4.2.1线段的垂直平分线(第1课时)课件2025-2026学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段的垂直平分线，通过折叠操作探索线段轴对称性，引出垂直平分线概念，证明其性质定理，结合“将军饮马”问题实现知识应用，构建“操作-探究-证明-应用”的学习支架。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如折叠验证轴对称培养几何直观，性质证明的SAS推理发展逻辑思维，“将军饮马”对称转化体现模型意识，含.gsp动态文件辅助理解，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

4.2 线段的垂直平分线 （第一课时） 学习目标 1.线段是轴对称图形吗?为什么?对称轴是什么? 1.线段是轴对称图形吗?为什么?对称轴是什么? 1.经历探索线段的轴对称性的过程，理解线段的垂直平分线的概念。 2.探索并证明线段垂直平分线的性质定理。 3.理解“将军饮马”，会求直线两侧两点间的最短距离。 探究新知(一) 1.如何验证线段AB是轴对称图形呢?对称轴是什么? 2.直线MN与线段AB有怎样的关系? 直线MN 垂直且平分 线段AB。 在纸上画一条线段AB,将这张纸折叠，使A、B两点重合，将纸展开后铺平，把折痕记为MN，折痕与线段AB 的交点记为O。 新知生成(一) 线段的垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的 垂直平分线。 线段垂直平分线有什么性质呢?怎样证明? 直线上任一点的特征? ①当点P在线段AB上 则恰为MN 与AB 的交点，故PA=PB ②当点P不在线段AB 上 .'PO⊥AB ∴∠POA=∠POB=90° 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO(SAS) ∴PA=PB 探究新知(二) 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等。 ∵ MN⊥AB, AO=BO ( 或：MN 是线段AB 的垂直平分线) ∴PA=PB 思考：线段垂直平分线的性质有什么作用? 新知生成(二) 练习： 如图， DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，垂足为E , 并交BC 于点D。 6 ( 1 ) 若AD=6cm, 则BD= cm。 ( 2 ) 若AC=8cm,BC=10cm, 则△ACD 的周长为 cm。 学以致用 6 18 例1:海伦是古希腊的一位数学家。相传一位将军曾向他请教过一个问题： “我每天策马往返于河岸同侧的两个边防站之问，途中要到河边让马 饮水。怎样走才能使路径最短呢?此问题也叫“将军饮马问题”。 数学问题： 己知A,B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P, 使AP+BP值最小。 学以致用 己知A,B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P, 使AP+BP值最小。 A P P Bd ①两点之间线段最短 ②垂线段最短 交流展示 垂线段gsp 直角.gsp 垂直平分线gsp 垂足中点.gsp l A Be 在直线上另外任取一点P', 连接BP'、AP′、B'P'. 同 理BP′=B'′P' ∵AP'+B'P>AB', ∴AP'+B'P'>AP+BP ∴AP+BP 的值最小。 【推理论证】:如何证明AP+BP最短呢? 解：∵点B、B '关于直线I对称， ∴I是BB 的垂直平分线。 ∴BP=B'P. ∴AP+BP=AP+B'P=AB'. 学以致用 轴对称gsp 作对称：过1做B的对称点B′ 线段垂直平分线性质 线段转化：BP+PA=BP+PA 问题转化：求BP+PA 的最小值 两点之间线段最短 问题解决：连接B′A,交I于点P 直线1是线段BB'的垂直平分线。 利 用线段垂直平分线性质将 “折线路径”转 化 为 “直线路径” ·A B P L B 思维澄清 7 7 1.如图，点P,C,D是线段AB 的垂直平分线MN 上的任意三点，分别连接 AP,BP,AC,BC,AD,BD,指出图中相等的线段。 2.如图，在△ABC 中 ，AB=5,AC=7, 直线DE 垂直平分BC, 垂足为点E, 交AC于点D, 连接BD 。求△ABD 的周长。 达标练习 (第2题) (第1题) 1.线段是轴对称图形吗? 对称轴是什么? 2.线段垂直平分线有怎 样的性质? 3.线段垂直平分线的性 质有什么作用? 角、 等腰三角 形、圆 … 轴对称图形 线段 轴对称的 基本性质 转化线段 探究清单 课堂小结 你有哪些收获? 将军饮马问题 垂直平分线 ☑必做题：课本103 页1、2题。 ☑实践作业： 查阅资料，寻找 “将军饮马” 问题(最短路径原理) 在现实世界中的具体应用，用照片、绘图或文字说明记 录下来! 课后作业 $