4.2 线段的垂直平分线-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

【通中考】 16懈：()÷安 x -2-2x+1.x x x2-1 =(x-1)2 ·(x+1)(x-1) 21 x+1 1n解(》. (x-y)(x+y) (-y)(x+y)_2x(2z+y).r-y)(zty)=2(2x+y). x (x-y)(x+y) x 因为2x+y一3=0， 所以2x十y=3, 所以原式=2×3=6. 18.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35-x)名工人， 根据题意，得700-3000×1,2， 35-x 解得x=20, 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意， 所以35-x=15. 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 第4章图形的轴对称 4.1图形的轴对称 第1课时图形的轴对称 1.B2.B3.65 4.解：因为∠BAD'=30°，∠BAD=90°， 所以∠DAD'=90°-30°=60°. 根据折叠的性质知∠DAE=∠D'AE=号∠DAD'=30, ∠D=∠D'=90°，所以∠AED'=90°-30°=60. 5.A6.C7.A8.D 9.①② 10.AD=CD(答案不唯一)11.9 12.解：因为∠EFB=62°，DE∥BC, 所以∠DEF=62°. 由折叠知∠GEP=∠DEF, 所以∠GEF=62°， 所以∠AED'=180°-（∠GEF+∠DEF)=180°-124°=56° 13.解：(1)因为Rt△ABC关于直线MN的对称点分别为A', B',C',AC=8cm,A'C=12cm,所以AB=A'B',BC= B'C',A'C'=AC=8cm,所以△A'B'C的周长为A'C'+ B'C'+A'B'=A'C+A'C'=12+8=20(cm). (2②)由1)得△A'CC'的面积为2AC×AC'=合×12X8= 48(cm2). 14.解：2∠A=∠1+∠2.理由：因为点A沿DE折叠落在点A' 的位置， 所以∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, 所以∠ADE=2180°-∠1)，∠AED=号(180-∠2). 在△ADE中，∠A十∠ADE+∠AED=180°， 所以∠A+2180-∠1D+2180-∠2)=180， 整理，得2∠A=∠1十∠2. 第2课时轴对称的基本性质 1.A2.82°3.MN3 4.解：如图所示，△A'B'C即为所求。 5.B6.B7.D 8.解：如图所示，△ABC和△A'B'C即为所求 第3课时 轴对称图形 1.C2.② 3.(1)CO,BE(2)△ABF 4.书 5.解：如图所示 6.①③④⑥⑩ ②⑤⑦⑨（画对称轴略） 7.130° 8.解：如图①②所示」 ① 9.解：如图所示.（答案不唯一） 4.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质 1.C2.D3.D4.B 5.解：(1)因为DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点 M,N, 所以AM=CM,BN=CN 因为AB=12cm, 所以△MCN的周长是CM+MN+CN=AM+MN+BN= AB=12 cm. (2)因为∠ACB=120°， 所以∠A+∠B=180°-∠ACB=60° 因为AM=CM,BN=CN, 所以∠A=∠ACM,∠B=∠BCN, 所以∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=60°. 因为∠ACB=120°， 所以∠MCN=∠ACB-(∠ACM+∠BCN)=120°- 60°=60°. 6.C 7.解：如图所示，延长AC到点M,使CM=AC,连接BM交CD 于点P,点P就是水厂的位置 8.B9.B10.1011.85 12.解：能求出线段BE,CE,BC的长. 理由：因为DE是边BC的垂直平分线， 所以BD=DC,BE=CE. 因为△ABC的周长是25cm,△ACD的周长是17cm, 所以AB+AC+BC=25cm,AD+AC+DC=AD+AC+ BD=AB+AC=17 cm, 所以BC=25-17=8(cm), 所以BE=CE=2BC=4cm 所以能求出线段BC的长是8cm,线段BE,CE的长都是 4 cm. 13.解：如图所示，作A点关于MN的 对称点A1,作A点关于PQ的对称 点A2,连接A1A2,分别交MN于点 C,交PQ于点D,则C,D两点为邮 M 筒的位置.邮递员所走的最短路线 D 为A→C→D→A. D 理由：如图所示，在MN上另取一 点C1,连接AA1,AA2,AC1, AC1,A2C1,A2C1与PQ交于点 D1,连接AD1.因为MN垂直平分AA1,PQ垂直平分AA2, 所以若邮简设立在C1,D1处，则此时邮递员走的路程为 AC+CiD+AD=AC1+A2C1>AA2.mAA2= A,C+CD+A2D=AC十CD+AD,所以邮递员所走路线 A→C→D→A为最短路线. 第2课时线段垂直平分线的判定及尺规作图 1.B2.C3.B 4.如图所示，点P即为所作. 5.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 6.解：(1)补全图形如图所示。 B M (2)ANPN线段垂直平分线的判定 7.解：(1)如图所示，直线1即为所求作， (2)如图所示，线段PD即为所求作. (3)如图所示，直线OE即为求作.OE>OP>PD. 8.B 9.解：由题意，得点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆 心、以CA的长为半径所画弧的交点，如图所示. B 10.解：(1)如图①所示，点P,Q即为所求。 ② (2)在AP段路上距离M,N两村庄越来越近；在PQ段路 上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远 (3)存在.如图②所示，点H即为所求 4.3角的平分线 1.D2.D 3.解：如图所示，作AB的垂直平分线 EF,作∠BAC的平分线AM,两线 交于点P,则点P即为这个中心医 院的位置 M A 4.B5.B E 6.90° 7.解：在△AED和△AFD中， 因为AE=AF,DE=DF,AD=AD, 所以△AED≌△AFD, 所以∠DAE=∠DAF 所以AD平分∠BAC 因为伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的 角∠BAC, 所以点D必定在AP上. 8.D9.B 10.解：PC=PD.理由如下： 如图所示，过点P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点 F,所以∠CFP=∠DEP=90°. 因为OM是∠AOB的平分线： 所以PE=PF. 因为∠AOB=90°，所以∠FPE= 90°，所以∠2十∠FPD=90°. 又因为∠1+∠FPD=90°， 所以∠1=∠2. 在△CFP和△DEP中， |∠CFP=∠DEP, 因为{PF=PE, ∠1=∠2， 所以△CFP≌△DEP(ASA), 84.2线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质（答案P17) ←通基础 5.推理能力如图所示，在△ABC中，DM,EN 分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N. 知识点1线段的轴对称性 (1)若AB=12cm,求△MCN的周长. 1.线段的一条对称轴是( ) (2)若∠ACB=120°，求∠MCN的度数， A.过线段中点的直线 B.线段的垂线 C.线段的垂直平分线 D.线段的平行线 知识点2线段垂直平分线的定义与性质 2.如图所示，下面说法正确的是( ) A.因为OA=OB,所以直线CD是线段AB的 垂直平分线 B.因为CD⊥AB,所以直线CD是线段AB的 垂直平分线 C.因为OC=OD,AB⊥CD,所以线段AB是 知识点3线段垂直平分线的应用 直线CD的垂直平分线 6.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC=8, D.因为OA=OB,CD⊥AB,所以直线CD是 BC=5,AB的垂直平分线交AB于点N,交 线段AB的垂直平分线 AC于点M,P为直线MN上一点，连接PB, PC,则△PBC的周长最小是( ) 0 第2题图 第3题图 3.如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC,DE 垂直平分AB,下列说法不正确的是() A.15 B.14 C.13 D.16 A.AE=BE 7.模型观念如图所示，两个村庄A,B在河CD B.∠AED+∠EBC=90° 的同侧，A,B两村到河的距离分别为AC, C.∠DAE=∠EBC BD.现要在河边CD上建造一水厂，向A,B D.∠BAE=∠CAE 两村送自来水（水管需直接到A,B村）.水厂 4.教材P103练习T2变式如图所示，在△ABC 应修建在什么地方，可使所用的水管最短？（请 中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D, 你在图中设计出水厂的位置，保留作图痕迹) E,连接AE.若AE=4,EC=2,则BC的长 B 是() A.8 B.6 C.4 D.2 76 优+学案·课时通△ 通能力 III1/1111I/I/1/11lHI111///11 △ACD的周长为17cm,△ABC的周长为 25cm.根据这些条件，你可以求出哪些线段 8.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 的长？并说明理由， AB,BC于点D,E,连接AE.若AD=4,△ABC的 周长为24，则△ACE的周长为() A.12 B.16 C.18 D.20 9.如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD= 120°，∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找一 点M,N,使△AMN的周长最小，则 ∠AMN+∠ANM的度数为( ←通素养mm A.60° B.120° 13.如图所示，要在两条街MN,PQ上各设立一 C.90° D.45° 个邮筒，已知A处为邮局，邮递员从邮局出 10.推理能力如图所示，AF垂直平分BD,DE 发，到两个邮筒中取出信件后再回到邮局，邮 垂直平分BC.若AD=3,DC=4,则△ABD 筒应该在何处，才能使邮递员所走的路程最 的周长为 短？并说明理由. ·A 11.推理能力如图所示，在△ABC中，AB的垂 直平分线交BC于点M,AC的垂直平分线交 BC于点N,连接AM,AN.若∠MAN=10°， 则∠BAC= 0 B 12.如图所示，在△ABC中，DE是边BC的垂直 平分线，分别与边AB,BC交于点D,E.如果 △八年级·上册·数学.QD 77 第2课时 线段垂直平分线的判定及尺规作图（答案P18) ←通基础一 知识点3用尺规过一点作已知直线的垂线 5.如图所示，已知钝角三角形ABC,求作这个三 知识点1线段垂直平分线的判定 角形底边BC上的高 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC,D是BC上 下面是小戴设计的相应的尺规作图过程，并保 的一点，O是AD上一点，且OB=OC.若 留了作图痕迹. BC=4,则BD的长为() 步骤1：以点C为圆心，以 A.1 B.2 C.3 D.4 CA的长为半径画弧①； 步骤2：以点B为圆心，以 BA的长为半径画弧②，交弧 ①于点D; 步骤3：连接AD,交BC延长 ② 第1题图 第2题图 线于点H.则AH即为所求 2.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CB, 则小戴作图的依据是：两点确定一条直线 DA=DC,我们把这种两组邻边分别相等的四 和 边形叫作“筝形”，以下四个结论： 6.(北京海淀区月考)已知：△ABC ①AC⊥BD;②AC=2OA;③AC平分∠BAD; 求作：边BC上的高AD, ④四边形ABCD的面积= 2AC·BD. 作法：如图所示， ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线 正确的有() BC于点M,N; A.1个B.2个 C.3个 D.4个 知识点2用尺规作线段的垂直平分线 ②分别以点M,N为圆心，以大于2MN的长 3.如图所示，在△ABC中，AC=3,BC=5,AB= 为半径画弧，两弧相交于点P(不同于点A); 6,用图示尺规作图的方法在边AB上确定一 ③作直线AP交BC于点D, 点D,则△ACD的周长为( 线段AD就是所求作的△ABC的边BC上的高： (1)使用直尺和圆规补全图形.（保留作图痕迹） (2)试说明理由. D 理由：连接AM,AN,PM,PN. A.8 B.9 C.10 D.14 因为AM= ,PM= 4.如图所示，某市的三个城镇中心A,B,C构成 所以点A,点P均为线段MN垂直平分线上 △ABC,该市政府打算修建一个大型体育中心 的点( ).(填推理的 P,使得该体育中心到三个城镇中心A,B,C 依据) 的距离相等，请你作出点P的位置. 所以AP是线段MN的垂直平分线， 所以AD⊥BC于点D 即线段AD为△ABC的边BC上的高. 78 优计学案·课时通 ☆易错点作已知直线的垂线不是利用三角板或 9.(青岛市北区一模)如图所示，在△ABC内找 直尺的直角完成 一点P,使点P到A,B两点的距离相等，并且 7.(北京西城区期中)作图并回答问题（保留作图 点P到点C的距离等于线段AC的长， 痕迹，不写作法) 如图所示，点P在∠AOB的边OA上. (1)过点P作OA边的垂线l; (2)过点P作OB边的垂线段PD; (3)过点O作BD边的垂线，交1于点E,比较 OP,PD,OE三条线段的长度，并用“>”连接. ←通素养m 10.模型观念如图所示，一辆汽车在笔直的公路 上由A向B行驶，M,N分别是位于AB两 侧的村庄 (1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时， 距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距 离村庄N最近，在图中的公路AB上分别画 出点P,Q的位置. (2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB 的哪一段路上距离M,N两村庄越来越近？ 哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村 庄M越来越远？ 。通能力m (3)在公路AB上是否存在这样一点H,使汽 车行驶到该点时，与村庄M,N的距离相等？ 8.(潍坊期中)如图所示，在△ABC中，AB= 如果存在，请在图中AB上画出这一点；如果 AC,∠B=36°，分别以点A,C为圆心，以大于 不存在，请说明理由. 2AC的长为半径画弧，两弧相交于点D,E, 作直线DE分别交AC,BC于点F,G.以点G 为圆心，以GC的长为半径画弧，交BC于点H, 连接AG,AH.则下列说法不正确的是() N N 备用图 A.GA=GC B.△BAG≌△CAH C.DE∥AH D.∠GAH=3∠BAH △八年级·上册·数学.QD 79