第1章勾股定理全章综合训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理及逆定理为核心，通过六类知识点模块构建“概念辨析-性质应用-综合迁移”的递进体系，融合方程思想与模型意识，实现从知识理解到问题解决的能力提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定理辨析|4题|明确前提条件与逻辑关系，强调最长边判定|从互逆命题切入，建立定理使用规范| |勾股数|4题|倍数性质简化计算，构造公式推导规律|基于正整数特性，拓展识别与构造方法| |方程思想|4题|折叠/动态问题设元建模，检验根合理性|结合几何图形特性，强化代数工具应用| |几何证明|4题|平方关系验证直角，网格割补法算面积|通过计算推理，深化定理的逻辑表达| |实际应用|4题|方位/最短路径转化直角三角形模型|联系生活场景，培养数学应用意识| |网格折叠立体|4题|展开图转化平面，轴对称性质找等量|融合空间观念，提升综合迁移能力|

2026-2027学年度北师大数学)八年级上册课时同步训川练 第一章勾股定理全章综合训练 课时目标 能综合辨析勾股定理及其逆定理的适用条件与逻辑关系，准确识别勾股数并利用其倍 数性质简化计算，厘清易混概念。 2. 能综合运用勾股定理、方程思想解决折叠、几何证明、最短路径等综合问题，提升将 实际问题转化为直角三角形模型的能力。 3. 能结合网格、立体展开等场景灵活应用勾股定理，完善本章知识网络，提高运算和推 理的准确性。 课时目录 知识点O1:勾股定理与逆定理的综合辨析 知识点02：勾股数识别与构造的综合 知识点03：勾股定理与方程思想的综合应用 知识点04：勾股定理在几何证明中的综合应用 知识点05：勾股定理在实际问题与最短路径中的综合应用 知识点06：勾股定理与网格、折叠、立体展开的综合 1/18 知识点01：勾股定理与逆定理的综合拞 勾股定理与逆定理互为逆命题：勾股定理的前提是“直角三角形”，结论是“a2+b=c2 ”;逆定理的前提是“三角形三边满足a2+b2=c2(c为最长边)”，结论是“直角三角 形”。 综合应用时需注意： 使用勾股定理前必须先确认三角形为直角三角形，且c为斜边： 使用逆定理前必须先确定c为最长边，再验证平方关系： 拓展判断（仅作了解）：若a2+b2>c2,最长边所对角为锐角：若a2+b2<c2,为钝角。 易错点：混淆两个定理的使用顺序，或未确定最长边就套用公式。 1.(25-26八年级下广西钦州期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=9,BC=12,CD=8, AD=17,则四边形ABCD的面积为() B A.108 B.114 C.122 D.158 2.(25-26八年级下河北邢台期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5,BC=7, CD=1,则四边形ABCD的面积为() A.14 B.16 C.25 D.32 3.(20-21八年级上福建宁德期中)在△ABC中，AC=5,AB=3,BC=4,则△ABC的面积为， 4.(25-26八年级下·甘肃白银期中)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,已知AB=25,BC=15, 2/18 DB=9 (①)求AC,CD的长： (2)求证：△ABC是直角三角形. 知识点02：勾股数识别与构造的综合 勾股数是满足a2+b2=c的正整数组，综合应用需注意： 勾股数均为正整数，带根号的边长不构成勾股数； 非最简整数边可先化简为整数比再对照常见勾股数，如(6,8,10)化简后为(3,4,5)，可快速判 定为直角三角形： 构造方法：取正整数m>n>0,可构造a=m-,b=2mn,c=m+n,如m=3n=2时得 (5,12,13): 利用倍数性质可快速计算，如已知直角边为9和12，可看作3×3和3×4，直接得斜边为 3×5=15。 5.(25-26八年级下·吉林四平期末)下列各组数据中，不是勾股数的是（) A.3,4,5B.5.7,9 C.8.15.17 D.7,24,25 6.(重庆市秀山县2026年春期期末考试八年级数学试题)在下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,3 B.2,3,5 C.3,4,5 D.4,6,8 7.(25-26八年级下山东临沂期中)勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程，显然这个 a,b,c) 方程有无数组解，满足该方程的正整数解 通常叫做勾股数组.若直角三角形的边长都是正整数， 则这三个数便构成一组勾股数.在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股 数，并将它们记录在如下的表格中： a 6 0 3/18 6 2 8 15 35 8 2 5 10 17 37 6 0 则当a=18时，bc的值为 8,(2526八年级下-山西朔州期末)学习了勾股数后，我门知造43,5)，(6810)，（区1517）.都是 勾股数组.某学习小组分析这些勾股数组发现：4=2×2,3=22-1：6=2×3,8=32-1；8=2×4， 15=42-1 ；…分析其中的规律，解答下列问题。 (I)请你根据发现的规律写出下一组勾股数： (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为2n(n≥2，且为整数)，另外两个数分别为 时，则这三个数为勾股数， 请你补充完整猜想并验证猜想. 知识点03：勾股定理与方程思想的综合应用 解决含未知线段的综合问题时，常用方程思想： 折叠问题：利用折叠前后对应边相等，设未知线段长为x,在构造的直角三角形中列方 程： 梯子绳索问题：利用梯子长、绳索长等不变量作为斜边，根据滑动前后的直角边变化列方 程； 几何图形求线段：如等腰三角形求底边上的高、平行四边形求边长，通过作高构造直角三 角形列方程： 简单动态问题：用路程表示动点位置，代入勾股定理列方程。 注意：解方程后需检验根的合理性，舍去负根或不符合题意的根。 9.(25-26八年级下·辽宁盘锦·期末)如图，将Rt△ABC沿∠ACB的平分线CD翻折，点A的对应点为点E, 若AB=3,BC=4,∠ABC=90°时，则DB的长() 4/18 3 4 B. 5 C.3 D.3 10.(25-26八年级下·广东珠海·期末)如图，教室地面放着一个课桌，桌面AB与地面平行，点A到墙面 (墙面与地面垂直)的距离为60cm.图1中，一扫帚的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处， 04=100cm. 图1 图2 (1)求课桌的高度： (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点B重合，另一端挂在墙上的点C处. 若OC=240cm,彩带BC比桌宽AB长140cm,求桌宽AB的长度. 11.(25-26八年级下·广东珠海·期末)根据如表所示的素材，探索完成任务. LzLLE Lzez 中C 实验情景示意图 B 77777777777777777 777777777777777777777777777777 图1 图2 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A,一端固定在滑块B上，另 实验使用装置 一端固定在物体C上；(A、B、C可以视作三个点) ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度. 绳子的总长度为18dm,如图1，当物体C静止在轨道上，物体 初始状态 C和滑块B的水平距离为6dm,物体C到滑轮A的垂直距离为 5/18 h dm 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略. 任务： (I)求在图1状态下，物体C到滑轮A的垂直距离： (2)如图2，若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离。 12.(25-26八年级下广东广州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,E是AC上的一点，CE=5, BC=13,BE=12. (I)求证：BE⊥CE: (2)求线段AB的长. 知识点04：勾股定理在几何证明中的综合应里 本章几何证明仅使用勾股定理本身： 证明直角：通过计算三边平方关系，用逆定理证明某角为90°，如已知四边形ABCD中∠B =90°，AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,先算AC=25,再验证AC+CD2=DA2,得 ∠ACD=90°； 证明线段平方关系：如证明a2+b=c2+d,可分别构造直角三角形，用勾股定理表示各 线段平方后通过等量代换得出结论： 网格证明：利用格点计算各边长度，验证平方关系证明线段垂直。 13.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13, ∠ABC=90°，求证：AC⊥CD. 6/18 14.(25-26八年级下广东肇庆期末)【问题情境】如图①，在△ABC中，BD为AC边上的高. 斜梁 竖梁 D 横梁 图① 图② 图③ (1)【数学知识】若AD=1,BD=2,CD=4,求证：AB⊥BC: (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁 BD上AC,斜梁 AC=2.1m BD=1.2m BC=2m ，横梁 .若横梁 C C与竖梁MB不垂直则为不安全 房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由。 15.(26-27八年级全国暑假作业)在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的 研究策略。 C b B C B D 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知 直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为C.观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方 形的面积即可完成勾股定理的证明.请你结合图形尝试证明：Q2+b2=c2; (②)【结论运用】如图2，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°.若BC=5,AB的长比AC的长大1， 求AB的长： 7/18 3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃ABC,其中AB=13米，BC=14米。 AC=15米，计划在这块花圃中起一道栅栏AD,将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边 BC互相垂直，预计栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 16.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特期末)根据以下素材，探索完成任务 B 0 B a E b D 图1 图2 图3 板块 内容 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改 背景 造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的 阐述 相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中 素材 ∠A=∠D=90°，Rt△ABE≌Rt△DEC、两块三角尺的直角边分别为ab,斜边 为C,拼接在直线AD上(A、E、D共线). 素材 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得AD⊥CD,AB=13,BC=12 二 AD=4,CD=3 计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草。 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C,岸边原有取水点AB,现决定在河边 素材 新建取水点H(A、H.B在同一直线上)，并新修一条路CH,使CH⊥AB(如 三 图3)，测得CA=1.3千米，AB=1.4千米，BC=1.5千米. (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：α2+b2=c2: (②)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； 3)任务三：请计算素材三中新修道路CH的长度（单位：千米）. 知识点05：勾股定理在实际问题与最短路径中的综合应用 综合题型包括： 航行方位问题：结合“上北下南”规则，将两次垂直位移作为直角边，求起始点与终点的 8/18 距离； 测量问题：如池塘宽度、旗杆高度，通过构造直角三角形间接测量； 台风影响问题：计算台风中心到某地的距离，与影响半径比较判断是否受影响，结合风速 求影响时长： 立体最短路径：将圆柱、长方体展开为平面图形，比较不同展开方式下的对角线长，取最 小值。 注意：实际问题中需标注单位，根据意义对结果取整。 17.(25-26八年级下·安徽合肥期中)如图，东西方向上有A,C两地相距5千米，甲以8千米时的速度 从A地出发向正东方向前进，同时乙以6千米时的速度从C地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相 距3千米时，最短用时是() 北 甲 B A.0.4小时 B.0.5小时 C.0.6小时 D.0.8小时 18.(25-26八年级下·重庆渝北期中)如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底 面周长为l6cm,在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点B正对面 的容器外壁，且离容器上沿5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_cm, 蚂蚁A B 19.(25-26八年级下·广东广州期中)如图，一个圆柱形无盖的玻璃杯，它的底面半径为2cm,高为8cm, 小强在玻璃杯表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是cm.(π取3) B 20.(25-26八年级下贵州期中)如图，A,B两块试验田相距200m,C为水源地， 9/18 AC=160m,BC=120m,为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠， 甲方案：从水源地C分别沿线段CA,CB修筑两条水渠到A,B两块试验田. 乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H,先从水源地C沿线段CH修筑一条水渠到AB所在直线上， 再从H分别沿线段HA,HB向A,B两块试验田进行修筑. 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明. 水源地 知识点06：勾股定理与网格、折叠。立体展开的综合 网格问题：利用格点间的直角边长度，用勾股定理计算任意两点距离，通过验证平方关系 判断线段垂直，用割补法计算格点图形面积： 折叠问题：结合轴对称性质找到重合边，在展开的平面图形中构造直角三角形求解未知 量： 立体展开问题：圆柱侧面沿母线展开为长方形，长方体表面展开需分情况讨论不同展开方 式下的路径长度，注意展开后两点必须在同一平面内。 21.(25-26八年级上四川遂宁·期末)如图，长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处， BC与D交于点D8B=4则D的长是《) C A.4.5 B.5 c.5.5 D.6 22.(25-26八年级上·宁夏银川期末)如图，折叠长方形ABCD,使点B落在对角线AC上的点F处，若 10/18 BC=8,AB=6 CE ,则线段的长度是() A.3 B.4 C.5 D.6 23.(25-26八年级上福建漳州期中)如图，圆柱底面的周长为60cm,高为40cm,要在圆柱的侧面上过 点A和点C镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为一· B 24.(24-25八年级上·北京石景山期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=4,CB=6,D是BC的 中点，E是AC边上一点，连接DA,DE.将aDCE沿直线DE翻折，点C恰好落在DA上的点F处」 B (I)求AD的长： 2)求CE的长. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·天津滨海新区·期中)己知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边的长为 (). A.8 B.10 C.14 D.100 2.(2026河北邯郸模拟预测)平面内，将长分别为2,4,3的三根木棒按如图方式连接成四边形ABCD, 11/18 其中AB可以绕点B任意旋转，保持∠C=90°，将A,D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d,则d 可能是() 3 2 A.3 B.5 C.7 D.8 3.(2026广东深圳三模)如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高 六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵 地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方 程为() A.x2+62=102 B.102+62=x2 c.r+10-x2=6 D.x+6=(0-x)月 4.(25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测)我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽 弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法.下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是() 6 Q B C 5 a b 5.(25-26八年级下·山东日照期末)以下列各组长度为边的三角形，能判定是直角三角形的是() 12118 A.1,2,3B.2,5,6 C.8.6.10 D.14,8,7 6.(25-26八年级下广西崇左期中)如图，在小正方形组成的网格中，有AB,CD,EF,GH四条线 段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是() A.AB,CD,EF B.AB,CD,GH C.AB,EF,GH D.CD,EF,GH 7.(25-26八年级下·河北唐山期中)如图，长3m的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离 为l.8m,则梯子顶端距离地面的高度为() 3m 7777777777777777777777 1.8m A.1.8 B.2.4 C.2.5 D.2.6 8.(25-26八年级下·山西大同·期中)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题： “问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意 是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为() A.30平方里B.32.5平方里 C.84平方里 D.65平方里 二、填空题 9.(24-25八年级下·安徽安庆期末)如果在△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,那么△ABC的周 长为 10.(25-26八年级下·安徽芜湖阶段检测)明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋 千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.” 大意：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)， 此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，需求秋千绳索(OA或OB)的长度.设秋千绳索OA的长为x 13/18 尺，则可列方程： 0 1L,(2026湖北武汉·二模)用两对全等的直角三角形(Rt△DHC≌Rt△BFA,Rt△ADE≌Rt△CBG)和 正方形EFGH拼成如图所示的ABCD(无重叠也无缝隙)，其中AD=4,AB=5,记Rt△ADE, Rt△BFA 的面积分别为， D 12.(25-26八年级下·四川南充期末)一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口0出发，如图所示， 轮船从港口O沿北偏东30°的方向行30海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口0相距40海 里的点B处，若A、B两地相距50海里，则渔船从港口O出发的方向为一 北 13.(25-26八年级下宁夏吴忠阶段检测)如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1，则△ABC 的形状是」 14.(25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测)如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高 分别为4cm,3cm,l2cm.现有一长为l7cm的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长 14/18 度为hcm,则h的取值范围是 山 15.(25-26八年级上·吉林长春·阶段检测)如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、 C、D、E均为格点，连接AB、CD,则∠ABE+∠BCD= 16.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右 肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的 “生长”后，变成了如图1所示的图形.如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的 “枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是 图1 图2 三、解答题 17.(25-26八年级下·吉林期中)某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，发现在BC上有 一处古建筑D,使得DC的长不能直接测出，工作人员测得AB=130米，AD=120米，BD=50米， AC=150米，请你想办法求出DC的长度. D 15118 18.(25-26八年级下山西阳泉阶段检测)如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，己知AC=15, AD=12,AB=20」 (I)求BC的长； (2)判断△ABC的形状，并说明理由， 19.(25-26七年级下·山东济南期末)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后 世也称“赵爽弦图”（如图1所示)，实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系.如图2是 由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为“，b,(a>), 请回答以下问题： B 弦图 弦实 b 朱实 实 朱实 弦实 股四勾 一十五朱及黄 弦五 G 图1 图2 B 图3 (I)正方形ABCD的面积是一，正方形JKL的面积是一，正方形EFGH的面积是一；（用含 a,b的式子表示)： (2)若正方形ABCD的面积是45，正方形JKL的面积为5，求正方形EFGH的边长： 6)若a-2023+(2026-m=6,求a-20232026-m的值， ④)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,若R△ABC的周长为11，求Rt△ABC的面积. 20.(25-26八年级上福建漳州期中)阅读材料，回答问题. 主 探索勾股数中的奇妙规律 16/18 题 提 (3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(8,15,17) 出 下面给出了四组勾股数：① (② ③ (④ 问题1：请分别 问 计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 题 分 析 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数. 猜 想 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若a、b、c均为正整数，且a2+b2=c2.则a+b+c是偶数. 证明：(i)当a、b均为偶数时，设a=2m,b=2n(m、n为正整数) 则：c2=a2+b2=① .c=2√m2+n2 m2+n2 是正整数 是一个完全平方数 推 设m2+n2=k2(k是正整数)，则c=2k 理 ∴.a+b+c=② 证 明 ∴.a+b+c是偶数， (i)当a、b均为奇数时， 设a=2m+1,b=2n+1,(m、n为非负整数)，则： c2=a2+b2=(2m+1)+(2n+1)=4(m2+m+n2+n+2 ,完全平方数除以4的余数只能是0或1 “.c2不是完全平方数，这与c是正整数相矛盾， .a、b不能均为奇数 ()当a、b为一个奇数一个偶数时， 不妨设a=2m,b=2n+1,(m为正整数，n为非负整数)… 问题2：请完成()中所缺的证明过程， (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2. 17/18 18/18 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 全章综合训练 ▌课时目标 1. 能综合辨析勾股定理及其逆定理的适用条件与逻辑关系，准确识别勾股数并利用其倍数性质简化计算，厘清易混概念。 2. 能综合运用勾股定理、方程思想解决折叠、几何证明、最短路径等综合问题，提升将实际问题转化为直角三角形模型的能力。 3. 能结合网格、立体展开等场景灵活应用勾股定理，完善本章知识网络，提高运算和推理的准确性。 ▌课时目录 知识点01：勾股定理与逆定理的综合辨析 知识点02：勾股数识别与构造的综合 知识点03：勾股定理与方程思想的综合应用 知识点04：勾股定理在几何证明中的综合应用 知识点05：勾股定理在实际问题与最短路径中的综合应用 知识点06：勾股定理与网格、折叠、立体展开的综合 ▌知识点01：勾股定理与逆定理的综合辨析 勾股定理与逆定理互为逆命题：勾股定理的前提是“直角三角形”，结论是“”；逆定理的前提是“三角形三边满足（c为最长边）”，结论是“直角三角形”。 综合应用时需注意： 1. 使用勾股定理前必须先确认三角形为直角三角形，且c为斜边； 2. 使用逆定理前必须先确定c为最长边，再验证平方关系； 3. 拓展判断（仅作了解）：若，最长边所对角为锐角；若，为钝角。 易错点：混淆两个定理的使用顺序，或未确定最长边就套用公式。 1．（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 2．（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 3．（20-21八年级上·福建宁德·期中）在中，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据已知三边长，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再根据直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，为直角， 则． 4．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，于点D，已知，，． (1)求，的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理先求解，进一步利用勾股定理求解即可． （2）证明即可． 【详解】（1）解：， ， ． ，， ， ． （2）证明：，，， ． 是直角三角形． ▌知识点02：勾股数识别与构造的综合 勾股数是满足的正整数组，综合应用需注意： 1. 勾股数均为正整数，带根号的边长不构成勾股数； 2. 非最简整数边可先化简为整数比再对照常见勾股数，如(6,8,10)化简后为(3,4,5)，可快速判定为直角三角形； 3. 构造方法：取正整数，可构造，如m＝3,n＝2时得(5,12,13)； 4. 利用倍数性质可快速计算，如已知直角边为9和12，可看作3×3和3×4，直接得斜边为3×5＝15。 5．（25-26八年级下·吉林四平·期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，据此逐一验证即可得到答案． 【详解】解：选项A，，，，满足定义，是勾股数，不符合题意； 选项B，，，，不满足定义，不是勾股数，符合题意； 选项C，，，，满足定义，是勾股数，不符合题意； 选项D，，，，满足定义，是勾股数，不符合题意． 6．（重庆市秀山县2026年春期期末考试八年级数学试题）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 7．（25-26八年级下·山东临沂·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 8．（25-26八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道，，，…都是勾股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：，；，；，；…分析其中的规律，解答下列问题． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________． (2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为（，且n为整数），另外两个数分别为__________，__________时，则这三个数为勾股数． 请你补充完整猜想并验证猜想． 【答案】(1)（10，24，26） (2)，， 证明：∵，， ∴， ∴是勾股数． 【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为，，利用勾股定理计算或者通过规律得到第三个数是26； （2）由观察归纳得到两个数与n之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性． 【详解】（1）略 （2）略 ▌知识点03：勾股定理与方程思想的综合应用 解决含未知线段的综合问题时，常用方程思想： 1. 折叠问题：利用折叠前后对应边相等，设未知线段长为x，在构造的直角三角形中列方程； 2. 梯子/绳索问题：利用梯子长、绳索长等不变量作为斜边，根据滑动前后的直角边变化列方程； 3. 几何图形求线段：如等腰三角形求底边上的高、平行四边形求边长，通过作高构造直角三角形列方程； 4. 简单动态问题：用路程表示动点位置，代入勾股定理列方程。 注意：解方程后需检验根的合理性，舍去负根或不符合题意的根。 9．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，将沿的平分线翻折，点的对应点为点，若，，时，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质可得，，从而求出的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ， 由折叠的性质可知 ， ， ， 点在的延长线上， ， 设，则 ， ， 在中，， 由勾股定理得即， 解得， ． 10．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． (1)求课桌的高度； (2)在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 11．（25-26八年级下·广东珠海·期末）根据如表所示的素材，探索完成任务． 实验情景示意图    实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 绳子的总长度为，如图1，当物体C静止在轨道上，物体C和滑块B的水平距离为，物体C到滑轮A的垂直距离为． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： (1)求在图1状态下，物体C到滑轮A的垂直距离； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2)滑块B向左滑动的距离为 【分析】（1）由题意可知，根据勾股定理计算即可； （2）由题意可知，根据勾股定理求出，根据即可求出滑块B向左滑动的距离． 【详解】（1）解：∵绳子的总长度为，物体C到滑轮A的垂直距离为， ∴， 在中，， ， 解得：， ∴物体C到滑轮A的垂直距离为； （2）解：如图， 依题意得：， 在中，， ， 答：滑块B向左滑动的距离为． 12．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，E是上的一点，，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即． (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即可得出． （2）由（1）得出，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴是直角三角形． 设， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即． ▌知识点04：勾股定理在几何证明中的综合应用 本章几何证明仅使用勾股定理本身： 1. 证明直角：通过计算三边平方关系，用逆定理证明某角为90°，如已知四边形ABCD中∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，先算AC²＝25，再验证AC²＋CD²＝DA²，得∠ACD＝90°； 2. 证明线段平方关系：如证明，可分别构造直角三角形，用勾股定理表示各线段平方后通过等量代换得出结论； 3. 网格证明：利用格点计算各边长度，验证平方关系证明线段垂直。 13．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，，求证：． 【答案】证明：在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 即． 【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明． 【详解】略 14．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．（26-27八年级·全国·暑假作业）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 16．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． ▌知识点05：勾股定理在实际问题与最短路径中的综合应用 综合题型包括： 1. 航行方位问题：结合“上北下南”规则，将两次垂直位移作为直角边，求起始点与终点的距离； 2. 测量问题：如池塘宽度、旗杆高度，通过构造直角三角形间接测量； 3. 台风影响问题：计算台风中心到某地的距离，与影响半径比较判断是否受影响，结合风速求影响时长； 4. 立体最短路径：将圆柱、长方体展开为平面图形，比较不同展开方式下的对角线长，取最小值。 注意：实际问题中需标注单位，根据意义对结果取整。 17．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，东西方向上有，两地相距5千米，甲以8千米/时的速度从地出发向正东方向前进，同时乙以6千米/时的速度从地出发向正南方向前进，当甲、乙两人相距3千米时，最短用时是（    ） A．0．4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.8小时 【答案】A 【分析】根据题意表示出，的长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距3千米，根据题意可得： 千米，千米， ∵， 则， 解得：． 即最短用时0.4小时，甲、乙两人相距3千米． 18．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 【答案】17 【分析】将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与蜂蜜相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是． 19．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一个圆柱形无盖的玻璃杯，它的底面半径为，高为，小强在玻璃杯表面爬行，从点爬到点的最短路程是_____．（取3） 【答案】10 【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知小强在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，沿过点A的圆柱高线剪开得展开图如下，则小强从A爬行到点B的最短距离为线段的长， 由题意得，， ∴， ∴从点A爬到点B的最短路程是， 20．（25-26八年级下·贵州·期中）如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 【答案】甲方案所修的水渠较短，说明见解析 【分析】设对，，运用勾股定理得到，然后建立方程求解，然后比较和即可． 【详解】解：∵过点C作的垂线，垂足为H， ∵在中，， 在中，， 由题意得，设，则． ， ， 解得， ， ． ， ， ∴甲方案所修的水渠较短． ▌知识点06：勾股定理与网格、折叠、立体展开的综合 1. 网格问题：利用格点间的直角边长度，用勾股定理计算任意两点距离，通过验证平方关系判断线段垂直，用割补法计算格点图形面积； 2. 折叠问题：结合轴对称性质找到重合边，在展开的平面图形中构造直角三角形求解未知量； 3. 立体展开问题：圆柱侧面沿母线展开为长方形，长方体表面展开需分情况讨论不同展开方式下的路径长度，注意展开后两点必须在同一平面内。 21．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 22．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得，则可求出，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 23．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【答案】/厘米 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的长度最小为． 24．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边的长为（   ）． A．8 B．10 C．14 D．100 【答案】B 【分析】直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为6和8， ∴设斜边长为c，根据勾股定理可得， ∵三角形边长为正数， ∴． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）平面内，将长分别为的三根木棒按如图方式连接成四边形，其中可以绕点任意旋转，保持，将两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求得，利用三边关系得，选出符合范围的． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴根据勾股定理：， 的长度是固定不变的， ∵，可绕旋转， ∴点在以为圆心、半径为的圆上， 根据三角形三边关系，若不共线（构成四边形，三点不能共线）， 则：， 代入， 得：， 选项中只有在这个范围． 3．（2026·广东深圳·三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵竹子原高10尺，折断处离地面尺， ∴折断部分长度为尺， 如图，直角边尺，尺，斜边尺， 根据勾股定理得：． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 5．（25-26八年级下·山东日照·期末）以下列各组长度为边的三角形，能判定是直角三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，5，6 C．8，6，10 D．14，8，7 【答案】C 【分析】找出每组边长中的最长边，计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则该三角形是直角三角形． 【详解】解：选项A，最长边为，，不能构成三角形． 选项B，最长边为，，，，不能构成直角三角形． 选项C，最长边为，，，，能构成直角三角形． 选项D，最长边为，，，，不能构成直角三角形． 6．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，在小正方形组成的网格中，有，，，四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 由题意得：， ， ， ， ∵， ∴， ∴能组成直角三角形． 7．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（   ） A．1．8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得，． 8．（25-26八年级下·山西大同·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 二、填空题 9．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如果在中，，，高，那么的周长为_____________ 【答案】 42或32 【分析】分两种情况讨论，高在内部和高在外部，利用勾股定理分别求出，的长度，进而得到的长度，再计算的周长即可． 【详解】解：①当高在内部时，为锐角三角形，如图， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 可得， 此时的周长为； ②当高在外部时，为钝角三角形，如图， 同理可得，， 可得， 此时的周长为， 综上，的周长为42或32． 10．（25-26八年级下·安徽芜湖·阶段检测）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 【答案】 【分析】设尺，则有尺，然后对运用勾股定理建立方程． 【详解】解：设尺， 由题意可知：尺，尺，尺， 尺， 尺， 在中，， ． 11．（2026·湖北武汉·二模）用两对全等的直角三角形（，）和正方形拼成如图所示的（无重叠也无缝隙），其中，，记，的面积分别为，，则________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和完全平方公式的应用，通过勾股定理计算出的值，然后计算，将的值整体代入即可求出答案． 【详解】设，，， 则,,, , 即①, ， 即② 得： ， ， ， 又 ． 12．（25-26八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行30海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距40海里的点处，若、两地相距50海里，则渔船从港口出发的方向为______． 【答案】南偏东 【分析】先根据的长度，利用勾股定理的逆定理判断的形状，确定的度数．结合轮船航行方向是北偏东，确定正北方向与的夹角，再根据的度数计算与正南、正东或正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向． 【详解】 ∵海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，． ∵ 轮船方向为北偏东，， ∴与正南方向的夹角为， 因此渔船从港口出发的方向为南偏东． 13．（25-26八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 【答案】 直角三角形 【分析】根据正方形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 是直角三角形． 14．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则h的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形，据此分别求出吸管露在盒外部分的最长长度和最短的长度即可得到答案． 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 吸管露在盒外部分的长度最短为， ∴． 15．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】/度 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2028 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， ∴“生长”了2027次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028． 三、解答题 17．（25-26八年级下·吉林·期中）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，发现在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，工作人员测得米，米，米，米，请你想办法求出的长度． 【答案】米 【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，在，米，米，米， ， ，即， 在中，米， ∴米． 18．（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）如图，在中，是边上的高线，已知，，． (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理分别求出、的长，再求出的长即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形． 【详解】（1）解：∵是边上的高线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． （2）略 19．（25-26七年级下·山东济南·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： (1)正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； (2)若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； （2）解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； （3）解：设，，则， ， ， ， ； （4）解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 20．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)；；；；发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数 (2) ① ② (3) 当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，（为正整数，为非负整数） 则： 为奇数，又 是偶数． 综上所述，是偶数． 【分析】（1）观察规律发现各组勾股数之和为偶数； （2）①将，代入计算即可求解；②代入，，即可求解； （3）仿照例题证明即可． 【详解】（1）解：；； ；； 发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数； （2）略； （3）略． / 学科网（北京）股份有限公司 $