第4章 图形的轴对称 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（青岛版·新教材）

第4章 图形的轴对称 知识梳理导图 轴对称 等边对等角 有关概念 性质」 轴对称图形 轴 三线合一 等腰三角形 对应线段相等，对应角相等 对 定义 有关性质 判定 对称轴垂直平分连接对应，点的线段 称 等角对等边 垂直并且平分一条线段 等 三条边都相等，三个 的直线 定义 性质内角都相等且每一个 内角都等于60° 线段垂直平分线上的，点 线段 等边三角形 到线段两端的距离相等 性质 的垂 定义 直平 形 到线段两端距离相等的 三个角都相等的三角 点，在这条线段的垂直 分线 判定形是等边三角形 平分线上 判定 图形的 轴对称 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形 角的平分线上的点到角 两边的距离相等 性质 在直角三角形中，如果一 角的内部到角两边距离相 角的平 含30°角的直角 个锐角等于30°，那么它所对 等的点在角的平分线上 判定 分线 三角形的性质 的直角边等于斜边的一半 重难疑点解法 分上分点1巧用轴对称的性质解决最值问题 :守方法技巧 本题主要考查了对称的性质、等边三角形的判 例①(2025·江苏南京师大附中新城中学月考)如 定和性质、两，点之间线段最短等知识，解题的关键 图，点C,D在线段AB的同侧，CA=4,AB=12, 是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最 BD=9,M是AB的中点，∠CMD=120°，则CD长 短解决最值问题， 的最大值是(). 交上分点2角的平分线与线段的垂直平分线 例2(2025·河南洛阳新安期末)如图，在△ABC 中，AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分 ∠ACB,若∠A=50°，则∠B的度数为(). A.16 B.19 C.20 D.21 名师启发作点A关于CM的对称点A',点B 关于DM的对称点B',连接A'B',CA',B'D,A'M, BM,根据对称的性质，找出CD长度的最大值，计算 A.25°B.30° C.35°D.40° 得值即可. 名师启发依据线段垂直平分线的性质，即可得 19 实验班提优训练数学八年级上QD 到∠A=∠ACD,再根据角平分线的定义，即可得出 名师启发(1)设∠ABD=x°，由条件结合等腰 ∠ACB的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得 三角形的性质可证明∠A=x°，在△ABC中由三角形 到∠B的度数. 内角和定理列出方程可求得x,继而可求得∠BAC; 归纳总结 (2)证明EF是AB的垂直平分线，得AF=BF, 本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平 再根据等腰三角形的性质利用线段的和差即可解决 分线的性质以及三角形内角和定理。 问题. 2上分点3对等腰三角形的性质和判定的运用 例3(2025·重庆黔江区期末)在△ABC中， AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D,BD= AD. (1)如图(1)，求∠BAC的度数； (2)如图(2)，E是AB的中点，连接ED并延长， 交BC的延长线于点F,连接AF.求证：AF=AB十 BC. 个关键提醒 本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等边 对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方 程思想的应用. (1 2) 易错易混辨析 )易错点1 对线段垂直平分线的判定理解 辨析伯纳 不透彻而致错 本题考查了线段垂直平分线的性质及判定，关 例如图，直线1与线段AB交于点O,点P 键是根据线段的垂直平分线的判定定理来解答 在直线1上，且PA=PB,则下列结论正确的有 ( ) 机固特 ①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO； 1.如图所示，C,D是直线L上任意两点，AC=BC, ④点P在线段AB的垂直平分线上 AD=BD,则下列结论错误的是( D A1个B.2个C.3个 D.4个 解析因为直线PO与AB交于点O,且PA= (第1题) PB,所以点P在线段AB的垂直平分线上，但不足以 A.∠ACD=∠BCD 说明直线PO是线段AB的垂直平分线，所以①②③ B.CD平分AB但不垂直AB 的结论不一定成立 C.CD垂直平分AB 答案A D.S△AcD=SARCD 20 第4章 )易错点2没有分类讨论导致漏解 于点P5,P2,交直线AC于点P。(此时BP=BA). 故符合条件的点有6个. 例2如图，在△ABC中，∠ACB= 答案D 90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一 辨析伯纳 点P,使得△PAB为等腰三角形，这样的 本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角 点P共有(. 形时截取相等的线段就能作出等腰三角形来，思考 A.3个B.4个C.5个 D.6个 要全面，做到不重不漏。 解析如图。 巩固特 2.如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°.P为 直线CB上一动点，并沿直线CB从右向左移动， 若点P与△ABC三个顶点中的至少两个顶点构 造成等腰三角形时，则将点P在直线CB上进行 标记.那么满足条件的点P的位置有() P。 ①AB的垂直平分线交AC于点P1,交直线BC 4 于点P2(此时PA=PB); 6709 ②以点A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC B 于点P3,P4,交直线BC于点P2(此时AB=AP); (第2题) ③以点B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC A.4个 B.6个C.8个 D.9个 素养考向提分 新情境 点 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线 例①三条公路将A,B,C三个村庄连成一个 段的垂直平分线.垂直平分线的性质：垂直平分 如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公 线上的点到线段两端的距离相等.垂直平分线 园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建 性质的推论：到线段两端距离相等的，点在线段 的位置是△ABC的(). 的垂直平分线上 伴反 1.如图，在足球场内，A,B,C表示三个足球运动员， B 为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足 A.三条高线的交点 球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置 B.三边垂直平分线的交点 在(). C.三条角平分线的交点 A.AC,BC两边高线的交点处 D.三条中线的交点 B.AC,BC两边中线的交点处 解析本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂 C.AC,BC两边垂直平分线 直平分线上的点到线段两端的距离相等.故这个公园 的交点处 (第1题) 应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点. D.∠A,∠B两内角平分线 答案B 的交点处 21 实验班提优训练数学八年级上QD 2.为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理 举反白 念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李 3.《国语·楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远 庄B的群众出行到河岸a.张庄A和李庄B位于 近皆无害焉，故日美”.这一记载充分表明传统美 一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测 的本质特征在于对称和谐.中国建筑布局一般都 量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC= 是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和 pm,BD=gm,且CD=（p十q)m,如图所示.现 生命力.下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的 要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流 是( 另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在 C,D间距离C m处.（河岸边上的点到河 对岸的距离都相等) B 河 (第2题) 传统文化 O 例2剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国 新考法 汉族最古老的民间艺术之一.以下学生剪纸作品中， 轴对称图形是( 例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 60°，AB=10cm,若点M从点B出发以2cm/s的速 度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向 点C运动，其中任意一点到达端点时，所有运动立即 停止.设M,N分别从点B,A同时出发，运动的时间 为ts. (1)用含t的式子表示线段AM,AN的长， (2)当t为何值时，△AMN是以MN为底边的 等腰三角形？ 解析如果一个图形的一部分，以某一条直线为 (3)当t为何值时，MN∥BC?并求出此时CN 对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样 的长 的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.因为 A,B,C选项中的图形都不能找到这样的一条直线， 使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这 M 样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的 解析(1)根据点M和点N的运动速度分别表 部分能够互相重合，所以是轴对称图形. 示出AM和AN即可； 答案D (2)根据等腰三角形的定义得出AM=AN,列式 本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对 计算即可； 称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后 (3)根据直角三角形中30°的角所对的直角边是 图形对称轴两侧的部分可重合. 斜边的一半，列式计算即可 答案(1)AM=(10-2t)cm,AN=5cm. 22 第4章 (2),点M运动到点A所用时间t= -5(), 10 5 点N运动到点A所用时间t= =5(s),.点M,N M 同时运动到对应端点， B ,△AMN是以MN为底的等腰三角形， (第4题) (第5题) AM=AN,即10-2t=t,解得t=10, 5.(2025·安徽淮南八公山区期末)如图，已知∠AOB=a ∴当：-时，△AMN是以MN为底边的等腰 (0°<a<60),射线OA上一点M,以OM为边在 OA下方作等边三角形OMN,P为射线OB上一 三角形， 点，若∠MNP=a,则∠OMP= (3)当MN⊥AC时，MNBC. 6.(2025·河北邢台南宫期中)已知在等边三角形ABC :∠C=90°，∠A=60°， 中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且 .∠B=30° ED=EC. .MN/∥BC,∴.∠NMA=30°， (1)[特殊情况，探索结论]如图(1)，当E为AB的 AN-7AM, 中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直 接写出结论：AE DB.(填“>”“<”或 4=10-20,解得1=号， “=”) ÷当E-8时，MN/BC, (2)[特例启发，解答题目]如图(2)，当E为边AB 上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系， 此时cN=5-多×1-号 请你直接写出结论，AE DB(填“>”“<” 或“=”).理由如下：过点E作EFBC,交AC于 方法技巧 点F,请你完成剩下的解答过程. 解决动点问题一般分为两个环节：(1)确定动，点 (3)[拓展结论，设计新题]在等边三角形ABC中， 的位置，在动态变化的过程中寻找可确定的因素（即 点E在AB延长线上，点D在线段CB的延长线 可确定的量、可确定的位置)是突破问题的关键；利 上，且ED=EC,若△ABC的边长为1，AE=2,求 用几何图形的性质或图形变换的性质使动，点和这些 CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）】 确定因素之间建立联系，从而确定或假定动点的位 置，大多存在不同位置情况而需要进行分类；(2)解 决问题：利用已经学过的等腰三角形的性质、全等三 角形的性质和判定等知识来解决问题. 举反日 (1) (第6题) 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD>AB, AD=a,AB=10.以点A为圆心，以AB的长为半 径作弧，与BC相交于点E,连接AE.以点E为圆 心，适当长为半径作弧，分别与EA,EC相交于点 M,N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为 半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P,作射线 EP,与AD相交于点F,则FD的长为 (用 含a的代数式表示). 234经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， 则1.2x=48. 故A采血点运送车辆的平均速度为40km/h,B采血 点运送车辆的平均速度为48km/h. (2)B采血点运送车辆的行驶时间为36÷48= 0.75(h). 因为3+0.75=3.75(h)<4h, 所以血液运送到中心血库后不会变质， 4.B[解析]设木星的质量为M,人的质量为m,则 地球的质量为318M. 因为地球的半径为R,地球的半径约是木星半径的 看所以木星的半径为R÷希一R×行-， 4 4 所以站在地球上的人所受的地球重力约是他在木 8n·318M R2 星表面上所受木星重力的 gmM /45R)2 4 流一后故选R 5.C[解析]设6210元购买椽的数量为x株，则一株 橡的价钱为6210元 x元， 由题意，得3(x-1)=6210 故选C. x 6.(1)设每袋年糕的进价为x元，则每袋饺子的进价 为(x+1)元， 根据题意，得0-75%×8，解得工=8 经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意， 所以x+1=3+1=4. 故每袋年糕的进价为3元，每袋饺子的进价为4元. (2)设打)折销雪，根据题应，得5××号+5× 高×4×01-号》+6x×号+6x六×80× (1-2)-450-800-530, 解得y=8. 故老板打8折可以使获得的总利润为530元. 44 7.(1)因为a2+b2=2,ab=1, 所以(a十b)2=a2+b2+2ab=2+2=4, 所以a+b=士2. 因为(a-b)2=a2+b2-2ab=2-2=0, 所以a-b=0. (②)因为(+日)=a++2， 所a2+-(+日》°-2--2=2 8因为e-2》广-a2+是-2 所以a2+2-(。-日)°+2-3+2=11 因为e+)=。+2, 所以a+是-(a+)月 -2=112-2=119. 第4章图形的轴对称 例1B[解析]如图，作点A关于CM的对称 点A',点B关于DM的对称点B',连接A'B',CA', B'D,A'M,B'M. 因为∠CMD=120°， 所以∠AMC+∠DMB=60°， 所以∠CMA'+∠DMB'=60°， 所以∠AMB'=60° 由对称可得，AM=AM,BM=B'M. 因为AM=BM,所以AM=BM, 所以△A'MB'为等边三角形 因为CD≤CA'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=4+6十 9=19, 所以CD的最大值为19.故选B 例2B[解析]因为DE垂直平分AC, 所以AD=CD,∠A=∠ACD=50°. 又CD平分∠ACB, 所以∠ACB=2∠ACD=100°， 所以∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°= 30°.故选B. 例3(1)设∠ABD=x°. 因为BD平分∠ABC,所以∠DBC=x°. 因为AB=AC,所以∠C=∠ABC=2x°. 又BD=AD,所以∠A=x. 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， 所以x十2x+2x=180,解得x=36, 所以∠A=36°，即∠BAC=36° (2)因为E是AB的中点，BD=AD, 所以EF是AB的垂直平分线， 所以AF=BF, 所以∠FBA=∠FAB=72°， 所以∠AFB=∠FAC=36°， 所以CA=CF,所以AB=AC=CF, 所以AF=BF=BC+CF=AB+BC. 仰固特训 1.B 2.C[解析]如图. 40 70° PP。P,B(P)CP)P2PP (第2题) 因为在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，所 以∠ACB=180°-70°-40°=70° 当∠CAP=∠CPA=35时，△CAP为等腰三角形；当 ∠BAP=∠APB=55时，△BAP为等腰三角形； 当∠ABP=∠BAP=70时，△BAP为等腰三角形： 当P与C重合时，△APB为等腰三角形： 当P与B重合时，△APC为等腰三角形； 当∠ACP=∠CAP=70时，△CAP为等腰三角形； 当∠PAC=∠APC=55时，△CAP为等腰三角形； 当∠BAP=∠BPA=35时，△BAP为等腰三角形， 综上所述，满足条件的点P的位置有8个. 故选C 举反白 1.C 2.p[解析]如图，作点B关于直线b的对称点B', 连接AB交直线b于点P, 1B 、P 河 (第2题) 所以BP=B'P,所以AP+BP=AP+B'P≥AB',此 时点P到A与B的距离和最小， 过B'作B'MCD,延长AC与B'M交于点M,所以 B'M-CD. 因为AC-pm,BD=qm,CD=(p+q)m, 所以易得AM=B'M=(p十q)m, 所以∠CAP=45°，所以AC=CP, 所以点P与点C的距离是pm. 3.B 4.a-10[解析]由作法得AE=AB=10,EF平分 ∠AEC,∴.∠AEF=∠CEF. .ADBC,∴∠AFE=∠CEF, ∴.∠AEF=∠AFE,.AF=AE=10, ∴.FD=AD-AF=a-10. 5.30°或120°-&[解析]①当点P位于MN左侧 时，如图(1). .△OMN是等边三角形， ∴.MN=MO=ON,∠MON=∠MNO=60°. ∠MNP=∠AOB=a, ∴.∠PON=∠PNO, ∴PO=PN, ∴.△MPO≌△MPN(SAS), ∴∠oMP=∠NMP-2∠OMN=7×60=30, M M a'D P 0 09 6 (1) (2) (第5题) ②当点P位于MN右侧时，如图(2)，将△MNP 绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ, 此时△MPQ是等边三角形， 45 ∴.∠MPQ=60°， ∴.∠OMP=180°-∠MPQ-∠MOP=180° 60°-a=120°-a. 6.(1)= (2)= 理由如下：过点E作EFBC,交AC于点F. 因为△ABC为等边三角形， 所以∠A=∠ABC=∠ACB=60°. 因为EF∥BC,所以∠AEF=∠ABC=6O°，∠AFE= ∠ACB=60°，所以△AEF为等边三角形， 所以AE=EF,BE=CF 因为ED=EC,所以∠D=∠ECD, 因为∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D, ∠ECF=∠ACB-∠ECD=60°-∠ECD, 所以∠DEB=∠ECF. DE=EC, 在△DBE和△EFC中，3∠DEB=∠ECF, BE=FC, 所以△DBE≌△EFC(SAS), 所以DB=EF,所以AE=DB. (3)当点E在AB延长线上时，作EF∥AC,则 △EFB为等边三角形，如图所示， B (第6题) 同理可得△DBE≌△CFE. 因为AB=1,AE=2, 所以BE=1,所以BF=1. 因为DB=FC=FB十BC=2, 所以CD=BC+DB=3. 方法技巧在固定的几何图形中存在，点的运动或 旋转位置发生变化时，图形中有的性质是不会改 变的，所以我们在解这类题时，经常会类比前面的 解题方法和解题思路来解决后面的问题. 第5章勾股定理与实数 例1C 46 例2(1)∠BDC=90°，BD=4,CD=2, .∴.BC=√BD2+CD2=√4+22=√/20. (2).AB=6,AC=4, .∴.AC2+BC2=42+(/20)2=36=62=AB2, ∴.△ACB是直角三角形，∠ACB=90°， Se=SAm-SAc-7×4XV历-7X4X25 故题图中阴影部分的面积为5. 例3(1)x=√2-1. (2)由(1)知，x=√2-1，.x-2=√2-3， ∴.m=3-√2，n=2-3|=3-√2， ∴.m十n=6-2√2. 例4(1)a=2,b=4,c=1. (2).a=2,b=4,c=1,.a+b-c=5, ∴.a十b一c的平方根为士5. 巩固特训 1.如图(1)，在Rt△ABD中，AB=15,AD=12,由勾 股定理，得BD2=152-122=92,即BD=9, 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12,由勾股定理， 得DC2=202-122=162,即DC=16, ∴.BC的长为BD+DC=9+16=25; (2) (第1题) 如图(2)，同理可得BC的长为CD一BD=16一 9=7. 综上所述，BC的长为25或7. 2.C[解析]在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= √AB2-AD2=√102-82=6. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD= √AC2-AD2=√W172-82=15. 分两种情况： ①如图(1)，当AD在△ABC的内部时，BC=15+ 6=21,则△ABC的面积=2BC·AD=84;