2.4.1 圆的标准方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步练2.4.1，聚焦圆的标准方程，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的标准方程要素（圆心、半径）、直径与圆方程、点与圆位置关系|直接应用公式，题型为选择（1-3题）、填空（8题），培养抽象能力与几何直观| |提升层|综合应用（三角形外接圆、对称圆）、方程思想（根与系数关系）|结合对称性质（6题）、解方程组（4题），题型含选择、填空、解答（10(1)），发展推理与运算能力| |拓展层|实际情境（跑道、剪纸）、动态问题（距离最值）、跨知识综合（向量、内切圆）|情境化问题（14题跑道）、动态几何（13题距离最小值），题型含解答（10(2)）、选择（16题剪纸），渗透创新与应用意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.4.1　圆的标准方程 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分 1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是(　　) A.(1，) B.(-1，) C.(1，-) D.(-1，-) 2.已知点P1(2，7)和点P2(8，5)，则以P1P2为直径的圆的标准方程是(　　) A.(x-5)2+(y-6)2=40 B.(x+5)2+(y+6)2= C.(x-5)2+(y-6)2=10 D.(x+5)2+(y+6)2=2 3.圆C：(x-a)2+(y+1)2=4的圆心到直线x=1与直线y=1的距离相等，则实数a等于(　　) A.-1 B.1或-3 C.-1或3 D.3 4.已知A(-，0)，B(，0)，C(0，3)，则△ABC外接圆的标准方程为(　　) A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=2 D.x2+(y-1)2=4 5.已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 6.(多选)圆上的点(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A.x2+y2=5 B.(x-1)2+(y-3)2=5 C.x2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5 7.若方程x-1=表示的曲线为C1，x=1表示的直线为C2，则C1与C2围成的封闭图形的面积为(　　) A.4π B.2π C.π D. 8.已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以点P(2，-1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内、一个点在圆上、一个点在圆外，则这个圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 9.与圆C：(x+2)2+(y-6)2=1关于直线l：x-y+1=0对称的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 10.(13分)已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(6分) (2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.(7分) 11.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 12.(多选)如图，在平面直角坐标系中，坐标轴将边长为4的大正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=1 D.x2+y2=4 13.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为　　　　. 14.(15分)已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m) (1)求每条直道的长度；(6分) (2)若建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，该跑道内圈关于O中心对称，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式.(9分) 15.在△OAB中，O为坐标原点，A(0，3)，B(4，0)，则△OAB内切圆的标准方程为　　　　　　　　. 16.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折.将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形(如图).若正方形ABCD的边长为2，点P在四段圆弧上运动，则·的取值范围为(　　) A.[-1，3] B.[-2，6] C.[-3，9] D.[-3，6] 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.4.1　圆的标准方程参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分 1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是(　　) A.(1，) B.(-1，) C.(1，-) D.(-1，-) 答案　C 解析　由圆的标准方程(x-1)2+(y+)2=1， 得圆心坐标为(1，-). 2.已知点P1(2，7)和点P2(8，5)，则以P1P2为直径的圆的标准方程是(　　) A.(x-5)2+(y-6)2=40 B.(x+5)2+(y+6)2= C.(x-5)2+(y-6)2=10 D.(x+5)2+(y+6)2=2 答案　C 解析　由线段的中点坐标公式，求得圆心坐标为(5，6)，半径为|P1P2|==，故以P1P2为直径的圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 3.圆C：(x-a)2+(y+1)2=4的圆心到直线x=1与直线y=1的距离相等，则实数a等于(　　) A.-1 B.1或-3 C.-1或3 D.3 答案　C 解析　由(x-a)2+(y+1)2=4，知C(a，-1)，则|a-1|=|-1-1|，解得a=-1或a=3. 4.已知A(-，0)，B(，0)，C(0，3)，则△ABC外接圆的标准方程为(　　) A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=2 D.x2+(y-1)2=4 答案　D 解析　设△ABC外接圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则有 解得 则△ABC外接圆的标准方程为x2+(y-1)2=4. 5.已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案　A 解析　∵a2+b2=(a+b)2-2ab=12+2=1+2<8，∴点P(a，b)在圆C：x2+y2=8内. 6.(多选)圆上的点(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A.x2+y2=5 B.(x-1)2+(y-3)2=5 C.x2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5 答案　AD 解析　由题意可知圆心在直线x+y=0上，设圆心坐标为(a，-a)， 则(2-a)2+(1+a)2=5，解得a=0或a=1， ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5. 7.若方程x-1=表示的曲线为C1，x=1表示的直线为C2，则C1与C2围成的封闭图形的面积为(　　) A.4π B.2π C.π D. 答案　D 解析　方程x-1= 等价于 所以它表示的曲线是半圆(如图中圆的实线部分)，与直线x=1围成的封闭图形的面积为半径为1的半圆的面积. 8.已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以点P(2，-1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内、一个点在圆上、一个点在圆外，则这个圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 答案　(x-2)2+(y+1)2=13 解析　∵|PA|=，|PB|=，|PC|=5， ∴|PA|<|PB|<|PC|， 故所求圆以PB为半径，其标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13. 9.与圆C：(x+2)2+(y-6)2=1关于直线l：x-y+1=0对称的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 答案　(x-5)2+(y+1)2=1 解析　圆C：(x+2)2+(y-6)2=1的圆心为C(-2，6)，半径r=1， 设圆心C(-2，6)关于直线l：x-y+1=0对称的圆心坐标为C'(a，b)， 则解得故C'(5，-1)， 所以对称的圆的标准方程为(x-5)2+(y+1)2=1. 10.(13分)已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(6分) (2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.(7分) 解　(1)当AB为直径时， 过A，B的圆的半径最小，从而周长最小. 即AB的中点(0，1)为圆心， 半径r=|AB|=， 则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)方法一　AB的斜率k=-3， 则AB的垂直平分线的方程是y-1=x， 即x-3y+3=0， 又圆心在直线2x-y-4=0上， 得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)， r=|AC|==2， 故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 方法二　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则⇒ 故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 11.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 答案　B 解析　由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0， 得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0， 则解得 即P(-1，1). ∵圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2，-3)， ∴|PC|==5， ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 12.(多选)如图，在平面直角坐标系中，坐标轴将边长为4的大正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是(　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=1 D.x2+y2=4 答案　ABC 解析　由题可知小正方形边长为2， 则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为(1，1)， 方程为(x-1)2+(y-1)2=1，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为(-1，1)， 方程为(x+1)2+(y-1)2=1，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为(-1，-1)， 方程为(x+1)2+(y+1)2=1，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为(1，-1)， 方程为(x-1)2+(y+1)2=1，没有选项符合； 外接圆圆心为(0，0)，半径为2， 方程为x2+y2=8，没有选项符合. 13.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为　　　　. 答案　1 解析　动点P的轨迹是以O为圆心， 2为半径的圆，即x2+y2=4， 而|OM|==1<2， 故点M在圆内， 所以当O，M，P三点共线且点M位于点O，P之间时，|PM|最小， 即|PM|min=2-|OM|=2-1=1. 14.(15分)已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m) (1)求每条直道的长度；(6分) (2)若建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，该跑道内圈关于O中心对称，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式.(9分) 解　(1)依题意知，一个半圆弧的长为36π m， 所以每条直道的长度为 (400-2×36π)÷2=(200-36π)m. (2)如图，设两个半圆的圆心分别为A，B，则AB的中点为O， 则A(18π-100，0)，B(100-18π，0)， 所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1 296， 圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1 296， 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为 y= 15.在△OAB中，O为坐标原点，A(0，3)，B(4，0)，则△OAB内切圆的标准方程为　　　　　　　　. 答案　(x-1)2+(y-1)2=1 解析　由题意可知，直线AB的方程为+=1，即3x+4y-12=0， ∠AOB的平分线所在直线的方程为y=x. 设△OAB的内切圆圆心为E(a，a)(0<a<3)，则圆E的半径r=a， 所以圆心E到直线AB的距离d===a， 整理可得|7a-12|=5a，因为0<a<3，解得a=1， 故圆心为E(1，1)，r=1， 所以△OAB内切圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 16.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折.将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形(如图).若正方形ABCD的边长为2，点P在四段圆弧上运动，则·的取值范围为(　　) A.[-1，3] B.[-2，6] C.[-3，9] D.[-3，6] 答案　B 解析　以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，设点P(x，y)，易知以AD为直径的左半圆的方程为x2+(y-1)2=1(-1≤x≤0)， 以BC为直径的右半圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1(2≤x≤3)， 所以点P的横坐标x的取值范围是， 又因为=(x，y)，=(2，0)，所以·=2x的取值范围为. . 学科网（北京）股份有限公司 $