3.2 一元一次方程的解法讲义 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

3.2 一元一次方程的解法 · 讲义 3.2 一元一次方程的解法 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　一元一次方程的概念 2 题型 1　一元一次方程的辨认与条件 2 题型 2　相关概念综合 4 微专题 2　解方程的基本步骤 5 题型 1　移项与去括号 6 题型 2　去分母 7 题型 3　解方程综合 9 微专题 3　错例辨析与规范求解 14 题型 1　污损与看错类错例 15 题型 2　解题过程纠错 16 微专题 4　含字母系数与同解问题 18 题型 1　已知解求参数与求值 19 题型 2　同解与相反解 21 题型 3　条件关系与大小比较 23 题型 4　行程与综合 26 微专题 5　新定义运算与方程 29 题型 1　新定义运算 30 题型 2　新定义方程 32 题型 3　程序运算与综合 36 微专题 6　数轴与绝对值的几何意义 38 题型 1　数轴上的距离与参数 38 题型 2　绝对值的几何意义与最值 40 题型 3　数轴综合探究 49 一、本讲导航 学习目标 1．理解一元一次方程的概念，会判断一个方程是否为一元一次方程。 2．掌握解一元一次方程的五个步骤，会正确去分母、去括号、移项、合并同类项与系数化为1。 3．能识别解方程过程中的漏乘、漏括号、忘变号三类错误，并会用回代检验答案。 4．会由方程的解反求参数，会处理两个方程同解、解互为相反数、解相差定值的问题。 5．会从算例归纳新定义运算的法则并转化为方程求解。 6．理解 || 的几何意义，能用数形结合求含绝对值代数式的最值。 重点与难点 重点　一元一次方程的解法（五个步骤）；错例辨析；由解反求参数。 难点　① 去分母时漏乘不含分母的项、分子是多项式忘加括号；② 含字母系数时"次数为 1 且系数不为 0"的双重检验；③ 含多个绝对值代数式的分段讨论。 知识网络 一元一次方程 →（概念）三条件判定 →（解法）去分母 · 去括号 · 移项 · 合并 · 系数化1 →（防错）错例辨析与回代检验 →（逆向）已知解求参数 · 同解相反解 →（拓展）新定义运算 · 数轴与绝对值的几何意义。 微专题 1　一元一次方程的概念 模块导学 一元一次方程的概念 只含有一个未知数、未知数的次数都是1、等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。判断时要同时满足三个条件：一个未知数、次数为1、分母中不含未知数。 知识梳理 知识点 1　一元一次方程的概念（重点） ① 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 ② 成立条件：等号两边都是整式；只含一个未知数；未知数的次数都是 1。三个条件缺一不可。 ③ 含字母系数时：令未知数的最高次数为 1 且一次项系数不为 0，两个条件都要列；只列"次数为 1"会漏掉"系数不为 0"，把退化成常数的情形也当成一元一次方程。 题型 1 一元一次方程的辨认与条件 　　例 1　　　★　下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 解：A．方程含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．方程是一元一次方程，故此选项符合题意； C．方程未知数的最高次数是，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．方程不是整式方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 　　答案　　　B 点睛　本题考查一元一次方程的定义．掌握一元一次方程的定义是解题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程． 　　变式 1　　　★★　关于x的方程是一元一次方程，则k值不能等于（　　） A．0　　　B．1　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了一元一次方程的定义． 解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得：，故D正确． 故选：D． 　　答案　　　D 点睛　本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 　　变式 2　　　★　下列方程是一元一次方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　一元一次方程三条件：只含一个未知数、次数为 1、分母不含未知数。 含两个未知数； 次数为 2； 分母含 x；只有 符合。 　　答案　　　B 　　例 2　　　★　若方程是关于x的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据是关于x的一元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：3． 　　答案　　　3 　　变式 3　　　★★　已知是关于的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，得到和，解之即可得到答案． 解：根据题意得： ， 解得或， 因为， 所以， 综上可知：． 故答案为：1． 　　答案　　　1 　　例 3　　　★★★　（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿． （2）已知是关于x的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了一元一次方程的定义，解决问题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义. （1）根据一次项系数不等于即可得到的值. （2）根据未知数的次数等于即可解决. 解：（1）由题意可得： 故答案为： （2）由题意可得： 故答案为：2. 　　答案　　　　　2 　　变式 4　　　★★　若方程是关于的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　一元一次方程要求：未知数的指数 ，且系数 ；两个条件联立检验，若矛盾还需按"指数为 0 且系数不为 0"等其他情形讨论。 　　答案　　　 题型 2 相关概念综合 　　变式 5　　　★★　如果单项式与单项式的次数相同，那么n的值为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据单项式次数的定义，利用两个单项式次数相等的条件列一元一次方程，求解即可得到的值． 解：单项式与单项式的次数相同， ， 整理可得：， 解得：． 　　答案　　　3 微专题 2　解方程的基本步骤 模块导学 解方程的基本步骤 解一元一次方程的一般步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。去分母时两边同乘各分母的最小公倍数，不带分母的项也要乘；去括号时注意括号前的符号与系数。 知识梳理 知识点 2　解一元一次方程——合并同类项（重点） ① 合并同类项：将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b（）的形式。依据是分配律。 ② 步骤：第一步，合并同类项，把方程转化为 ax=b（）的形式；第二步，系数化为 1，即在方程两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），求出方程的解。 ③ 注意：解一元一次方程时，同类项有两类，即含未知数的一次项和常数项。 ④ 情境说明：天平左边放着「2x」和「x」两个方块，右边放着「4」和「2」两个砝码。旁白气泡：「把同类的合并在一起—— 合并成 3x， 合并成 6！」 知识梳理 知识点 3　解一元一次方程——移项（重点） ① 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 ② 依据与作用：移项的依据是等式的性质 1；作用是将含未知数的项移到方程的一边，将常数项移到另一边，使方程更接近 的形式。 ③ 步骤：移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。移项的两个变化：位置变化和符号变化。 ④ 辨析（移项与加法交换律的区别）：移项要跨过等号并变号；同一侧交换位置不是移项，不变号。 ⑤ 数学史：阿拉伯数学家阿尔-花拉子米（约 780—850）在著作中提出「对消」（即合并同类项）与「还原」（即移项），这就是解一元一次方程的基本方法，被称为「代数学之父」。 ⑥ 情境说明：一个写着「+3x」的项从等号右边「跨过」等号跳到左边，跳过来后身上变成了「−3x」——「移项过等号，一定要变号！」 知识梳理 知识点 4　去分母与去括号（拓展） ① 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数；不带分母的项也要乘；分子是多项式时约去分母后要加括号。 ② 去括号：括号外因数为正时各项符号不变，为负时各项都变号；括号前有系数时按分配律逐项相乘。 ③ 整体求解法：方程中出现相同结构的整体（如 3() 与 2()）时，把整体看作一个数先移项、合并，可简化运算。 知识梳理 知识点 5　本节知识归纳（教材思维导图转文字） ① 合并同类项：将等号同侧同类项合并为 ax=b；依据是分配律。 ② 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边；依据是等式性质 1。 ③ 解方程步骤：移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。 ④ 列方程解实际问题：审题找等量关系 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 答。 ⑤ 两种基本等量关系：总量 = 各部分量的和；用两个不同的式子表示同一个量。 题型 1 移项与去括号 　　例 1　　　★★　将方程x＋5＝1－2x移项，得（　　） A．x＋2x＝1－5　　　B．x－2x＝1＋5　　　 C．x＋2x＝1＋5　　　D．x＋2x＝－1＋5　　　 思路分析　方程移项即可得到结果 方程x＋5＝1－2x， 移项得: x＋2x＝1－5, 故选A 　　答案　　　A 点睛　此题考查解一元一次方程，难度不大 　　变式 1　　　★　下列各题中的变形属于移项的是（　　） A．由得　　　B．由得　　　 C．由得D．由得 思路分析　本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项； 解：选项A：由得，移动时符号错误，不属于移项； 选项B：由得，仅运用加法交换律，不属于移项； 选项C：由得，将8移项后变为，将移项变为，符号改变，属于移项； 选项D：由得，仅交换等式两边，不属于移项。 故选：C 　　答案　　　C 　　例 2　　　★★　解方程，以下去括号正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　−2 乘 的每一项：−2×2x=−4x，−2×(−1)=+2，所以去括号得 。 　　答案　　　C 　　变式 2　　　★★　将方程去括号，得＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了去括号的法则，正确的运算是解题的关键． 根据题目要求去括号即可，注意判断是否需要变号． 解：将方程去括号， 则， 故答案为：． 　　答案　　　 题型 2 去分母 　　例 3　　　★★　解方程时，为了去分母，应将方程两边同时乘（　　） A．4　　　B．6　　　 C．10　　　D．12　　　 思路分析　本题考查了解一元一次方程，利用去分母是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数进行解答即可． 解：解方程时，去分母，应将方程两边同时乘以4，6的最小公倍数12， 故选：D． 　　答案　　　D 　　例 4　　　★★　解方程时，去分母正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 思路分析　本题考查一元一次方程的去分母，将方程两边同乘各分母的最小公倍数，即可去分母，据此即可解答． 解：， 方程两边同乘6，去分母，得， 即． 故选：C 　　答案　　　C 　　变式 3　　　★★★　方程，去分母得到了，这个变形（　　） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 思路分析　本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．方程去分母得到结果，即可作出判断． 解：方程， 左右两边同乘12，去分母得：， 去括号得：， 题中的变形漏乘了不含分母的项． 故选：B． 　　答案　　　B 　　例 5　　　★★　解关于的方程，下列去分母正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法． 利用解一元一次方程的方法进行求解即可． 解：， 方程两边同时乘，得：， 故选：D． 　　答案　　　D 　　变式 4　　　★　解方程的第一步是去分母，那么方程左右两边同时所乘的数应是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　解答此题要运用等式的基本性质，解题的关键是掌握最小公倍数的求法． 根据等式的性质，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，分母的最小公倍数即为所求． 解：根据分析可知：在解方程时，左右两边应该同时乘． 故答案为：． 　　答案　　　12 　　变式 5　　　★★　方程去分母后所得的结果是＿＿＿＿＿＿＿＿，方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． 左右两边同时乘以即可去分母；依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程． 解：方程的两边同时乘以，可得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 故答案为：，． 　　答案　　　　　　　 题型 3 解方程综合 　　例 6　　　★★　对于方程，解答过程的正确顺序是（　　） ①合并同类项，得．②移项，得．③系数化为1，得． A．①②③　　　B．③②①　　　 C．②①③　　　D．③①②　　　 思路分析　本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．根据一元一次方程的解法步骤：移项、合并同类项、系数化为1，即可解答． 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 综上所述，解答过程的正确顺序是②①③． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 6　　　★　方程的解是（　　） A．　　　B．　　　 C．1　　　D．2　　　 思路分析　本题考查了解一元一次方程，去括号解方程即可，正确的运算是解题的关键． 解： ， ， ， 故选：A ． 　　答案　　　A 　　变式 7　　　★　方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了解一元一次方程，去括号然后合并同类项即可，正确的运算是解题的关键． 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 　　答案　　　 　　变式 8　　　★　解下列方程： (1)； (2)； (3)． 思路分析　本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤，确保每一步变形符合等式的基本性质． （1）先将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）先移项使含未知数的项集中在左边、常数项在右边，再合并同类项，最后系数化为1； （3）先去括号消除括号结构，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． （1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 　　答案　　　(1)(2)(3) 　　变式 9　　　★　解下列方程： (1)； (2)． 思路分析　本题考查一元一次方程的求解，熟记相关步骤是解题关键． （1）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为即可求解． （1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）解：原方程可化为． 去分母，得． 去括号，得． 移项及合并同类项，得． 系数化为1，得． 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 10　　　★★　在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 思路分析　本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即将，分别看成整体来合并．移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可． 解：， 将，分别看成整体进行移项，合并同类项，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 方程两边同除以33， 得． 　　答案　　　 　　变式 11　　　★　解下列方程： (1)． (2)． (3)一题多解法． 思路分析　本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可解方程； （3）将原方程变形后，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程． （1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （3）方法一： 原方程可变形为， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以，得． 方法二： 原方程可变形为，即， 移项、合并同类项，得， 两边同除以，得． 　　答案　　　(1)(2)(3) 　　变式 12　　　★★　解下列方程： (1)． (2)． (3)． 思路分析　本题考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可，正确的运算是解题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． （1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． （3）解：去小括号，得， 去中括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 　　答案　　　(1)(2)(3) 　　变式 13　　　★　解下列方程： (1)； (2)． （1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 14　　　★　解方程： (1)； (2)． （1）解： （2）解： 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 15　　　★　解方程： 解： ． 　　答案　　　 微专题 3　错例辨析与规范求解 模块导学 错例辨析与规范求解 解方程的错误集中在三处：漏乘不含分母的项、分子中的多项式忘记加括号、移项忘记变号。解完后要把结果代回原方程检验，并能在别人的解题过程中指出第几步出错、依据是什么。 知识梳理 知识点 6　易错警示 ① 移项必须变号，未移项的项不变号； ② 合并同类项时，只把系数相加，字母和字母的指数不变； ③ 系数化为 1 时，不要将分子分母的位置颠倒； ④ 列方程解决实际问题时，要检验所求出的解是否符合实际意义。 知识梳理 知识点 7　污损与看错类错例 ① 方法：把已知的正确解代入方程，得到关于被污损/看错数字的方程，解出即可。 ② 步骤审查：判断别人解法哪一步错，逐句对照五步规范，指出第几步错、错在哪个依据。 知识梳理 知识点 8　整数解问题（重点） ① 关键：将未知数表示为两个整数的商，再利用约数分析。 ② 示例：关于 x 的方程 的解是整数，因 3 的约数是 ±3、±1，所以 取 ±1、±3，得 k=±1 或 3 或 5。 题型 1 污损与看错类错例 　　例 1　　　★★★　某书上有一道解方程的题：＋1＝x，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x＝－2，那么□处应该是数字 A．7　　　B．－10　　　 C．2　　　D．－2　　　 思路分析　已知方程的解x＝-2，把x＝-2代入未知方程，就可以求出被油墨盖住的地方了. 把x＝-2代入，得：，解这个方程得：□＝-10.故选B. 　　答案　　　B 点睛　此题主要考查解方程，利用方程的解的定义，求方程中另一个字母的解. 　　变式 1　　　★★★　解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　先用错误的解 代入"漏乘后的方程"（右边 −1 未乘 6），求出字母 a 的值；再把 a 代回原方程，按规范去分母（−1 也要乘 6）求解，得 。 　　答案　　　D 　　例 2　　　★★　冉冉解方程时，发现处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，则★处的数字是（　　） A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4　　　 思路分析　把已知的正确解 代入方程，被涂抹的常数参与运算后得到一个关于它的方程，解出即可。 　　答案　　　A 　　变式 2　　　★★★　已知关于x的多项式，小明在求当时多项式的值时，错误地把某项前面的“+”当成“”运算，求出的结果为11，被小明看错的项是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　先求出时多项式的正确值，设看错的数是a，把某项前的加号看成减号后，错误结果=正确结果，计算即可． 解：当时， ， 当时，设看错的项的系数是a， ， 解得， 当时， 所以小明看错的项是． 　　答案　　　 　　变式 3　　　★★★　小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　设被污染的数字为，将已知解代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 解：设●表示的数字为，则原方程为， ∵方程的解为， ∴将代入方程得， 两边同乘得， 去括号得， 整理得， 解得． 　　答案　　　 题型 2 解题过程纠错 　　例 3　　　★★★　小宇解方程的步骤如下： 解：去分母，得1，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，（④ 两边同除以，得．⑤ (1)小宇的解答过程在第＿＿＿＿＿＿＿＿步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 解：（1）① （2）去分母，得， 去括号，得，移项、合并同类项，得， 两边同除以9，得． 　　答案　　　(1)①(2)见解析， 　　变式 4　　　★★★　如图所示的是海海同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应的问题． 解方程：．解：，第一步，第二步，第三步，第四步．第五步 (1)①以上步骤中，第＿＿＿＿＿＿＿＿步是移项，移项的依据是＿＿＿＿＿＿＿＿； ②该同学的解答过程从第＿＿＿＿＿＿＿＿步开始出错，错误的原因是＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)请写出正确的解答过程． 思路分析　本题考查解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）①根据移项的定义及等式的性质即可求得答案；②根据解题步骤即可求得答案； （2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得步骤解方程即可． （1）略 （2）略 　　答案　　　(1)①三；等式的基本性质一；②一；去分母后未加括号；(2)解：（2）原方程去分母，得：，去括号，得：，移项、合并同类项，得：，两边同除以，得：． 　　例 4　　　★★★　原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） (1)该同学解答过程从第＿＿＿＿＿＿＿＿步开始出错，错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)写出正确的解答过程． 思路分析　（1）根据去括号的法则判断即得答案； （2）根据去括号的法则、移项的法则、合并同类项的法则，即得答案； （1）， ， 故答案为：一；去括号时，未乘． （2）略 　　答案　　　(1)一；去括号时，未乘(2)解：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边同除以，得． 点睛　本题考查了解一元一次方程，去括号，合并同类项，正确的运算是解题的关键． 微专题 4　含字母系数与同解问题 模块导学 含字母系数与同解问题 已知方程的解反求参数，把解代入原方程即可；两个方程"解相同""解互为相反数""解相差1"时，先分别求出两个方程的解，再按条件列方程。能使方程为一元一次方程的字母取值，还要检验次数与系数的限制。 知识梳理 知识点 9　根据两个方程的解的关系求字母（解题通法） ① 方法一：先求出两个方程的解，再根据这两个方程的解的关系，建立一个以待求字母为未知数的新方程。 ② 方法二：先求出其中一个方程的解，然后根据两个方程解的关系，表示出另一个方程的解，再代入。 ③ 点睛：新定义问题的关键是准确理解定义的含义。 知识梳理 知识点 10　表示同一个量的两个不同的式子相等（盈不足模型） ① 步骤：(1) 找出题中不变的量；(2) 用两个不同的式子表示出这个量；(3) 由表示同一个量的两个不同的式子相等列出方程；(4) 解方程并检验。 ② 「盈」是分配中的多余情况，「不足」是分配中的缺少情况；盈不足问题一般给出两个条件：什么情况下会「盈」，盈多少；什么情况下会「不足」，不足多少。 知识梳理 知识点 11　设参数法与数字问题 ① 比例问题：当遇到形如 a::3 的问题时，一般设比的一份为 x（），则 、；连比问题要先统一中间项的份数。 ② 多位数的表示：个位上的数字×1，十位上的数字×10，百位上的数字×100……然后相加。如个、十、百位数字分别为 a、b、c 的三位数可表示为 。 ③ 对调数位问题的关键是正确表示原数和新数。 题型 1 已知解求参数与求值 　　变式 1　　　★★　若是关于的方程的解，则关于的方程的解是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查的是一元一次方程的解及解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题关键，将代入已知方程求出，再代入方程解出方程即可． 将代入已知方程，得， 去括号，得； 移项及合并同类项，得； 系数化为1，得， 所求方程可化为， 移项及合并同类项，得． 故选B． 　　答案　　　B 　　变式 2　　　★★　若干个小孩分梨，每人分4个，则多12个；每人分6个，则恰好分完．设小孩有个，则可列方程为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查了列方程解应用题，解决问题的关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x,由此列方程解决问题. 设孩童有x名，根据等量关系：孩童的数量多出12梨＝孩童的数量，列方程解答即可。 解：设孩童有x名.由题意可得： 故选：A． 　　答案　　　A 　　例 1　　　★★　若是关于的一元一次方程的解，则的值是（　　） A．　　　B．　　　 C．8　　　D．4　　　 思路分析　把 代入 ax−2=b 得 ，即 ；整体代入：()+2 = −6+2 = −4。 　　答案　　　B 　　变式 3　　　★　已知m1=3y+1，m2=5y+3，当y=＿＿＿＿＿＿＿＿时，m1=m2． 解：根据题意得：，　　解得：y=﹣1， 故答案为﹣1． 　　答案　　　-1 　　例 2　　　★★★　已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣的值是＿＿＿＿＿＿＿＿． ∵关于x的方程的解为2， ∴，解得， ∴原式=4﹣． 故答案为1． 　　答案　　　1 　　变式 4　　　★★　当＿＿＿＿＿＿＿时，式子的值与式子的值的和等于5． 思路分析　本题考查了一元一次方程的应用，由题意得，据此即可求解． 解：由题意得， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项： 化系数为：． 故答案为： 　　答案　　　 　　变式 5　　　★　关于x的方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿ 思路分析　两边同乘 3（去分母）：，移项得 。 　　答案　　　1 　　变式 6　　　★★　关于的一元一次方程的解为，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　把 代入方程：，所以 。 　　答案　　　3 　　变式 7　　　★★　已知：，则的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　已知，根据绝对值的定义可直接求解． 解：绝对值表示数轴上某数对应点到原点的距离， 到原点距离为的点有两个，分别为和， ，， ， ． 　　答案　　　 　　变式 8　　　★★　已知是方程的解，求m的值． 思路分析　本题考查了解一元一次方程，正确的运算是解题的关键． 把代入方程得到关于的方程，求得的值即可． 解：把代入方程，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 　　答案　　　 题型 2 同解与相反解 　　变式 9　　　★★　下列方程中，解为的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　把 代入各方程左右两边分别检验：只有 的左边 与右边相等。 　　答案　　　C 　　例 3　　　★★★　关于x的方程与的解相同，则a的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了一元一次方程中的同解方程，求出方程的解，再把解代入即可求出的值. 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 将代入得： 解得： 故答案为：． 　　答案　　　 　　变式 10　　　★★★　已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 解互为相反数， 将代入得， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 故答案为：． 　　答案　　　 　　例 4　　　★★　已知方程和方程有相同的解，那么的值是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值． 解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程和方程有相同的解， ∴， 解得：． 　　答案　　　 　　例 5　　　★★★　已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 思路分析　根据题意，先求出方程的解，然后把解的相反数代入方程即可求出的值． 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 所以方程的解为． 把代入，得， 即， 移项、合并同类项，得， 两边同除以3，得． 　　答案　　　 点睛　此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是先求不含参数的解，再把解的相反数代入另一个方程，从而求出参数的值． 题型 3 条件关系与大小比较 　　例 6　　　★★　设P＝2y－2，Q＝2y＋3，且3P－Q＝1，则y的值是 A．0.4　　　B．2.5　　　 C．－0.4　　　D．－2.5　　　 思路分析　把和的值代入，得出关于的方程，求出方程的解即可． 解：，，， 代入得：， ， ， ． 故选：B． 　　答案　　　B 点睛　本题考查了解一元一次方程和等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质解方程的能力，题目比较好，难度不大． 　　变式 11　　　★★　当k为＿＿＿＿＿＿＿＿时，代数式比的值大1． 思路分析　本题考查解一元一次方程．根据题意，列出方程，进行求解即可． 解：根据题意得： 故答案为：． 　　答案　　　 　　变式 12　　　★★　已知3）与互为相反数，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　互为相反数即两式之和为 0：2()+4()=0，去括号合并得 −2x−2=0，所以 。 　　答案　　　 　　变式 13　　　★★★　若关于的多项式不含二次项和一次项，那么＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 思路分析　多项式不含某一项，则该项的系数为，据此建立方程求解即可． 解：多项式不含二次项和一次项， 二次项和一次项的系数均为，可得：，， 解方程， 可得：， 将代入， 可得：， 解得：. 　　答案　　　　　　　 　　变式 14　　　★★★　已知． (1)当取何值时，与互为相反数？ (2)当取何值时，比小2？ 思路分析　（1）根据与互为相反数，列出关于的等式即可求出； （2）根据比小2，列出关于的等式即可求解． （1）根据题意，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以16，得． 故当时，与互为相反数． （2）根据题意，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同除以4，得． 故当时，比小2． 　　答案　　　(1)当时(2)当时 点睛　本题考查了一元一次方程的应用，相反数的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 　　变式 15　　　★★　按要求解题： (1)已知，，且，，求，的值； (2)若，求． 思路分析　（1）根据绝对值的定义，结合，确定a，b的值，再代入计算即可； （2）利用绝对值的非负性：两个非负数相加等于0，则每一项都为0，求出a，b，再代入计算即可． （1）解：，，且，， ，， ，； （2）解：，，， ，， ，， ． 　　答案　　　(1)，(2) 题型 4 行程与综合 　　变式 16　　　★★★　坐在匀速行驶的动车上的小宇在经过一座大桥时发现，车头刚上桥到车头离桥共需要150s；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148s．已知该列动车长为120m，求动车经过的这座大桥的长度． (1)小宇的思路是设这座大桥的长度为xm，则坐在动车上的小宇从刚上桥到离桥的路程为xm，所以动车的平均速度可表示为＿＿＿＿＿＿＿＿；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为，所以动车的平均速度还可以表示为＿＿＿＿＿＿＿＿．再根据火车的平均速度不变，可列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)小恒认为，也可以设动车的平均速度为．按照小恒的思路可列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）本题需要根据动车过桥的两种不同行程情况，利用 “速度 = 路程 ÷ 时间” 的关系，分别表示出动车的平均速度，再依据速度不变这一条件列出方程． （2）本题需要设动车的平均速度为，根据两种不同行程下桥长与速度、时间的关系，列出关于v的方程． （1）车头刚上桥到车头离桥，路程为桥长x米，时间为150秒， ∵速度=路程÷时间， ∴速度可表示为， 动车车尾上桥开始到车头离桥结束，路程为米，时间为148秒， ∴速度还可表示为， ∵动车平均速度不变， ∴可列方程为：． （2）设动车的平均速度为， 车头刚上桥到车头离桥，路程为桥长，根据路程=速度×时间，桥长可表示为米， 动车车尾上桥开始到车头离桥结束，路程为桥长加动车长，即米， 所以可列方程为：． 　　答案　　　(1)，，(2) 点睛　本题考查了一元一次方程的应用，掌握 “速度 = 路程 ÷ 时间” 的公式，以及根据不同行程情况表示速度并利用速度不变列方程的方法是解题的关键． 　　变式 17　　　★★★　已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 思路分析　（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程； （2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出． （1）解：， 解得； （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为． （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为． 　　答案　　　(1)(2)(3) 　　变式 18　　　★★★　已知关于的方程． (1)若，该方程的解为＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若该方程的解与方程的解相同，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (4)若该方程有正整数解，则整数的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （3）先求出方程的解，再根据相反数的定义，得到的解为，代入求出m的值即可． （4）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正整数倍，又取最小值，进而得解； （1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：解，得 ， ∵的解与方程的解互为相反数， ∴的解为， 即， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 　　答案　　　(1)(2)(3)(4)6 微专题 5　新定义运算与方程 模块导学 新定义运算与方程 新定义题先从给出的算式或示例中归纳运算法则，再用法则把新定义"翻译"成普通的一元一次方程求解。判断是否满足交换律、结合律、分配律，需要分别举例验证。 知识梳理 知识点 12　新定义运算 ① 方法：从给出的算例中归纳运算法则（常是加减乘除的组合），再按法则把新定义转化为普通方程求解。 ② 验证：归纳出的法则要用所有算例验证；判断是否满足交换律、结合律、分配律，需分别举例或推理说明。 知识梳理 知识点 13　新定义方程家族 ① 成对方程：两解之和为 2；② 和解方程：两解之和为给定值；③ 后移方程：两解相差 1；④ 差解方程：两解之差等于给定正数；⑤ 相反方程：两解互为相反数。 ② 通用解法：先分别解出（或用参数表示）两个方程的解，再按定义翻译成等式；必要时分类讨论。 知识梳理 知识点 14　计算程序与阶乘 ① 程序运算：按程序框图逐次代入，直到输出满足条件的结果；逆向求输入时可按程序反推。 ② 阶乘：n! = ×…×n，规定 0!=1；含有阶乘的混合运算先算阶乘，再乘除，后加减，有括号先算括号内。 题型 1 新定义运算 　　例 1　　　★★　对有理数规定新运算“※”的意义是：，则方程的解是（　　） A．　　　B．3　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查了新定义运算的应用与一元一次方程的求解，解题的关键是根据“”的规则，将“3x※x”转化为常规代数表达式，再通过解方程步骤求出的值． 解：由新运算“”，得 ∴， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 　　答案　　　A 　　例 2　　　★★★　新定义题对于任意不为0的有理数，定义一种新运算“※”，规则如下：．例如：． (1)若，求的值． (2)判断新运算“※”是否满足分配律，并说明理由． 解：（1）因为， 所以，解得． （2）不满足．理由：根据题意，得等式左边， 等式右边， 所以左边右边， 所以新运算“※”不满足分配律． 　　答案　　　(1)(2)不满足．理由见解析 　　变式 1　　　★★★　定义一种新运算“”： ； ； ． 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算形式：＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)若，求的值． 思路分析　（1）根据给出的运算方法进行计算即可； （2）根据给出的算式，进行归纳总结即可； （3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可. （1）解：∵； ； ； ∴； （2）解：由（1）可知，； （3）解：由（2）可知，， 解得. 　　答案　　　(1)(2)(3) 　　变式 2　　　★★★　我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定（1）：．例如．规定（2）：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的． (1)按照以上的规定，计算：①；②； (2)计算：； (3)已知为整数，求出满足该等式的的值： 思路分析　（1）利用阶乘的定义进行运算即可； （2）利用阶乘的定义及有理数的相应的法则进行运算即可； （3）利用阶乘的定义先化简，再利用绝对值的定义得到一元一次方程，解方程求解即可． （1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ， 解得或． 　　答案　　　(1)24；50(2)(3)或 题型 2 新定义方程 　　例 3　　　★★★　定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程和互为“成双方程”． (1)方程与方程1）＿＿＿＿＿＿＿＿（填“是”或“不是”）互为“成双方程”． (2)若关于的方程与互为“成双方程”，求的值． (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 思路分析　(1) 分别解出两个方程的解，检验两解之和是否为 2；(2)(3) 先用含参数的式子表示出两个方程的解，再按"解之和为 2"列方程求参数；求出参数后回代求另一方程的解。新定义问题的关键是准确理解定义的含义。 　　答案　　　(1)是(2)(3) 　　变式 3　　　★★★　观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“数对”，记为，如：数对，都是“数对”． (1)数对，中是“数对”的是＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若是“数对”，求的值； (3)若是“数对”，求的值． 思路分析　（1）根据给出的新定义进行验证； （2）根据给出的新定义列出方程求解； （3）根据给出的新定义列出方程，然后对多项式进行整理，最后整体代入即可． （1）解：∵， ∴数对是“数对”； ∵，且， ∴数对不是“数对”； （2）解：∵是“数对”， ∴， 解得； （3）解：∵是“数对”， ∴， 整理得， ∴ ． 　　答案　　　(1)(2)(3)2 　　变式 4　　　★★★　如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 思路分析　（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可． （1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 　　答案　　　(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下：解第一个方程，，，解第二个方程，，解得：，，这两个方程不是“和解方程”．(2) 　　例 4　　　★★★　我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求的值． 思路分析　（1）根据题中所给“和解方程”的定义求解即可； （2）根据题中所给“和解方程”的定义求解即可． （1）解：由得， ∵方程是“和解方程”， ∴， 解得． （2）解：∵方程的解是， ∴， ∵方程是“和解方程”， ∴， 联立得， 由得， 将，代入， 解得， 将，代入， 解得， 解得． 　　答案　　　(1)(2) 　　变式 5　　　★★★　若两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)判断方程是否为方程的“后移方程”：＿＿＿＿＿＿＿＿；（填“是”或“否”） (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 思路分析　（1）先求出两个方程的解，再根据“后移方程”的定义判断即可； （2）先求出两个方程的解，再根据“后移方程”的定义进而列出方程求解即可． （1）解： 解得， 解得， ∵， ∴方程是方程的“后移方程”； （2）解： 解得， 解得， 根据题意得， 解得． 　　答案　　　(1)是(2) 　　例 5　　　★★★　定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)若与是“差解方程”，则＿＿＿＿＿＿； (2)若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）求出两个方程的解，再根据定义解答即可． （2）求出两个方程的解，再根据定义解答即可． （1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵与是“差解方程”， ∴， ∴． （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵方程与方程是“差解方程”， ∴， 即， 解得或． 　　答案　　　(1)4(2)或 　　变式 6　　　★★★　【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 应用　(1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； 应用　(2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． （1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 　　答案　　　(1)15(2) 题型 3 程序运算与综合 　　变式 7　　　★★★　如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值”到“判断结果是否大于等于”为一次运算．例如：开始输入的值为．运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果． (1)当时，＿＿＿＿＿＿＿＿；当时，＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)当输入为时，求输出结果的值； (3)若经过两次运行后输出结果，请直接写出此时输入的的值． 思路分析　（1）分别将和代入流程图进行计算即可； （2）将代入流程图进行计算即可； （3）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． （1）解：当时，由流程图可得， ； 当时， ； （2）解：当时， ， ∴需进行第二次运算，将0代入得， 答：输出结果y的值为； （3）解：∵经过两次运行后输出结果， ∴第一次运算结果小于1，第二次运算结果等于1， 设输入的x为所求值，则第一次运算结果为，第二次运算结果为， ∴ 解得， 答：此时输入的x的值为． 　　答案　　　(1)9；1(2)输出结果y的值为(3)此时输入的x的值为 微专题 6　数轴与绝对值的几何意义 模块导学 数轴与绝对值的几何意义 数轴上两点之间的距离等于这两数差的绝对值：||。因此||表示x与3之间的距离，其最小值为0；||+||表示x到1和3的距离之和，最小值在时取得，为2。 知识梳理 知识点 15　距离公式 ① 结论：数轴上表示有理数 a、b 的两点之间的距离等于 ||。 ② 几何意义：|| 表示 x 与 3 两点间的距离；||+|| 表示 x 到 1 与到 3 的距离之和。 知识梳理 知识点 16　最值模型 ① 单绝对值：|| 的最小值是 0（ 时取得）。 ② 双绝对值：||+||（a ③ 分段讨论：多个绝对值时按各零点把数轴分段，逐段判断符号再去绝对值，别漏端点。 知识梳理 知识点 17　数轴综合 ① 方法：把代数式翻译成"距离""位置"，用数轴直观判断；动点问题先设表示数，再按距离列方程。 ② 易错："距离相等"可能对应两个位置（点在左或右），分类补全，别漏解。 题型 1 数轴上的距离与参数 　　变式 1　　　★　数轴上表示的点与表示6的点到原点的距离相等，则a的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了绝对值的几何意义，根据题意列出方程并化简绝对值的表达式，解方程即可，解题的关键是根据绝对值的几何意义列出方程求解． 解：数轴上表示的点与表示数6的点到原点的距离相等， ， ， ， ， 故答案为：． 　　答案　　　或 　　变式 2　　　★★　若代数式的绝对值与的绝对值相等，则x的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了绝对值的化简，解一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的运算法则． 根据题意先去绝对值，然后再合并同类项解方程即可． 解：∵的绝对值与的绝对值相等， ， ，或 或， 故答案为：． 　　答案　　　或 　　变式 3　　　★　已知数轴上点A表示有理数2，点B与点A的距离为4，则点B表示的有理数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据数轴上两点间距离的定义，分点在点左侧和右侧两种情况，列绝对值方程求解即可. 解：设点表示的有理数为， ∵点与表示的点距离为， ∴，去掉绝对值得或， 解得或. 即点表示的有理数为或. 　　答案　　　或 　　变式 4　　　★★　若的相反数是，则的相反数是＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据相反数的定义，若一个数的相反数等于它本身，则这个数为，据此列方程求出的值，再计算的相反数即可． 解：∵的相反数是， ∴， 整理得， 解得， ∴的相反数是． 　　答案　　　 　　变式 5　　　★　若，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解： 移项得 等式两边同除以，得． 　　答案　　　 　　变式 6　　　★★　如果与互为相反数，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解：∵互为相反数的两个数的和为， ∴， 整理得：， 解得：． 　　答案　　　 　　变式 7　　　★★　已知数轴上有，两点，，之间的距离为，点对应的数为，那么点对应的数是＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　设点对应的数为，根据数轴上两点间距离的含义列绝对值方程求解即可． 解：设点对应的数为， ∵，之间的距离为，点对应的数为， ∴， ∴或， 解得或． 　　答案　　　或 题型 2 绝对值的几何意义与最值 　　例 1　　　★★★　我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿，数轴上表示和的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿，数轴上表示和的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿； (2)若，则x的值为＿＿＿＿＿＿； (3)当时，则＿＿＿＿＿＿． (4)当＿＿＿＿＿＿时，的值最小，最小值为＿＿＿＿＿＿； 思路分析　（1）根据绝对值的意义，然后结合题意即可求解； （2）根据绝对值的意义，绝对值等于6的数有6和，列方程即可求得x的值； （3）根据绝对值的意义，分三种情况，时，时，时，即可求得x的值； （4）根据绝对值的几何意义可知当x取、、1三个数的中间值时，有最小值，当时，有最小值0，则当时，原式有最小值，据此求出最小值即可． （1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是； （2）解：， ∴或，解得或； （3）解：当时，， 解得； 当时，，不存在； 当时，， 解得； （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点、与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7． 　　答案　　　(1)；；(2)1或(3)2或(4)，7 　　变式 8　　　★★★　【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，当时，则＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)当，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)当＿＿＿＿＿＿＿＿时，的值最小，最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿； 思路分析　（1）把写成，按两点间距离的定义说明几何意义；再由绝对值的意义，把化为与两个一元一次方程求； （2）先求表示与的两点间的距离为，再按表示的点在这两点之间、在的右边、在的左边分类，去掉绝对值后解一元一次方程； （3）把原式看作数轴上表示的点到表示、、的三点的距离之和，先由“两点之间距离和最小”把前两段合成一个定值，再由的非负性求最小值． （1）解：∵， ∴式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． ∵， ∴或， ∴或． （2）解：数轴上表示与的两点之间的距离为． 当表示的点在这两点之间（包括这两个点）时，，不满足题意； 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴， 解得． ∴的值为或． （3）解：表示点到表示与的两点的距离之和． ∵表示与的两点之间的距离为， ∴当点在这两点之间（包括这两个点）时，； 当点在的左边时，它到表示的点的距离已经大于，当它在的右边时同理，故此时大于． 又表示点到表示的点的距离，它不小于，当点与表示的点重合（即）时等于， ∴原式的值不小于． 当时，， ∴当时，原式的值最小，最小值为． 　　答案　　　(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；或．(2)或．(3)；． 　　变式 9　　　★★　绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 代数意义　正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 代数意义　(1)已知：，，…，是不等于的有理数，请你探究以下问题： 代数意义　①若，则＿＿＿＿＿＿＿＿； 代数意义　②若，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 代数意义　(2)由以上探究可知，，则共有＿＿＿＿＿＿＿个不同的值； 几何意义　在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，表示数轴上表示数的点和表示数的点的距离． 几何意义　(3)如图，数轴上点表示，点表示，动点从点出发以每秒个单位的速度向右运动，到达点时停止运动；动点从点出发向以每秒个单位的速度向左运动，几秒后、两点之间的距离是个单位长度？ 几何意义　 思路分析　（1）对绝对值内的有理数的正负进行分类讨论即可解决问题． （2）根据（1）的结论找到规律，即可求解． （3）根据题意列方程求解即可． （1）解：①当时，，则， 当时，，则， ∴1或 ②当，同为正数时， ； 当，同为负数时， ； 当，异号时， ； 所以2或或0． （2）解：由（1）可得，有2个不同的值，有3个不同的值，…… ，则共有个不同的值； （3）当与重合时，， ∵点与点表示的数分别为，， ∴，即， ∴或， 解得：（不符合题意），， 当停止运动，此时重合， 时，， 解得：（负值舍去）， 答：秒或秒后、两点之间的距离是个单位长度 　　答案　　　(1)①1或；②或或(2)(3)1秒或4秒 　　变式 10　　　★★　【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数与形是有联系的，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合．数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． 我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数到原点的距离．借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 分析应用　(1)①若，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 分析应用　②数轴上数表示的点和的距离可以表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 分析应用　(2)的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，此时可以取整数的和为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 分析应用　(3)当＿＿＿＿＿时，的值最小，最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 分析应用　(4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1000人，居民区有居民2000人，居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为5元/（千份・千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少元？ 分析应用　 思路分析　（1）根据绝对值的几何意义和两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为到1的距离； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，和同时取得最小值，此时的值最小，进行计算即可； （4）列出式子，求其最小值即可． （1）解：①若，则的值为； ②数轴上数表示的点和的距离可以表示为； （2）解：表示数到数和到数1之间的距离之和， ∴当时，的值最小为到1的距离，即为； 此时可以取整数的和为； （3）解：由绝对值的几何意义和非负性可知，当时，和同时取得最小值， 此时的值最小，为到1的距离，即； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离之和， 由（3）可知，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输成本最低，最低成本是60元． 　　答案　　　(1)①；②(2)4，(3)，7(4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输成本最低，最低成本是60元 　　变式 11　　　★★★　【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 问题解决　(1)数轴上表示3和的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 问题解决　(2)数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用绝对值符号可以表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 问题解决　(3)若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则x等于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 联系拓广　(4)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x．若点P在点M，N两点之间，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；若，则点P表示的数x为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 联系拓广　(5)对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由． 思路分析　（1）根据数轴上A､B两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离代入值运用绝对值化简即可求得； （3）根据数轴上两点之间的距离列出等式，结合绝对值计算即可； （4）根据数轴上两点之间的距离判断出为的距离，再结合已知值和最小值分别求解即可； （5）根据x是动点，结合绝对值的意义和（3）最小值的取值可能，即可知有最小值且位于和6之间． （1）解：数轴上表示3和－5的两点之间的距离等于； （2）解：数轴上有理数x与对应的两点之间的距离用含x的式子表示为； （3）解：若数轴上有理数x与1对应的两点A，B之间的距离，则， ∴或； （4）解：∵P在点M，N之间，且点M表示的数为4，点N表示的数为， ∴， ∴； ∵， ∴点P在线段外， 当P在M点右边时，即，， 解得； 当P在N左边时，即，， 解得； 综上所述，点P表示的数为或6； （5）略 　　答案　　　(1)8(2)(3)或7(4)6；或6(5)有，最小值为10，理由如下：表示的是一个数到和6的距离的和，而和6的距离为10，所以当x位于和6之间（包括这两个数）时，取得最小距离，为10 　　例 2　　　★★★　先阅读，后探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．故当点A、B在数轴上分别表示有理数a、b时，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离为． (1)数轴上表示和4的两点A和B之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿；如果，并且A所表示的数为2，那么B所表示的数为＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若点A表示的有理数为x，则当＿＿＿＿＿＿＿＿时，与的值相等； (3)当＿＿＿＿＿＿＿＿时，有最小值； (4)求出（3）中的最小值． 思路分析　（1）第一空根据两点间距离公式直接计算；第二空设B表示的数为b，由距离公式列方程求解； （2）利用绝对值的几何意义（到与到2的距离相等），解答即可； （3）绝对值和的最小值是x取中间项对应的数时； （4）将代入，计算即可． （1）解：数轴上表示和4的两点距离为； 设B表示的数为b，由且A表示2，得，则或， 解得或， 数轴上表示和4的两点A和B之间的距离为7；如果，并且A所表示的数为2，那么B所表示的数为或5； （2）表示到与到2的距离相等，数轴上与2的中点为， ； （3）绝对值和共101个绝对值项，当x取中间项对应的数时和最小，中间项为第项，所以； （4）当时， ， 所以（3）中的最小值为2550． 　　答案　　　(1)7；或5(2)(3)(4)2550 　　例 3　　　★★★　阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿，数轴上表示x和3的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿； (2)数轴上表示a和2的两点之间的距离为6，则a表示的数为＿＿＿＿＿＿； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由． 思路分析　（1）依据数轴上两点间距离公式求解即可． （2）根据绝对值的定义进行计算即可． （3）根据绝对值的几何意义求解即可． （4）根据绝对值的几何意义求解即可． （1）解：将，代入公式，可得， 把，代入公式，得到． （2）解：根据距离公式，即或， 当时，解得； 当时，解得． （3）详解见答案 （4）详解见答案 　　答案　　　(1)；(2)或(3)有最小值，表示数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，∴表示数轴上一点到和的距离之和，当时，到和的距离之和最小，最小值就是．(4)存在，表示数轴上一点到和的距离之和，且和之间的距离为，使的点在-2的左侧，且与-2的距离为2的点，即表示-4的点；或在3的右侧，且与3的距离为2的点，即表示5的点.所以存在数，使，的值为和． 　　例 4　　　★★★　点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离用AB来表示，即．利用数形结合思想回答下列问题： (1)对于任何有理数x，的最小值是＿＿＿＿＿＿，则取到最小值时的所有整数x的积为＿＿＿＿＿＿； (2)若，则＿＿＿＿＿＿； (3)若数轴上A、B、C点表示的数分别为，2，4，当点P到A、B、C点的距离之和为9时，此时点P表示的数为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）利用绝对值的几何意义，即数轴上两点间的距离，确定取最小值时的范围，再计算对应整数的积； （2）分类讨论去绝对值符号，转化为一元一次方程求解； （3）设点表示的数为，根据距离和为9列方程，分类讨论去绝对值后求解，舍去不符合范围的解． （1）解：∵表示数轴上点到表示的点的距离，表示数轴上点到表示的点的距离 ∴ 当点在与之间（包含两端点）时，两距离之和最小，最小值为， 此时满足条件的整数为， 这些整数的积为； （2）解：分三种情况讨论： 当时， 解得，符合， 当时，，此时方程无解， 当时， 解得，符合， 综上所述，或； （3）解：设点表示的数为，由题意得： 分四种情况讨论： 当时， 解得，不符合，舍去 当时， 解得，符合 当时， 解得，符合 当时， 解得，不符合，舍去 综上所述，点表示的数为或． 　　答案　　　(1)最小值是，所有整数的积为(2)或(3)点表示的数为或 题型 3 数轴综合探究 　　变式 12　　　★★★　对于有理数a，小明学习了绝对值符号之后，自己创造了一个新符号．新符号的含义为： 若，则；若，则． 例如：因为，所以；因为，所以， 则 (1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)如果一个有理数m与互为相反数，求出m的值． 思路分析　（1）根据新符号的定义，即可求解； （2）分两种情况：当时，当时，结合相反数的定义，即可求解． （1）解：因为， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以； （2）解：当时，， 因为有理数m与互为相反数， 所以， 解得：； 当时，， 因为有理数m与互为相反数， 所以， 解得：； 综上所述，m的值为． 　　答案　　　(1)0；；(2) 　　变式 13　　　★★　如图，数轴的单位长度为1，点A表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数；点B向右移动3个单位到达点C，则点C表示的数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (3)在（2）的条件下，在数轴上找一点D，使点D到点A的距离等于点D到点C的距离的2倍，求点D表示的数． 思路分析　（1）根据点A表示的数是，结合数轴的特征即可表示出原点； （2）根据数轴的特征即可求解点B表示的数，再由加上移动的距离即可求解点C表示的数； （3）设点表示的数为，然后分两种情况讨论，根据数轴上两点间的距离公式建立方程求解． （1）解：∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧3个单位长度处； （2）解：由数轴可得，点B表示的数是， 点C表示的数是； （3）解：设点表示的数为， 当点D在点A、C之间时， 解得； 当点D在点C右侧时， 解得 ∴点表示的数为或． 　　答案　　　(1)如图所示，即为所求；(2)点B表示的数是；(3)或 　　变式 14　　　★★★　数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律．比如：数轴上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当取最小值时，的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (4)已知，则的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 思路分析　（1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行求解即可； （3）根据表示a在数轴上对应的点到的距离与到1的距离之和，得出当a在数轴上对应的点在与1之间时，最小，且最小值为；分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别去绝对值进行求解即可； （4）根据当，，都取最小值时，，得出a、b、c的范围，最后求最大值即可． （1）解：∵点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或； （2）解：当时，可变为：， 解得：； 当时，可变为：，此方程无解； 当时，可变为：， 解得：； 综上，或； （3）解：∵表示a在数轴上对应的点到的距离与到1的距离之和， ∴当a在数轴上对应的点在与1之间时，最小，且最小值为； 令， 当时， ， ∵， ∴， ∴， 即； 当时， ， ∵， ∴； 即； 当时， ， ∵， ∴； 即； 当时， ， ∵， ∴； 即； 综上，当时，取最小值17； （4）解：根据（3）可得：当时，取最小值， 当时，取最小值， 当时，取最小值， ∵， ∴当，，都取最小值时，， ∴当时，，，， ∵要使最大，必须使a、b最大，c最小， ∴当，，时，最大，且最大值为：． 　　答案　　　(1)或1(2)或(3)3；1(4)5 　　变式 15　　　★★★　综合与探究 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数与形是数学研究的两个基本对象，数轴正是沟通“数”与“形”的重要桥梁——数轴上的点表示数，点在数轴上的平移对应着数的运算．请带着“以形助数”的眼光，完成下面的探究．（若数轴上A、B两点分别表示数a、b，则两点间距离为） (1)探究一、借助数轴，比较与a的大小 点P在数轴上表示数a，将点P沿数轴向右平移3个单位长度，得到点． ①点表示的数是＿＿＿＿＿＿（用含a的式子表示）； ②由此可知：＿＿＿＿＿＿a（填“>”“=”或“<”）； ③你在②中作出判断的依据是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)探究二、借助数轴，求使等式成立的x的值 请写出求解过程（可画数轴辅助分析，如在数轴上点P表示数x，…）． (3)探究三、借助数轴，比较大小 如图，若有理数a、、b在数轴上对应的点分别为点A、B、C（图中未标出原点和单位长度）．请借助刻度尺或圆规，在下图中完成下列画图： ①标出原点O的位置，并简述你的理由； ②分别标出表示数的点D，标出表示数的点E； ③比较、、的大小，并用“<”连接：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）根据数轴的平移规则及数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大作答即可； （2）把式子转化为数轴语言，进而分三种情况讨论即可； （3）①先计算A、B、C的距离，由数轴上点从左到右顺序为A、B、C，可知，进而得到点B到中点的距离为，根据标出原点O即可； ②点D标注理由见①，用刻度尺度量O到的距离，在C处向右取相同距离标为E即可； ③根据数轴左边的数小于右边的数作答即可． （1）①略； ②略； ③略； （2）略 （3）①略； ②解：点D标注理由见①，用刻度尺度量O到的距离，可知，在C处向右取相同距离标为E， 此时E表示的数是，可知E即为所求； ③略． 　　答案　　　(1)①；②；③数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大；(2)解：我们把式子转化为数轴语言：设点P表示数x，式子的含义是点P到表示、1、6这三个点的距离之和等于10，分三种情况讨论：当时：P在左侧，距离和为，令，解得，不符合的条件，舍去；当时：P在和6之间，距离和为，令，解得或，均符合的条件；当时：P在6右侧，距离和为，令，解得，不符合的条件，舍去．因此满足等式的x的值为3或．(3)①解：如图，点O即为所求；理由：由数轴可知，．由数轴上点从左到右顺序为A、B、C，可知，即，∴的长度是，∵的中点对应的数为，则用刻度尺取的中点D，∴点B到的中点的距离为，用刻度尺度量B到中点的距离，在C处向左取相同距离标为O，此时O表示的数是，可知O即为所求；②如图，点D、E即为所求；③． 　　变式 16　　　★★★　我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，两点之间的距离表示为，那么两点之间的距离．利用此结论，回答下列问题： (1)填空：＿＿＿＿＿＿＿；数轴上表示3和的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿＿； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是＿＿＿＿＿＿＿（用含x的式子表示），如果A，B两点之间的距离，那么x的值为＿＿＿＿＿＿＿； (3)的最小值为＿＿＿＿＿＿＿； (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (5)已知，则的最大值为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题； （4）根据绝对值的几何意义，结合数轴得出利用数形结合思想解决问题． （5）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为3，时，的值最小为3，时，的值最小为4，根据，得到的最大值为，的最小值为时，的值最大，进行求解即可． （1）解：， 数轴上表示3和的两点之间的距离是． （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ∵， ∴， ∵数轴上与距离为2的点表示的数有两个：0或， 所以或； （3）解：∵表示数轴上表示x的点到表示数和4的点距离之和， ∴当x表示的点在与4之间时，最小， ∴的最小值为； （4）解：根据题意可得，的意义为数轴上表示数的点到表示数，，4的点的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值为． （5）解：∵当时，的值最小为， 时，的值最小为， 时，的值最小为， 又∵， ∴，，， ∴当时，的值最大为：． 　　答案　　　(1)9；6(2)；0或(3)6(4)有最小值，且最小值为6(5)9 　　例 5　　　★★★　阅读材料： 点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．也就是说表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： (1)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离是多少？ (2)结合数轴求的最小值； (3)求满足时的值． 思路分析　（1）根据两点间距离公式计算即可； （2）在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离与表示数x的点与表示数的点的距离之和，结合数轴分类讨论即可； （3）分四种情况：①；②；③；④，将绝对值方程化为一元一次方程求解即可． （1）解：； （2）解：∵， ∴在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离与表示数x的点与表示数的点的距离之和． 如图，设点M表示数，点N表示数2，点X表示数x， ①当点X在点M的左侧时，可以表示为，且有； ②当点X在线段（包括点M，N）上时，可以表示为，且有， ③当点X在点N的右侧时，可以表示为，且有； 综上所述，当点X在线段（包括点M，N）上时，取得最小值，为． （3）解：当时，， ∵， ∴， 解得，不满足，舍去； 当时，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， 解得，不满足，舍去； 当时，， ∵， ∴， 解得． 综上所述，或． 　　答案　　　(1)(2)(3)或 1 学科网（北京）股份有限公司 $3.2 一元一次方程的解法 · 讲义 3.2 一元一次方程的解法 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　一元一次方程的概念 2 题型 1　一元一次方程的辨认与条件 2 题型 2　相关概念综合 3 微专题 2　解方程的基本步骤 4 题型 1　移项与去括号 5 题型 2　去分母 5 题型 3　解方程综合 6 微专题 3　错例辨析与规范求解 8 题型 1　污损与看错类错例 9 题型 2　解题过程纠错 9 微专题 4　含字母系数与同解问题 11 题型 1　已知解求参数与求值 11 题型 2　同解与相反解 12 题型 3　条件关系与大小比较 13 题型 4　行程与综合 14 微专题 5　新定义运算与方程 15 题型 1　新定义运算 16 题型 2　新定义方程 17 题型 3　程序运算与综合 19 微专题 6　数轴与绝对值的几何意义 19 题型 1　数轴上的距离与参数 20 题型 2　绝对值的几何意义与最值 21 题型 3　数轴综合探究 23 一、本讲导航 学习目标 1．理解一元一次方程的概念，会判断一个方程是否为一元一次方程。 2．掌握解一元一次方程的五个步骤，会正确去分母、去括号、移项、合并同类项与系数化为1。 3．能识别解方程过程中的漏乘、漏括号、忘变号三类错误，并会用回代检验答案。 4．会由方程的解反求参数，会处理两个方程同解、解互为相反数、解相差定值的问题。 5．会从算例归纳新定义运算的法则并转化为方程求解。 6．理解 || 的几何意义，能用数形结合求含绝对值代数式的最值。 重点与难点 重点　一元一次方程的解法（五个步骤）；错例辨析；由解反求参数。 难点　① 去分母时漏乘不含分母的项、分子是多项式忘加括号；② 含字母系数时"次数为 1 且系数不为 0"的双重检验；③ 含多个绝对值代数式的分段讨论。 知识网络 一元一次方程 →（概念）三条件判定 →（解法）去分母 · 去括号 · 移项 · 合并 · 系数化1 →（防错）错例辨析与回代检验 →（逆向）已知解求参数 · 同解相反解 →（拓展）新定义运算 · 数轴与绝对值的几何意义。 微专题 1　一元一次方程的概念 模块导学 一元一次方程的概念 只含有一个未知数、未知数的次数都是1、等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。判断时要同时满足三个条件：一个未知数、次数为1、分母中不含未知数。 知识梳理 知识点 1　一元一次方程的概念（重点） ① 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 ② 成立条件：等号两边都是整式；只含一个未知数；未知数的次数都是 1。三个条件缺一不可。 ③ 含字母系数时：令未知数的最高次数为 1 且一次项系数不为 0，两个条件都要列；只列"次数为 1"会漏掉"系数不为 0"，把退化成常数的情形也当成一元一次方程。 题型 1 一元一次方程的辨认与条件 　　例 1　　　★　下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 1　　　★★　关于x的方程是一元一次方程，则k值不能等于（　　） A．0　　　B．1　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 2　　　★　下列方程是一元一次方程的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 2　　　★　若方程是关于x的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 3　　　★★　已知是关于的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　例 3　　　★★★　（1）若方程是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿． （2）已知是关于x的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　★★　若方程是关于的一元一次方程，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 相关概念综合 　　变式 5　　　★★　如果单项式与单项式的次数相同，那么n的值为＿＿＿＿＿＿． 　 　 微专题 2　解方程的基本步骤 模块导学 解方程的基本步骤 解一元一次方程的一般步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。去分母时两边同乘各分母的最小公倍数，不带分母的项也要乘；去括号时注意括号前的符号与系数。 知识梳理 知识点 2　解一元一次方程——合并同类项（重点） ① 合并同类项：将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 ax=b（）的形式。依据是分配律。 ② 步骤：第一步，合并同类项，把方程转化为 ax=b（）的形式；第二步，系数化为 1，即在方程两边同时除以未知数的系数（或乘系数的倒数），求出方程的解。 ③ 注意：解一元一次方程时，同类项有两类，即含未知数的一次项和常数项。 ④ 情境说明：天平左边放着「2x」和「x」两个方块，右边放着「4」和「2」两个砝码。旁白气泡：「把同类的合并在一起—— 合并成 3x， 合并成 6！」 知识梳理 知识点 3　解一元一次方程——移项（重点） ① 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 ② 依据与作用：移项的依据是等式的性质 1；作用是将含未知数的项移到方程的一边，将常数项移到另一边，使方程更接近 的形式。 ③ 步骤：移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。移项的两个变化：位置变化和符号变化。 ④ 辨析（移项与加法交换律的区别）：移项要跨过等号并变号；同一侧交换位置不是移项，不变号。 ⑤ 数学史：阿拉伯数学家阿尔-花拉子米（约 780—850）在著作中提出「对消」（即合并同类项）与「还原」（即移项），这就是解一元一次方程的基本方法，被称为「代数学之父」。 ⑥ 情境说明：一个写着「+3x」的项从等号右边「跨过」等号跳到左边，跳过来后身上变成了「−3x」——「移项过等号，一定要变号！」 知识梳理 知识点 4　去分母与去括号（拓展） ① 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数；不带分母的项也要乘；分子是多项式时约去分母后要加括号。 ② 去括号：括号外因数为正时各项符号不变，为负时各项都变号；括号前有系数时按分配律逐项相乘。 ③ 整体求解法：方程中出现相同结构的整体（如 3() 与 2()）时，把整体看作一个数先移项、合并，可简化运算。 知识梳理 知识点 5　本节知识归纳（教材思维导图转文字） ① 合并同类项：将等号同侧同类项合并为 ax=b；依据是分配律。 ② 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边；依据是等式性质 1。 ③ 解方程步骤：移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。 ④ 列方程解实际问题：审题找等量关系 → 设未知数 → 列方程 → 解方程 → 检验 → 答。 ⑤ 两种基本等量关系：总量 = 各部分量的和；用两个不同的式子表示同一个量。 题型 1 移项与去括号 　　例 1　　　★★　将方程x＋5＝1－2x移项，得（　　） A．x＋2x＝1－5　　　B．x－2x＝1＋5　　　 C．x＋2x＝1＋5　　　D．x＋2x＝－1＋5　　　 　　变式 1　　　★　下列各题中的变形属于移项的是（　　） A．由得　　　B．由得　　　 C．由得D．由得 　　例 2　　　★★　解方程，以下去括号正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 2　　　★★　将方程去括号，得＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 去分母 　　例 3　　　★★　解方程时，为了去分母，应将方程两边同时乘（　　） A．4　　　B．6　　　 C．10　　　D．12　　　 　　例 4　　　★★　解方程时，去分母正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 　　变式 3　　　★★★　方程，去分母得到了，这个变形（　　） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 　　例 5　　　★★　解关于的方程，下列去分母正确的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 4　　　★　解方程的第一步是去分母，那么方程左右两边同时所乘的数应是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　★★　方程去分母后所得的结果是＿＿＿＿＿＿＿＿，方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 3 解方程综合 　　例 6　　　★★　对于方程，解答过程的正确顺序是（　　） ①合并同类项，得．②移项，得．③系数化为1，得． A．①②③　　　B．③②①　　　 C．②①③　　　D．③①②　　　 　　变式 6　　　★　方程的解是（　　） A．　　　B．　　　 C．1　　　D．2　　　 　　变式 7　　　★　方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 8　　　★　解下列方程： (1)； (2)； (3)． 　 　 　 　 　　变式 9　　　★　解下列方程： (1)； (2)． 　 　 　 　 　　变式 10　　　★★　在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 　 　 　 　 　　变式 11　　　★　解下列方程： (1)． (2)． (3)一题多解法． 　 　 　 　 　　变式 12　　　★★　解下列方程： (1)． (2)． (3)． 　 　 　 　 　　变式 13　　　★　解下列方程： (1)； (2)． 　 　 　 　 　　变式 14　　　★　解方程： (1)； (2)． 　 　 　 　 　　变式 15　　　★　解方程： 　 　 　 　 微专题 3　错例辨析与规范求解 模块导学 错例辨析与规范求解 解方程的错误集中在三处：漏乘不含分母的项、分子中的多项式忘记加括号、移项忘记变号。解完后要把结果代回原方程检验，并能在别人的解题过程中指出第几步出错、依据是什么。 知识梳理 知识点 6　易错警示 ① 移项必须变号，未移项的项不变号； ② 合并同类项时，只把系数相加，字母和字母的指数不变； ③ 系数化为 1 时，不要将分子分母的位置颠倒； ④ 列方程解决实际问题时，要检验所求出的解是否符合实际意义。 知识梳理 知识点 7　污损与看错类错例 ① 方法：把已知的正确解代入方程，得到关于被污损/看错数字的方程，解出即可。 ② 步骤审查：判断别人解法哪一步错，逐句对照五步规范，指出第几步错、错在哪个依据。 知识梳理 知识点 8　整数解问题（重点） ① 关键：将未知数表示为两个整数的商，再利用约数分析。 ② 示例：关于 x 的方程 的解是整数，因 3 的约数是 ±3、±1，所以 取 ±1、±3，得 k=±1 或 3 或 5。 题型 1 污损与看错类错例 　　例 1　　　★★★　某书上有一道解方程的题：＋1＝x，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x＝－2，那么□处应该是数字 A．7　　　B．－10　　　 C．2　　　D．－2　　　 　　变式 1　　　★★★　解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 2　　　★★　冉冉解方程时，发现处一个常数被涂抹了，已知方程的解是，则★处的数字是（　　） A．1　　　B．2　　　 C．3　　　D．4　　　 　　变式 2　　　★★★　已知关于x的多项式，小明在求当时多项式的值时，错误地把某项前面的“+”当成“”运算，求出的结果为11，被小明看错的项是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 3　　　★★★　小梅在解方程时，不小心把一个数字用墨水污涂成了“”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 解题过程纠错 　　例 3　　　★★★　小宇解方程的步骤如下： 解：去分母，得1，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，（④ 两边同除以，得．⑤ (1)小宇的解答过程在第＿＿＿＿＿＿＿＿步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 　 　 　 　 　　变式 4　　　★★★　如图所示的是海海同学解方程的过程，请认真阅读并解答相应的问题． 解方程：．解：，第一步，第二步，第三步，第四步．第五步 (1)①以上步骤中，第＿＿＿＿＿＿＿＿步是移项，移项的依据是＿＿＿＿＿＿＿＿； ②该同学的解答过程从第＿＿＿＿＿＿＿＿步开始出错，错误的原因是＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)请写出正确的解答过程． 　 　 　 　 　　例 4　　　★★★　原创题下面是小宇同学解方程的过程，请你仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 两边同除以，得．（第四步） (1)该同学解答过程从第＿＿＿＿＿＿＿＿步开始出错，错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)写出正确的解答过程． 　 　 　 　 微专题 4　含字母系数与同解问题 模块导学 含字母系数与同解问题 已知方程的解反求参数，把解代入原方程即可；两个方程"解相同""解互为相反数""解相差1"时，先分别求出两个方程的解，再按条件列方程。能使方程为一元一次方程的字母取值，还要检验次数与系数的限制。 知识梳理 知识点 9　根据两个方程的解的关系求字母（解题通法） ① 方法一：先求出两个方程的解，再根据这两个方程的解的关系，建立一个以待求字母为未知数的新方程。 ② 方法二：先求出其中一个方程的解，然后根据两个方程解的关系，表示出另一个方程的解，再代入。 ③ 点睛：新定义问题的关键是准确理解定义的含义。 知识梳理 知识点 10　表示同一个量的两个不同的式子相等（盈不足模型） ① 步骤：(1) 找出题中不变的量；(2) 用两个不同的式子表示出这个量；(3) 由表示同一个量的两个不同的式子相等列出方程；(4) 解方程并检验。 ② 「盈」是分配中的多余情况，「不足」是分配中的缺少情况；盈不足问题一般给出两个条件：什么情况下会「盈」，盈多少；什么情况下会「不足」，不足多少。 知识梳理 知识点 11　设参数法与数字问题 ① 比例问题：当遇到形如 a::3 的问题时，一般设比的一份为 x（），则 、；连比问题要先统一中间项的份数。 ② 多位数的表示：个位上的数字×1，十位上的数字×10，百位上的数字×100……然后相加。如个、十、百位数字分别为 a、b、c 的三位数可表示为 。 ③ 对调数位问题的关键是正确表示原数和新数。 题型 1 已知解求参数与求值 　　变式 1　　　★★　若是关于的方程的解，则关于的方程的解是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 2　　　★★　若干个小孩分梨，每人分4个，则多12个；每人分6个，则恰好分完．设小孩有个，则可列方程为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 1　　　★★　若是关于的一元一次方程的解，则的值是（　　） A．　　　B．　　　 C．8　　　D．4　　　 　　变式 3　　　★　已知m1=3y+1，m2=5y+3，当y=＿＿＿＿＿＿＿＿时，m1=m2． 　 　 　　例 2　　　★★★　已知关于x的方程3a﹣x=+3的解为2，则代数式a2﹣的值是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　★★　当＿＿＿＿＿＿＿时，式子的值与式子的值的和等于5． 　 　 　　变式 5　　　★　关于x的方程的解是＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 　 　　变式 6　　　★★　关于的一元一次方程的解为，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 7　　　★★　已知：，则的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 8　　　★★　已知是方程的解，求m的值． 　 　 　 　 题型 2 同解与相反解 　　变式 9　　　★★　下列方程中，解为的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 3　　　★★★　关于x的方程与的解相同，则a的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 10　　　★★★　已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　例 4　　　★★　已知方程和方程有相同的解，那么的值是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　例 5　　　★★★　已知关于的方程与的解互为相反数，求的值． 　 　 　 　 题型 3 条件关系与大小比较 　　例 6　　　★★　设P＝2y－2，Q＝2y＋3，且3P－Q＝1，则y的值是 A．0.4　　　B．2.5　　　 C．－0.4　　　D．－2.5　　　 　　变式 11　　　★★　当k为＿＿＿＿＿＿＿＿时，代数式比的值大1． 　 　 　　变式 12　　　★★　已知3）与互为相反数，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 13　　　★★★　若关于的多项式不含二次项和一次项，那么＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 14　　　★★★　已知． (1)当取何值时，与互为相反数？ (2)当取何值时，比小2？ 　 　 　 　 　　变式 15　　　★★　按要求解题： (1)已知，，且，，求，的值； (2)若，求． 　 　 　 　 题型 4 行程与综合 　　变式 16　　　★★★　坐在匀速行驶的动车上的小宇在经过一座大桥时发现，车头刚上桥到车头离桥共需要150s；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148s．已知该列动车长为120m，求动车经过的这座大桥的长度． (1)小宇的思路是设这座大桥的长度为xm，则坐在动车上的小宇从刚上桥到离桥的路程为xm，所以动车的平均速度可表示为＿＿＿＿＿＿＿＿；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为，所以动车的平均速度还可以表示为＿＿＿＿＿＿＿＿．再根据火车的平均速度不变，可列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)小恒认为，也可以设动车的平均速度为．按照小恒的思路可列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　 　 　　变式 17　　　★★★　已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 　 　 　 　 　　变式 18　　　★★★　已知关于的方程． (1)若，该方程的解为＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若该方程的解与方程的解相同，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (4)若该方程有正整数解，则整数的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　 　 微专题 5　新定义运算与方程 模块导学 新定义运算与方程 新定义题先从给出的算式或示例中归纳运算法则，再用法则把新定义"翻译"成普通的一元一次方程求解。判断是否满足交换律、结合律、分配律，需要分别举例验证。 知识梳理 知识点 12　新定义运算 ① 方法：从给出的算例中归纳运算法则（常是加减乘除的组合），再按法则把新定义转化为普通方程求解。 ② 验证：归纳出的法则要用所有算例验证；判断是否满足交换律、结合律、分配律，需分别举例或推理说明。 知识梳理 知识点 13　新定义方程家族 ① 成对方程：两解之和为 2；② 和解方程：两解之和为给定值；③ 后移方程：两解相差 1；④ 差解方程：两解之差等于给定正数；⑤ 相反方程：两解互为相反数。 ② 通用解法：先分别解出（或用参数表示）两个方程的解，再按定义翻译成等式；必要时分类讨论。 知识梳理 知识点 14　计算程序与阶乘 ① 程序运算：按程序框图逐次代入，直到输出满足条件的结果；逆向求输入时可按程序反推。 ② 阶乘：n! = ×…×n，规定 0!=1；含有阶乘的混合运算先算阶乘，再乘除，后加减，有括号先算括号内。 题型 1 新定义运算 　　例 1　　　★★　对有理数规定新运算“※”的意义是：，则方程的解是（　　） A．　　　B．3　　　 C．　　　D．　　　 　　例 2　　　★★★　新定义题对于任意不为0的有理数，定义一种新运算“※”，规则如下：．例如：． (1)若，求的值． (2)判断新运算“※”是否满足分配律，并说明理由． 　 　 　 　 　　变式 1　　　★★★　定义一种新运算“”： ； ； ． 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)请按照以上新运算“”的运算方法，写出的运算形式：＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)若，求的值． 　 　 　 　 　　变式 2　　　★★★　我们把“”叫做“的阶乘”，其中为正整数．规定（1）：．例如．规定（2）：在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加减，有括号就先算括号里面的． (1)按照以上的规定，计算：①；②； (2)计算：； (3)已知为整数，求出满足该等式的的值： 　 　 　 　 题型 2 新定义方程 　　例 3　　　★★★　定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程和互为“成双方程”． (1)方程与方程1）＿＿＿＿＿＿＿＿（填“是”或“不是”）互为“成双方程”． (2)若关于的方程与互为“成双方程”，求的值． (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 　 　 　 　 　　变式 3　　　★★★　观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“数对”，记为，如：数对，都是“数对”． (1)数对，中是“数对”的是＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若是“数对”，求的值； (3)若是“数对”，求的值． 　 　 　 　 　　变式 4　　　★★★　如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 　 　 　 　 　　例 4　　　★★★　我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求的值． 　 　 　 　 　　变式 5　　　★★★　若两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)判断方程是否为方程的“后移方程”：＿＿＿＿＿＿＿＿；（填“是”或“否”） (2)若关于的方程是关于的方程的“后移方程”，求的值． 　 　 　 　 　　例 5　　　★★★　定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)若与是“差解方程”，则＿＿＿＿＿＿； (2)若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则＿＿＿＿＿＿． 　 　 　 　 　　变式 6　　　★★★　【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 　 　 　 　 题型 3 程序运算与综合 　　变式 7　　　★★★　如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值”到“判断结果是否大于等于”为一次运算．例如：开始输入的值为．运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果． (1)当时，＿＿＿＿＿＿＿＿；当时，＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)当输入为时，求输出结果的值； (3)若经过两次运行后输出结果，请直接写出此时输入的的值． 　 　 　 　 微专题 6　数轴与绝对值的几何意义 模块导学 数轴与绝对值的几何意义 数轴上两点之间的距离等于这两数差的绝对值：||。因此||表示x与3之间的距离，其最小值为0；||+||表示x到1和3的距离之和，最小值在时取得，为2。 知识梳理 知识点 15　距离公式 ① 结论：数轴上表示有理数 a、b 的两点之间的距离等于 ||。 ② 几何意义：|| 表示 x 与 3 两点间的距离；||+|| 表示 x 到 1 与到 3 的距离之和。 知识梳理 知识点 16　最值模型 ① 单绝对值：|| 的最小值是 0（ 时取得）。 ② 双绝对值：||+||（a ③ 分段讨论：多个绝对值时按各零点把数轴分段，逐段判断符号再去绝对值，别漏端点。 知识梳理 知识点 17　数轴综合 ① 方法：把代数式翻译成"距离""位置"，用数轴直观判断；动点问题先设表示数，再按距离列方程。 ② 易错："距离相等"可能对应两个位置（点在左或右），分类补全，别漏解。 题型 1 数轴上的距离与参数 　　变式 1　　　★　数轴上表示的点与表示6的点到原点的距离相等，则a的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 2　　　★★　若代数式的绝对值与的绝对值相等，则x的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 3　　　★　已知数轴上点A表示有理数2，点B与点A的距离为4，则点B表示的有理数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　★★　若的相反数是，则的相反数是＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 5　　　★　若，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 6　　　★★　如果与互为相反数，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 7　　　★★　已知数轴上有，两点，，之间的距离为，点对应的数为，那么点对应的数是＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 绝对值的几何意义与最值 　　例 1　　　★★★　我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿，数轴上表示和的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿，数轴上表示和的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿； (2)若，则x的值为＿＿＿＿＿＿； (3)当时，则＿＿＿＿＿＿． (4)当＿＿＿＿＿＿时，的值最小，最小值为＿＿＿＿＿＿； 　 　 　 　 　　变式 8　　　★★★　【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，当时，则＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)当，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)当＿＿＿＿＿＿＿＿时，的值最小，最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿； 　 　 　 　 　　变式 9　　　★★　绝对值是研究我们数学问题的重要符号． 　 　 　 　 　　变式 10　　　★★　【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数与形是有联系的，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合．数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． 我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数到原点的距离．借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 　 　 　 　 　　变式 11　　　★★★　【问题背景】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为或，记为．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 　 　 　 　 　　例 2　　　★★★　先阅读，后探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．故当点A、B在数轴上分别表示有理数a、b时，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离为． (1)数轴上表示和4的两点A和B之间的距离为＿＿＿＿＿＿＿＿；如果，并且A所表示的数为2，那么B所表示的数为＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若点A表示的有理数为x，则当＿＿＿＿＿＿＿＿时，与的值相等； (3)当＿＿＿＿＿＿＿＿时，有最小值； (4)求出（3）中的最小值． 　 　 　 　 　　例 3　　　★★★　阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿，数轴上表示x和3的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿； (2)数轴上表示a和2的两点之间的距离为6，则a表示的数为＿＿＿＿＿＿； (3)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值；若没有，请说明理由． (4)请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由． 　 　 　 　 　　例 4　　　★★★　点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离用AB来表示，即．利用数形结合思想回答下列问题： (1)对于任何有理数x，的最小值是＿＿＿＿＿＿，则取到最小值时的所有整数x的积为＿＿＿＿＿＿； (2)若，则＿＿＿＿＿＿； (3)若数轴上A、B、C点表示的数分别为，2，4，当点P到A、B、C点的距离之和为9时，此时点P表示的数为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　 　 题型 3 数轴综合探究 　　变式 12　　　★★★　对于有理数a，小明学习了绝对值符号之后，自己创造了一个新符号．新符号的含义为： 若，则；若，则． 例如：因为，所以；因为，所以， 则 (1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)如果一个有理数m与互为相反数，求出m的值． 　 　 　 　 　　变式 13　　　★★　如图，数轴的单位长度为1，点A表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数；点B向右移动3个单位到达点C，则点C表示的数是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (3)在（2）的条件下，在数轴上找一点D，使点D到点A的距离等于点D到点C的距离的2倍，求点D表示的数． 　 　 　 　 　　变式 14　　　★★★　数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律．比如：数轴上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)若，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当取最小值时，的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (4)已知，则的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 　 　 　 　　变式 15　　　★★★　综合与探究 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数与形是数学研究的两个基本对象，数轴正是沟通“数”与“形”的重要桥梁——数轴上的点表示数，点在数轴上的平移对应着数的运算．请带着“以形助数”的眼光，完成下面的探究．（若数轴上A、B两点分别表示数a、b，则两点间距离为） (1)探究一、借助数轴，比较与a的大小 点P在数轴上表示数a，将点P沿数轴向右平移3个单位长度，得到点． ①点表示的数是＿＿＿＿＿＿（用含a的式子表示）； ②由此可知：＿＿＿＿＿＿a（填“>”“=”或“<”）； ③你在②中作出判断的依据是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)探究二、借助数轴，求使等式成立的x的值 请写出求解过程（可画数轴辅助分析，如在数轴上点P表示数x，…）． (3)探究三、借助数轴，比较大小 如图，若有理数a、、b在数轴上对应的点分别为点A、B、C（图中未标出原点和单位长度）．请借助刻度尺或圆规，在下图中完成下列画图： ①标出原点O的位置，并简述你的理由； ②分别标出表示数的点D，标出表示数的点E； ③比较、、的大小，并用“<”连接：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　 　 　　变式 16　　　★★★　我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，两点之间的距离表示为，那么两点之间的距离．利用此结论，回答下列问题： (1)填空：＿＿＿＿＿＿＿；数轴上表示3和的两点之间的距离是＿＿＿＿＿＿＿； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是＿＿＿＿＿＿＿（用含x的式子表示），如果A，B两点之间的距离，那么x的值为＿＿＿＿＿＿＿； (3)的最小值为＿＿＿＿＿＿＿； (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (5)已知，则的最大值为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　 　 　　例 5　　　★★★　阅读材料： 点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．也就是说表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： (1)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离是多少？ (2)结合数轴求的最小值； (3)求满足时的值． 　 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $