第3章 一次方程与方程组 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（沪科版·新教材）

第3章 一次方程与方程组 知识梳理导图 含有未知数的等式叫作方程方程 使方程两边相等的未知数方程 相关 概念 由两个一次方程组成，且含两个未知 的值叫作方程的解 的解 概念。数的方程组就叫作二元一次方程组 求方程的解的过程叫作解方程解方程 等式的两边都加上（或减去）同一个 方程组的解法。代入消元法、加减消元法 整式，所得结果仍是等式，即如果 元 a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c 程 利润问题：利润=售价一进价 等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除 等式的 次 数不能为0)，所得结果仍是等式，即如果 方 行程问题：路程一速度X时间 性质 a=b,那么ac-bc,吕=名(c≠0) 程 组 解决实际问题的步骤： 实际应用 (1)审题；(2)设两个不同的 如果a=b,b=c,那么a=c 一次方程 未知数；(3)根据等量关系列 如果a=b,那么b=a 与方程组 方程组；(4)解方程组； 只含有一个未知数（元），未知数 (5)检验所求的解是否特合 的次数都是1，且等式两边都是整 题意；(6)写出答案 式的方程叫作一元一次方程 概念 一般步骤：去分母、去括号、 移项、合并同类项、系数化为1。解方程 元 元一次方程组 用方程解决问题时，不仅需要注意 解方程的过程是否正确，还要检验 应 方程的解是否符合问题的实际意义。用 重难疑点解法 2上分点①等式的基本性质 2上分点2方程的解 例1(2026·山东滨州博兴期末)下列等式的变形 例2(2026·浙江绍兴嵊州期末)已知a,b为定 不正确的是( ). A.若2a-3=b-3,则2a=b 值，若关于x的方程x十a=1-2z十 3 ,无论k为何 B.若x=y,则2， y 2+12+1 值，1总是它的解，则a= ,b= 名师启发将x=1代入方程，化简后得到关于 C.若a=b,则=b CC 的方程，由无论为何值方程都成立，可得的系 D.若mx=my,则1-mx=1一my 数和常数项均为零，从而求出a和b. 名师启发根据等式的基本性质1、2逐项判断即可. 过方法技巧 型归纳总结 这类问题的关键在于理解“无论为何值， 等式的基本性质：等式的两边加（或减去）同一 x=1总是解”的含义，即化简后的方程中，k的系 个数（或式子），结果仍相等；等式的两边乘以同一 数和常数项都必须为0，这样才能保证方程对所有 个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 值都成立， 17 实验班提优训练数学七年级上SHKJ 分上分点3解一元一次方程 售每件可获利15元.若两款礼盒全部按标价售完，该 例3(2025·重庆九龙坡区期末)解方程： 商店此次销售共可获利多少元？ 名师启发(1)设“无核黄皮饼”礼盒每件的进价 a)2中1-13x+1: 3 2 为x元，则“农家托洞腐竹”礼盒每件的进价为(x十 （2)2-3x_0.024红-1. 25)元，根据题意列方程求解即可； 0.010.02 (2)设购进“农家托洞腐竹”礼盒y件，则购进“无 名师启发(1)根据解一元一次方程的方法：去 核黄皮饼”礼盒(80一y)件，求出购进两种礼盒的数 分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1，求解 量，再分别求出售完两种礼盒的总获利，即可解答， 即可； (2)先把方程变形为100(2一3x)= 100(0.02-4x) 2 一1，然后再根据解一元一次方程的 方法求解即可. 归纳总结 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、 移项、合并同类项、系数化为1. 广方法技巧 解答本题的关键是要明白以下等量关系： 分上分点4一元一次方程的实际应用 (1)求两款礼盒的进价 例4(2026·广东江门台山期末)某商店为吸引游 等量关系一：“农家托洞腐竹”礼盒每件的进价 比“无核黄皮饼”礼盒每件的进价多25元；等量关 客，计划推出两款特产进行优惠活动.已知“农家托洞 系二：购进4件“农家托洞腐竹”礼盒的总价等于购 腐竹”礼盒每件的进价比“无核黄皮饼”礼盒每件的进 进5件“无核黄皮饼”礼盒的总价. 价多25元，且购进4件“农家托洞腐竹”礼盒与购进 (2)计算总利润 5件“无核黄皮饼”礼盒的总价相同， 等量关系一：购进的“农家托洞腐竹”礼盒的 (1)求“农家托洞腐竹”“无核黄皮饼”两款礼盒每 数量与“无核黄皮饼”礼盒的数量之和等于80件； 件的进价分别是多少元 等量关系二：购进“农家托洞腐竹”礼盒的总花费加 (2)该商店从供应商处一次性购进“农家托洞腐 上购进“无核黄皮饼”礼盒的总花费等于8600元； 竹”礼盒和“无核黄皮饼”礼盒共80件，总花费为 等量关系三：总利润等于“农家托洞腐竹”礼盒的总 8600元.在销售时，“农家托洞腐竹”礼盒在进价的基 利润加上“无核黄皮饼”礼盒的总利润， 础上加价30%标价销售，“无核黄皮饼”礼盒按标价出 18 第3章 分上分点5解二元一次方程组 名师启发三先从条件入手，把x用y的形式表 例5(2025·陕西汉中汉台区期末)解方程 示成x=一y,然后把它代入2x一y=一3并求得y= 1,则x=一1，从而可求出m的值. 2x+3y=5,① 组 x-2y=13.② 名师启发运用代入消元法解这个方程组较 简单 守方法技巧 在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未 知数的系数是1或一1，或者是可以将某一项作 为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助 代入消元法进行求解.在解二元一次方程组时，若 业归纳总结 两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互 1.根据方程组的解确定参数：根据二元一次 为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元 方程组解的定义，把二元一次方程组中的参数当作 法去求解。 主要未知数，把解代入已知方程组，建立新的关于 分上分点6含参数的方程（组） 此参数的二元一次方程组求解. 2.根据方程组解的关系确定参数：把待定 例6(2025·山东济南历下区期中)已知关于x, 字母（或参数）看成已知，即相当于常数，将方程组 (x-2y=2m+3, y的二元一次方程组 的解互为相反 的两个解用含有这个常数的代数式表示出来，然后 2x-y=-3 将其代入解的关系式中即可求得待定字母（或 数，求m的值 参数) 名师启发一让方程组中的第二个方程减去第 3.根据方程组有相同解确定参数：因为两个方 一个方程得出x十y=一6-2m,根据题意得出x十 程组有相同的解，故x,y的值必然同时适合两个方 y=0,于是有-6-2m=0,即可求出m的值. 程组中的四个方程.把两个方程组中不含字母参数的 名师启发二先把m看作已知数，直接解出含有m 方程进行组合，求出方程（组）的解，再把方程（组）的 2 x 33, 解代入含有字母参数的方程中，建立关于参数的方程 的二元一次方程组的解 根据方程组的 组即可得解 y=一 3n3. 4.根据方程组有整数解确定参数：求方程 (组)中的未知参数，可以运用方程（组）中解的定 解互为相反数，得到关于m的方程（一子m-3)十 义，把解写成用字母参数表示的代数式.如果知道 (兰m-3)=0,解方程可求得m的值. 它的范围或数值，便可得到关于该参数的方程组. 19 实验班提优训练数学七年级上SHKJ 分上分点7二元一次方程组的应用 (1)若关于x的方程5.x-3=0与方程3x-c= 0互为“反对方程”，则c= 例7(2026·福建宁德期末)某农场因紧急任务需 (2)若关于x的方程4x十3m十2=0与方程 租用无人机一次性配送种子和化肥等货物.已知1架 5x一n十2=0互为“反对方程”，求mn的值； A型无人机和2架B型无人机一次可配送货物 (3)若关于x的方程2x一c=0与其“反对方程” 220千克，2架A型无人机和3架B型无人机一次可 的解都是整数，求整数c的值. 配送货物380千克， 名师启发()根据“反对方程”的定义直接可得 (1)求1架A型无人机和1架B型无人机一次 答案； 分别可配送货物多少千克 (2)将“反对方程”组成方程组求解可得答案； (2)已知1架A型无人机的单次租金为150元， (3)根据“反对方程”2x一c=0与cx一2=0的解 1架B型无人机的单次租金为100元.现农场要紧急 均为整数，可得号与子部为整数，由此可得答案。 配送840千克货物，计划租用9架A型无人机.请聪 明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了 多少元 名师启发(1)根据“1架A型无人机和2架 B型无人机一次可配送货物220千克，2架A型无人 机和3架B型无人机一次可配送货物380千克”列出 方程组即可求解； (2)在符合题意的前提下，分类考虑，通过计算， 找到租金更少的方案，再求出节省的费用即可. 归纳总烤 解答新定义问题的一般思考方法：1.紧扣定 义，理解本质.仔细阅读新定义，抓住核心要素，通 过例子验证对定义的理解是否正确，将抽象定义转 化为具体操作步骤.2.分步拆解，化繁为简.将复 杂问题分解为多个小问题，从简单情况入手，逐步 个关健提醒 推进.对于多问题目，前面问题的结论可能为后面 本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准 问题提供思路.3.代数转化，建立联系.将文字描 等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键. 述转化为数学表达式，建立已知量与未知量之间的 2上分点8新定义 关系，运用方程思想解决问题.4.验证边界，考虑 特殊情况.检查解是否符合题目的所有条件，考虑 例8(2026·湖南湘潭岳塘区期末)定义：关于 特殊值、极端情况，验证答案的合理性，总之，新定 x的方程a.x一b=0与方程bx一a=0(a,b均为不等 义问题的关键在于能否快速理解新概念，并将其转 于0的常数)称互为“反对方程”，例如：方程2x一1= 化为已有的数学知识体系进行处理. 0与方程x一2=0互为“反对方程”. ，20 第3章 易错易混辨析 )易错点1移项时，因不变号导致的错误 巩固特训 例①解方程：4x十3=-2x-1. 2.解方程：1-2x53-x 解答移项，得4x十2x=-1-3. 6 4 合并同类项，得6x=一4. 系数化为1，得x=-2 饼析伯纳 解一元一次方程时，根据等式的基本性质1得 !出移项法则：①“项”包括它前面的符号；②移项要 变号. )易错点3考虑问题不全面 例3A,B两地相距900km,一列快车以 饥固特训 200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后 1.(2025·山东济宁邹城期末)解方程：x一2(1一x)= 立刻原路返回A地，一列慢车以75km/h的速度从 7x-3(x-2). B地匀速驶往A地.两车同时出发，截止到它们都到 达终点时，两车恰好相距200km的次数是(). A.5 B.4C.3 D.2 解析设行驶th两车相遇200km. 根据题意，得①当快车从A地开往B地，慢车从 B地开往A地，相距200km时，有200t+75t+ 28 200=900,解得t11 ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇 )易错点2 去分母时，因漏乘不含分母的 后背离而行，相距200km时，有200t+75t一200= 项导致错误 900,解得t=4; 例2(2026·广东深圳实验学校期末)解方程： x-3_4z+1-1. ③快车从A地到B地全程共臀要88-4.5()， 2 5 此时慢车从B地到A地行驶了45×75=337.5(km). 解答去分母，得5(x-3)-2(4x+1)=10, 因为337.5>200，所以当快车从B地返回A地 去括号，得5x-15-8.x-2=10, 追慢车，追上前相距200km,有75t=200十200(t 移项，得5x-8x=10十15十2， 合并同类项，得一3x=27, 450,解得4-2， 系数化为1，得x=一9. ④当快车追上慢车后并超过慢车相距200km 辨析归纳-- 时，有200(t-4.5)-75t=200,解得t=8.8; 解答含有分母的方程时，在第一步去分母时，】 ⑤快车返回A地终点所需时间为4.5+4.5= 根据等式的基本性质2，方程两边同时乘以分母的 9(h),此时慢车驶了9×75-675(km),距终点还需行 最小公倍数，等式仍成立，要注意：①不要漏乘不含 驶900-675=225(km),则75t=900-200,解得 分母的项；②如果分子是一个多项式，去分母时要 28 t= 将分子整体加上括号. 3 综上所述，两车恰好相距200km的次数为5. 21 实验班提优训练数学七年级上SHKJ 答案A 解得40， 辨析伯纳 y=50. 本题考查了一元一次方程在相遇和追及问题 故调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别 中的应用.处理该类问题时，往往需要全面考虑问 为40元、50元. 题，进行分类解答，才能做到不重不漏。 辨析伯纳 本题考查二元一次方程组的应用，正确理解销 机固特训 售用语对应数学表达：“上涨10%”对应“1十 3.一辆快车从A地匀速驶往B地，同时一辆慢车从 10%”、“降价5元”对应“一5”等含义是解题的 B地匀速驶往A地，两车行驶2h时相遇，相遇地 关键 点距B地120km.相遇后再行驶1h,快车到达 B地，休息1h后立即以原速返回，驶往A地. 巩固特划 (1)快车的速度是 km/h,慢车的速度是 4.某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与 km/h;A,B两地的距离是 km. 零售价格如表： (2)从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经过 甲 乙 几小时两车相距180km? 批发价/（元/台） 1500 2500 零售价/（元/台） 2500 4000 若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用 去10万元. (1)求商场购进甲、乙两种型号的电视机各多 少台； (2)迎“新年”，商场决定进行优惠促销：以零售价 的7.5折销售乙型号电视机，两种电视机销售完 毕，商场共获利15%，求甲型号电视机打几折 销售。 )易错点4 数学表达与销售专用语不一致 而致错 例4根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两 地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地 降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元， 调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商 品的销售单价. 解答设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分 别为x元、y元 x+10=y, 根据题意，得 (1+10%)x+1=y-5, 22 第3章 )易错点5理不清等量关系而致错 (2x+9)人， 例5中国古代人民很早就在生产生活中发现 所以可列方程为3(x一2)=2x十9. 答案A 了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问 题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与 辨析归纳 ---- 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程， 车各几何？这道题的意思是今有若干人乘车，每3人 解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关 乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩 系，正确表示总人数并列方程 余9个人无车可乘，问：有多少人，多少辆车？如果我 们设有x辆车，那么可列方程( ) 巩固特训 A.3(x-2)=2x+9 B.3(x+2)=2x-9 5.(2025·广东深圳中学期未)用不同的正方形拼成如图 C+2=29 所示的无缝隙、不重叠的长方形，若中间小正方形 2 的边长为1，则正方形B的边长是 D号-2=之9 2 解析由题意，设有x辆车，每3人乘一车，最终 剩余2辆车，所以有3(x一2)人， 若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，所以有 (第5题) 素养考向提分 新情境 问题模型解题即可 例①某校组织学生从学校到仙林湖环湖跑， 答案(1)6 (2)设班级队伍行进的速度为x米/秒，则班长去 匀速前进，七(1)班师生共42人，每6人排成一排，相 找小蒋的速度为1.5x米/秒 邻两排之间间隔1米，途中经过一个桥AB,队伍从开 由题意，得100x=1.5x(40+20)+1.2×20十6， 始上桥到刚好完全离开桥共用了100秒，当队尾刚好 解得x=3. 走到桥的一端B处时，排在队尾的班长发现小蒋还 故班级队伍行进的速度为3米/秒， 在桥的另一端A处拍照，于是以队伍1.5倍的速度跑 (3)设小蒋与班长相遇后两人追上队首的老师用 去找小蒋，同时队伍仍按原速度继续前行，40秒后， 了y秒，小蒋与班长的速度为6米/秒， 小蒋以1.2米/秒的速度往队伍方向前进，小蒋行进 20秒后与班长相遇，相遇后两人以队伍2倍的速度前 他们与队首的老师的距离为1.5×3×60+3× 60+6=456(米). 行追赶队伍。 (1)七(1)班的队伍长度为 米 根据题意，得 (2)求班级队伍行进的速度. 6y-3y=456, (3)班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追 解得y=152, 60+152=212(秒). 上队首的老师一共用了多少时间？ 解析(1)由师生总人数及每排人数，可计算排 故班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上 数，再根据相邻两排之间间隔1米，可得出结论； 队首的老师一共用了212秒. (2)可设班级队伍行进的速度为x米/秒，则班长 ⊙点拨 本题考查了一元一次方程的应用以及一 去找小蒋的速度为1.5x米/秒，根据班长与小蒋在桥 元一次方程的解法，根据题意列出方程是解题 上的相遇过程，列方程可求得x的值； 的关键， (3)求出班长与队首老师之间的距离，按照追及 23 实验班提优训练数学七年级上SHKJ 举反白 2.某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小 1.“双十一”已经发展成了很多电商平台的节日，也 区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天， 是全民购物的节日.在“双十一”期间，各大电商平 乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程 台掀起购物狂潮，某平台甲、乙、丙三个直播间的 以多是 促销活动如表： (1)乙工程队单独完成这项工程需要多少天？ 直播间 活动方案 (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、 甲 全场按标价的6折销售 乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？ (3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程 实行“满100元送100元”（如：购买衣服 队每天施工费用为2000元，若该工程总费用由政 乙 220元，赠200元优惠券，用优惠券冲抵 府拨款70000元（全部用完），则甲、乙两个工程队 现金的商品不再赠送优惠券) 各需要施工多少天？ 实行“满100元减50元”（如：购买 丙 220元的商品，只需付款120元) 根据以上活动信息，解决以下问题： (1)甲、乙直播间同时出售一种标价为380元的破 壁机和一种标价为三百多元的空气炸锅，若小鹿 想买这两样厨房用具，通过计算发现在甲直播间 同时购买破壁机和空气炸锅与在乙直播间先买破 壁机再买空气炸锅所花费的钱数是相同的，则这 种空气炸锅标价是多少元？ (2)在(1)的条件下，小鹿应该选择甲、乙、丙哪个 直播间购买？ 传统文化 例2为迎接新年到来，某中学开展制作“中国 结”活动.七(1)班有m人，打算制作n个“中国结”. 若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个， 则将比计划少做58个，现有下列四个方程：①4m 2=2m+58;②4m+2=2m-58;③”+2=758 2； ④n-2_n+58 .其中正确的是( 4 2 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 24 第3章 解析由题意，得n=4m一2，n=2m十58， [题目]我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书中 n+2n-58 所以4m-2=2m+58,4 有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马 2 日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何 所以方程①③正确. 日追及之.”译文是：快马每天走240里，慢马每天 答案A 走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上 各点 慢马？ 本题考查了由实际问题抽象出一元一次 [直观分析] 方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是 (1)设快马x天可以追上慢马，请你将如下的线段 解题的关键。 图补充完整； 悦马 超美 3.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有 快马 240x 一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争， (第5题) 小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有 [解决问题] 100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个， (2)根据(1)中线段图所反映的数量关系，列方程 小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多 解决问题 少人？设小和尚有x人，依题意，列方程利 A.5+3(100-x)=100 B.3z+10,2=100 3 C音-3(10-x)=10 D.3z-10,-2=10 3 4.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1， 2,3,4,5,7,8,9这八个数字填入如图(1)所示的“幻 方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和 都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.若按 同样的要求重新填数如图(2)所示，则x一y的值是 m一n的值是 4 (1) (2) (第4题) 5.(2025·山东济南槐荫区期末)在利用一元一次方程解 决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题， 新考法 使问题中的数量关系更加清晰.实际上，借助图表 直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要 例3已知数轴上的点A,B分别表示数a和 策略。 b,点M,N分别从点A,B同时出发，点M以每秒 25 实验班提优训练数学七年级上SHKJ 2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N以每 点M到达点B前，点M表示的数为一6十2t, 秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M 点N从点B(b=12)出发向左运动，速度为每秒 到达点B后立刻按原速沿数轴向左运动，设运动时间 1个单位长度，点N表示的数为12一t. 为t秒.解答下面问题： 根据点M与点N相距3个单位长度，可列方程 (1)若点A,B的位置如图所示，且满足(a+ 1(-6+2t)-(12-t)川=3， 6)2+|b-121=0成立. 即13t-181=3. ①直接写出a,b的值； 当3t-18=3时，3t=21, ②当t=10秒时，求此时点M在数轴上所对应 解得t=7; 的数； 当3t-18=-3时，3t=15, ③当点M与点N相距3个单位长度时，求t 解得t=5. 的值. 点M到达点B后，点M从点A到点B用了 (2)当b=a+18,且点M和点N相距3个单位 9秒，此时点M表示的数为12-2(t-9)=30-2t, 长度时，请直接写出t的值， 点N表示的数为12-t. B 根据点M与点N相距3个单位长度，可列方程 0 1(30-2t)-(12-t)|=3,即|18-t=3. 解析(1)①对于(a十6)2+b-12|=0,根据绝 当18-t=3时， 对值和平方数的非负性：一个数的平方是非负的，一 解得t=15; 个数的绝对值也是非负的，两个非负数的和为0，则这 当18-t=一3时， 两个非负数分别为0，可求出a,b的值， 解得t=21. ②求点M在数轴上对应的数，需要根据点M的运 故t的值为5,7,15,21. 动速度和时间，以及起始位置来计算。 (2)A,B两点间的距离为18，同样分两种情况 ③求点M与点N相距3个单位长度时t的值， 讨论： 要分点M到达点B前和到达点B后两种情况进行讨 点M到达点B前，点M表示的数为a十2t, 论，根据路程=速度×时间来建立方程求解， 点N表示的数为b-t=(a+18)-t. (2)同样要分情况讨论，由于b=a十18，可知A, 根据点M与点N相距3个单位长度， B两点间的距离为18，再根据点M,N的运动情况建 可列方程|(a+2t)-[(a+18)-t]|=3, 立方程求解 即|3t一18=3，同前面的计算， 答案(1)①根据两个非负数的和为0，则这两个 解得t=5或t=7. 非负数分别为0，可得a十6=0，b-12=0,解得 点M到达点B后，点M从点A到点B用了 18÷2=9(秒)， a=-6,b=12 此时点M表示的数为(a+18)一2(t一9)=a+ ②由①得A,B两点间的距离为|12-(-6) 36一2t,点N表示的数为(a十18)一t. =18. 根据点M与点N相距3个单位长度，可列方程 点M从点A到点B所需时间为18÷2=9（秒）. 1(a+36-2t)-[(a+18)-t]=3, 当t=10秒时，点M已经到达点B并往回运动 即|18-t=3, 了10一9=1（秒）. 解得t=15或t=21. 点M从A到B运动的路程为2×9=18，此时到 故t的值为5,7,15,21. 达点B(点B表示12). 往回运动1秒，运动的路程为2×1=2，所以此时 点 本题考查一次方程的应用、数轴、非负数的 点M在数轴上对应的数为12一2=10. 性质，解题的关键是运用分类讨论的思想方法 ③当点M与点N相距3个单位长度时，求t的 和掌握相关知识的灵活运用. 值分两种情况讨论： 26 第3章 样反美 (1)按照小嘉的黏合方法，黏合5张纸条，得到大 6.阅读解方程的途径 长方形的面积为 --------------------------- (2)若共有这种小纸条100张，则小嘉和小琪各需 方程2x+1=0的解是x=-司 要多少张小纸条，才能使得两人按各自的方法黏 合起来的大长方形面积相等？(100张小纸条要全 解方程 x+2= 2x+2)+1=0 部用完) (1) 10 (1)按照如图(1)所示的途径，填写图(2)内空格. 6 1 1007 方程2016x+3=2x-1008的解是x=2 1 1007 2016x-10+3=26x-10-108 回四 6 (2) (1) (第6题) ① ② 30 (2)已知关于x的方程号z+c=x十1的解是 x-2(a,b,c均为常数).求关于x的方程？|kz十 4 (2) m+c=名红十m+1(k,m为常数，k≠0)的 (第7题) 解.（用含，m的代数式表示) 7.手工课上，小嘉和小琪剪了很多长方形的纸条， 为了不浪费这些纸，她俩决定把纸条黏起来再利 用，已知剪下的纸条长30cm,宽10cm,两人采用 不同的黏合方法.小嘉把纸条的宽黏合起来，黏合 长度为6cm,得到如图(1)所示的大长方形；小琪 把纸条的长黏合起来，黏合长度为4cm,得到如 图(2)所示的大长方形. 27(2),1米铝合金的平均费用为100元，x=1.5, y=2.5, ∴.铝合金的总费用为100×(12×1.5十10×2.5)= 4300(元) 关键提醒】本题考查了列代数式及求代数式的 值，能正确列出代数式是解此题的关键， 2.56cm[解析]设小长方形的长为xcm,宽为 ycm,则由题图(1)可知，4x十4y=28, ∴x+y=7, 由题图(2)可知，长方形ABCD的长AB为(3x十 y)cm,宽BC为(x+3y)cm, '.长方形ABCD的周长为2(3x十y十x十3y)= 8x+8y=8(x+y)=56(cm). 解后反思本题主要考查了列代数式、整式的加减、 化简求值，掌握整体代入是解题的关键， 3.(1)99a+9b33a+3b999a+99b+9c333a+ 33b+3c (2)补充推理过程如下： 原式=1001a+99b+11c+(-a+b-c+d) =11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)], ∴.若(b十d)一(a十c)能被11整除，则该四位数能 被11整除， 思路得本题主要考查了整式加减的应用，熟 练掌握整式加减的运算法则并能灵活运用是解决 此题的关键.(1)()仿照题干给定的方法填空即 可；()仿照题千给定的方法填空即可；(2)仿照题 千给定的方法，将1000a+100b+10c+d表示 为11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]的形 式，即可得解 第3章一次方程与方程组 例1C[解析]等式2a一3=b一3两边都加上3， 得2a=b,选项A变形正确，该选项不符合题意；c2十1≥ 1,选项B变形正确，该选项不符合题意；当c=0时， 选项C变形错误，该选项符合题意；选项D先在等式 mx=my两边都乘以-1，再两边加上1，得到1 mx=1一my,变形正确，该选项不符合题意.故选C. 例22一2[解析]因为关于x的方程r+a- 3 1一2“，无论为何值1总是它的解， 所以将x=1代入方程红，0=1一2红十心 6 得(2+b)k+(2a-4)=0. 因为无论k为何值，方程都成立， 所以2十b=0且2a-4=0,解得b=-2,a=2. 3a2-1+1 2 去分母，得2(2x+1)=3(1-3x)+6. 去括号，得4x十2=3一9x十6. 移项、合并同类项，得13x=7. 7 系数化为1，得x=13 (2)2.3x=0.02-4z 0.010.02 一1. 整理，得100(2-3x)=10(0.02-4z)-1. 去分母，得200(2-3x)=100(0.02-4x)-2. 去括号，得400-600x=2-400x一2. 移项、合并同类项，得一200x=一400. 系数化为1，得x=2. 例4(1)设“无核黄皮饼”礼盒每件的进价为x元， 则“农家托洞腐竹”礼盒每件的进价为(x十25)元， 由题意，得4(x+25)=5.x,解得x=100, 则x十25=100+25=125（元）. 故“农家托洞腐竹”礼盒每件的进价为125元，“无核 黄皮饼”礼盒每件的进价为100元。 (2)设购进“农家托洞腐竹”礼盒y件，则购进“无核黄 皮饼”礼盒(80一y)件， 由题意，得125y+100(80-y)=8600,解得y=24, 则购进“无核黄皮饼”礼盒的数量为80一24=56（件）. “农家托洞腐竹”礼盒每件的获利为125×30%= 37.5(元)，“农家托洞腐竹”礼盒的总获利为37.5× 24=900(元)， “无核黄皮饼”礼盒的总获利为15×56=840（元）， 总获利为900+840=1740（元）. 故该商店此次销售共可获利1740元. 2x+3y=5,① 例5 x-2y=13.② 由②，得x=2y+13.③ 把③代入①，得2(2y+13)+3y=5. 49 去括号，得4y十26+3y=5. 移项、合并同类项，得7y=一21.解得y=一3， 把y=-3代入③，得x=2×(-3)十13=7. /x=7, 故方程组的解为 y=-3. 例6 x-2y=2m+3,① 2x-y=-3.② ②-①，得x+y=-6-2m. 关于x,y的二元一次方程组 |x-2y=2m+3, 的解互 2x-y=-3 为相反数， ∴.x+y=0,.-6-2m=0,∴.m=-3. 一题男解人 x-2y=2+3,① 由②，得y= 2x-y=-3,② 2 2x十3③，把③代入①可求得x= 3m-3, ..y=- 3m一3.根据方程组的解互为相反数，得 到关于m的方程（号m一到+（言0-） 0,解方程可求得m=一3. 2.根据方程组的解互为相反数，得x=一y,然后 把它代入2x一y=-3并求得y=1,则x=-1, .-1-2×1=2m十3，解得m=-3. 例7(1)设1架A型无人机一次可配送x千克货 物，1架B型无人机一次可配送y千克货物， 根据题意列二元一次方程组，得 1z+2y=220,獬解得 x=100, 2x+3y=380, y=60. 故1架A型无人机一次可配送100千克货物，1架B 型无人机一次可配送60千克货物. (2)方案：选8架A型无人机和1架B型无人机配 送.（答案不唯一） 由(1)，得1架A型无人机一次可配送100千克货物， 1架B型无人机一次可配送60千克货物. 若按原计划租用9架A型无人机，运力为9×100= 900(千克)>840千克，符合要求，此时，该方案的费 用为9×150=1350（元）； 若租用8架A型无人机和1架B型无人机，运力 为8×100+1×60=860（千克）>840千克，符合要 求，此时，该方案的费用为8×150+1×100=1200十 100=1300(元)； 若租用7架A型无人机和2架B型无人机，运力 ，50 为7×100+2×60=820（千克）<840千克，不符合 要求 因为1300<1350， 所以选8架A型无人机和1架B型无人机配送用的租 金更少，该方案节省的费用为1350一1300=50（元）. 例8(1)5 (2)将4x+3m十2=0写成4x-(-3m-2)=0的形 式，将5x一n+2=0写成5x-(n-2)=0的形式， 一3m一2=5'解得 7 由条件可知{ m=一3’ n-2=4, n=6, 所以mn=一了X6=-14, (3)2x一c=0的“反对方程”为cx-2=0. 由2x=c=0,得x-分由c-2=0,得红=名 由条件可知与总都为整数。 因为c也为整数， 所以当c=2时，号-1,2-1，都为整数： 2 当c=-2时，=-1，名=-1，都为整数。 故c的值为士2. 巩固特训 1.去括号，得x-2十2x=7x-3x+6. 移项，得x十2x一7x十3x=6十2. 合并同类项，得一x=8. 系数化为1，得x=一8. 2.去分母，得12-2(2x-5)=3(3-x). 去括号，得12-4x十10=9-3x. 移项、合并同类项，得-x=一13. 系数化为1，得x=13. 3.(1)12060360 (2)设从两车出发直至慢车到达A地的过程中，经 过x小时两车相距180km,则有三种情况： 整体法< ①两车相遇前：(120十60)x=360-180,解得x=1; ②两车相遇后：(120+60)x=360十180，解得x=3; ③x=3时，快车行驶了120×3=360(km), ∴.快车到达B地，休息1h后，t=4时，此时两车已 经相距60×4=240(km), ∴.60x-120(x-4)=180,解得x=5. 故经过1小时或3小时或5小时两车相距180km. 易错警标本题易出现的错误是对“两车出发直 至慢车到达A地的过程中，经过x小时两车相距 180km”理解不清，只考虑三种情况中的一种或 两种，导致漏解。 4.(1)设商场购进甲型号的电视机x台，乙型号的电 视机y台. x十y=50, 由题意，得 1500x+2500y=100000, (x=25, 解得 y=25. 故商场购进甲型号的电视机25台，乙型号的电视 机25台. (2)设甲型号电视机打α折销售，由题意，得25× (4000×0.75-2500)+25×(2500×0.1a-1500)= 100000×15%,解得a=6.4. 故甲型号电视机打6.4折销售， 易错警示】本题易出现的错误是将“零售价的 7.5折”和“获利15%”的对应的整体单位“1”混 淆，当成同一整体单位“1”，从而造成错解。 5.7[解析]设正方形A的边长为x,正方形B的边 长为y 12x-1=y, 根据题意，得 解方程组得 2x+x+1=y+y-1, x=4, 故正方形B的边长是7. y=7. 易错警示本题考查了二元一次方程组的应用， 易出现的错误是不能根据图形找到长方形中各边 长之间的关系，造成错解。 锋反自 1.(1)设这种空气炸锅标价是x元. 由题意，得0.6(380+x)=380+x-300, 解得x=370. 故这种空气炸锅标价是370元. (2)选择甲直播间购买所需费用为0.6×(380十 370)=450(元)； 选择乙直播间购买所需费用为380十370一300= 450(元)； 选择丙直播间购买所需费用为380+370一50×7 400(元)..450=450>400， ∴小鹿应该选择丙直播间购买。 旧纳总结本题考查了一元一次方程的应用，找 准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的 关键 2a20×1+》 =30(天) 故乙工程队单独完成这项工程需要30天. (2)设还需要x天才能完成， 依想意得55+品-1，解得x=9, 故还需要9天才能完成. (3)设甲工程队需要施工y天，则乙工程队需要施 120 y 工 (0-)天 30 依题意，得400y+200(630-受）-700， 解得y=10, 则Z需要90号×10=15（天. 故甲工程队需要施工10天，乙工程队需要施工 15天 3.A[解析]本题考查了由实际问题抽象出一元一次 方程，设小和尚有x人，需要号个馒头，则大和尚有 (100一x)人，需要3(100一x)个馒头，依据100个和尚 分100个馒头，正好分完，列方程号+3(100-x)= 100.故选A. 4.一33[解析]根据每个三角形的三个顶点上的 数字之和相等，得x+1=y+(-2),m+(一2)= n+1,∴.x-y=-3,m-n=3. 5.(1)补充线段图如下： 慢马 12×150 150x 快马 240x (第5题) (2)12×150+150x=240x,解得x=20. 故快马20天可以追上慢马. 6.(1)①x-1=2②x=3 (2)由题意，得x十m=2,解得x=2m 7.(1)1260cm2 (2)设小嘉需要x张长方形小纸条，则小琪需要 (100一x)张长方形小纸条，由题意，得10[30x一 51 6(x-1)]=30[10(100-x)-4(100-x-1)], 解得x=43, .∴.100-x=100-43=57. 故小嘉需要43张长方形小纸条，小琪需要57张长 方形小纸条，才能使得两人按各自的方法黏合起来 的大长方形面积相等。 第4章几何图形初步 例1C[解析]流星在夜空中可以看作一个发光 的“点”，它快速移动留下的尾巴是一条“线”，故A是 点动成线；直角三角尺是一个平面图形(“面”)，它绕 着一条直角边旋转，占据了一定的空间，形成了一个 圆锥体(“体”)，故B是面动成体；折扇的骨架（或每一 根扇骨)可以看作一条“线段”.当折扇打开时，这些骨 架绕着轴心旋转，扫过的区域形成了一个扇形的 “面”，故C是线动成面；笔尖与纸面的接触点非常小， 可以看作一个“点”.点在纸上快速移动，留下的痕迹 是“线”，故D是点动成线.故选C 例2B 例3(1)因为|a+251+(b-15)2=0,a+251≥0， (b-15)2≥0，所以|a+25引=0，(b-15)2=0, 所以a=-25,b=15. (2)因为M,N分别是线段AC和线段CB的中点， 所以MC-2AC.NC-号BC. 所以MN=MC+NC=2AC+2BC 因为AB=AC+BC,AB=15-(-25)=40, 所以MN=(AC+BC)=20, (3)设移动时间为t秒，当MN的长度与(2)中长度相 等时，点A一定移动到点B的右边，并且AB=40,故 有3t一t=40+40,解得t=40.故此时点B表示的 数为15+40=55. 例4(1)因为O为直线AB上一点，∠AOC=90°， 所以∠AOD+∠BOD=180°. 因为∠AOD=(2x+10)°，∠BOD=(3x+20)°， 所以(2x+10)°+(3x+20)°=180°，解得x=30. (2)因为∠AOD=(2x+10)°=70°，∠BOD=(3x+ ，52 20)°=110°，OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE= B0D=55,因为∠0C 所以∠COD=∠AOC-∠AOD=90°-70°=20°， 所以∠C0E=∠DOE-∠C0D=55°-20°=35°. (3)因为∠MOD+∠MOC=∠COE=35°，∠COD= 20°，设∠MOD=y,则∠MOC=35°-y. ①如图(1)，当OM在∠COD的内部时，∠MOC= ∠C0D-∠MOD=20°-y,∴.20°-y=35°-y,无 解，舍去； B (1) (2) ②如图(2)，当OM在∠DOA的内部时，∠MOC= ∠COD+∠MOD, ∴.35°-y=20°+y,解得y=7.5°， ∴.∠MOE=∠DOE+∠MOD=55°+7.5°=62.5°； ③如图(3)，当OM在∠COE的内部时，∠MOC= ∠MOD-∠COD=y-20°. 因为∠MOD+∠MOC=∠COE,所以y+y-20°= 35°，解得y=27.5°，所以∠MOE=∠DOE一 ∠M0D=55°-27.5°=27.5°； D CM (3) ④当OM在∠BOE的内部时，此时显然不符合条件 “∠MOD与∠MOC的和等于∠COE”. 综上所述，∠MOE的度数为62.5°或27.5°. 例5(1)①北偏东40°[解析]根据题意，得 ∠BOS=50°，所以∠BOE=90°-∠BOS=40° 因为∠BOC=90°， 所以∠COE=∠BOC-∠BOE=50°， 所以∠CON=90°-∠COE=40°， 所以射线OC的方向是北偏东40°. ②∠COE,∠BOS∠BOW,∠COS