2.4.1 圆的标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版必修选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆的标准方程，分层设计从概念识别到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度递进，强化数学眼光与思维，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆心坐标与半径|选择题1-2题直接考查标准方程要素，强化概念识别| |中档|轨迹、对称、参数范围|选择题3-5题结合几何直观，多选题9-11题训练推理能力| |综合|方程求解与应用|解答题15-16题整合圆心定位与方程构建，培养数学语言表达|

2.4.1 圆的标准方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝11的圆心坐标是(　　) A.(2，3) B.(－2，3) C.(2，－3) D.(－2，－3) 2.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A.(－1,5)， B.(1，－5)， C.(－1,5)，3 D.(1，－5)，3 3.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 4.方程|x－1|＝表示的曲线是(　　) A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 5.圆C：x2＋y2＝4关于直线l：x＋y－1＝0对称的圆的方程为(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4 6.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C. (x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 7.圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　) A.(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 8.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则实数a的取值范围为(　　) A.a> B.a<- C.a>或a<- D.不确定 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·安徽蚌埠高二上期末）已知圆，下列说法正确的是（） A.圆心的坐标为 B.半径 C.圆被直线截得弦长为 D.直线与圆相切 10.过点A(1，－1)与B(－1,1)且半径为2的圆的方程可以为(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 11.圆上的点(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A.x2+y2=5 B.(x-1)2+(y-3)2=5 C.x2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5 三、填空题（共3小题） 12.已知点A(1，2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围为                  . 13.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为                  . 14.与圆C：(x+2)2+(y-6)2=1关于直线l：x-y+1=0对称的圆的标准方程为                  . 四、解答题（共2小题） 15.已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)且过定点P(4,2)． (1)求圆C的方程； (2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程． 16.求满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心为，经过点； （2）圆心在直线上，且与轴交于点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1 圆的标准方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝11的圆心坐标是(　　) A.(2，3) B.(－2，3) C.(2，－3) D.(－2，－3) 【答案】C 【解析】由圆的标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝11，得圆心为(2，－3)，选C. 2.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　) A.(－1,5)， B.(1，－5)， C.(－1,5)，3 D.(1，－5)，3 【答案】B 3.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 【答案】D 【解析】∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)， ∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．故选D. 4.方程|x－1|＝表示的曲线是(　　) A.一个圆 B.两个半圆 C.两个圆 D.半圆 【答案】A 【解析】方程|x－1|＝两边平方得|x－1|2＝()2， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝1， 所以方程表示的曲线是一个圆． 5.圆C：x2＋y2＝4关于直线l：x＋y－1＝0对称的圆的方程为(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4 【答案】A 【解析】由题设，圆C的圆心为(0,0)，半径为2，则对称圆的半径为2，若对称圆的圆心为(m，n)，则在直线x＋y－1＝0上，即m＋n－2＝0，由对称性，知圆心连线与直线l垂直，则·(－1)＝－1，即m＝n，综上，得m＝n＝1，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．故选A． 6.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C. (x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 【答案】C 【解析】设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件得 解得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 7.圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　) A.(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 【答案】C 【解析】因为圆心为(1，－1)且圆过原点，所以该圆的半径r＝＝，故该圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 8.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则实数a的取值范围为(　　) A.a> B.a<- C.a>或a<- D.不确定 【答案】C 【解析】∵P在圆外，∴(5a+1-1)2+(12a)2>1，169a2>1，a2>，∴a>或a<-. 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·安徽蚌埠高二上期末）已知圆，下列说法正确的是（） A.圆心的坐标为 B.半径 C.圆被直线截得弦长为 D.直线与圆相切 【答案】BC 【解析】因为圆的标准方程为时,圆心为,半径为, 题中圆的方程为, 所以圆心的坐标为,半径,故A选项错误,B选项正确. 因为直线可化为,由点到直线距离公式, 圆心到该直线的距离为, 所以圆被该直线截得的弦长为,故C选项正确. 因为圆心到直线的距离为, 而,所以直线与圆相交,故D选项错误. 10.过点A(1，－1)与B(－1,1)且半径为2的圆的方程可以为(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 【答案】BC 【解析】∵圆过点A(1，－1)和B(－1,1)，可知圆心在直线y＝x上， 设圆心坐标为(m，m)， 由半径为2，得＝2， 解得m＝±1， ∴圆的圆心坐标为(1,1)或(－1，－1)． ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4或(x－1)2＋(y－1)2＝4. 11.圆上的点(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A.x2+y2=5 B.(x-1)2+(y-3)2=5 C.x2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5 【答案】AD 【解析】由题意可知圆心在直线x+y=0上，设圆心坐标为(a，-a)， 则(2-a)2+(1+a)2=5，解得a=0或a=1， ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5. 三、填空题（共3小题） 12.已知点A(1，2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的外部，则实数a的取值范围为                  . 【答案】(－∞，0)∪ 【解析】∵点A(1，2)在圆的外部， ∴(1＋a)2＋(2－a)2>2a2， 即5－2a>0，∴a<， 又2a2>0，∴a≠0. 故实数a的取值范围是∪. 13.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为                  . 【答案】 【解析】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 14.与圆C：(x+2)2+(y-6)2=1关于直线l：x-y+1=0对称的圆的标准方程为                  . 【答案】(x-5)2+(y+1)2=1 【解析】圆C：(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为C(-2，6)，半径r=1， 设圆心C(-2，6)关于直线l：x-y+1=0对称的圆心坐标为C'(a，b)， 则解得故C'(5，-1)， 所以对称的圆的标准方程为(x-5)2+(y+1)2=1. 四、解答题（共2小题） 15.已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)且过定点P(4,2)． (1)求圆C的方程； (2)当x0为何值时，圆C的面积最小？并求出此时圆C的标准方程． 【答案】解　(1)由题意，设圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)． 因为圆C过定点P(4,2)， 所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)． 所以r2＝2x－12x0＋20. 所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20. (2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2， 所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小． 此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2. 16.求满足下列条件的圆的标准方程. （1）圆心为，经过点； （2）圆心在直线上，且与轴交于点. 【答案】解：（1）由题意知圆的半径 所以圆的标准方程为 因为圆心在直线上， 所以设圆心C（-1，b）， 又因为圆与y轴交于点， 所以圆心在直线y=3上. 所以圆心的坐标为， 圆的半径， 所以圆的标准方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $