第1章 有理数 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年七年级上册数学提优训练（浙教版·新教材）

第1章 有理数 知识梳理导图 0既不是正数，也不是负数 正数与负数 我们把一个数在数轴上对应的点到 原点的距离叫作这个数的绝对值 整数和分数统称有理数 ,个正数的绝对值是它本身 正整数、零和负整数统称整数 类 绝对值 个负数的绝对值是它的相反数 正分数和负分数统称分数 零的绝对值是零 有理数 规定了原点、单位长度和 互为相反数的两个数的绝对值相等 正方向的直线叫作数轴 数轴 大小比 正数都大于0，负数都 较法则小于0，正数大于负数 如果两个数只有符号不同， 那么我们称其中一个数为另 两个正数比较大小，绝 一个数的相反数，也称这两 对值大的数大 个数互为相反数 有理数 利用绝对值比较 的大小 两个负数比较大小，绝 在数轴上，表示互为相反数(0 对值大的数反而小 除外)的两个点，位于原点的两 相反数 借助数 在数轴上表示的两个数， 侧，并且到原点的距离相等 轴比较 右边的数总比左边的数大 重难疑点解法 分上分点个有理数的分类 (3)若把数轴的原点取在点B处，且A,B,C,D 四个点之间的相对距离保持不变，则点D表示的数 例1 下列数：十6，一2，一(-0.9)，一 2 是 5 0,-200%,3,0.65,-4.95中，是负分 43=2101234中 -3 名师启发(1)在数轴上分别描出各点即可； 数的有 (2)先求出AB的长，根据AB=PD可得PD的 名师启发根据有理数的分类和负分数的定义 长，再根据点P在点D左、右两侧这两种情况可得； 即可求解。 守方法技巧 (3)根据原点的位置，可得将原来的数加上1.5. 先将能化简的数化简，再将各数按定义分类， 找出负分数， 分上分点2用数轴表示有理数 例2(2026·河南新乡期末)已知数轴上的点A, B,C,D分别表示-3，-1.5,0,4. (1)请在数轴上标出A,B,C,D四个点； (2)若数轴上存在点P,使AB=PD,求点P表 示的数； 1 实验班提优训练数学七年级上Z小Y ☆方法技巧 上分点4借助数轴比较有理数的大小 先根据所给的数确定数轴长度，再根据数轴上 例4(2026·福建福州鼓楼区期末)a,b是有理数， 两，点之间的距离将各数表示在数轴上。 它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a,|a|, 分上分点3绝对值与相反数 b,一b按照从小到大的顺序排列为(). 例3下列说法：①绝对值相等的两个数互为相 a 06 反数；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的 A.-b<al<a<b 两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相 B.a<-b<<a 等.其中正确的说法有() C.-6<a<al<6 A.0个 B.1个 D.a<-<a<6 C.2个 D.3个 名师启发先根据a,b两点在数轴上的位置判断 名师启发根据相反数和绝对值的概念进行分 出|a与b的大小，a与一b的大小，进而可得出结论 析即可. 归纳无跨 归纳总烤 本题考查了有理数的大小比较，熟知数轴上右边 互为相反数的两个数的绝对值相等；非负数的 的点表示的数总比左边的点表示的数大和绝对值的 绝对值等于其本身；0的相反数和绝对值都为0. 性质是解题的关键 易错易混辨析 易错点1理解概念时“主观臆断” 巩固特训 例1下列说法正确的是(). 1.下列说法正确的是(). A.一个有理数不是正数就是负数 A.自然数就是非负整数 B.有理数可以分成整数、分数、正有理数、零、负 B.正数和负数统称为有理数 有理数这五类 C.零是最小的有理数 C.一个整数不是正整数就是负整数 D.有最小的正整数，没有最大的负整数 D.以上三种说法都不正确 2.下列关于有理数的描述： 解析有理数有两种分类方法：一是按有理数的 ①有限小数和循环小数都是有理数； “整与不整”可分为整数和分数，其中的整数又分为正 整数、0、负整数；分数可分为正分数、负分数.二是按 ②0是非负有理数； 有理数的性质可分为正有理数、0、负有理数，而其中 ③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数； 的正有理数又分为正整数、正分数；负有理数分为负 ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数 整数、负分数.也就是说有理数细分成了五小类：正整 其中正确的个数是(). 数、正分数、0、负整数、负分数.故选项A的分类漏了 A.1 B.2 C.3 D.4 0;选项B的分类出现了重复，如整数中含有0，正有 )易错点2对有理数的有关概念理解不清 理数中含有正分数等；选项C的分类漏了0. 答亲D 例2(2026·上海浦东新区期中)已知下列各 辨析伯纳 数： (-5), 2 ,0.45,0,非负数的个数 有理数分类要注意两，点：(1)分类必须有标准，分 是( 类标准不同，分类结果就不同；(2)分类应不重不漏，即 在同一种分类标准下，任意一个数属于且只能属于其 A.2 B.3 C.4 D.1 中的一类。 解析非负数有一(-5)，0.45,0，共3个. 答案B 2 第1章 辨析伯纳 解答(1)11的相反数是-11. 类似的还有非正数、非负整数等，非正数就是零 (2)因为-（一9.2）=9.2， 和负数；非负整数就是正整数和零， 所以-（-9.2)的相反数是-9.2. 辨析归纳---- 视固特训 求一个数的相反数要依据相反数的概念，且对 3.(2025·宁波三模)下列四个有理数中，既是整数又是 于含多重符号的数一定要先化简再求其相反数，若 负数的是( 不化简，容易看错原数而求错其相反数。 A.4 B.-5.5 C.-2 D.0 见固特如 《.(2026·花州接竖区期中)在-4，号，0,5,31159,1.3， 22 5.下面两个数互为相反数的是( A.-[-(-3)]与-(+3) 0.1010010001…(每相邻的两个1之间依次多一个 0)中，有理数的个数有( ). B-（-号)与+(-0.3) A.3个 B.4个 C.-|-61与-(-6) C.5个 D.6个 D.-π与3.14 )易错点3求相反数或化简时出现符号错误 6.(1)+[-(-10)]的相反数是 例3求下列各数的相反数。 (2)化简：-[-(-2)]= (1)11: (2)-(-9.2). (③)-（←-）的相反数是 素养考向提分 新情境 卜实际质量为25-0.5=24.5（千克）. (2)由题意，得不足的千克数有一1.51+|一3.51+ 例某校七年级(1)班学生在劳动课上采收成 1-0.51+|-21+-21+1-2.51=12, 熟的白萝卜，一共采收了9筐，以每筐25千克为标准， 超过的千克数有1+3+1=5，所以总计不足 超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重 12-5=7(千克). 后记录如下：-1.5,1，-3.5,3，-0.5,1，-2，-2， 故以每筐25千克为标准，这9筐白萝卜总计不 -2.5. 足7千克 (1)这9筐白萝卜中，最接近25千克的这筐白萝 (3)以每筐25千克为标准，这9筐白萝卜总计 卜的实际质量为 千克 25×9-7=225-7=218(千克). (2)以每筐25千克为标准，这9筐白萝卜总计超 故若白萝卜每千克售价2元，则售出这9筐白萝 过或不足多少千克？ 可得218×2=436（元）. (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这9筐白 ⊙点拨 萝卜可得多少元？ 本题考查了正数和负数的意义、有理数的 解答(1)24.5提示：由题可得|-1.5=1.5， 实际应用.熟练掌握正数和负数的意义，根据题 意正确地列出算式是解题的关键， |-0.5=0.5,|-2|=2,1-3.5|=3.5,1-2.5= 2.5.因为0.5<1<1.5<2<2.5<3<3.5， 举反目 所以这9筐白萝卜，最接近25千克的这筐白萝1.(2025·杭州上城区期中)手机支付给生活带来便捷， 3 实验班提优训练数学七年级上Z小Y 如图是王老师某日账单的收支明细（正数表示收 (3)乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你 入，负数表示支出，单位：元)，王老师当天收支的最 通过计算说明理由. 终结果是( ) 红包来自王某某：+14.00 某平台商户：-8.00 扫二维码付给某店：-9.00 (第1题) A.收入14元 B.支出3元 C.支出18元 D.支出10元 2.(2026·广西河池都安期中)[问题情境]随着时代的发 展，月饼的馅料越来越丰富.不仅和每个地方的饮 跨学科 食文化结合，出现广式、晋式、京式、苏式等口味，而 例2(2026·上海杨浦区期中)古筝是中国独特的 且，富有想象力的大厨们还发明了抹茶冰皮、山楂 民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器 蔓越莓等各种各样的月饼，中秋节又要到了，乐乐和 对每根琴弦进行调音.如图所示的是某古筝调音器软 妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计8枚）. 件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦. [提出问题]回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过 下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标 100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质 准音（指针指在0处为标准音）的是( 量是否合格。 [分析问题]乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有 A 关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为 (560士5)克，确定了以下解决方案. [解决问题] 音调偏高 请放松琴弦 把8枚月饼的质量称重后统计列表如下：（单位：克） 调式Dv纯律 第n枚 1 2 3 4 A.10 B.20 质量 69.2 70.3 70.8 69.3 C.-25 D.-5 第n枚 5 6 7 8 解析由题意，得指针指向负数表示音调偏低， 质量 69.6 70 69.3 70.8 需拧紧琴弦， 所以排除A,B. 为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依 指针越接近0就越接近标准音，|一25|=25， 据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为 -5|=5,25>5, 负，列出下表（数据不完整）： 所以-5更接近0. 第n枚 1 2 3 答案D 质量 -0.8 a +0.8 b 6⊙点拨 第n枚 5 6 f 本题考查了正数和负数、绝对值的实际应用， 根据正负数以及绝对值表示的含义解题即可. 质量 -0.4 -0.7 十0.8 请你解答： 举反三 (1)乐乐选取的这个标准质量是 克； 3.(2026·广东深圳南山区期末)篮球比赛前，需检测篮球 (2)表格中a= ,b= C 的重量.如图，工作人员检测4个篮球，其中超过标 第1章 准重量的克数记为正数，低于标准重量的克数记为 解析因为x※y=6x十5y,x△y=3xy, 负数，从重量的角度看，最接近标准重量的是 所以（一2※3）△（一4）=[6×(-2)+5×3] △(-4)=3△(-4)=3×3×(-4)=-36. 3.2g 0.5 -0.9g 答案一36 本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义， B C D 解题的关键是掌握有理数的相关运算 4.(2026·广东深圳宝安区期末)2025年，第十五届全国 运动会乒乓球项目比赛在澳门举行.在比赛用球质 举反白 量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量 5.若三个数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超 0.03g记作+0.03g,那么-0.02g表示( 过1，则称这三个数为一组“平稳数”.下列各组数中 A.低于标准质量0.02g 是“平稳数”的是( B.低于标准质量一0.02g A.1,-1,-2 B.-3,-1,-2 C.高于标准质量0.02g C.1,3,2 D.-1,0,1 D.减少0.02g 6.(2026·湖州吴兴区期中)对于有理数x,y,a,t,若 新考法 |x一a|+ly一a=t,则称x和y关于a的“美好 关联数”为t.例如，2一1|+|3一1=3，则2和3 例3若在正方形的四个顶点处依次标上“振” 关于1的“美好关联数”为3. “兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其 (1)一3和5关于2的“美好关联数”为 中“中”“华”对应的数分别为一2和一1，如图，现将正 (2)若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x 方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地 的值 翻滚.例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连 (3)若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和 续翻滚后数轴上数2026对应的字是(). x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的 3品。12女 “美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好 关联数”为1，… A.振B.兴C.中D.华 ①x。十x1的最小值为 解析根据规律可知，数轴上的数字与字的对应 关系，“中”字对应的数字是除以4余2的，“华”字对 ②x1十x2十x3十…十x0的最小值为 应的数字是除以4余3的，“振”字对应的数字是能被 4整除的，“兴”字对应的数字是除以4余1的，由此可 得连续翻滚后数轴上数2026对应的字， 因为2026÷4=506…2， 所以数字2026对应的字是“中” 答案C 点拨 本题考查了有理数的应用、旋转的性质，根 据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环 组，依次循环是解题的关键. 例4x,y表示两个数，规定新运算“※”及“△” 如下：x※y=6x+5y,x△y=3xy,那么（-2※3) △(-4)= 5答亲6D详解 第1章有理数 所以正确的个数是3. 故选C 例1 --3-495 5 3.C[解析]4是整数又是正数；-5.5是分数又是负 例2(1)在数轴上标出A,B,C,D四个点，如图所示. 数；一2是整数又是负数；0是整数不是负数.故选C D 22 4.C[解析]根据有理数定义，可得-4，气，0,314159， (2)因为AB=3-1.5=1.5,所以PD=1.5. 1.3这五个数是有理数，而，0.10101001… 若点P在点D左侧，则点P表示的数是2.5；若点P (每相邻的两个1之间依次多一个0)是无限不循环 在点D的右侧，则点P表示的数是5.5， 小数，不属于有理数.故选C 所以若数轴上存在点P,使AB=PD,则点P表示的 5.C[解析]A.-[-(-3)]=-3,-(+3)=-3, 数是2.5或5.5. 两数不互为相反数，不符合题意； (3)5.5[解析]若原点取在点B处，相当于原来的 数加上1.5，所以点D表示的数是4十1.5=5.5. B-(号)=号十(-0,3)=-0.3，两数不互 例3A[解析]①绝对值相等，符号相反的两个数 为相反数，不符合题意； 互为相反数，故原说法错误；②绝对值等于本身的数 C.一-6|=一6，一（一6）=6，两数互为相反数，符 是非负数，故原说法错误；③互为相反数的两个数的 合题意； 绝对值相等，故原说法错误；④绝对值相等的两个数 D.一π与3.14，两数不互为相反数，不符合题意. 相等或互为相反数，故原说法错误.正确的说法有 故选C 0个.故选A 知识拓展求一个数的相反数，在这个数的前面 例4B[解析]由题图可知，a<0<b,la>b>0, 加上“一”即可求得；任何数的绝对值大于或等于0. 所以a<-b<0,所以a<-b<b<|a. 6.(1)-10[解析]因为+[-(-10)]=+10=10， 故选B. 10的相反数为一10， 巩固特 所以+[一（一10）]的相反数是-10. 1.A[解析]A.自然数就是非负整数，符合题意； (2)-2[解析]-[-(-2)]=-2. B.正有理数、负有理数和0统称为有理数，不符合 [解析]一（一日）的相反数表示为 题意；C.没有最小的有理数，不符合题意；D.最小 的正整数是1，最大的负整数是一1，不符合题意.故 -[-(←-名)】，化简结果为-日 选A 1 即-（一8）的相反数为一8 2.C[解析]①有限小数和循环小数都是有理数， 正确； 举反白 ②0是非负有理数，正确； 1.B[解析]支出8+9=17（元），17-14=3（元），即 ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，故错误； 王老师当天收支的最终结果是支出3元.故选B ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数， 2.(1)70[解析]对比表格可知，标准质量为70克. 正确. (2)十0.3-0.70[解析]a=70.3-70=0.3, 38 b=-(70-69.3)=-0.7,c=70-70=0. 11+15+…+79=820. (3)超出部分有0.3十0.8十0.8=1.9（克），不足部 >可再列一个x0十x阳十十x1的式子，两式 分有1-0.81+1-0.71+1-0.41+1-0.71= 相加再除以2，就可以得到原式子的值 2.6(克)，2.6-1.9=0.7（克）.因为-5<-0.7<5， 第2章有理数的运算 所以这盒月饼总质量是合格的. 例1①D[解析]因为计算结果为15，所以一表示 3.C[解析]各数的绝对值分别为3.2,2.1,0.5， 的数为-3+10|-15=|7-15=-8. 0.9. 故选D. 因为0.5<0.9<2.1<3.2， 例2(1)(-3)+(+13)+(-5)-(-5)=(-3)+ 所以标有一0.5g的篮球最接近标准重量.故选C. 13+(-5)+5=10. 4.A[解析]因为一个乒乓球的质量高于标准质量 0.03g记作+0.03g, (2)-12@+(-3)2÷号-1-21=-1+9×2 所以-一0.02g表示乒乓球的质量低于标准质量 2=-1+18-2=15. 0.02g.故选A 例3 (日+)×36=日×36-吾×36+× 5.D 36=28-30+27=25. 6.(1)8 (2)因为x和2关于3的“美好关联数”为4， 圆0(-)×(-》-是×()+× 所以x-3+2-3|=4,所以|x-3=3, 所以x=6或x=0. (-)=(-)×(-是+)=(-》× (3)①1[解析]因为xo和x1关于1的“美好关联 数”为1，所以|xo一1+x1一1=1， 例5C[解析]20059亿=2005900000000= 所以在数轴上可以看作数x。到1的距离与数x1 2.0059×1012.故选C 到1的距离和为1， 例6D[解析]3.8045≈3.80（精确到百分位）.故 所以xo十x1的最小值为1. ②820[解析]根据题意， 选D. 得|x1-2|+x2-2|=1, 例☑C[解析]第一次剪去铜丝的子，剩下的长度 所以x1十x2的最小值为1十2=3； |x3-4|+|x4-4=1, 是m:第二次剪去利剩下铜丝的子，剩下的长度是 所以x3十x4的最小值为3+4=7； 3 4 是×-（任）m第三次剪去利下铜丝的}，利 x5-6|+|x6-6|=1, 所以x5+x6的最小值为5+6=11； 下的长度是()-()×4-() m;…,所以第 |x7-8|+|x8-8|=1, 2026次剪完后剩下铜丝的长度是()】 02 m.故选C 所以x7十xg的最小值为7十8=15；…； |x39-40|+x40-40=1, 巩固特训 所以x39+x0的最小值为39+40=79， 1.B[解析]3十(-2)=3-2=1. 所以x1十x2十十十x0的最小值为3+7十 故选B. 39