第11章 平面直角坐标系 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

第11章 平面直角坐标系 知识梳理导图 点(0,0) 原点 确定点的位置确定，点的坐标 x轴：（任意实数，0） 横坐 右加 坐标轴 左右 y轴：（0，任意实数) 平移 桥变化左减 平面直角 应 图形在 第一象限：（十，十） 义 坐标系 纵坐标不变 各象限 坐标系 第二象限：（一，十） 点的坐 中的平移 横坐标不变 第三象限：（一，一） 标特征。象限 上下 纵坐 移动 上加 第四象限：（十，一） 标变化 下减 重难疑点解法 分上分点1平面直角坐标系内点的坐标特征 离坐标原点最远？ 例1在平面直角坐标系中，点A(-2025, 名师启发根据学校和体育场的坐标确定出 原点的位置，然后根据各地点在坐标系中的位置，判 2026)落在(). 断出离原点最近和最远的点. A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 名师启发根据平面直角坐标系各象限内点 的符号特征即可得答案， 归纳总结 确定点的位置的关键是理解各象限内点的横 坐标与纵坐标的符号特征，还有x轴，y轴上的点 的坐标特征等， 例2如图是某城市一个区域的示意图，建立平 关键提醒 本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的 面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是(3,1)， 应用，根据学校和体育场的坐标找到原点是解题的 (4,一2).解答下列问题： 关键。 上分点2平面直角坐标系内图形的面积 超市 例3(2026·辽宁沈阳和平区期末)如图，在平面 体育汤 直角坐标系中. 医院 (1)描出下列各点：O(0,0),A(一2,3)，B(一5， (1)请你建立平面直角坐标系。 4),C(-6,1); (2)分别写出超市和医院的坐标. (2)在(1)的条件下，依次连接O,A,B,C,O,求 (3)图中的哪个地点离坐标原点最近？哪个地点这个四边形的面积 1 实验班提优训练数学八年级上SHKJ 例5如图，由边长为1的小正方形组成的网格 中，点A,B,C,B1均在小正方形的顶点上，其中点C 3 的坐标为(2,1). 21 654 名师启发(1)根据坐标描点即可； (2)将四边形放在长方形中，用长方形的面积减 (1)请在网格中建立合适的平面直角坐标系，并 去周边的规则图形的面积即可. 写出点B的坐标； (2)将三角形ABC平移至三角形A,B1C1,使点B与 B1重合，画出平移后的三角形A1B1C1,求出线段AC扫 过的面积； (3)在y轴上找点D,使三角形DBC的面积 为3，则点D的坐标为 名师启发(1)根据C点坐标，确定平面直角 坐标系即可；(2)利用平移变换的性质分别作A,C的 对应点A1,C1,然后连接A1B1,B1C1,A1C1,AA1, CC1,求出四边形ACC1A1的面积即可；(3)构建方程求 解即可. 归纳总跨 本题考查平面直角坐标系内描点和求坐标系 中图形的面积，掌握坐标系中，点的坐标的含义和求 面积的方法是解题关键。 上分点3平面直角坐标系中的平移 例4已知点A,B的坐标分别为(-4,2)，(0， 一4)，将线段AB平移至A1B1,若点A1,B1的坐标分 别为(a,8),(6,b),则a十b的值为 名师启发由点A,B的坐标及其对应点A1, B,的坐标，可知线段AB是向右平移6个单位长度， 向上平移6个单位长度得到线段A1B1,即可求出a, b的值. 守方法技巧 个关键提醒 题考查了坐标与图形变换一 平移，牢记平 本题考查了作图—平移变换，解题关键是理 面直角坐标系内，点的平移规律：上加下减、右加左 解并掌握图形平移的方向和距离与图形上每个，点 减是解题的关键. 的平移方向和距离是相同的 第1章 易错易混辨析 )易错点1混淆点的坐标特征 y轴的距离为5，求x十y的值， 例1(2026·江苏泰州泰兴期中)点M在第二象 解答 因为点M(x,y)到x轴的距离为3， 所以|y|=3,即y=±3. 限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点 因为点M(x,y)到y轴的距离为5， M的坐标是(). 所以|x=5,即x=士5. A.(4,-3) B.(-4,3) 所以当x=5,y=3时，x+y的值为8； C.(3,-4) D.(-3,4) 当x=5,y=-3时，x十y的值为2； 解析设点M的坐标是(x,y), 当x=一5，y=3时，x十y的值为一2； ,点M到x轴的距离为3，到y轴的距离 当x=一5，y=-3时，x十y的值为-8. 为4，∴.|y|=3,x=4,∴.x=士4，y=士3. 综上，x十y的值为8或2或-2或-8. .点M在第二象限，x<0,y>0, 辨析纳 .x=-4,y=3, 本题符合条件的情况较多，没有掌握点到坐标 .点M的坐标是(-4,3). 轴的距离的实质特征，易出现漏解. 答案B 辨析伯纳 巩固特 x轴上的，点的纵坐标为0，y轴上的，点的横坐 2.(2025·云南昆明期中)如图，在平面直角坐标系中， 标为0；平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，平 点C(0,6),点A在x轴负半轴上，点B在x轴正 !行于y轴的直线上的，点横坐标相同；一个点到 半轴上，连接AC,BC,OB=4OA,AB=10. x轴的距离等于这个点纵坐标的绝对值，一个点到 (1)直接写出点A,点B的坐标； y轴的距离等于这个点横坐标的绝对值. 1 (2)P是坐标轴上的一点，若S△Cp=3 SAIC (S△CaP和SAABC分别指三角形CAP和三角形 巩固特 ABC的面积)，请求出满足条件的点P坐标. 1.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的四个 顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-1,-2), C(3,-2),D(3,1),一动点P从点A出发，以 单位长度/秒的速度沿A→B→C一D之 AO B x (第2题) 环运动，则第2026秒点P所在的位置是(). (第1题) A.(-1,0) B.(2,1) C.(1,-2) D.(-1,-1) )易错点2考虑不全导致漏解 例2已知点M(x,y)到x轴的距离为3，到 3 实验班提优训练数学八年级上SHKJ 素养考向提分 新情境 摩天轮 例如图是游乐园一角的平面示意图，图中 跷板 秋千■■ 旅转木马 1个单位长度表示100m. 跳跳床 摩天轮 北 跷跷板 碰碰库 东 大门 跳跳床 碰碰车 (2) 大门 o⊙点拨 本题考查了坐标确定位置，数形结合是 (1)如果用有序数对(1,0)表示跳跳床的位置，填 解题的关键 写下列两个游乐设施的位置：跷跷板 ,碰碰 车 样反白 1.(2025·来宾兴宾区一模)如图所示是红、黄两队某局 (2)秋千的位置是(3,2)，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东400m,再往北300m 冰壶比赛结束后的冰壶分布图，以大本营内的中 处，请在图中标出来. 心点O为原点建立平面直角坐标系，按比赛规则， 解析(1)首先根据跳跳床的位置建立平面直 更靠近原点的冰壶为本局胜方，则最靠近原点的 冰壶所在位置位于( 角坐标系，然后即可表示出晓晓板和碰碰车的位置； (2)根据(1)中画出的平面直角坐标系，结合秋千 的位置是(3,2)即可求解； ) 红 (3)根据旋转木马在大门以东400m,再往北 300m处即可求解. 答案(1)(0,2)(3，一1)提示：，跳跳床的 面 位置可以用有序数对(1,0)表示，∴.可以建立如图(1) 红 黄 所示的平面直角坐标系。 (第1题) A.第一象限 B.第二象限 摩天轮 C.第三象限 D.第四象限 跷跷板 东 新考法 跳跳床 9 例2在平面直角坐标系中，点P(1-3m,2- 碰碰车 大门 n),Q(m-3,2m+5). (1)如果点P在y轴上，点Q在x轴上，求m, n的值 (1) (2)点P和点Q是否能同在第三象限内？若能， 由以上图形可知，跷跷板位置的坐标为(0,2)，碰 求出m,n的范围；若不能，请说明理由， 碰车位置的坐标为(3，一1). (3)如果PQ∥y轴且PQ=6,求m,n的值 (2)如图(2)所示，秋千的位置即为所求. 解析(1)根据坐标轴上的点的坐标特征即可 (3)如图(2)所示，旋转木马的位置即为所求. 解决问题；(2)根据第三象限内的点的坐标特征即可 第1章 解决问题；(3)根据平行于y轴的直线上的点的坐标 坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 特征即可解决问题， 答案(1)4 答案(1)因为点P在y轴上， (2),点B(3-2a,-1)是“完美点”， 所以1一3m=0,解得m= 1 .13-2a=|-1|, 3 ∴.3-2a=1或3-2a=-1, 因为点Q在x轴上， 解得a=1或a=2. 所以2m十5=0，解得n=- 5 (3),点C(-2,3b+1)的长距为5，且点C在第 21 三象限内，∴.3b十1=-5， 5 2 解得b=-2,.4-26=4+4=8, .点D的坐标为(8，一8)， (2)点P和点Q不能同时在第三象限内.理由如下： ∴点D到x轴、y轴的距离都是8， 当点P在第三象限内时，1一3m<0,2-n<0,解 点D是“完美点” 得m>3>2: 归纳总结 本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴 当点Q在第三象限内时，m一3<0,2n十5<0，解 的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键， 得m3a心一号 样反白 显然找不到同时满足要求的n的值， 2.△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(一1,0)， 所以点P和点Q不能同时在第三象限内. C(1,0).小红把△ABC平移后得到了△A'B'C,并写 (3)因为PQ∥y轴， 出了它的三个顶点的坐标A'(0,0),B'(一2，一3)， 所以1-3m=m一3，解得m=1. C(2,-3). 又PQ=6,所以|2-n-(2n+5)|=6,解得n= (1)你认为小红所写的三个顶点的坐标正确吗？ 1或-3. 请说明理由. 故m的值为1，n的值为1或一3. (2)如果小红所写的三个顶点的纵坐标都正确，三个 的点羽 顶点的横坐标中只有一个正确，那么你能帮小红 本题考查坐标与图形性质，熟知坐标轴 正确写出三个顶点的坐标吗？ 上及每个象限内点的坐标特征是解题的关键， 例3(2026·甘肃兰州期末)在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离中的较大 值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等 时，称点Q为“完美点”. (1)点A(-4,3)的“长距”为 (2)若点B(3-2a,-1)是“完美点”，求a的值； (3)若点C(-2,3b+1)的长距为5，且点C在第 三象限内，点D的坐标为(4一2b,一8)，试说明：点D是 “完美点” 解析(1)根据“长距”的定义解答即可； (2)根据完美点的定义，可得|3-2a|=|一1|，求 出答案即可； (3)先根据“长距”是5求出b,进而得出点D的 5 实验班提优训练数学八年级上SHKJ 3.新饕克(2025·黑龙江哈尔滨道外区期末改编)如图，在4.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1, 平面直角坐标系xOy中，点A(a,0),B(c,c),C y1)与P2(x2,y2)的“近似距离”，给出如下定义： (0,c),且满足(a十8)2+|c+4=0,点P,点Q同 若x1一x2|≥|y1-y2,则点P1(x1,y1)与 时出发，点P从点A出发沿x轴正方向以每秒 点P2(x2,y2)的“近似距离”为x1一x2;若|x1 2个单位长度的速度匀速移动，点Q从点O出发 x2<y1-y2,则点P1(x1,y1)与点P2(x2,y2) 沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动 的“近似距离”为y1一y2· (1)AO和BC的位置关系是 (1)已知点P(-3,4),点Q(1,1),则点P与点Q (2)如图，当P,Q分别在线段AO,OC上时，连接 的“近似距离”为 PB,QB,设此时点P,点Q的运动时间为t (2)已知点A(0,-2),B为x轴上的动点 ①请分别用含t的式子表示△PAB和△QBC的 ①若点A与点B的“近似距离”为3，写出满足条 面积； 件的点B的坐标 ②若S△PAB=4S△QC,求出点P的坐标 ②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值： (3)已知点C(2m十2，m),点D(1,0),写出点C与 点D的“近似距离”的最小值及相应的点C的坐标 B (第3题) 6答亲6D详解 第1章平面直角坐标系 为所求作. 例1DB :SACC A,=4X2=8,∴线段AC扫过的面积为8. (3)(0,1)或(0,5)[解析]设D(0,m),由(1)，知线 例2(1)建立平面直角坐标系如图所示. 段BC过点(0,3). 三角形DBC的面积为3， 超市10 對校 432112346 ÷号×m-3引×3=3，解得m=1或5， ∴.点D的坐标为(0,1)或(0,5). 医院 巩固特训 1.A[解析]由A(-1,1),B(-1,一2)，C(3,-2), (2)超市的坐标为（一2,1），医院的坐标为（一1，一3）. D(3,1)可知， (3)超市到坐标原点的距离最近，体育场到坐标原点 AB=CD=1-(-2)=3,BC=AD=3-(-1)= 的距离最远。 4,且四边形ABCD为长方形， 例3(1)如图，描点如图， ∴.长方形ABCD的周长为2×(3+4)=14. :2×202=3030, ∴.3039÷14=217…1， ∴.第2026秒点P所在的位置在点A(-1,1)下方 121,0123 1个单位长度处，即P(一1,0).故选A. 2.(1).'OB=40A,AB=10,OA+OB=AB, 0B=号AB=8,0A=号AB=2, ∴.A(-2,0),B(8,0). (2)如图，四边形OABC的面积为4X6-号X1X3 (2)C(0,6),∴.OC=6, 1 3×1×6号×1×33×2x3-1x2=24- 1 3 .S△AC=2 ×10×6=30, 33 -3-2=13. .S△CAP= Sae=10 例44 ①当点P在x轴上时，设P(x,0), 例5(1)平面直角坐标系如图所示，B(-1,4). 则号×6X1x-(-201=10, 解得x=音或x= 3 点P坐标为（停）或(9o): ②当点P在y轴上时，设P(0,y), 则号×2×1y-61=10,解得y=16或y=-4, .点P坐标为(0,16)或(0，-4) (2)如图，分别作出A,C的对应点A1,C1,然后连接 A1B1,B1C1,A1C1,AA1,CC1,则三角形A1B1C1即 综上，满足条件的点P坐标为（停0）或(-90)或 35 (0,16)或(0，-4). ∴点P的坐标为（号，0小： 举反白 4.(1)4 1.D (2)①(3,0)或(-3,0) 2.(1)不正确.理由如下： ②2[解析]设点B的坐标为(x,0), 因为由A(0,3)到A'(0,0),向下平移3个单位，由 .A(0,-2),∴.|-2-0=2，|0-x|=x. B(一1,0)到B(一2，-3)，向下平移3个单位，向 若|一2-0≤0一x|,则A,B两点的“近似距离” 左平移1个单位，由C(1,0)到C(2,一3)，向下平 为x|≥2； 移3个单位，向右平移1个单位，A,B,C三点平 移的单位和方向各不相同，所以小红所写的三个 若|一2-0>0一x|,则A,B两点的“近似距离” 顶点的坐标不正确. 为|-2-0|=2. (2)当点A'的横坐标正确时，则对应点的坐标 .A,B两点的“近似距离”的最小值为2. 为A'(0,0),B'(-1,-3),C(1,-3); (3)当m|>|2m+1|时，点C与点D的“近似距 当点B的横坐标正确时，则对应点的坐标为A'(一1， /m<2m+1, 离”为m.则有 0),B'(-2,-3),C(0,-3); m<-2m-1, 当点C的横坐标正确时，则对应点的坐标为A'(1, 1 解得-1<m<-3 0),B(0,-3),C'(2,-3). 当m≤2m十1|时，点C与点D的“近似距离” 和识拓展本题主要考查图形的平移.在平面直 -m≤2m+1, 角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规 为|2m+11.则有 -m≤-2m-1 解得m≥号 律相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加， 左移减；纵坐标上移加，下移减 或m≤-12m十1的最小值为 3.(1)BC∥AO 综上所述，点C与点D的“近似距离”的最小值 (2)①过点B作BE⊥AO于点E,如图. y 为2m+1=3,相应的点C的坐标为（传，-号） 第12章函数与一次函数 例1①D (第3题) 例2B[解析]观察图象可知，①当x=18时，y= (a十8)2+c+4=0,∴.a=-8,c=-4.故 260,原说法正确；②当0<x<2.5时，y随x的增大 A(-8,0),B(-4,-4). 而减小，当2.5<x<4时，y随x的增大而增大，原说 由题可得AP=2t,OQ=t,BE=4,BC=4,CQ= 法错误；③当x=14时，y有最小值为80，原说法正 4-t, 确；④当天在5≤x≤10以及18≤x≤23时间段时， Sw=号AP·BE=2X2X4=4, 货轮适合进出此港口，原说法错误.所以结论正确的 S8a=300·Bc=号4-e0X4=8-2. 个数为2.故选B. 例3B[解析]当k>0时，函数y=x经过第一、 ②，S△PAB=4S△QBC, 三象限，函数y=2x一k经过第一、三、四象限 ·4t=4(8-2),解得=8 , 选项中没有符合条件的图象； 当k<0时，函数y=kx经过第二、四象限，函数y= AP=2-9,0P-0A-AP 3 2x一k经过第一、二、三象限，选项B的图象符合要求. 36