第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 知识梳理导图 边、角、顶点。组成三角形的基本要素 对某一事件作出 不等边三角形 正确或不正确判 按边分 三 等腰三角形（包含等边三角形） 三角形 角 命题的定义。断的语句（或式子） 直角三角形 的分类 形 真命题：正确的命题 锐角三角形按角分 中 命题的分类 三 的 假命题：错误的命题 钝角三角形 角平分线、中线、高。几条重要线段 形 边 命 由条件和结论两部分组 中 三角形中任何两边的和大于第三边 成，一般写成“如果卫 边的关系 关与 命题的组成，那么q”的形式 三角形中任何两边的差小于第三边。 的 边 系 证 三角形内角和定理： 明 原命题与逆命题。即条件与结论互换 三角形的内角和等于180° 关 命 符合命题条件，但不满足命题 推论1：直角三角形的两锐角互余 题 反例。 结论的例子 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形 蓁 与 从基本事实或其他真命题出发 证 推论3：三角形的外角等于与它不相邻9 用推理方法判断为正确的，并被 的两个内角的和 明 定理。选作判断命题真假依据的真命题 推论4：三角形的外角大于与它不相 证明演绎推理的过程 邻的任何一个内角 重难疑点解法 上分点1三角形的三边关系 上分点2三角形中的重要线段 例1(2026·天津和平区期末)如图，为了估计池 例2(2026·安徽合肥四十二中期中)如图，BD是 塘两岸A,B之间的距离，小天在池塘的一侧选取一 △ABC的中线，E,F分别为BD,CE的中点，若 点O,测得OA=9米，OB=5米，A,B之间的距离可 △AEF的面积为4，则△ABC的面积为(). 能是(). C A.4米B.13米C.14米D.15米 A.10B.12C.16D.20 名师启发连接AB,根据三角形的三边关系， 名师启发本题考查了三角形的面积，主要利 可得到AB的取值范围即可获得答案. 用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三 归纳总烤 角形，原理为等底等高的三角形的面积相等】 本题考查了三角形的三边关系，理解三角形的 个关键提醒 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形 边是解答关键 的中线平分三角形的面积是解题的关键. 15 实验班提优训练数学八年级上SHKJ 分上分点3三角形的内角和 根据三角形内角和定理得出所求的角度. 例3如图，M,N是△ABC边AB,AC上的 点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN,△BMD沿 BD翻折后得到△BED,且点E在边BC上，△CND 沿CD翻折后得到△CFD,且点F在边BC上，若 ∠A=70°，则∠1+∠2=(). A.65°B.70°C.75°D.859 名师启发根据折叠的性质以及三角形内角关键遍醒 和定理得出∠1+∠2+∠3=125°，∠MDB+ 本题考查了三角形的外角性质以及三角形的 ∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°，将已知数据代 内角和定理，正确运用这些知识和数形结合的方法 入，即可求解。 是解题的关键， 讨方法技巧 命题与证明 像这类求角的度数的问题，要运用数形结合的 分上分点5 方法，根据三角形的内角和定理及角的和差关系求 例5(2026·甘肃兰州五十三中期末)下列命题中， 出某些角的度数 是真命题的是(). A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 上分点4三角形的外角性质 B.过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 例4如图求∠A十∠B+∠C+∠D+∠E的大小 C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直 线平行 D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作这，点到 直线的距离 名师启发根据相关定义和定理逐项分析即可. 妙归纳总线 本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性 名师启发由三角形的外角性质求得∠AFG 质、平行公理、点到直线的距离等知识点。 ∠C+∠E,∠AGF=∠B+∠D,进而在△AFG中 易错易混辨析 )易错点1忽略题目中的条件 解析三角形的一个外角等于与它不相邻的两 例①以下命题正确的是(). 个内角的和，故选项A错误；三角形的外角大于任意 一个与它不相邻的内角，故选项B错误；根据三角形 A,三角形的一个外角等于两个内角的和 的内角和定理，可得一个三角形至少有一个内角大于 B.三角形的外角大于任何一个内角 或等于60°，故选项C正确；直角三角形的内角是直角 C.一个三角形至少有一个内角大于或等于60° 或锐角，则它的外角不可能是锐角，故选项D错误. D.直角三角形的外角可以是锐角 答案C 16 第3章 舞析纳 根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三 本题考查了命题与三角形的相关知识，注意判 边，而4十4=8<13，故这种情况不存在. 断命题正确与否时不要忽视真命题中的限制条件. 故△ABC的腰长AB为10. 辨析伯纳 巩固特训 解答此类题目需要考虑全面，在分类讨论的同 1,(2026·陕西榆林府谷期末)以下长度的三条线段中， 时还要考虑各种情况是否符合实际情况或基本事 不能组成三角形的是(). 实，如三角形的任意两边之和大于第三边、任意两 A.5,8,2 B.2,5,4 边之差小于第三边等， C.4,3,5 D.8,14,7 例3在△ABC中，∠A=36°，当∠C= 2.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于 90°，∠B,∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得 时，△ABC为等腰三角形 ∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出 解析①当AB=AC时， 其中的道理吗？ ∠A=36,.∠C=∠B=72°； ②当CA=CB时， :∠A=∠B=36°，∴.∠C=108°； ③当BA=BC时，∠C=∠A=36°. 综上所述，∠C的值为72°或108°或36° 答案72°或108°或36 (第2题) 辨析归纳 本题需要考虑全面，注意要分类讨论，按 AB=AC,CA=CB,BA=BC三种情况分别计算. )易错点2忽视分类讨论造成多解或漏解 例4(2026·安徽铜陵枞阳期末)等腰三角形的底 例2(2026·江苏无锡宜兴月考)已知在△ABC 边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美 中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. 比”，若等腰三角形ABC的周长为10，其中一条边长 (1)化简：a+b-cl+|b-a-c|= 是3，则它的“优美比”是() (2)若AB=AC,边AC上的中线BD把三角形的 周长分为15和6两部分，求腰长AB. A. B号C成 解答(1)2a提示：由题意，得a十b>c, 解析分两种情况讨论： a+c>b,.a+b-c>0,b-a-c<0, ①当3为腰长时.，等腰三角形ABC的周长 ∴.|a+b-c|+|b-a-c|=a+b-c+(-b+ 为10，∴.底边长=10-3-3=4. a+c)=a+b-c-b+a+c=2a. :3十34，满足三角形三边关系，“优美地”是行 (2)设AB=AC=2x,BC=y,则AD=CD=x. ,边AC上的中线BD将这个三角形的周长分 ②当3为底边长时. 成15和6两部分，∴.分两种情况讨论： ,等腰三角形ABC的周长为10， ①当3x=15,且x+y=6时， 限长=00-80÷2-名 解得x=5,y=1, .三角形的三边长分别为10,10,1； 3十子>名满足三角形三地关系。 ②当x+y=15,且3x=6时， 解得x=2,y=13,此时腰为4. %关比"是8时7-号 17 实验班提优训练数学八年级上SHKJ 综上，“优关比”是音或号 4.已知a,b,c为△ABC的三边长，且b,c满足(b一 5)2+|c-7|=0,a为方程|a-3|=2的解，求 答案D △ABC的周长 辨析分纳 分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，计 算对应底边长与腰长后求出“优美比”，同时验证三 边能否构成三角形. 饥固特训 3.(2026·海南海口期末)若等腰三角形一个角为30°， 则顶角的度数为() A.30°B.120°C.30°或150°D.30°或120° 素养考向提分 新考法 出∠ACD=∠A十∠ABC,∠ECD=∠EBC+∠E,结合 例(1)在△ABC中，∠ABC的平分线与 角平分战的性质，得出∠EBC=号∠ABC,∠ECD △ABC的外角∠ACD的平分线交于点E. 如图(1)，若∠A=70°，则∠E= ∠A十2∠ABC,即可注出∠E=3∠A. 1 如图(2)，若∠A=90°，则∠E= 答案(1)35°45°65 如图(3)，若∠A=130°，则∠E= (2)试猜想∠A与∠E之间存在一个怎样的数量 (2)猜想：∠E=∠A.证明如下： 关系，并证明你的猜想. ,∠ACD是△ABC的外角，∠ECD是△CBE 的外角， ∴.∠ACD=∠A+∠ABC,∠ECD=∠EBC+∠E. :BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, ∠EBC-专∠ABc,∠BD-专∠AD- D D (1) (2) B∠A+ZABC=3∠A+3∠ABC, ·∠ECD=2∠ABC+∠E,·∠E=2∠A. D (3) 本题属于双角平分线模型：一般我们设 解析(1)利用三角形的外角性质，得出 被平分的两组角分别为x和y,然后结合角平分 ∠ACD=∠A+∠ABC,∠ECD=∠EBC+∠E,结 线的性质、对角互补模型、8字形模型、燕尾模型 合角平分线的性质，得出∠EBC=2∠ABC, 1 等进行计算。 ∠D-2∠A+2∠ABC,即可得出∠E=2∠A,分 样反白 别代入∠A=70°，∠A=90°，∠A=130°，即可得出结论； 1.[数学模型] 如图(1)，AD,BC交于点O,根据“三角形内角和 (2)精想：∠E=2∠A,利用三角形的外角性质，得 是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关 18 第13章 系：①∠DOC=∠AOB;②∠D+∠C=∠A+∠B. ②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数. [提出问题] (2)当△ABC,△BPC,△ACP都是“倍角三角形” 分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平 时，求∠BCP的度数. 分线交于点E,如图(2)，∠E与∠D,∠B之间是 否存在某种数量关系呢？ [解决问题] (第2题) 备用图 已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E. (1)如图(3)，若AB/∥CD,∠D=30°，∠B=40°，则 ∠E= (2)如图(4)，若AB不平行CD,∠D=30°，∠B= 50°，则∠E的度数是多少呢？ 易证∠D+∠1=∠E+∠3，∠B+∠4=∠E+ ∠2，请你完成接下来的推理过程： ∴.∠D+∠1+∠B+∠4= .CE,AE分别是∠BCD,∠BAD的平分线， ∴∠1=∠2，∠3=∠4..2∠E= 3.好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下 又∠D=30°，∠B=50°，∴∠E= 列4个问题，请你帮她解决.如图，在△ABC中， (3)在总结前两问的基础上，借助图(2)，直接写出 ∠E与∠D,∠B之间的数量关系是 ∠BAC=48°，点I是∠ABC,∠ACB两角的平分 [类比应用] 线的交点. (1)填空：∠BIC= 如图(5)，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分 线CE交于点E. (2)若点D是两条外角平分线的交点，则 ∠BDC= 已知∠D=a,∠B=B(a<3),则∠E= (3)若点E是内角∠ABC,外角∠ACG的平分线 (用a,B表示) 的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并 说明理由； (4)在问题(3)的条件下，当∠ACB等于 度时，CE∥AB. (第3题) (4) (5) (第1题) 2.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍， 这样的三角形我们称之为“倍角三角形”.如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，P是线段AB上一点（不 与点A,B重合)，连接CP. (1)当∠B=72时. ①若∠CPB=54°，则△AC1 “倍角三角形”（填“是”或“否”）； 19根据题意，得12×12-号×12×6-号×61=96， 解得4=4，点P的速度为号-3(cm/S. (2)当点P在边AB上时，y=12×12-号×6× 31-2×61=14-12(0≤≤40： 当点P在边BC上时，y=号×(24-3)×12+ 号×6×12-)-180-214<≤8， 当P,Q相遇时，3t十t=36,解得t=9, 当点P在边CD上时，y=号×(36-4)×6= -12t+108(8t≤9) 综上所述，y与t的函数关系式为 -12t+144(0≤t≤4)， y=-21t+180(4<t≤8)， -12t+108(8<t≤9). 6.(1)根据题意，得=10x十8(10-x)=2x十80， ∴.总费用w与x的函数表达式为w=2x十80. (2)购进A种垃圾处理设备总费用不超过购进B种 垃圾处理设备的总费用， 40 10x≤8(10-x),解得x≤9 .x为正整数，且0<x<10, .x可取1,2,3,4， 。一共有四种方案： ①购买A种垃圾处理设备1台，购买B种垃圾处理设 备9台； ②购买A种垃圾处理设备2台，购买B种垃圾处理设 备8台： ③购买A种垃圾处理设备3台，购买B种垃圾处理设 备7台； ④购买A种垃圾处理设备4台，购买B种垃圾处理设 备6台. 第3章三角形中的边角关系、命题与证明 例1①B[解析]如下图，连接AB, A-- 根据三角形的三边关系，可得9-5<AB<9十5， 解得4<AB<14. 综上所述，A选项、C选项、D选项错误，不符合题意， 选项B正确，符合题意.故选B. 例2C[解析].F是CE的中点， ∴.S AACE=2 SAEF=8. E是BD的中点， .S△ABD=2S△ADE,SACBD=2S△CDE, ∴.SAABD+SACBD=2S△ADE+2 SACDE=2(SAADE+ S△cDE)=2S△AcE=16.故选C. 思路得本题考查了三角形的中线性质，由F是 CE的中点，可得S△4CE=2S△Ar=8,由E是BD的 中点，可得S△ABm=2S△ADE,SACBD=2S△cDE,即得 S△ABD+SACBD=2 SAADE+2S△cDE=2(S△ADE+ S△cDe)=2S△AcE,以此即可求解，掌握三角形的中线 性质是解题的关键 例3D[解析]由题意，得∠MBD=∠CBD= G∠ABC,∠DB=∠DN=2∠ACB, ∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-2∠ABC+∠ACB) =180°-7×(180°-709）=125， 即∠1+∠2+∠3=125°. 由折叠的性质，得∠1+∠3=∠BDM,∠2+∠3= ∠CDN,∠MDN=∠A=70°. '∠MDB+∠CDN+∠BDC+∠MDN=360°， ∴.∠1+∠2+2∠3+∠1+∠2+∠3+∠MDN= 360°，.3（∠1+∠2+∠3）-（∠1+∠2）+70°= 360°， .3×125°-（∠1+∠2）+70°=360°， ∴.∠1+∠2=85°.故选D. 例4：∠AFG是△FEC的外角， ∴.∠AFG=∠C+∠E. 同理，可得∠AGF=∠B十∠D, 在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°， ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°， 例5C[解析]A,两条直线被第三条直线所截，只 39 有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符 合题意；B.过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行，故本选项不符合题意；C.在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题 意；D.点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线 段本身，故本选项不符合题意.故选C 饥固特纱 1.A 2.如图，连接AC并延长. D C B (第2题) 在△ADC中，∠1=∠D+∠DAC, 在△ABC中，∠2=∠B+∠BAC, ∴.∠BCD=∠1+∠2=∠D+∠B+∠BAC+ ∠DAC=∠D+∠B+∠DAB=140°，∴.李叔叔 量得∠BCD=142°，就可以判定这个零件不合格. 一题多解如图，延长DC交AB于点M. .∠AMD=180°-∠A-∠D=180°-90°-30 =60°，∴.∠CMB=180° 0 ∠AMD=-180°-60°=120°， ∴.∠MCB=180°-∠B- ∠CMB=180°-20° 120°=40°， B M .∠DCB=180°-∠MCB=180°-40°=140°， ∴.李叔叔量得∠BCD=142°，就可以判定这个零 件不合格 3.D 4..(b-5)2+1c-7=0, 论8年0 b=5, .a为方程引a-3=2的解，∴.a=5或1. .b-c<a<b+c,.2<a<12, .a=5,∴.△ABC的周长=5+5+7=17. 释反白 1.[解决问题](1)35°[解析]，∠D+∠DCE= 40 ∠E+∠DAE,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB, ∴.∠D+∠DCE+∠B+∠EAB=2∠E+ ∠DAE+∠ECB, :CE平分∠BCD,AE平分∠BAD, .∠DCE=∠ECB,∠DAE=∠BAE, ÷2∠E=∠B+∠D,∴∠E=2(∠D+∠B), ÷∠E=2(30°+409=35 (2)2∠E+∠3+∠2∠D+∠B40 (3)∠E=2∠D+∠B) [类比应用] 含g-a [解析] 如图，延长BC交AD于点F. :∠BFD=∠B十∠BAD, B (第1题) ∴.∠BCD=∠BFD+∠D= ∠B+∠BAD+∠D. ,CE平分∠BCD,AE平分∠BAD, ÷∠ECD=∠BCB=2∠BCD, ∠EAD=∠EAB=Z∠BAD, ,∠E+∠ECB=∠B+∠EAB, .∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+ ∠EAB-2∠BCD=∠B+∠EAB-2(∠B+ ∠BAD+∠D)=2(∠B-∠D. “∠D=a,∠B=B,∠E=2g-a). 2.(1)①是[解析]∠ACB=90°，∠B=72°， ∴.∠A=90°-72°=18°. :∠CPB=54°，∠A+∠ACP=54°， ∴.∠ACP=54°-18°=36°，∴.∠ACP=2∠A, .△ACP是“倍角三角形”. ②，∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”， ∴.△BCP内角的度数分别是72°，72°，36°， ∠BCP=36或72°，.∠ACP=54°或18°. (2)如图(1)，当△ABC是等腰直角三角形，CP⊥ AB时，满足条件，此时∠BCP=45°； 如图(2)，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件，此 时∠BCP=60°； 如图(3)，当∠A=60°，∠BP℃=100°时，满足条 件，此时∠BCP=50°； 如图(4)，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条 件，此时∠BCP=40°； 如图(5)，当∠B=60°，∠AP℃=90°时，满足条件， 此时∠BCP=30°. (1) (2) 100 1009 (3) 4 B (5) (第2题) 综上所述，满足条件的∠BCP的值为30°或40°或 45或50或60°. 素养考向“新定义”型问题，主要是指在问题中 给出了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、 新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力 进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一 种题型.考查了学生的推理能力和运算能力， 3.(1)114°[解析].∠A=48°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-48°=132°. 点I是∠ABC,∠ACB两角的平分线的交点， ∴∠IBC+∠ICB= 2ZABC+∠ACB)=66, ∴∠B1C=180°-66°=1148 >记住∠BIC=90°+2∠A便于快速解题 (2)66”[解析]由题意，得∠CBD=专(180° ∠ABC),∠BCD=号(180-∠ACB), ∠CBD+∠BCD=180-吉(ZABC+ ∠ACB)=180°-2180°-∠A)=90+2∠A= 90+2×48°=14，∠BDC=180-(∠CBD+ ∠BCD)=66°. (3)∠BBC=号∠BAC.理由如下： 设∠ACE=∠ECG=x,∠ABI=∠IBC=y, 则2x=2y十∠BAC①，x=y+∠BEC②， 0÷2-@,得∠BBC-号∠BAC (4)84[解析].CE∥AB,∴.∠ECA=∠BAC= 48°.，CE是∠ACG的平分线， .∠ACG=2∠ACE=96°，∴.∠ACB=180°- ∠ACG=180°-96°=84°. 第14章全等三角形 例1AC∥DF且AC=DF[解析].AB∥DE, ∠ABC=∠DEF, .'BE=CF,..BE+EC=CF+EC,.'.BC=EF. (AB=DE, 在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF, BC-EF, ∴.△ABC≌△DEF,(SAS) .∠ACB=∠DFE,AC=DF, ∴.ACDF且AC=DF. 例245°[解析]在△AEF和△ABC中， (AE=AB, ∠E=∠B, EF=BC, ∴.△AEF≌△ABC,(SAS) ∴.∠EAF=∠BAC, ∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF,即∠EAB= ∠CAF. ,∠EAC=100°，∠BAF=10°， :∠EAB=∠EAC,∠BAF=45 例3D[解析]∠C=∠D=90°，AB=AB, ∴.①∠ABC=∠BAD,可用AAS判定△ABC与 △BAD全等； ②∠BAC=∠ABD,可用AAS判定△ABC与 41