∠AMD, 因为∠EDN+∠CDM=90°，∠ADM+∠CDM=90°， 所以∠EDN=∠ADM. (∠END=∠AMD, 在△EDN和△ADM中，DN=DM, ∠EDN=∠ADM, 所以△EDN≌△ADM(ASA), 所以S△EDN=S△ADM,故④正确.故选D. 归纳总结本题重，点考查同角的余角相等、全等三角形 的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证 明△CDM≌△BDN及△EDN≌△ADM是解题的关键. 1号122xc+1Dx-D132 14.7[解析]因为ED是线段AB的垂直平分线， 所以点A与点B关于ED对称. 如图，连接AF,AP, 答察6D详解 D (第14题) 因为AP=PB,所以△PBF的周长为PB+PF+FB= AP+PF+FBAF+FB. 所以当A,P,F三点共线时，△PBF周长最小. 因为F为BC边的中点，AB=AC, 所以AF1BC,BF=号BC=2 所以SAe-号XXAF=10 因为BC=4,所以AF=5, 所以△PBF周长的最小值为AF+FB=5+2=7. 思路得由垂直平分线的性质，得点A与点B关于 ED对称，连接AF,AP,则当A,P,F三点共线时， △PBF周长最小，最小值为AF+FB的长， 15.50或65°或80°[解析]分三种情况： ①当AO=AP时，∠O=∠APO=50°，所以∠A=80°； ②当A0=0P时，∠A=∠AP0=2×180°-509=65， ③当OP=AP时，∠A=∠AON=50°. 综上可知，∠A的度数为50°或65或80°， 思路引导若△AOP为等腰三角形，则有AO=AP, AO=OP和OP=AP三种情况，分别利用等腰三角形的 两底角相等可求得∠A的度数. 16.(1)acbc_ac-bc_c(a-b) a-ba-ba-b a-b c @(1-号）a-g0+-69. b b b(a-b)2=6-a x=7, 17,(①)根据题意，得1十x1十 3 去分母，得3-x=7十7红，解得x=分 检验：把x=一号代人1+x,得1+x≠0， 所以分式方程的解为=日 (②若r是1则有2千=1， 去分母，得3一x=一1一x,无解； 3x=0, 若“”是0，则有十z1+z 去分母，得3一x=0,解得x=3. 检验：把x=3代入1+x,得1十x≠0，所以x=3是原分 式方程的解。 故“”代表的数是0. 18.(1)因为OB⊥OC,所以∠BOD+∠COE=90°. 又CE⊥OA,BD⊥OA, 所以∠CEO=∠ODB=90°， 所以∠BOD+∠B=90°，所以∠COE=∠B. ∠CEO=∠ODB, 在△COE和△OBD中， ∠COE=∠B, OC=BO, 53◆第4章提优测评卷 答案P50 时间：120分钟满分：120分 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1.传统华二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下 面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是( A B D 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠C=35°，则∠B的度数为( A.50° B.60° C.70 D.65° 戡 D (第2题) (第3题) (第5题) 3.(2025·济南市中区一模)如图，△ABC与△A'B'C'关于直线1对称，∠A=45°，∠B′=110°，则 ∠C的度数为( A.15 B.20 C.25 D.359 4.在△ABC中，AB=AC,∠B的平分线交AC于点D,且AD=BD=BC,则∠BDC的度数 为( A.75 B.72 C.60° D.45° 5.(2025·天津河东区模拟)如图，点A,B分别在∠MON的边上，连接AB,以点A为圆心，任意长为 半径作弧分别交AB,AN于点E,D,再分别以点D,E为圆心，大于2DE为半径作弧，两弧 交于点F,作射线AF与∠MON的平分线交于点C.若∠MON=50°，∠BAN=150°，则 ∠ACO的度数为( A.359 B.45 C.50° D.60° 6.若等腰三角形的一个内角为85°，则底角的度数为(). A.85 B.47.5° C.95 D.85°或47.5 7.(2025·浙江台州期末)如图，将△ABC沿AC折叠得到△ADC,再将△ADC沿AD折叠得到 △ADE,连接BE,交AC,AD于点M,N,连接CN,DM,CN与DM相交于点F,若 19 ∠BAC=a,则∠CFD的度数为(). A90+受 B.90°+2a C.180°-2a D.180°- 3a 2 D B C (第7题) (第8题) 8.如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于 点F,再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB,则∠ADB的度 数是(. A.18 B.30° C.36° D.20 9.(2025·河北保定曲阳期末)如图，在锐角三角形ABC中，∠C=40°，点P是边AB上的一个定点， 点M,N分别是边AC和BC上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是(). A.90° B.100 C.110° D.80° B C D (第9题) (第10题) 10.如图，△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点E,BE交AC于点F,过点E作 EGBD交AB于点G,交AC于点H,连接AE,有以下结论：①BG-CH=GH;②BF= EF;③若∠ACB=106°，则∠AEB=54°；④SABCE:SABGE=BC:GE;⑤∠AEB+∠ACE= 90°.其中正确的结论有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E, ∠BAE=10°，则∠C的度数是 (第11题) (第12题) 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.若AB=10,AC=6,S△ABD=20,则S△ACD=」 20 13.(202s·烟台招远期未)如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别以点A,C为圆心，大于2AC的 长为半径作弧，两弧交于点F,直线FD交BC于点E,连接AE,若AD=3,△ABE的周长 为11，则△ABC的周长为 B B B 0 D As (第13题) (第14题) (第15题) 14.(2025·浙江杭州西湖区期末)如图，AC=DC=3,BD垂直∠BAC的平分线于点D,E为AC的中 点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 15.如图，已知∠MON=30°，点A1,A2,A3,…在射线ON上，点B1,B2,B3,…在射线OM上， △A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形，若OA1=3,则△A10B10A11的边长 为 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(8分)新装作m如图，校园有两条路OA,OB,在交叉路口附近有两块宣传牌C,D,学校准备在 这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样 远，请你帮助画出灯柱的位置P,简要说明理由. (第16题) 17.(8分)(2025·青岛市北区期未)将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC,∠DOE=90°，请说明OE平分∠COB. 解：点O在直线AB上， E .∠AOB= (依据： .∠DOE=90°， ∴.∠COD+∠ =90°， 0 B ∠AOD+∠BOE=180°-∠ (第17题) .OD平分∠AOC, ∠ =∠ (依据： ∴.∠COE=∠BOE. 21 第4章提优测评卷 18.(8分)在等边三角形ABC中，D是AB中点，E是线段BC上一点，连接DE,∠DEB=a (30°≤α<60)，将射线DA绕点D顺时针旋转a,得到射线DQ,F是射线DQ上一点，且 DF=DE,连接FE,FC. (1)补全图形； (2)求∠EDF的度数； D (3)用等式表示FE,FC的数量关系，并证明. (第18题) 19.(9分)如图，OB=OC,OA⊥BC,动点D在∠AOB的内部，点E在BD的延长线上，CD交 AB于点F,且∠BDC=∠BAC. (1)求证：∠ABD=∠ACD; (2)求证：DA平分∠CDE; (3)若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？ 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数. E 0 (第19题) 实验班提优训练数学八年级上QD 22 20.(10分)如图，在△ABC中，D为边AC上一点，连接BD并延长到点E,过点E作EF∥BC 交AC于点F,交AB于点G. (1)若BD=DE,求证：CD=DF; (2)若BG=GE,∠ACB=70°，∠E=25°，求∠A的度数. D (第20题) 21.(10分)(2025·广东东莞期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，连接AD,BE平 分∠ABC交AC于点E. (1)若∠C=40°，求∠BAD的度数； (2)过点E作EFBC交AB于点F,求证：△BEF是等腰三角形； D (3)在(2)的条件下，若BE平分△ABC的周长，△AEF的周长为15，求 (第20题) △ABC的周长. 23 22.(10分)(2026·杭州钱塘区二模)已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延 长线上的一点，BE=BA,过点E作EF⊥AB,F为垂足.求证： (1)△ABD≌△EBC; (2)AE=CE; (3)BA+BC=2BF. B (第22题) 23.(12分)(2025·上海崇明区期末)已知在△ABC中，AB=AC,D是边AB上一点，∠BCD=∠A. (1)如图(1)，试说明CD=CB的理由. (2)如图(2)，过点B作BE⊥AC,垂足为E,BE与CD相交于点F. ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数. (1) (2) 备用图 (第23题) 24