第10章 数的开方 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（华东师大版·新教材）

答亲6D详解 第10章数的开方 ④6的平方根是士号，原说法错误， 例1D[解析]A.一1没有平方根，选项错误，不符 所以说法正确的有2个.故选B. 合题意；B.(一2)2的平方根是土2，选项错误，不符合 3.-3[解析]一216+√9=-6+3=-3. 题意；C.9的算术平方根是3，选项错误，不符合题意； 4.6±55-2 D.一8的立方根是一2，选项正确，符合题意.故选D. 5.(1).4x2=121, 例2B[解析].√x+2026+|y-20261=0, (x+2026=0,. （x=一2026， x2121 = 11 y-2026=0,y=2026, (2).(x+2)3=125, 2026 -202612026 .x+2=5,∴x=3. 2026 =1.故选B. 例3B[解析]在实数3.14159、27=3、4.21、 6.B解析5.0、-3是有理数W2是无理数故选B 号、2、1.010010001…（相尔两个1之间0的个教逐 22元 7.2[解析①是无限不循环小数，是无理数： 次加1)中，无理数有1.010010001…（相邻两个1之 ②√36=6，是有理数； 间0的个数逐次加1)、，共2个放选B 22 ③是分数，是有理数： 例4B[解析]根据数轴可知点A的位置在1和 ④3.1415926是有限小数，是有理数； 2之间，且靠近2， ⑤一64=一4，是有理数； 而2<√7<3,1<6<2，±√9=±3,8=2， ⑥5.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐 .只有6的立方根符合题意.故选B. 次加1)，是无限不循环小数，是无理数. 1 故无理数有2个 例5(1)27+12-31-25×√25 孔释反日 -3+2-5-25×号 1.(1)设瓶内溶液的体积为xmL,则空余部分的体 =3+2-√3-5=-√5： 积为易m (2)-1226+√9-8+1√5-2 根据题意，得x+20x=540,解得x=432. =-1+3-2+√5-2 432mL=432cm3. =√5-2. 故瓶内溶液的体积为432cm3. 巩固特刘 (2)设正方体容器的棱长为ycm, 1.B[解析]A.一√64=一8，故选项A不符合题意； 根据题意，得2y3=432,解得y=6. B.√64=8，故选项B符合题意； 故正方体容器的棱长为6cm. C.士√64=士8，故选项C不符合题意； 旧纳总结本题考查了一元一次方程的应用以及 D.64=4,故选项D不符合题意. 立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系， 故选B. 正确列出方程。 2.B[解析]①一64的立方根是一4，原说法正确； 2.(1)由方格图可知，④号正方形的面积S=2×2一 ②49的算术平方根是7，原说法错误； 1 4×2×1×1=2. ③27的立方根是号，原说法正确， ,④号正方形的面积S=a2, ，30 ∴.边长a=√2 2026)≥0， (2)题图(3)中平行四边形的周长为2(2a+2)= .x+y-2026=0,.x+y=2026, 4a十4，等腰梯形的周长为a十2a十a+2×2= ∴√2x+3y-m+√3x+4y-2m=0. 4a+4, .'√2x+3y-m≥0，√3x+4y-2m≥0， ∴小曙的发现是正确的，题图(3)中等腰直角三角 W2x十3y-m=0,W3x十4y-2m=0, 形、平行四边形、等腰梯形的周长相等， →算术平方根非负性的应用 关键提醒本题考查列代数式，以及代数式与几 何图形的面积和周长结合的综合问题.熟练掌握 ∴.2x+3y-m=0,3x+4y-2m=0, 等腰直角三角形、正方形面积公式及算术平方根 ∴.m=2x+3y,2m=3x+4y, 的意义是解题的关键 ∴.2m-m=(3x+4y)-(2x+3y), .m=x+y=2026. 3.B[解析]A圆周率是一个大于3而小于4的无理 .452=2025,462=2116,2025<2026<2116, 数，正确；B.圆周率是一个无理数，原说法错误； C.圆周率是一个与圆的大小无关的常数，正确； .√m的“湘一区间”是(45,46). D.圆周率等于该圆的周长与直径的比值，正确.故 思路得本题考查无理数的估值、算术平方根 选B 的非负性，理解题千中“湘一区间”的概念是解题 的关键 4.3.375 [解析]由题意，将V=专代人d≈ (1)根据“湘一区间”的概念求解即可； 316y4 364 16v,得d≈入。×3r27πr3 (2)根据“湘一区间”的概念列出关于a的不等式 组，求出a的取值范围，根据a为正整数确定 364, :d=2r,2r=8r≈√27r, a的值，进而求解即可； (3)在√x+y-2026和√2026-x-y中，根号下 即8r3≈ 27 8 =3.375. 的式子互为相反数，从而利用根号下的式子大于 等于0，确定x十y的值和已知等式右边式子的值 5.当h=490时，490=2×9.8Xt, 为0，再利用算术平方根的非负性得到关于m和 解得t=10(负值已舍去). x、y的关系，进而求解即可. 故物体下落的时间是10s. 7.(1)4√23-4[解析].42=16,52=25，而16< 6.(1)(3,4)(-3,-2)[解析].32<10<42， 23<25,∴.4<√23<5， .√10的“湘一区间”是(3,4). .22<8<32,∴.n=2, ∴√23的整数部分是4，小数部分为√23一4. (2).32=9,42=16,而9<13<16， .根据题意，一√8的“湘一区间”是（一3，一2） (2)由题意，得22<a<32,32<a+3<42, .3<√/13<4， 4<a9, ∴√13的整数部分m=3,小数部分n=√13一3， ∴.6<a<9. (9<a+3<16, ∴.2m-n+√13=2×3-（√13-3）+√/13=9. .a为正整数，.a=7或a=8. (3)13-√13[解析].3<√13<4， 当a=7时，√a+1=√/7+I=√8； .10<7+√/13<11. 当a=8时，√a+1=√8+1=√9=3. 7+√13=x十y,其中x是整数，且0<y<1, (3)由题意，得√x+y-2026和√2026-x-y有 意义， ∴.x=10,y=7+√13-10=√/13-3， .x+y-2026≥0,2026-x-y=-(x+y- ∴.x-y=10-(√13-3)=13-√13. 314 思路引得本题考查估算无理数的大小，掌握算 例4[(5m-n)2-(5m+n)(5m-n)]÷2n= 术平方根的定义是正确解答的关键. (25m2-10mn+n2-25m2+n2)÷2n (1)根据算术平方根的定义估算无理数√23的大 =(-10mn+2n2)÷2n 小即可； =-5m十n. (2)根据算术平方根的定义估算无理数√13的大 当m=-号n=2025时，原式=-5×(-号)十 1 小，确定m、n的值，再代入计算即可； 2025=2026. (3)根据算术平方根的定义估算无理数√3的大 例5C[解析]A.等式右边不是整式乘积的形式， 小，进而得到7十√13的大小，确定x、y的值，再 代入计算即可 分解错误，不符合题意；B.4x2-9=(2x十3)(2x 3)≠(4x+3)·(4x一3)，分解错误，不符合题意； 第1章整式的乘除 C.4x2一20x=4x（x一5)，分解正确，符合题意； 例1C[解析]A.a·a3=al+3=a4,但选项A结 D.a2-2a+1=(a-1)2≠(a+1)2,分解错误，不符 果为a3,错误； 合题意.故选C B.a5÷a2=a6-2=a4,但选项B结果为a3,错误； 饥固特训 C.(ab)2=a2b2,符合积的乘方法则，正确； 1.(1)2X8=42,.x·x=(x)2, D.(a3)2=a3x2=a,但选项D结果为a5,错误. 即xa+c=x2b,∴.a十c=2b. 故选C. (2)xa-6+=x“÷x6.(x)2=2÷4X82=32. 例2A[解析](2x2+mx十6)(x十1)=2x3+ 2.C[解析](3x+1)(2x-1)=6x2+2x-3x-1= 2x2+mx2+mx+6.x+6=2x3+(m+2)x2+(6+ 6.x2-x-1. m)x+6. .(3x+1)(2x-1)=6x2+x-1,.p=-1. ,(2x2+mx+6)(x+1)展开后的结果中不含x2 故选C. 项， 3.C[解析]、m十n=-2,mn=-2, ∴.m+2=0,解得m=-2. ∴.(1-m)(1-n)=1+mn-(m+n)=1-2+2= 故选A 1.故选C 例3(1)(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2- 4.B[解析]：2ab+4ab2=2ab(1十2b),∴.应提取 2ab+b2 的公因式是2ab.故选B. (2)(a+b)2一(a一b)2=4ab[解析]由题图(3)知， 5.2a(b-1)2[解析]原式=2a·(b2-2b+1)= 大正方形边长为a+b,小正方形边长为a一b,且大正 2a(b-1)2. 方形面积=小正方形面积十4×小长方形面积， 6.(1)原式=4m(2m-3n). ∴.(a+b)2-(a-b)2=4ab. (2)原式=a2(x-y)-b2(x-y)=(x-y)(a2 (3)①30[解析].(x十y)2=x2十2xy十y2, b2)=(x-y)(a+b)(a-b). xy-（z+》,x+2_10,40-=30, 因式分解要彻底，此处还可利用平方差公式分 2 解因式 ②令x-300=a,200-x=b, 7.(1)x3-6x2+9x 则a+b=-100,a-b=2x-500. =x(x2-6x+9) .(x-300)(200-x)=2025, =x(x-3)2 ∴.ab=2025. (2)(x2+4)2-16x2 由(2)可知，(a十b)2-(a-b)2=4ab, =(x2+4+4x)(x2+4-4x) 则(2x-500)2=(a-b)2=(a+b)2一4ab= =(x+2)2(x-2)2. (-100)2-4×2025=1900. (3)ab-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)=ab. ，32第10章 数的开方 知识梳理导图 如果一个数x的平方等于a: 那么这个数x叫做a的平方 立 如果一个数x的立方等于a,那么这个 根，即x2=a,x=士反 平方根 方 数x叫做a的立方根，即x3=a,x=a 正数a的正的平方根， 根 叫做a的算术平方根 算术平方根 平 数的 开方 有理数。整数和分数统称为有理数 0的平方根只有1个，也叫做 实 0的算术平方根，记作V60的平方根 根 数 无理数无限不循环小数叫做无理数 重难疑点解法 2上分点1平方根、算术平方根、立方根的概念 分上分点3 无理数的概念 例①(2025·山西长治期末)下面的说法正确的是 例3 在笑数：3,141597、《2i,号子、 A.-1的平方根是士1 1.010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1) B.(一2)2的平方根是一2 中，无理数有( C.9的算术平方根是士3 A.1个 B.2个 D.一8的立方根是一2 C.3个 D.4个 名师启发根据平方根、算术平方根、立方根 名师启发本题考查了实数的分类，有理数包 的定义逐项分析即可. 括整数和分数，无理数也称为无限不循环小数，不能 少归纳总结 写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的 本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定 数字有无限多个，并且不会循环，据此逐个判断即可。 义，解题的关键是熟记相关定义 史归纳总结 分上分点2算术平方根的非负性 无理数的三种形式：①无限不循环小数，如 0.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加 例2已知v√x+2026+|y-20261=0,则 1);②开方开不尽的数，如√7；③含有π的数，如一2元 2026 的值为(). 上分点4实数与数轴 A.0 B.1 C.-1 D.2 名师启发由绝对值和算术平方根的非负性 例4(2026·河北石家庄正定期末)如图，数轴上 以及两个非负数的和为0，得这两个数一定为0，得出 点A表示的数可能是( 方程组，解之求出x、y的值，代入计算即可. 个关键提醒 2=101234 本题考查了非负数的性质以及求代数式的值， A.7的算术平方根 B.6的立方根 根据非负数的性质求出x和y的值是解答本题的 C.9的平方根 D.8的立方根 关键。 名师启发先根据数轴判断点A对应的数的 范围，再根据各选项分别判断各数的范围或求得其具 1 实验班提优训练数学八年级上HSD 体值，从而可得答案。 化简绝对值，然后计算即可. 个关建提醒 本题考查了估算无理数的大小、实数与数轴，解 题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的概念. 分上分点5实数的运算 例5计算： 1 (1)27+12-31-25×√25； (2)-1226+√9-98+1√5-21. 名师启发(1)先根据算术平方根和立方根的 关键提醒 本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟 定义、绝对值的意义进行化简，再计算即可； 练掌握实数的有关定义，按照运算法则准确计算， (2)先计算有理数的乘方、算术平方根、立方根， 易错易混辨析 混淆平方根、算术平方根、立 A.1个 B.2个 )易错点1 方根的概念 C.3个 D.4个 例①下列各式正确的是( ) 3.计算：一216+9= A.√(-2)2=-2 B.(-√3)2=9 4.化简：√36= ;士√25= ；3125= C.士√4=土2 D.-9=-3 解析A.√（一2）2=2≠一2，故本选项不符合 -8= 题意； )易错点2解方程时漏根或多根 B.(一√3)2=3≠9，故本选项不符合题意； 例2求下列式子中x的值： C.士√4=士2，故本选项符合题意； (1)3x2-36=0; D.一9≠一3，故本选项不符合题意. (2)8(x-1)3+125=0. 答案C 解答(1)，3x2-36=0, 辨析伯纳 .3x2=36,.x2=12, 本题考查了立方根、平方根以及算术平方根的 解得x=√12或x=一√12， 定义，熟练掌握各定义是解题的关键. (2)8(x-1)3+125=0, .8(x-1)3=-125, 巩固特 (x-1)3=- 12 1.(2026·浙江金华永康期末)下列计算结果错误的是 8, (). x-1=-5 , A.-√64=-8 B.√64=±8 C.±√64=±8 D.64=4 解得上=一是 2.下列说法正确的有(). 辨析 ①一64的立方根是一4；②49的算术平方根是 本题主要考查了用求平方根和立方根的方法解 方程，熟知求平方根和立方根的方法是解题的关键 士7：⑤7的立方根是号④品的平方根是子 2 第10章 饥固特训 -8、20.72727221…(相邻两个7之间2的个 5.(2026·江苏盐城东台期未)求下列各式中的x的值. (1)4x2=121; 数逢次加1)中，无理数有6、2072727227… (2)(x+2)3=125. (相邻两个7之间2的个数逐次加1)，共3个. 答案C 辨析伯纳 本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的 定义是解题的关键.根据无理数的定义判断即可 巩固特 )易错点3 对有理数和无理数的概念混淆 6.下列四个数中，为无理数的是(). 不清 A.5 B.√2 C.0 例3(2025·山西运城期末)下列实数 v6、 3.14159265、-8、20.7272727-(相邻两个 7.(26·山东满将期术下列各数：①背，②V丽；®号， 7之间2的个数逐次加1)中，无理数有(). ④3.1415926；⑤-64；⑥5.1010010001…（相 A1个B.2个 C.3个 D.4个 邻两个1之间0的个数逐次加1).其中是无理 解析-8=-2，在实教品5,211526的、 数的有 个 素养考向提分 新情境 答案(1)一√2+2提示：，蚂蚁从点A沿 例①如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了 数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示一√2， 2个单位长度到达点B,点A表示一√2，设点B所表 ∴.点B表示-√2十2，m=-√2+2. 示的数为m. (2).m=-√2+2， A -22-1 ∴.m+1=-√2+2+1=-√2+3>0，m-1= (1)m= -√2+2-1=-√2+1<0， (2)求|m+1|+|m-1|的值； ∴.lm+1|+|m-1|=m+1-(m-1)=m+ (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和 1-m+1=2. d,且有|2c+4|与w√d-4互为相反数，求2c+5d的 (3).12c+41与√d一4互为相反数， 平方根. 解析(1)根据数轴上点的移动，左减右加求出 ∴.|2c+4|+√d-4=0, m的值即可； 2c+4=0, c=-2, "d-4=0, 解得 (2)由(1)可得m+1>0,m-1<0,再利用绝对 d=4, 值的性质化简，最后合并同类项即可解答； ∴.2c+5d=2×(-2)+5×4=16, (3)根据绝对值和算术平方根的非负性求出c、d ∴.土√2c+5d=士W16=士4. 的值，再代入2c+5d,进而求其平方根即可. 故2c+5d的平方根是士4. 34 实验班提优训练数学八年级上HSD ©点拨 有了方格图，我们就可以方便地研究图(3) 本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、 中各个图形的面积和周长啦！ 相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方 我发现：图(3)中各个图形的面积都相等！ 根等知识，点，掌握并灵活运用相关性质是解题 小海 的关键， 嗯嗯！我们以前在课堂上研究过④号 正方形的面积S和边长a! 举反白 我发现：它们的周长也相等！ 小曙 1,(2026·浙江台州路桥区期末改编)小斌对书本上的题 (第2题) 目进行了改编，如下： (1)直接写出④号正方形的面积S和边长a; 如图，一个瓶子的容积为540L,瓶内装着一些溶 (2)不求a可以发现图(3)中等腰直角三角形的周 液.当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm;倒放 长为2a+2a+4=4a+4,请用含a的代数式分别 时，空余部分的高度为5cm.瓶内的溶液正好倒满 表示图(3)中平行四边形、等腰梯形的周长，并判 两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）. 断小曙的发现是否正确. 单位：cm (第1题) 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长. 传统文化 例2公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名 成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危 机.事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西 方更早，但是没有系统的理论.《九章算术》开方术中 指出了存在数有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不 2.(2026·浙江宁波海曙区期未)如图(1)，七巧板是我国 可开.”《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了 传统的智力玩具，七巧板虽然只有七块，但用它们 一个专门名词一一“面”，“面”就是无理数.无理数里 可以拼出不同的图案.如图(2)，小海和小曙利用 4×4的方格图（每个小正方形的边长均为1），制 最具有代表性的数就是“√2”.下列关于√2说法错误 作了一副七巧板，然后，将其中的6块摆放成我们 的是() 熟悉的几何图形（如图(3）)，它们分别是等腰直角 A.可以在数轴上找到唯一点与之对应 三角形、平行四边形、等腰梯形 B.它是面积为2的正方形的边长 C.2可以写成”(m、n是整数，n≠0)的形式 m ④⑤ ⑦⑥N D.1<√2<1.5 (1) (2) (3) 解析根据数轴上的点与实数一一对应即可判 第10章 断A选项；用正方形的面积公式即可判断B选项；根 并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm3,小明 据无理数的定义即可判断C选项；根据1.5= 又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了 √2.25即可判断D选项. 16 元cm.请问：烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是 A.数轴上的点与实数一一对应，故A选项说法 多少？ 正确； 解析 根据正方体、圆柱体积的计算方法进行 B.(√2)2=2，故B选项说法正确； 计算即可. C.无理数不能写成两个整数的比的形式，故 答案根据题意可知，正方体铁块的体积为 C选项说法错误； 64cm3,因此其棱长为64=4(cm). D.1<2<2.25,.1<√2<1.5，故D选项说 法正确。 设烧杯内部的底面半径为rc,由体积计算公 答案C 式得m2×投61. 点拔 解得r=6或r=一6（舍去）. 本题考查了无理数的概念、实数与数轴、 故烧杯内部的底面半径为6cm,铁块的棱长 估算无理数的大小等知识点，掌握无理数的概 为4cm. 念及其估算方法是解答本题的关键， 部点 举反3 本题考查了平方根、立方根，掌握平方根、 立方根的定义是正确计算的前提，掌握正方体、 3.2020年3月14日是全球首个“国际圆周率日（πDy)” 圆柱体积的计算方法是正确解答的关键， 国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为 “3.14”是与圆周率数值最接近的数字.祖冲之是 释反白 世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第 5. 在地球引力的作用下，物体从某一高度落下，速度 7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多 会越来越快，即地球引力会使下落的物体加速下 年.以下关于“圆周率”的四个结论，错误的是 落，在物理学中，把地球引力给下落物体带来的加 (). 速度称为重力加速度，用g表示，g取9.8m/s2, A.圆周率是一个大于3而小于4的无理数 物体下落的高度h(m)与物体下落的时间t(s)之间 B.圆周率是一个近似数 C.圆周率是一个与圆的大小无关的常数 的关系是-2s配，若物体下落的高度是490m,则 D.圆周率等于该圆的周长与直径的比值 物体下落的时间是多少秒？ 4.我国古代数学名著《九章算术 圆术”曰：置积尺数，以十六 一，所得开立方除之，即立圆径 术”相当于给出了已知球的体利 一个近似公式d≈√g V.我们知道球的体积公式 4 为3w,那么利用“开立圆术”求直径相当于体积 公式中的元≈ 跨学科 例3在做物理实验时，小明用一根细线将一个 正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中， 54 实验班提优训练数学八年级上HSD 新考法 (1)√10的“湘一区间”是 ；一√8的“湘一 例4求一个正数的算术平方根，有些数可以直 区间”是 接求得，如√4，有些数则不能直接求得，如5，但可 (2)若无理数√a(a为正整数)的“湘一区间”为(2， 以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内 3),且√a+3的“湘一区间”为(3,4)，求√a+1的值； 在联系，运用规律求得.请同学们观察下表： (3)实数x、y、m满足关系式：√2x+3y-m+ n 0.00160.16 16 1600 160000 √3x+4y-2m=√x+y-2026+√2026-x-v, 0.04 0.4 40 400 求√m的“湘一区间”. (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？ (请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知 √2.06≈1.435，求下列各数的算术平方根： ①W0.0206≈ ;②√/206≈ (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方 根.已知2≈1.260，则2000≈ 解析(1)观察被开方数和算术平方根小数点 的位置，即可求解； 7.(2026·浙江杭州拱墅区文澜中学期中)[阅读理解]大 (2)根据(1)中的规律，从被开方数和算术平方根 家知道，√2是无理数，而无理数是无限不循环小 小数点的移动位置考虑，即可求解； 数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于 (3)根据前面的规律，探究被开方数与立方根之 是小明用√2一1来表示√2的小数部分，因为√2的 间的关系，即可求解， 整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是 答案(1)观察被开方数和算术平方根小数点 小数部分 的位置，可以得到：被开方数的小数点向左或向右移 [解决问题] 动2位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动 (1)√23的整数部分是 ,小数部分是一； n位. (2)m、n分别是√13的整数部分和小数部分，求 (2)①0.1435②14.35 (3)12.60 2m一n+√13的值； (3)若7+√13=x+y,其中x是整数，且0<y< 的点拨本题考查了算术平方根和立方根，解题的 1,则x一y的值是 关键是从小数点移动的位数来考虑 样反白 6.(2026·湖南株洲二中期末)若无理数√T的被开方 数T(T为正整数)满足n2<T<(n+1)2(其中 n为正整数)，则称无理数√T的“湘一区间”为(n, n+1);同理规定无理数一√T的“湘一区间”为 (-n-1,一n).例如：因为12<2<2，所以1< √2<2，所以W2的“湘一区间”为(1,2)，一√2的“湘 一区间”为（一2，一1）.请解答下列问题： 6