第13章 三角形单元提优测试卷 【提优专题+专项训练+测评试卷】2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学第13章三角形单元提优测试卷，覆盖三角形性质、判定及应用，结合生活与科技情境，梯度设计合理，适配单元复习，发展几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、内角计算、中线性质|结合三角板拼接（如第2题），考查空间观念| |填空题|8/24|三角形稳定性（第11题）、等腰三角形边长|联系生活情境，培养模型意识| |解答题|7/46|作图（第19题）、角关系推理（第24题）|综合探究角平分线交点问题（第25题），发展推理能力|

第13章 三角形单元提优测试卷 （满分：100分 时间：100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025秋•乌兰浩特市期中）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c，若b＝5，c＝4，则周长的取值范围是（　　） A．1＜l＜9 B．10＜l＜18 C．14＜l＜18 D．0＜l＜18 2．（2025•伍家岗区模拟）如图是一副三角板拼成的图案，则∠BEC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 3．（2025秋•三亚期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 4．（2025•浦东新区模拟）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，那么这个三角形的最大边长c的值可以是（　　） A．10 B．8 C．5 D．6 5．（2025秋•兰山区月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC的平分线的交点，若∠BOC＝120°，则∠D的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．（2025秋•呼和浩特期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 7．（2025秋•江岸区期末）如图，在△ABC中，∠A＝110°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x的值为（　　） A．135 B．140 C．145 D．150 8．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4或5 9．（2026•沁水县二模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，△ABC是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE交AB于点E，光线FG交AC于点G．已知△ABC是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA的度数为（　　） A．39° B．31° C．29° D．41° 10．（2026•贵州二模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中∠C＝∠DBE＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°．若AB∥DE，则∠CBD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2023秋•单元）电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，这样做的数学道理是　 ． 12．（2023秋•单元）等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长是　 ． 13．（2025秋•单元）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为　 　 cm． 14．（2026春•闵行区月考）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝30°，则∠DFC＝　 　 ． 15．（2026春•金牛区期中）如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠DAE＝　 　 ． 16．（2026•枣庄二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 　 　 ． 17．（2025秋•通川区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　 　 ． 18．（2026春•太原月考）如图，在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，将一块含36°角的直角三角形纸片PMN（∠M＝90°，∠MPN＝36°）按如图所示的方式放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A．B重合），△PMN的斜边PN始终经过点C，直角边PM交BC于点D，将PN与CA的夹角记为α（∠PCA＝α）．在点P滑动的过程中，当夹角α＝ 　 ，△PCD是等腰三角形． 三．解答题（共7小题，共46分） 19．（6分）（2024秋•庐阳区月考）如图，已知△ABC． （1）画中线AD； （2）画△ABD的高BE及△ACD的高CF； （3）比较大小：BE　 CF．（填“＞”“＝”或“＜”） 20．（6分）（2025秋•单元）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x． （1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是大于14的偶数．①求c的长； ②判断△ABC的形状． 21．（6分）（2025秋•北京单元）已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b （1）求第三条边长m的取值范围；（用含a，b的式子表示） （2）若a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值 22．（6分）（2026•江城区一模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，求∠ADE的大小． 23．（6分）（2023秋•单元）如图，△ADE和△ABC中∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠BCA＝45°，又有∠BAD＝∠BCF． （1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数； （2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明． 24．（7分）（2025秋•单元）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系； （3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 　 　 ． 25．（9分）（2025秋•沈北新区期末）在∠MAN中，点B、C分别是AM、AN上一点，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P． （1）如图1，若∠MAN＝90°，求∠P的度数； （2）如图2，若，求∠A的度数； （3）如图3，若∠CBM和∠BCN的平分线交于点Q，直接写出∠P和∠Q之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形单元提优测试卷 （满分：100分 时间：100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025秋•乌兰浩特市期中）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c，若b＝5，c＝4，则周长的取值范围是（　　） A．1＜l＜9 B．10＜l＜18 C．14＜l＜18 D．0＜l＜18 【分析】由题意以及三角形三边关系定理得到5＜a＜9，然后利用不等式的性质，即可求出三角形周长的范围． 【解答】解：由题意以及三角形三边关系定理得：b＜a＜b+c， ∴5＜a＜9， ∴5+5+4＜a+b+c＜9+5+4， ∴14＜l＜18． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到b＜a＜b+c． 2．（2025•伍家岗区模拟）如图是一副三角板拼成的图案，则∠BEC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【解答】解：∵∠BDE＝90°，∠DBE＝30°， ∴∠BEC＝∠BDE+∠DBE＝120°． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角性质． 3．（2025秋•三亚期末）如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】根据CM是△ABC的中线可知AM＝BM，再由BC＝8cm，△BCM的周长比△ACM的周长大2cm即可得出结论． 【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6（cm）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 4．（2025•浦东新区模拟）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，那么这个三角形的最大边长c的值可以是（　　） A．10 B．8 C．5 D．6 【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围． 【解答】解：根据题意得：a﹣3＝0，b﹣7＝0， 解得a＝3，b＝7， 因为c是最大边，所以7≤c＜7+3， 即7≤c＜10． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可． 5．（2025秋•兰山区月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC的平分线的交点，若∠BOC＝120°，则∠D的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据角平分线得出相等的角，求出∠ACO+∠ACD＝90°，再利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 【解答】解：∵CO平分∠ACB，CD平分∠ACF， ∴（角平分线的定义）， ∵∠ACB+∠ACF＝180°， ∴∠ACO+∠ACD＝90°， ∴∠D＝∠BOC﹣∠OCD＝∠BOC﹣（∠ACO+∠ACD）＝120°﹣90°＝30°， 则∠D的度数为30°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 6．（2025秋•呼和浩特期末）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求． 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，关键在于熟记定理并灵活运用． 7．（2025秋•江岸区期末）如图，在△ABC中，∠A＝110°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则x的值为（　　） A．135 B．140 C．145 D．150 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质解答即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝110°， ∴∠2+∠4（180°﹣∠A）＝35°， 又∵∠2+∠4+x°＝180°， ∴x°＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣35°＝145°． 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线性质及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 8．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【分析】解不等式2x﹣5≤0，得x≤2.5，则该不等式2的正整数解为1，2，由于1+1＝2不满足两边之和大于第三边，因此1不能是等腰三角形的腰，只能是底边，此时该等腰三角形的三边长为2，2，1，据此可得等腰三角形的周长为5． 【解答】解：解不等式2x﹣5≤0，得：x≤2.5， ∴不等式2x﹣5≤0的正整数解为1，2， 依题意得：该等腰三角形的两边为1，2， 又∵1+1＝2不满足三角形两边之和大于第三边， ∴1不能是等腰三角形的腰，只能是底边， ∴该等腰三角形的腰长为2，底边长为1， 此时该等腰三角形的三边长为：2，2，1， ∴等腰三角形的周长为：2+2+1＝5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，解一元一次不等式，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边之间的关系，解一元一次不等式是解决问题的关键． 9．（2026•沁水县二模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，△ABC是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE交AB于点E，光线FG交AC于点G．已知△ABC是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA的度数为（　　） A．39° B．31° C．29° D．41° 【分析】过点A作AM∥DE，则AM∥FG，∠EAM＝∠DEA＝29°，由△ABC是等边三角形得∠BAC＝60°，故∠FGA＝31°． 【解答】解：如图，过点A作AM∥DE，则AM∥FG， ∵∠DEA＝29°， ∴∠EAM＝29°（两直线平行，内错角相等）， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠FGA＝∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM＝60°﹣29°＝31°， 则∠FGA的度数为31°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 10．（2026•贵州二模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中∠C＝∠DBE＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°．若AB∥DE，则∠CBD的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠ABC＝45°，再根据平行线的性质可得∠ABE＝150°，然后根据角的和差求解即可得． 【解答】解：由条件可知∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°， ∵AB∥DE，∠E＝30°， ∴∠ABE＝180°﹣∠E＝150°， ∴∠CBD＝∠ABE﹣∠DBE﹣∠ABC＝15°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2023秋•单元）电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，这样做的数学道理是　三角形的稳定性　 ． 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性． 【解答】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，两条拉线与地面就构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 12．（2023秋•单元）等腰三角形的两边的边长分别为20cm和9cm，则第三边的长是　20cm ． 【分析】题中没有指明哪边是底哪边是腰，故应该分两种情况进行分析求解． 【解答】解：①当20cm为底边时，第三边长为9cm，因为9+9＜20，故不能构成三角形； ②当9cm为底边时，第三边长为20cm，20﹣9＜20＜20+9，故能构成三角形； 故答案为：20cm． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，注意最后利用三角形三边关系进行检验． 13．（2025秋•单元）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为　19　 cm． 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC， ∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm， ∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm． 故答案为19． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键． 14．（2026春•闵行区月考）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝30°，则∠DFC＝　105°　 ． 【分析】由三角板可得∠E＝90°，∠B＝90°，∠DFE＝45°，设EF与AB交于点O，在△AEO中利用三角形内角和定理求出∠AOE，利用对顶角相等求出∠BOF，再在△BOF中利用三角形内角和定理求出∠EFB，最后利用平角的定义即可求∠DFC． 【解答】解：如图，设EF与AB交于点O ∵图中是一副直角三角板， ∴∠E＝90°，∠B＝90°，∠DFE＝45°， ∵∠EAB＝30°， ∴∠AOE＝180°﹣∠E﹣∠EAB＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠BOF＝∠AOE＝60°， ∴∠OFB＝180°﹣∠B﹣∠BOF＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵点F在BC上， ∴∠DFC＝180°﹣∠DFE﹣∠OFB＝180°﹣45°﹣30°＝105°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 15．（2026春•金牛区期中）如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，则∠DAE＝　5°　 ． 【分析】由AE是△ABC的角平分线，且∠CAB＝50°，求得∠CAE＝∠BAE＝25°，而∠C＝60°，则∠AEB＝∠CAE+∠C＝85°，由AD是△ABC的高，推导出∠ADC＝90°，则∠DAE＝90°﹣∠AEB＝5°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AE是角平分线，且∠CAB＝50°， ∴∠CAE＝∠BAE∠CAB50°＝25°， ∵∠C＝60°， ∴∠AEB＝∠CAE+∠C＝25°+60°＝85°， ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣85°＝5°， 故答案为：5°． 【点睛】此题重点考查三角形的角平分线及高的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个内角互余等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 16．（2026•枣庄二模）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 　75°　 ． 【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可． 【解答】解：如图， ∵∠2＝90°﹣30°＝60°， ∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝75°， 故答案为：75°． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 17．（2025秋•通川区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　90°　 ． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°． 18．（2026春•太原月考）如图，在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，将一块含36°角的直角三角形纸片PMN（∠M＝90°，∠MPN＝36°）按如图所示的方式放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A．B重合），△PMN的斜边PN始终经过点C，直角边PM交BC于点D，将PN与CA的夹角记为α（∠PCA＝α）．在点P滑动的过程中，当夹角α＝　36°或72°　 ，△PCD是等腰三角形． 【分析】分三种情况讨论：当PC＝PD时，得到∠PCD＝∠PDC＝72°，求出∠PCA＝36°；当DC＝DP时，得到∠DCP＝∠MPN＝36°，求出∠PCA＝72°；当CP＝CD时，此时P与B重合，因此CP≠CD，于是得到答案． 【解答】解：当PC＝PD时， ∵∠MPN＝36°， ∴， ∴∠PCA＝∠ACB﹣∠PCD＝36°； 当DC＝DP时， ∴∠DCP＝∠MPN＝36°， ∴∠PCA＝∠ACB﹣∠PCD＝72°﹣36°＝72°； 当CP＝CD时， ∴∠CDP＝∠MPN＝36°， ∴∠DCP＝180°﹣∠MPN﹣∠CDP＝180°﹣36°﹣36°＝108°， 此时P与B重合，因此CP≠CD， 综上所述，当夹角α＝36°或72°，△PCD是等腰三角形， 故答案为：36°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 三．解答题（共7小题，共46分） 19．（6分）（2024秋•庐阳区月考）如图，已知△ABC． （1）画中线AD； （2）画△ABD的高BE及△ACD的高CF； （3）比较大小：BE　＝　 CF．（填“＞”“＝”或“＜”） 【分析】（1）先找出BC的中点D，然后再连接AD即可； （2）根据尺规作垂线的方法，进行作图即可； （3）根据三角形中线的性质得出S△ABD＝S△ACD，根据三角形面积公式得出，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图，中线AD即为所求； （2）如图，高BE、CF即为所求； （3）∵AD为△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∴， ∴BE＝CF． 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查了作垂线，三角形的中线，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握尺规作垂线的方法进行作图． 20．（6分）（2025秋•单元）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）若x是大于14的偶数． ①求c的长； ②判断△ABC的形状． 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答； （2）①根据三角形的周长公式、偶数的概念求出c； ②根据等腰三角形的概念解答即可． 【解答】解：（1）由三角形的三边关系可得：6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10， ∵x＝a+b+c， ∴12＜x＜20； （2）①∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6， ∴2＜c＜10， ∵x是大于14的偶数，且12＜x＜20， ∴14＜x＜20， ∴4＜c＜10， ∴c＝6或8； ②当c＝6时，三角形的三边长为4，6，6，则三角形为等腰三角形； 当c＝8时，三角形的三边长为4，6，8，三角形为钝角三角形， 综上所述：三角形为等腰三角形或钝角三角形． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、等腰三角形的概念，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 21．（6分）（2025秋•北京单元）已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b （1）求第三条边长m的取值范围；（用含a，b的式子表示） （2）若a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值 【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论； （2）根据绝对值和平方的非负性可确定a，b的值，从而得出m的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b， ∴第三条边长m的取值范围是3a+b﹣（2a﹣b）＜m＜3a+b+（2a﹣b）， 即a+2b＜m＜5a， ∴第三条边长m的取值范围是a+2b＜m＜5a； （2）∵a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数， ∴， ∴， ∴5+2×2＜m＜5×5，即9＜m＜25， 则三角形的周长为：3a+b+（2a﹣b）+m＝5a+m＝25+m， ∵m为整数， ∴m可取最大值为24， 此时这个三角形周长的最大值为25+24＝49， ∴这个三角形周长的最大值为49． 【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 22．（6分）（2026•江城区一模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°．当AD∥BC时，求∠ADE的大小． 【分析】根据平行线的性质得到∠DAE＝∠BCA＝45°，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠ACB＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DEF＝∠DAE+∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝15°， 则∠ADE的大小为15°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 23．（6分）（2023秋•单元）如图，△ADE和△ABC中∠EAD＝∠AED＝∠BAC＝∠BCA＝45°，又有∠BAD＝∠BCF． （1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数； （2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明． 【分析】（1）由题意易得∠ECF+DAC+∠ECA＝45°+∠BCF+45°﹣∠BCF＝90°； （2）由凹四边形ADEC得内角和是360°以及已知易得∠ADE＝90°，可得∠ECA+∠CED+∠CAD＝∠EDA＝90°，又（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA＝90°，∴∠CED＝∠ECF，因此由内错角相等即知DE∥CF． 【解答】解：（1）∵∠ECF＝∠ECB+∠BCF， ∴∠ECF+∠DAC+∠ECA ＝（∠ECB+∠BCF）+∠DAC+∠ECA （∠BCF＝∠BAD） ＝（∠ECB+∠ECA）+（∠DAC+∠BAD） ＝∠BCA+∠BAC ＝45°+45° ＝90° 即∠ECF+DAC+∠ECA＝90°； （2）ED和FC平行，理由如下： ∵∠EAD＝∠AED＝45°， ∴∠EDA＝90°， ∴在C，E，D，A四点组成的凹四边形里， ∠ECA+∠CED+∠CAD＝∠EDA＝90° 又∵（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA＝90°， ∴∠CED＝∠ECF， ∴DE∥CF（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】此题主要考查了角之间的和差关系、四边形的内角和、平行线的判定等知识点，有点难度，特别是凹四边形的应用不太常见． 24．（7分）（2025秋•单元）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系； （3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 　45°　 ． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AEC＝2∠G，根据三角形的高线可求解∠G的度数． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝40°， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE∠BAC﹣（90°﹣∠C）（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C∠C∠B， 即∠DAE∠C∠B； （3）∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G， ∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG， ∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G， ∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G， 即∠AEC＝2∠G， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠G＝45°． 故答案为45°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用． 25．（9分）（2025秋•沈北新区期末）在∠MAN中，点B、C分别是AM、AN上一点，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P． （1）如图1，若∠MAN＝90°，求∠P的度数； （2）如图2，若，求∠A的度数； （3）如图3，若∠CBM和∠BCN的平分线交于点Q，直接写出∠P和∠Q之间的数量关系． 【分析】（1）根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB＝90°，再根据角平分线的定义得到∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB，继而利用三角形内角和代入计算即可； （2）根据角平分线的定义得到∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB，再利用三角形内角和得出∠P＝90°∠A，结合∠A∠P，代入求解即可； （3）根据角平分线的定义得到∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB，∠CBQ∠CBM，∠BCQ∠BCN，继而推出∠PBQ＝∠PCQ＝90°，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【解答】解：（1）∵∠MAN＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P， ∴∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB， ∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝135°； （2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P， ∴∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB， ∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A， ∵∠A∠P， ∴∠P＝90°∠P， ∴∠P＝120°， ∴∠A∠P＝60°． （3）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P， ∴∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB， ∵∠CBM和∠BCN的角平分线交于点Q， ∠CBQ∠CBM，∠BCQ∠BCN， ∵∠ABC+∠CBM＝∠ACB+∠BCN＝180°， ∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝90°，同理：∠PCQ＝90°， ∴∠P+∠Q＝360°﹣90°×2＝180°． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，三角形的角平分线，解题的关键是掌握角平分线的定义，灵活运用所学知识解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $