专题03 全等三角形常考八大模型汇编（专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以八大模型为框架，系统整合全等三角形判定方法，通过分层题型实现从基础到综合的能力递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移/翻折/旋转型|13题|利用图形变换找对应边角|从基本变换构建全等认知| |一线三等角(高频)|4题|一线三垂直模型构造全等|结合直角情境深化判定应用| |手拉手模型(高频)|4题|共顶点等腰三角形旋转全等|培养动态几何推理意识| |半角/对角互补/倍长中线(难)|12题|截长补短/延长中线构造全等|从复杂图形中抽象模型本质|

专题03 全等三角形常考八大模型汇编 常考题型·精准突破 题型1:平移型 题型2:翻折型 题型 3:旋转型 题型 4:一线三等角型（高频） 题型 5:手拉手模型（高频） 题型 6:半角模型（难） 题型 7:对角互补模型 题型 8:倍长中线法模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 平移型 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，，，求证：． 2．（25-26八年级上·河北·期末）如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 3．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，点B在线段上，，，，求证：． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． ◆题型2 翻折型 5．（25-26八年级上·云南保山·阶段检测）如图，，求证：． 6．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，，，．求证：． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知，．求证：． 8．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在和中，已知，．求证：． 9．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，已知．求证：． ◆题型3 旋转型 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 12．（2026·陕西西安·三模）如图，已知点B，C，D在同一条直线上，，，，求证：． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点D，F分别在，上，，连接，且，连接．求证：． ◆题型4 一线三等角型(高频) 14．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 15．（23-24八年级上·山西大同·阶段检测）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 17．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． ◆题型5 手拉手模型(高频) 18．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在和中，，，，连接与交于点O，与交于点F．求证：． 19．（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 20．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 21． （25-26七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：_______，_______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，直接写出此时的度数． ◆题型6 半角模型(难) 22．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 23．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下面小题． (1)【问题发现】如图①，在四边形中，，，点、点分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_______， (2)【问题解决】如图②，为了丰富市民活动，政府规划了一块四边形的运动场地，在四边形中，，．点、点分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． ◆题型7 对角互补模型 24．（2026·内蒙古通辽·二模）已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 25．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，四边形中，，，于D． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 26．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，交于点，且． (1)求证：平分． (2)若，求的长． 28．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． ◆题型8 倍长中线法模型(难) 29．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 30．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 31．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）原题再现：如图，和相交于点，，．求证：． 本题可通过“”证明得到或，进而得到，除此结论外，你还能由得到与的关系是 ； 模型迁移：如图，中，，，是的中线，求长的取值范围； 拓展运用：如图，中，是的中线，分别以，为边作和，且，，，求证：． 32．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 33．（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 3．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（2024·浙江·模拟预测）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为． (1)第时，______，______．（用含的代数式表示） (2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值． 7．（25-26七年级下·山东济南·期中）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 9．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 10．（25-26八年级上·全国·寒假作业）【初步探索】 (1)如图1：在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 11．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）综合与实践 如图1，在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)如图1写出一对全等三角形_________________，写出、、的数量关系__________并证明． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，、、；的数量关系发生改变了么？猜想并证明． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系 12．（25-26八年级上·重庆开州·阶段检测）已知，是等腰直角三角形，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，点、，且、满足．求点的坐标； (2)如图2，过点作轴于，猜想线段、、之间等量关系并证明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形常考八大模型汇编 常考题型·精准突破 题型1:平移型 题型2:翻折型 题型 3:旋转型 题型 4:一线三等角型（高频） 题型 5:手拉手模型（高频） 题型 6:半角模型（难） 题型 7:对角互补模型 题型 8:倍长中线法模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 平移型 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由等式的性质可得，由可得，进而可通过角角边的判定定理证明． 【详解】略 2．（25-26八年级上·河北·期末）如图，已知点E，F在线段上，且，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】由证明，进而得出结论． 【详解】略 3．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，点B在线段上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，再利用证明，则可证明． 【详解】略 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． 根据题意，运用角边角判定即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ◆题型2 翻折型 5．（25-26八年级上·云南保山·阶段检测）如图，，求证：． 【答案】 证明：， ． 在和中， ， ． ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明，再根据证明即可得出结论． 【详解】略 6．（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， 在和中， ， ， ∴． 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质：利用“角角边”证明即可． 【详解】略 7．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：在和中 ， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】略 8．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，，，根据“”证明≌，则． 此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴≌， ∴． 9．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，已知．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴≌， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先证明，再由证明，则． 【详解】略 ◆题型3 旋转型 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 11．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，点在边上．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】解：与的数量关系是：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴． 【分析】根据“”证明和全等，再结合全等三角形性质，即可推出与的数量关系． 【详解】略 12．（2026·陕西西安·三模）如图，已知点B，C，D在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】先由得，再结合已知的角和边，用证，从而得． 【详解】略 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点D，F分别在，上，，连接，且，连接．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据和证得，再利用可证，可得． 【详解】略 ◆题型4 一线三等角型(高频) 14．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. (2) 证明： ， . 又，， . 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 15．（23-24八年级上·山西大同·阶段检测）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，与轴交于点，过点作轴于，若，试说明轴恰好平分． 【答案】(1)，， (2) (3) 解：延长、交于点， 轴， ， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故轴恰好平分． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，可求出、的值，由，可求出、的长，得出点的坐标， （2）过点作轴于，由，可求出、的长，得出点的坐标， （3）延长、交于点，由，得出，结合，可证，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角坐标系内点的坐标，解题的关键是：作垂直辅助线，找到全等三角形． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）过点作轴于， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的坐标为， （3）略 17．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． ◆题型5 手拉手模型(高频) 18．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在和中，，，，连接与交于点O，与交于点F．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明，再根据“边角边”证明，则此题可证． 【详解】略 19．（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 20．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． （2）解：．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． 21．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：_______，_______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，直接写出此时的度数． 【答案】(1)，30 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转模型及角度计算，解题的关键是通过角的和差关系证明三角形全等，再利用全等三角形的性质推导线段关系与角度大小，结合特殊三角形的角度特征进行分类讨论． （1）通过证明，直接得到线段相等关系，再利用对顶角与三角形内角和推导的度数； （2）类比（1）的全等证明思路，结合等腰三角形的底角特征，通过角度转化推导的度数； （3）分点在、之间和点在、之间两种情况，结合等腰直角三角形的性质与全等三角形的结论，计算的度数． 【详解】（1）解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：，30 （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴ ， ∵，, ∴， ∴， ∴； 当F点在线段上时， 同法可证得：， ， ， ， ； 综上，或． ◆题型6 半角模型(难) 22．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 23．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下面小题． (1)【问题发现】如图①，在四边形中，，，点、点分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_______， (2)【问题解决】如图②，为了丰富市民活动，政府规划了一块四边形的运动场地，在四边形中，，．点、点分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 如图所示，延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【分析】（1）延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，延长到点，使，连接． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：略． ◆题型7 对角互补模型 24．（2026·内蒙古通辽·二模）已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【答案】(1) (2)．证明如下： 如图，延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， (3) 【分析】（1）根据已知角度关系推出，结合、公共斜边，利用证明两个直角三角形全等，进而得到； （2） 采用截长补短作辅助线，构造全等三角形，先证，再证，通过线段等量代换，推导出； （3） 构造全等三角形，先证，再证，结合四边形内角和与角度转化，推导出与的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）如图，延长到点，使得，连接， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心为截长补短构造全等的经典几何模型，通过两次全等完成线段、角度的转化，同时结合四边形内角和进行角度推导，需灵活运用模型变式解题． 25．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，四边形中，，，于D． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：作于E， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形成为解题的关键． （1）作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的判定即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2) 解：成立，理由如下， 过点P点作于E，于F，如图， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据得，再根据是的角平分线得，再证明即可得到与的数量关系； （2）过点P作于E，于F，由（1）得，再证明即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：与的数量关系是， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）略 27．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，交于点，且． (1)求证：平分． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作交的延长线于点． ， ． 又， ， ∴平分． (2) 【分析】（1）作的延长线于，再由条件就可以得出，进而得出，从而得出结论； （2）先证，可得出，再结合，即可求出的值． 【详解】解：（1）略 （2）在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 28．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； (2) 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型8 倍长中线法模型(难) 29．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 30．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是 ； ②， ， ， ， ， ； （）略 （）略 31．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）原题再现：如图，和相交于点，，．求证：． 本题可通过“”证明得到或，进而得到，除此结论外，你还能由得到与的关系是 ； 模型迁移：如图，中，，，是的中线，求长的取值范围； 拓展运用：如图，中，是的中线，分别以，为边作和，且，，，求证：． 【答案】原题再现：； 模型迁移：； 拓展运用： 如图，延长至点使，连接， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 原题再现：证明，然后通过全等三角形的性质即可求解； 模型迁移：延长至点使，连接，证明，所以，然后通过三角形三边关系得即可； 拓展运用：延长至点使，连接，同理可证，所以，，得，故有，再证明，所以，从而得． 【详解】解：原题再现：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； 模型迁移：如图，延长至点使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 拓展运用：略 32．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 33．（25-26七年级下·江西·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： (1)①由已知和作图能得到，依据是________． A．    B． C．    D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (2)如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． (3)拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)，理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点．则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ， 同理： 在和中 ，， 【分析】（1）①根据中线的定义可得，再利用可证明；②根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解答； （2）如图：延长至，使得，易证可得、、，再证明可得，再根据三角形间的面积关系得到，最后根据三角形面积公式求得即可； （3）如图：过点作于点，过点作于点．先证明可得，同理可得，即；最后再证明并运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：①是中线， ， 在和中， ， ，即选项A符合题意； ②，，， ， ， ，即， ， ， ． （2）解：如图：延长至，使得， 是中线， ， 又， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， . （3）解：，理由见答案. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，结合已知，求得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ， ． ． 3．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （3）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ，，， ． 5．（2024·浙江·模拟预测）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2)4 (3)8 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； （2）如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）∵， ∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 当时，的面积最大，为， 则四边形面积的最大值为8． 6．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为． (1)第时，______，______．（用含的代数式表示） (2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键． （1）根据距离速度时间分别求得、即可； （2）分类讨论，当和时，由全等三角形的性质就可以求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：，； （2）解：当时，． ， ， ． 当时，． 点为的中点， ． ， ， ， ， ． 综上所述，当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，或． 7．（25-26七年级下·山东济南·期中）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 9．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 【答案】(1) (2) (3)当的值为4或20时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由路程=速度×时间，可得的长度； （2）过点作于点．由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． （2）解：如图1，过点作于点． ， ． 的面积为， ， ， ， ． （3）解：根据题意，分两种情况： ①如图2，当点向上运动时， ， 点在线段上， 当时，， ， ； ②如图3，当点向下运动时， ，， 点在线段的延长线上， 当时，， ， ． 综上所述，当的值为4或20时，与全等． 10．（25-26八年级上·全国·寒假作业）【初步探索】 (1)如图1：在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【答案】(1) (2)成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴； （2）略 11．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）综合与实践 如图1，在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)如图1写出一对全等三角形_________________，写出、、的数量关系__________并证明． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，、、；的数量关系发生改变了么？猜想并证明． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系 【答案】(1)， (2)发生了改变， (3)，证明见解析 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等量代换，判断出是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）同（1）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵于点于点， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：发生了改变，． 理由：∵，于点于点， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：． 证明如下：∵，于点于点， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 12．（25-26八年级上·重庆开州·阶段检测）已知，是等腰直角三角形，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，点、，且、满足．求点的坐标； (2)如图2，过点作轴于，猜想线段、、之间等量关系并证明． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，坐标与图形，绝对值的非负性，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）首先根据绝对值和平方的非负性求出，，得到点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于点D，证明，得到，，即可得到的坐标； （2）证明，得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：过点作轴于点D， ∵ ∴， ∴， ∴点的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 轴， ， ， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 专题03 ◆题型1平移型 1. 【答案】证明：，AD=BE :AD+BD=BE+BD,即AB :BC‖EF, ∴.∠ABC=∠E 在△ABC和△乙中， ∠ABC=∠E ∠C=∠F AB=DE ∴.△ABC≌△gAAS 2. 【答案】证明：：AE=BF, ∴.AE+EF=BF+EF, ∴AF=BE, 在△ADF与△BCE中， ㄥD=∠C ∠A=∠B AF=BE ∴.△ADF≌△BCE AAS, .AD=BC 【答案】 证明：，BCDE, ∴.∠ABC=∠D, 在△ABC和△EDB中， www.zxxk.com 上好每一堂课 全等三角形常考八大模型汇编 常考题型：精准突破 DE, 1142 函学科网·上好课 AB=ED ∠ABC=∠D BC=DB ∴.△ABC≌△EDB SAS, ∴.AC=BE 4. 【答案】证明：，AB‖DE, ∴.∠B=∠gU 在△ABC和△乙中， 6, ∴.△ABC≌△ASA, ..AC=DF ◆题型2翻折型 心 【答案】 证明：，∠3=∠4，∠3+∠ ∴.∠ABD=∠ABC. 在△ABD和△ABC中， 6, .∴.△ABD≌△ABC ASA. ∴.AC=AD 6 【答案】 证明：：AC⊥BC,BD⊥AD ∴.∠D=∠C=90, 在△AOD和△BOC中， ∠AOD=∠BOC ∠D=∠C AD=BC .∴.△AOD≌△BOC AAS, ∴.BO=AO 7. www.zxxk.com ABD=180°，∠4+∠AB 2142 上好每一堂课 C=180°， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 【答案】 证明：在△BAD和△CAD中 AD=AD ∠1=∠2 AB=AC ∴△BAD≌△CAD|SAS, ..BD=CD 8. 【答案】证明：在△ABD和△ACE中， AD=AE ∠A=∠A AB=AC ∴△ABD≌△ACESAS, ,∠B=∠C 9. 【答案】 证明：∠1=∠2 .∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠DAE, 在△ABC与△ADE中， AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE ∴.△ABC≌△ADE SAS, .BC=DE ◆题型3旋转型 10 【答案】(1)证明：：BCDE, .∠ACB=∠D, 在△ABC和△ECD中， ∠ACB=∠D ∠BAC=∠E BC=CD .△ABC≌△ECD AAS. 3142 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com (2)解：由(1)已证：△ABC≌△ECD, ∴CD=BC,AC=DE DE=5,BC=13, AC=5,CD=13, ∴.AD=CD-AC=13-5=8 11. 【答案】解：ED与EC的数量关系是：ED=EC, 理由如下： ∠1=∠2， ∴.∠1+∠AED=∠2+∠AED, ∴.∠BED=∠AEC, 在△ACE和△BDE中， ∠A=∠B AE=BE ∠AEC=∠BED ∴.△ACE≌△BDE ASA: ∴.ED=EC 12. 【答案】证明：AB‖EC, ∴.∠B=∠DCE, 在△ABC和△DCE中， ∠B=∠DCE ∠ACB=∠E AC=DE .∴.△ABC≌△DCE AAS, ∴.AB=DC 13. 【答案】证明：：∠ACB=90°，CE⊥CD, ∴∠DCE=90°，即∠ACB=∠DCE, ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD .∠BCD=∠FCE 在△BCD和△FCE中， 4/42 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com CB=CF ∠BCD=∠FCE CD=CE ∴.△BCD≌△FCESAS, ..BD=FE. ◆题型4一线三等角型（高频） 14. 【答案】(1)证明：AE⊥L,BF⊥L, ∴.∠AEC=∠BFC=90°. 在Rt△ACE和Rt△CBF中，U .∴.Rt△ACE≌Rt△CBF HL, ∴.∠EAC=∠BCF .∠EAC+∠ACE=90°， .∴.∠ACE+∠BCF=90°， 即∠ACB=180°-90°=90° ∴.AC⊥BC (2) 证明：，：Rt△ACE≌Rt△CBF, .∴.CE=BF 又'.AE=CF,CF+CE=EF, ∴.AE+BF=EF 15. 【答案】(1)证明：BD⊥直线1，CE⊥直线1， .∠BDA=∠CEA=90°， ,∠BAC=90°， .∠BAD+∠CAE=90° :∠BAD+∠ABD=90°， .∠CAE=∠ABD, 在△ADB和△CEA中， 5142 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA, AB=AC ∴，△ADB≌△CEA AAS ..BD=AE,AD=CE. ∴，DE=AE+AD=BD+CE: (2),BD⊥直线1，CE⊥直线1， ∴.∠BDA=∠CEA=90°， ,∠BAC=90°， .∠BAD+∠CAE=90° :∠BAD+∠ABD=90°， ∴.∠CAE=∠ABD, 在△ADB和△CEA中， ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA, AB-AC ∴，△ADB≌△CEAAAS ..BD=AE,AD=CE. ..DE=AE-AD=BD-CE: (3)如图，过E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延长线于N, VG ∴.∠EMI=∠GNI=90° .∠BAH+∠EAM=90°，∠BAH+∠ABH=90°， .∠EAM=∠ABH 在△ABH和△EAM中， ∠AHB=∠EMA ∠ABH=∠EAM AB=AE ∴.△ABH≌△EAM(AAS) .BH=AM=3,AH=EM, 6142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得：△AHC≌△GNA ..CH=AN=7,AH=GN, 即：EM=GN,MN=AN-AM=7-3=4, 在△EMI和△CNI中， ∠EMI=ㄥCNI ∠EIM=∠CIN EM=CN ∴△EMI≌△CNI(AAS), MI=3=号MN=2, ∴.AI=AM+MI=3+2=5: 16. 【答案】(1)解：a+1+b-32=0,a+1≥0，b-32≥0， ∴.a=-1,b=3, ∴.C-1,0,B0,3, .0C=1,OB=3, ,AD⊥OD ∴.∠ADC=∠ACB=∠BOC=90°， ∴.∠ACD+∠BOC=90°，∠BOC+∠COB=90°， ∴.∠ACD=∠CBO ∠ADC=∠CBO 在△ACD和△CBO中 ∠ACD=∠CBO AC=CB ∴.△ACD≌△CBO AAS, ∴.AD=OC=1,CD=OB=3, ∴.OD=4, .点A的坐标为-4,1， (2)过点A作AG⊥x轴于G, 7142 函学科网·上好课 www.zxxk.com B G .∠ACB=90° ∴.∠BCO+∠ACG=90°， ∠BCO+∠OBC=90°， ∴.∠OBC=∠ACG, ∠OBC=ㄥGCA 在△BOC和△CGA中， BC=AC BOC=∠CGA .△BOC≌△CGA ASA, ∴.OB=CG,OG=AG, ·B的坐标为0,4，点C的坐标为5,0， ∴.OG=CG=4,OC=AG=5, ∴.0G=1, .点A的坐标为1，-5， (3) 解：延长AE、BC交于点F, B 0 ·.AE⊥X D A E 轴， ∴.∠EAD+∠ADE=90°， :∠ADE=∠BDC, .∴.∠EAD+∠BDC=90, 8142 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com ,∠ACB=90°， .∴.∠BDC+∠CBD=90°， ∴.∠DAE=∠CBD, ∠ACB=∠ACF 在△BCD和△ACF中， BC=AC CBD=∠CAF ∴.△BCD≌△ACF ASA, ∴.BD=AF, BD=2AE, .∴.AF=2AE, .∴.AE=EF, AE=EF 在△ABE和△FBE中，∠AEB=∠FEB BE=BE .△ABE≌△FBE SAS, .∠ABE=∠FBE, 故y轴恰好平分∠ABC. 17. 【答案】(1)解：△ABC是等腰直角三角形，AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠ACB=∠D=∠E=90°，AC=BC, 又，∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴，∠DAC=∠BCE .△ACD≌△CBE AAS ∴.CD=BE 故答案为：CD=BE (2)解：AD⊥CE,BE⊥CE,∠ACB=90°， ∴.∠ADC=∠E=90°， .∴.∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， .∴.∠CAD=∠BCE, 在△ACD与△CBE中， 9/42 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠E AC=BC ∴.△ACD≌△CBE AAS, ∴.BE=CD,CE=AD=3cm, 又.DE=1.8cm, ∴.BE=CD=CE-DE=3-1.8=1.2(cm): (3)解：如图3过点B作EF‖y轴，过点A作AD‖y轴， 过点C作DE‖x轴，DE分别与EF、AD交于点E、D, :AD‖y轴，DE‖x轴，EFIy轴， D--- ∴.AD⊥CE,BE⊥CE,AD=EF B F 又.∠ACB=90, .∴.∠D=∠E=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠CAD=∠BCE, 在△ACD与△CBE中， ∠CAD=∠BCE ∠D=∠E AC=BC ∴.△ACD≌△CBE AAS, ∴.DC=BE,AD=CE .A-1,0,C1,2.5, .AD=EF=CE=2.5,DC=BE=2, ∴.BF=EF-BE=0.5,OF=1+2.5=3.5, ∴.B点坐标为3.5,0.5 ◆题型5手拉手模型（高频 18. 【答案】证明：，∠BAC=∠DAE 10/42 学科网·上好课 www.zxxk.com .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, ,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE, ∴BD=CE. 19 【答案】(1)证明：，：∠ACB=∠DCE=90, ∴.∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=90°， ∴.∠ACD=∠BCE 又.AC=BC,DC=EC, ∴.△ACD≌△BCE SAS: (2)证明：，'△ACD≌△BCE,∠ADC=90°， ∴，∠BEC=∠ADC=90°，CD=CE, 、∠FEC=∠CDF=90°， CF=CF ∴.Rt△CEF≌Rt△CDF HL, ∴.∠EFC=∠DFC, ∴.FC平分∠BFD 20. 【答案】(1)解：证明：，'△ABD和△ACE都是等腰直角三角开 ∴.AD=AB,AC=AE,∠ABD=∠ADB=45°， ∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE, 在△ACD和△AEB中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ∴.△ACD≌△AEBSAS, ∴.CD=EB,∠ADC=∠ABE, ∴.∠BFD=180°-∠BDF-∠DBF =180°-∠BDF-∠ABD-∠ABE 11/42 上好每一堂课 ,∠BAD=∠CAE=90°， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°-45°-∠BDF+∠ADC =135°-∠ADB =135°-45° =90°， ∴.BE⊥CD 综上所述，BE=CD,BE⊥CD (2)解：∠AFD=∠AFE.证明如下： 过点A分别作AM⊥CD于点M,AN⊥BE于点N,如图 D M 由(1)可知，CD=EB,SAACD=S△AB, ÷CDAM-BE~AN, ∴.AM=AN. .'AM⊥CD,AN⊥BE, ∴.FA平分∠DFE, .∴.∠AFD=∠AFE 21. 【答案】(1)解：如图1，设AC交BD于点G, 图1 ,∠BAC=∠EAF=30°， ∴.∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE, 在△ABE和△ACF中， 12142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC BAE=∠CAF AE=AF ∴.△ABE≌△ACF SAS, .∠ABE=∠ACF,BE=CF ·,∠BDC=∠AGD-∠ACF=∠AGD-∠ABE=∠BAC=30° 故答案为：BE=CF,30 (2)解：BE=CF,∠BDC=60°，理由如下： :∠BAC=∠EAF=120°， ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF, AE=AF ∴.△ABE≌△ACFSAS, .BE=CF,∠AEB=∠AFC, .∠EAF=120°，AE=AF, .∠AEF=∠APFE=30°， .∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-∠AFC-30=60° (3)解：如图所示： ,△ABC和△AEF都是等腰三角形， ∴.∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC,AE=AF, ·∠CAB-∠CAE=∠FAE-∠CAE,即：∠BAE=∠CAF, △BAE≌△CAF(SAS), .∠AFC=∠AEB,, ,∠EAF=90°，AE=AF, .∠AEF=45, ∴.∠AEB=180°-∠AEF=135° 13/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFC=∠AEB=135°： 当F点在线段BE上时， 同法可证得：△BAE≌△CAF, ∴.∠AFC=∠AEB ,∵∠EAF=90°，AE=AF, ∴.∠AEF=45°， ∴.∠AFC=45°： 综上，∠AFC=135°或45° ◆题型6半角模型难) 22. 【答案】(1)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG ·.·△ABG△ADF B E 图1 在 与 中， AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) ∴.AG=AF,∠1=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠3=} ∠BAD=∠EAF ∴.∠GAE=∠EAF 又AE=AE, ,△AEG≌△AEF 14142 可学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.EG=EF EG=BE+BG .'EF=BE+FD: (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG .∠ABC+∠D=180° G B E 图2 ∴.∠ABG=∠D ,在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF .∴.△ABG≌△ADF(SAS). .AG=AF,∠1=∠2， C:∠1+∠3=∠2+∠3=)∠BAD=∠EAF ∴.∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF. ∴.EG=EF」 .·EG=BE+BG .∴.EF=BE+FD (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立， 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE」 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG 15/42 上好每一堂课 ABG+∠ABC=180° 函学科网·上好课 www.zxxk.com .:∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ 图3 ∴.∠B=∠ADF 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF ∴.∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= 1 ∴.∠GAE=∠EAF. AE=AE. .∴.△AEG≌△AEF(SAS) ∴.EG=EF EG=BE-BG ∴.EF=BE-FD 同理可得：EG=EF .EG=BG-BE ∴.EF=FD-BE. 23. 【答案】(1)解：∠BAD=2∠EAF,理由如下： 如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG 16/42 上好每一堂课 ADC=180° BAD 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G ,∠B=∠ADC=90°， .∠B=∠ADG=90°， 又，DG=BE,AB=AD, .△ABE≌△ADG SAS, .∠BAE=∠DAG,AE=AG, ·.∠BAE+∠DAE=∠DAG+∠DAE, 即∠BAD=∠EAG, .EF=BE +FD, ∴，EF=GD+FD=GF, 又：AE=AG,AF=AF, ∴，△AEF≌△AGFSSS, .∠EAF=∠GAF ∴.∠BAD=∠EAG=2∠EAF: (2)∠EAF=∠BAE+∠FAD,理由如下： 如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG G D ,∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADG, 又，DG=BE,AB=AD, ,△ABE≌△ADG SAS, 17/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+FD ∴EF=GD+FD=GF, 又，AE=AG,AF=AF, ∴△AEF≌△AGFSSS, ∴.∠EAF=∠GAF .:.∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠FAD=∠BAE+∠FAD ◆题型7对角互补模型 24. 【答案】(1)解：.'∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=90°， ∴.∠BAD=∠BCD=90 ∴△ABD,△CBD都是直角三角形， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， .AB=CB BD=BD ∴.Rt△ABD≌Rt△CBD HL, ∴.DC=AD, AD=6, ∴.DC=6: (2)PQ=AP+CQ.证明如下： 如图，延长DC到点K,使得CK=AP,连接BK, D .'∠BAD+∠BCD=180°∠BCD+∠BCK=180° ∴∠BAD=∠BCK, 在△BPA和△BKC中， 18/42 可学科网·上好课 www.zxxk.com AP=CK ∠BAP=∠BCK AB=CB .∴.△BPA≌△BKC SAS, ∴.BP=BK,∠ABP=∠CBK, ∠PBQ=∠ABP+∠QBC, ∴.∠PBQ=∠ABP+∠QBC=∠CBK+∠QBC=∠QBK, 在△PBQ和△KBQ中， BP=BK ,∠PBQ=∠KBQ BQ=BQ ∴.△PBQ≌△KBQ|SAS, .∴.PQ=KQ KQ=CK+CQ,CK=AP, .∴.PQ=AP+CQ (3)如图，延长CD到点K,使得CK=AP,连接BK, .:∠BAD+∠BCD=180°∠BAD+∠ ∴.∠PAB=∠BCK, 在△BPA和△BKC中， AP=CK {∠BAP=∠BCK AB=BC .∴△BPA≌△BKC SAS, ∴.BP=BK,∠ABP=∠CBK, ∴.∠PBK=∠ABC, PQ=AP+CQ,AP=CK. ∴.PQ=CK+CQ=QK, 在△PBQ和△KBQ中， 19/42 上好每一堂课 PAB=180·∠BCD=∠BCK 函学科网·上好课 www.zxxk.com BP=BK BQ=BQ PQ=KQ .∴.△PBQ≌△KBQ SSS, .∴.∠PBQ=∠KBQ ∴.2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°， .四边形ABCD的内角和为360°， ∴.∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=180°， .·∠BAD+∠BCD=180° ∴.∠ABC+∠ADC=180°， .2∠PBQ+∠ABC=360°， ∴.2∠PBQ+180°-∠ADC=360°， .∠PBQ=90+1 ∠ADC. 25. 【答案】(1) 证明：作CE⊥OB于E, CE⊥OBCD⊥OA B .∠ADC=∠BEC=90°， :∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°， ∴.∠A=∠CBE, ,在△ACD和△BCE中， ∠A=∠CBE ∠ADC=∠E AC=BC ∴.△ACD≌△BCEAAS, ..CD=CE, 20142 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com ,CE⊥OB,CD⊥OA, ∴.OC平分∠AOB (2)解：：△ACD≌△BCE, “.AD=BE=2, 在Rt△ODC和Rt△OEC中， OC=OC CD=CE' ∴：Rt△ODC≌Rt△OEC HL, ∴.OE=OD=6, ∴.OB=OE-BE=4 26. 【答案】(1)解：PC与PD的数量关系是PC=PD, :PC⊥OA,PD⊥OB ∴∠PC0=∠PDO=90°， OM是∠AOB的角平分线， ∴.∠AOM=∠BOM .在△COP和△DOP中 ∠PCO=∠PDO=90° ∠POC=∠POD PO=PO .△COP≌△DOP AAS, ..PC=PD: (2) 解：成立，理由如下， 过点P点作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,如图， .∠PEC=∠PFD=90°， ,OM是∠AOB的平分线， ..PE=PF, 21/42 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com -B 图② ,∠AOB=90°，∠CPD=90° ,∠PCE+∠PD0=360°-90°-90°=180°， 而∠PDO+∠PDF=180, .∠PCE=∠PDF, 在△PCE和△PDF中 ∠PCE=∠PDF ∠PEC=∠PFD PE=PF .△PCE≌△PDF AAS, ∴PC=PD 27. 【答案】(1) 证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F ∠ABC+∠ADC=180°， .∠CDF=∠B 又，∠F=∠CEB=90°，CD=CB, .∴△CDF≌△CBE AAS, ∴.CF=CE, .AC平分∠BAD (2)在Rt△AFC和Rt△AEC中， AC=AC, CF=CE, .∴.Rt△AFC≌Rt△AEC HL, 22/42 上好每一堂课 ∠CDF+∠ADC=180° 品学科网·上好课 .∴.AF=AE=9,‘BE=DF=3. .∴.AD=AF-DF=9-3=6 28. 【答案】(1) 证明：，DE⊥AB, ∴.∠BED=∠AED=90°， ,∠CFD+∠AFD=180°，∠B+ ∴∠CFD=∠EBD」 ,∠C=90°， ∴.∠C=∠BED=90° ,在△CDF和△EDB中， ∠C=∠BED=90° ∠CFD=∠EBD DF=BD △CDF≌△EDB AAS, ..DE=DC, .DE⊥AB,DC⊥AC ∴.点D在∠BAC的平分线上， .AD平分∠BAC: (2） 证明：，AD平分∠BAC, .∠DAC=∠DAB 在△CDA和△EDA中， ∠C=∠AED=90 ∠DAC=∠DAB AD=AD ∴.△CDA≌△EDA AAS, ..AC=AE ..AC=AE=AF+FC 由(1)得△CDF≌△EDB ..CF=BE .AE=AF+FC=AF +BE. www.zxxk.com AFD=180°， 23142 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.AB=AE+EB=AF+2BE, ∴.AB=AF+2BE ◆题型8倍长中线法模型难) 29, 【答案】(1)解：AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE AD=ED ∴.△ADC≌△EDB SAS, (2)解：如图2，EP是△乙的中线，EF=8,DE=6, 则QE=2EP, Q 图2 在△EDP和△QFP中， EP=PQ ∠EPD=∠QPF DP=FP ∴.△EDP≌△QFP SAS, ∴DE=FQ=6, .EF=8. ∴在△EFQ,根据三角形三边关系得， ∴EF+FQ=8+6=14>EQ, ∴EF-FQ=8-6=2<EQ, ∴.2<EQ<14 .QE=2EP, 2<2EP<14 24142 上好每一堂课 延长EP至点Q,使EP=PQ,连接FQ, 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明：如图3，E是AC的中点，延长OE至点H,使EH=OE=专HO,连接CH 图3 ..AE=CE, 在△OEA和△HEC中， OE=EH ∠OEA=∠HEC AE=CE ,△OEA≌△HEC SAS, ∴.OA=HC,∠EOA=∠EHC, .OA=OB, ..HC=OB. 在△OCH中，根据三角形内角和180°， ∴.∠HOC+∠OHC+∠HCO=180°， .∠HOC+∠EOA+∠HCO=180°， ,∠HOC+∠EOA=∠COA, .∠COA+∠HCO=180°， :∠AOB+∠COD=180°，∠COA+∠DOB+∠AOB+∠COD=360°， ∴.∠COA+∠DOB=180°， ∴.∠HCO=∠DOB, .OC=OD. ∴.在△HCO和△BOD中， HC=OB ∠HCO=∠DOB OC=OD ∴.△HCO≌△BOD SAS, ∴.HO=BD EH=06=H0, 25/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 06-号m 30. 【答案】(1)①B,②1<AD<7: (2)证明：延长DE至点F,使FE=ED,连接BF,如图， D B ,E是BC的中点， .BE=CE, 在△EDC和△EFB中， DE=FE ∠DEC=∠FEB CE=BE ∴.△EDC≌△EFB SAS, ∴DC=FB,∠D=∠F, .'∠BAE=∠CDE, ∴.∠F=∠BAE, ∴.BA=BF, ∴.AB=CD: (3)证明：延长BP交AD于点H,过点P作EF⊥m于点E,EF⊥n于点F,如图， m n A B E H 26142 函学科网·上好课 则EF=4, .m‖n, ∴.∠EDP=∠FCP 在△CPF和△DPE中， ∠CPF=DPE CP=DP ∠FCP=∠EDP .∴.△CPF≌△DPE ASA, :FP=EP=LEF=2. 在△BPF和△HPE中， ∠BFP=∠HEP=90° PE=PE ∠BPF=∠HPE .∴.△BPF≌△HPE ASA ∴.BP=HP .AP⊥BP .∴.AP为BH的垂直平分线， ∴.AB=AH Sm方AHPE=APH, ∴.AHPE=APPH, ∴.AB×2=PAPB, ∴.PAPB=2AB 【答案】原题再现：AB=CD: 模型迁移：1<CM<6; 拓展运用： 如图，延长CM至点N使NM=CM www.zxxk.com 31. 连接AN, 27142 上好每一堂课 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可证△MAN≌△MBC, .AN=BC,∠ANM=∠BCM, AN‖BC, ∴.∠CAN+∠BCA=180°， ,∠ACE=∠BCD=90°， .∠ECD+∠BCA=360°-180°=180°. ∴.∠CAN=∠ECD, .BC=CD ∴.AN=CD 在△CAN和△ECD中， EC=CA ∠ECD=∠CAN, CD=AN .△CAN≌△ECD SAS, ∴.DE=CN, GM-号DE 32. 【答案】(1)解：，AD是BC边上的中线， ∴CD=BD, 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE, AD-DE △ADC≌△EDB(SAS): (2)解：，AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<AE<10+6, ∴.4<AE<16, 28/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A0-号0， 2<AD<8: (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： 图2 .AE=EF,EF=6, :.AC=AE+EC=6+4=10, ,AD是△ABC的中线， ∴CD=BD :在△ADC和△MDB中， CD=BD ∠ADC=∠MDB AD=DM ∴.△ADC≌△MDB(SAS), :.BM=AC,∠CAD=∠M, AE=EF ∴∠CAD=∠AFE, ,∠AFE=∠BFD, ∴.∠BFD=∠CAD=∠M, .BF=BM=AC, 即BF=10. 33. 【答案】(1)解：①：AD是中线， ∴.BD=CD 在△ABD和△ECD中， 29/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com CD=BD ∠ADB=∠EDC AD=ED ∴△ABD≌△ECD|SAS,即选项A符合题意； ②.'△ABD≌△ECD,AB=4,AC=5, ∴.CE=AB=4, .AC-CE<AE<AC+CE. ∴.5-4<AE<5+4,即1<AE<9, .AD=DE. .AD-TAE, ∴.0.5<AD<4.5 (2)解：如图：延长AD至H,使得AD=DH, M .AD D B 是中线， ∴.BD=CD 又：∠ADC=∠HDB, ..△ADC≌△HDB SAS. ∴.∠ACB=∠DBH,AC=BH,S△ADc=S△HDB, ∴.AC‖BH, ∴.∠ABH+∠BAC=180° .·∠BAC+∠MAN=180°， .∴.∠ABH=∠MAN, .AC=AM, .∴.BH=AM AB=AN, .'.△ABH≌△MAN SAS: 30142 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com '.S△AM=SA BHA=S△ABD+S△BDH=S△ABD+S△ADC=S△ABC= BC (3)MP=NP,理由如下： 如图：过点M作MH⊥AP于点H,过点N作NG⊥AP于点G.则 ED C .∠EAC+∠ACE=90°， ,∠CAM=90° ,∠EAC+∠HAM=90°， ∴.∠MAH=∠ACE, .AC=AM,, ∴.△AMH≌△CAEAAS, .∴.HM=AE, 同理：△AGN≌△BEA AAS .∴.NG=AE .∴.NG=HM 在△PHM和△PGN中 .'NG=HM,∠MHP=∠NGP,∠HPM=∠GPN .∴△PGN≌△PHM AAS .∴.MP=NP 综合攻坚知能拔高 1. 【答案】(1) 证明：.△ABD≌△CFD ∴.∠A=∠C,∠ADB=∠CDF, .:∠ADB+∠CDF=180°， 31/42 上好每一堂课 AE=×10×8=40. 2 MHA=∠CEA=90° 学科网·上好课 ∴.ADB=∠CDF=90°， .∴.∠A+∠B=90° ∴.∠C+∠B=90, ∴.∠CEB=90°， ∴.CE⊥AB (2)解：.△ABD≌△CFD, ∴.BD=FD,AD=CD .AF=1,即：AD-FD=1, ∴.CD-BD=1, 又CD+BD=BC=7, ∴.BD=3 2. 【答案】(1)证明：，'△ABC≌△FED, ∴.∠g=∠CBA, ∴.DE‖BC (2).'△ABC≌△FED, ∴.AB=EF ∴.AB-EB=EF-EB, .'AE=BF, .AF=16,BE=4, ∴.AE+BF=16-4=12, ∴AE=6 .AB=AE+BE=6+4=10 3. 【答案】(1)解：，△ABD≌△EBC, .'BD=BC=5cm,BE=AB=3cm, ..DE=BD-BE=2 cm (2)证明：，△ABD≌△EBC, ∴.∠ABD=∠EBC, ,点B在线段AC上， w.zxxk.com 32142 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.∠ABD+∠EBC=180° .∠ABD=∠EBC=90°， DB⊥AC: (3)解：直线AD与直线CE垂直，理由： 如图，延长CE交AD于点F, ,△ABD≌△EBC, ∠D=∠C, ,Rt△ABD中，∠A+∠D=90°， ∴∠A+∠C=90°， .∠AFC=90°， .CE⊥AD 4. 【答案】(1) 证明：，'△ABC≌△ADE, .∴.∠DAE=∠BAC, .'.∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE, ∴.∠DAB=∠CAE: (2)解：由(1)可知，∠DAB=∠CAE, .∠CAE=40°， .∴.∠DAB=40°， .'△ABC≌△ADE, ∴.∠D=∠B, .:∠AFD=∠EFB,∠D+∠DAB+∠AFD=180°，∠B+ .∴.∠DEB=∠DAB=40°. 5. 【答案】(1)解：由旋转得：AD=AE,∠ADB=∠AEC, 33/42 上好每一堂课 EFB+∠DEB=180°， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ADC+∠ADB=180°， .∠ADC+∠AEC=180°， ∴，四边形ADCE是等补四边形， 故答案为：是： (2)如图2，：∠ABC=90°，AB=BC, ∴.将△BAD绕点B顺时针旋转90°得△BCG B 图2 .G .∠BAD=∠BCG,BD=BG,∠DBG=90°， ,∠ABC=∠ADC=90°， ∴.∠ABC+∠ADC=180° ∴.∠BAD+∠BCD=180°， .∠BCD+∠BCG=180°， ∴D、C、G三点共线， ,S四边形ABCD=8 .SABDG=8, D-8 ∴，BD=4(负值舍去)： (3).AB=BC, ∴，将△BCD绕点B逆时针旋转∠ABC的大小，得△BAE,如图3， 34142 函学科网·上好课 www.zxxk.com E B 图3 .BD=BE=4,∠BAE=∠C,SAABE=SABD, ,∠BAD+∠C=180°， ∴.∠BAD+∠BAE=180°， ∴A、D、E三点共线， ∴.S四边形ABCD=SABDE, 当BD1BE时，△BDE的面积最大，为S6DE=号×4×4=8， 2 则四边形ABCD面积的最大值为8. 6. 【答案】(1)3t,8-3t (2)解：当△BPD≌△CPQ时，BP=CP BP+CP=BC=8, ∴.BP=4, .t4 31 当△BPD≌△CQP时，BD=CP 点D为AB的中点， .BDAB. .AB=10, ∴.BD=5, ∴.CP=5, ∴.BP=3, .∴.t=1. 综上所述，当△BPD和△CPQ恰好是以点B和C为对应点的全等 35142 上好每一堂课 三角形时，t=1或t= 3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7. 【答案】(1)证明：在△ADB和△CEB中， BD=BE,∠ABD=∠CBE,AB=CB, ∴△ADB≌△CEB SAS, ..AD=CE: (2)解：AD=CE,理由如下： ,∠ABC=∠DBE=90 .∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, 即∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， ,AB=BC,∠ABD=∠CBE,BD=BE, .△ABD≌△CBESAS, ∴AD=CE 8. 【答案】(1)B (2)2(或3,4,5,6之一) (3)证明：如图③，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE B D E 图③ 同(1)，可证△EDB≌△ADC SAS, ∴.BE=AC,∠GAF=∠E, .AC=BF, .BE=BF, .∠E=∠BFE, ,∠BFE=∠AFG, 36/42 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AFG=∠GAF; ..AG=FG. (4)解：如图，延长CF至点G,使FG=CF,连DG, G A ! B 图3 ∴.CG=2CF=4, 同(1)，可证△DFG≌△AFC SAS, .DG=AC,∠GDF=∠CAF CA=CB, ..DG=BC, ,∠ACB=∠DCE=90°， ∴，∠ACD+∠BCE=180° 在△ACD中，∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°， :.∠BCE=∠CAD+∠ADC=∠GDF+∠ADC=∠GDC, 又DC=CE, ∴.△BCE≌△GDC SAS, ∴.BE=GC=4. 9. 【答案】(1)解：由题意可得：CP=3tcm,CQ=2tcm ..BP=BC-CP=20-3t, 故答案为：20-3t;2t. (2)解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D, 37/42 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC,∠BAC=90°，BC=20cm,AD⊥BC B P D 图1 .∴.AD=BD=CD=10cm. ,:△ABP的面积为30cm2, .1BP×10=30, ∴BP=6, .∴.20-3t=6, ÷ (3)解：根据题意，分两种情况： ①如图2，当点Q向上运动时， AB=AC,∠ACQ=∠ABP=45 B 图2 ∴.点P在线段CB上， ∴.当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ|SAS, ∴.20-3t=2t, .t=4: ②如图3，当点Q向下运动时， B .AB=AC∠ACQ=∠ABP=135 图3 38/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.点P在线段CB的延长线上， ∴.当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ|SAS, .∴.3t-20=2t, ∴.t=20 综上所述，当t的值为4或20时，△ABP与△ACQ全等. 10. 【答案】(1)解：∠BAE+∠FAD=∠EAF.理由如下： 如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, Bh 图1 ,∠B=∠ADC=90°， ∠ADG=∠B=90°， .DG=BE,AB=AD, ∴.△ABE≌△ADG SAS, .∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE+FD,DG=BE, ..EF=DG+FD=GF,AE=AG,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGFSSS),. :,∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, (2)成立，理由如下： 如图2，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 39142 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A B 图2 :∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADF=180°， ∴.∠B=∠ADG, 又：AB=AD,DG=BE △ABE≌△ADG SAS, ∠BAE=∠DAG,AE=AG, ..EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, .△AEF≌△AGFSSS, ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. 11. 【答案】(1)解：，∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90 ,AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E, ∴.∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， .∠ACD=∠CBE, 在Rt△ADC和Rt△CEB中， ∠ADC=∠CEB,∠ACD=∠CBE,AC=CB, ∴.△ADC≌△CEB AAS, ∴AD=CE,DC=BE, .DE=DC+CE=BE+AD (2)解：发生了改变，DE=AD-BE 理由：，∠ACB=90°，AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E, .∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°， ∴.∠ACD=∠CBE, 在△ADC和△CEB中， 40/42 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE,AC=CB, ∴.△ADC≌△CEB AAS, ∴.AD=CE,DC=BE, ∴.DE=CE-CD=AD-BE (3)解：DE=BE-AD 证明如下：，∠ACB=90°，AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E, .∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°， ∴.∠ACD=∠CBE, 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB,∠ACD=∠CBE,AC=CB, ∴.△ACD≌△CBE|AAS, ∴.AD=CE,CD=BE ∴.DE=CD-CE=BE-AD 12. 【答案】(1)解：过点C作CD⊥y轴于点D, :a+32+2b-2=0 ∴.a+3=0,2b-2=0 ∴a=-3,b=1 ∴点A的坐标是-3,0，点B的坐标是0,1， ∴.OA=3,OB=1, CD⊥y轴， ∴.∠CDB=90° ∴.∠DCB+∠CBD=90°， :△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=90°，AB=BC, 41142 函学科网·上好课 ∴.∠ABO+∠CBD=90°， .∴.∠ABO=∠DCB 在△ABO和△BCD中， ∠ABO=∠BCD ∠AOB=∠BDC AB=BC ∴.△ABO≌△BCD AAS. .∴.BO=CD=1,OA=DB=3, .∴.DO=BO+BD=4, .C-1,4: (2)解：OA=CD+OD,理由如下： .CD⊥y轴， .∴.∠CDB=90°， .∴.∠DCB+∠CBD=90°， :△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC,∠ABC=90° .∴.∠ABO+∠CBD=90°， .∠ABO=∠DCB 在△ABO和△BCD中， ∠ABO=∠DCB ∠AOB=∠BDC AB=CB ∴.△ABO≌△BCD AAS, ∴.BO=CD,OA=DB, BD=OB+OD. ∴.OA=CD+OD ww.zxxk.com 42/42 上好每一堂课