2.4.1 圆的标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从圆的标准方程概念到综合应用，梯度进阶，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|圆的标准方程（定义、求解、对称）、点与圆位置关系|直接应用公式，含教材改编题（如第6题），基础题型巩固概念| |能力提升练|最值问题、新定义（r-圆称形）、九点圆、综合应用|创新情境（如曼哈顿距离），跨知识点综合（如第3题九点圆），提升逻辑推理与模型构建能力|

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 基础练习 题型一　圆的标准方程 1.(2026江西部分校联考)以点M(-3,)为圆心且经过点N(3,-)的圆M的标准方程为(　　) A.(x-3)2+(y+)2=4　　 B.(x-3)2+(y+)2=48 C.(x+3)2+(y-)2=4　　 D.(x+3)2+(y-)2=48 2.(2025广东中山一中段考)若圆(x-a)2+(y+1)2=3关于直线5x+4y-a=0对称,则a=(　　) A.-1　　B.1　　C.3　　D.-3 3.(2026河北石家庄辛集中学月考)与圆+(y+1)2=关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程是(　　) A.(x-2)2+=　　B.(x+2)2+= C.(x+2)2+=　　D.(x-2)2+= 4.(2026山东泰安第一中学月考)已知两点A(-2,0),B(2,2),则以AB为直径的圆的标准方程为　　　　　　　　.  5.(2026江西上进联考)过(-1,0),(3,0),(0,2)三点的圆的标准方程为　　　　　　　　.  6.(教材习题改编)(2026陕西咸阳乾县第二中学月考)已知圆C经过原点O(0,0)和点A(2,2),并且圆心在直线l:x-2y+1=0上,则圆C的标准方程为　　　　　　.  7.(2026北京平谷中学月考)写出一个关于直线x-y+1=0对称的圆的标准方程:　　　　　　　.  8.(2026四川成都成华期中)已知圆C过点O(0,0),且与直线x+y+4=0相切,则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为　　　　　　.  9.(2026河北沧州调研)在平面直角坐标系Oxy中,若圆C的圆心在x轴上,且过A(-2,4),B(5,3)两点. (1)求圆C的标准方程; (2)设M(-24,0),P为圆C上的动点,求证:为定值. 题型二　点与圆的位置关系 10.(2026江苏南京中华中学月考)若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4的内部,则实数k的取值范围是(　　) A.　　B.　　 C.　　D.(-2,2) 11.(2026山东菏泽第一中学月考)已知m,n是方程x2+x-2=0的两个不等实数根,则点P(m,n)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆内　　B.点P在圆上 C.点P在圆外　　D.无法确定 12.(2026江苏常州联盟学校学情调研)已知P1(4,9),P2(6,3),P3(6,9)三点,则△P1P2P3的外接圆的标准方程为　　　　　　,若M(4,a)在该圆的外部,则实数a的取值范围为　　　　. 能力提升练 题型　圆的标准方程及其应用 1.(2026重庆育才中学月考)已知圆M:(x-1)2+(y-2)2=4,一只蚂蚁从点P(-2,2)出发,爬到x轴后又爬到圆M上,则它爬行的最短路程为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.(2026河北承德第一中学月考)已知点A(-1,0),B(0,3),P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最小值为(　　) A.6　　B.　　C.　　D.6- 3.(2026黑龙江牡丹江第一高级中学月考)数学家欧拉在1765年发现了九点圆,即在任意三角形中,三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点,这九个点共圆,因此九点圆也称为欧拉圆.已知在△ABC中,A(-2,0),B(4,4),C(2,2),则△ABC的九点圆的方程是　　　　　　　.  4.(创新题·新定义)对非原点O的点M,若点M'在射线OM上,且|OM|·|OM'|=r2,则称M'为M的“r-圆称点”,图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形G'称为G的“r-圆称形”.则A(1,0)的“3-圆称点”为　　　　　　,圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为　　　　　　.  5.(2026江苏淮安淮阴中学月考)已知圆C1:x2+y2=36,圆C2:x2+y2=4,定点P(0,1),动点A,B分别在圆C1,C2上,且AP⊥BP,则线段AB长度的最大值与最小值的和为　　　　.  6.(2025湖南衡阳期中)已知直线x+2y-3=0和2x-y+4=0的交点为P. (1)若直线l过点P,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)若圆C过点P及Q(3,-4),那么圆C的面积存在最小值吗?如果存在,求出面积的最小值和此时圆C的方程;若不存在,请说明理由. 7.已知△ABC中,A(5,7),B(1,-5),△ABC的内切圆的圆心I(1,5). (1)求内切圆的半径; (2)求顶点C的坐标; (3)求△ABC的外接圆D的方程. 8.(2026陕西西安铁一中学月考)“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式,其定义如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知M(4,6),点N在圆C:(x+3)2+(y+2)2=13上运动,若点P满足d(M,P)=2,则|PN|的最大值为　　　　.  答案 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 基础练习 1.D　依题意得圆M的半径r=|MN|==, 则圆M的标准方程为(x+3)2+=48. 2.B　由圆的方程可知圆心坐标为(a,-1), 由题意可得圆心(a,-1)在直线5x+4y-a=0上,因此5a-4-a=0,解得a=1. 3.B　易知圆+(y+1)2=的圆心为,半径为, 设点关于直线l:x-y+1=0的对称点为(a,b), 则有解得 故所求圆的圆心为,半径为,所以所求圆的方程为(x+2)2+=. 4.答案　x2+(y-1)2=5 解析　由A(-2,0),B(2,2),得圆心的坐标为,即(0,1), |AB|====2, 因此圆的半径r=|AB|=. 故以AB为直径的圆的标准方程为x2+(y-1)2=5. 5.答案　(x-1)2+= 解析　不妨设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题得 解得故所求圆的标准方程为(x-1)2+=. 6.答案　(x-1)2+(y-1)2=2 解析　解法一(待定系数法):设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由已知得 解得a=b=1,r2=2, 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 解法二(几何法):原点O(0,0)与A(2,2)的中点坐标为(1,1),且kOA=1, 则垂直于OA的直线的斜率为-1, 所以OA的垂直平分线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0, 联立可得 则圆心为C(1,1),半径为|OC|=, 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 7.答案　x2+(y-1)2=1(答案不唯一,圆心为(a,a+1),a∈R,半径非负即可) 解析　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,r>0,则圆心为(a,b),半径为r, 因为圆关于直线x-y+1=0对称, 所以圆心在直线x-y+1=0上,即a-b+1=0⇒b=a+1, 所以圆的标准方程为(x-a)2+(y-a-1)2=r2,r>0, 不妨取a=0,r=1, 则关于直线x-y+1=0对称的一个圆的标准方程为x2+(y-1)2=1. 8.答案　(x+1)2+(y+1)2=2 解析　过O作直线x+y+4=0的垂线,垂足为A,如图.当OA为直径时,圆C的面积最小.又O到直线x+y+4=0的距离d==2,所以半径r=,设圆心为C(a,b),因为圆C与直线x+y+4=0相切,所以·(-1)=-1,即a=b,又a2+b2=2,所以a=-1,b=-1,故满足要求的面积最小的圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2. 9.解析　(1)设C(a,0),圆C的半径为r,r>0,则圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2,又圆C过A(-2,4),B(5,3), ∴(-2-a)2+16=r2,(5-a)2+9=r2, ∴a=1,r2=25, ∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=25. (2)证明:设P(x,y),则|PM|=,|PO|=, ∵P在圆C上,∴(x-1)2+y2=25,∴y2=24-x2+2x, ∴= == ==5,为定值. 10.B　联立y=x+2k与y=2x+k+1,解得x=k-1,y=3k-1,则两直线的交点坐标为(k-1,3k-1), 因为两直线的交点在圆x2+y2=4的内部,所以(k-1)2+(3k-1)2<4,解得-<k<1, 故实数k的取值范围是. 11.C　因为m,n是方程x2+x-2=0的两个不等实数根, 所以则m2+n2=(m+n)2-2mn=6-2×(-2)=10>8, 所以点P(m,n)在圆C:x2+y2=8外. 12.答案　(x-5)2+(y-6)2=10;(-∞,3)∪(9,+∞) 解析　因为P1(4,9),P2(6,3),P3(6,9),所以=(2,0),=(0,6), 因为·=0,所以⊥,即P1P3⊥P2P3, 所以△P1P2P3的外接圆是以P1P2为直径的圆. 由线段的中点坐标公式,得圆心为(5,6), 又半径为|P1P2| =×=, 故所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 因为M(4,a)在该圆的外部,所以(4-5)2+(a-6)2>10,解得a>9或a<3. 能力提升练 1.C　如图,设蚂蚁先爬到x轴上的点E处,再爬到圆M上的点F处, 要求它爬行的最短路程,即求|PE|+|EF|的最小值. 易知圆M的圆心为M(1,2),半径r=2. 设点P(-2,2)关于x轴的对称点为P',则P'(-2,-2),且|PE|=|P'E|, 由于|PE|+|EF|=|P'E|+|EF|≥|P'F|(当P',E,F三点共线时取等号), 且点P'(-2,-2)到圆M上的点的最短距离|P'F|min=|P'M|-r=-2=3(当P',F,M三点共线,且F在P',M之间时|P'F|取最小值), 所以(|PE|+|EF|)min=3,即该蚂蚁爬行的最短路程为3. 2.D　由A(-1,0),B(0,3),得|AB|==, (|AB|是定值,研究△PAB的面积时不妨以AB为底,则点P到直线AB的距离为高,当高取最小值时,△PAB的面积最小) 易得直线AB的方程为y=3x+3,圆(x-3)2+y2=1的圆心为(3,0),半径r=1,记C(3,0), 则点C(3,0)到直线AB:3x-y+3=0的距离d==, 因此点P到直线AB的距离的最小值为d-r=-1, 所以△PAB面积的最小值是××=6-. 3.答案　+= 解析　(实际是求解以△ABC三边中点为顶点的三角形的外接圆) 设△ABC的边AB,BC,AC的中点分别为M,N,P, 则M(1,2),N(3,3),P(0,1), 因为直线MP的斜率kMP==1,线段MP的中点坐标为, 所以线段MP的垂直平分线方程为y-=-1·,即y=-x+2. 因为直线NP的斜率kNP==,线段NP的中点坐标为, 所以线段NP的垂直平分线方程为y-2=-,即y=-x+. 联立解得 由垂径定理的逆定理可知,点即为所求圆的圆心, 又P(0,1)在圆上,所以半径R==, 所以△ABC的九点圆的方程为+=. 4.答案　(9,0);2x+4y-9=0 解析　设A的“3-圆称点”为A'.∵A(1,0),∴射线OA所在直线的方程为y=0,∵A'在射线OA上,∴设A'(a,0),a≥0,由|OA|·|OA'|=r2=9,可得1×a=9,∴a=9,∴A(1,0)的“3-圆称点”为(9,0).设M(x0,y0)为圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上任意一点,M'(x,y)为其“3-圆称形”上一点,∵点M'在射线OM上,∴O,M,M'三点共线, ∴存在实数k(k>0),使=k,则(x,y)=k(x0,y0),即x=kx0,y=ky0, 由|OM|·|OM'|=r2=9,可得·=·=9,可得k(+)=9,∵M(x0,y0)在圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上,∴+-2x0-4y0=0,故k(+)-2kx0-4ky0=0,即9-2x-4y=0,整理得2x+4y-9=0,∴圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为2x+4y-9=0. 5.答案　2 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为N(x,y),则+=36,+=4,x1+x2=2x,y1+y2=2y,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1), 由AP⊥BP得·=0, 即x1x2+(y1-1)(y2-1)=0,则x1x2+y1y2=y1+y2-1=2y-1, 易知PN为Rt△APB斜边上的中线,所以|PN|=|AB|, 则|AB|2=4|PN|2=4[x2+(y-1)2], 又|AB|2=+=-2x1x2++-2y1y2+=(+)+(+)-2(x1x2+y1y2)=36+4-2(2y-1)=42-4y, 可得42-4y=4[x2+(y-1)2],化简得x2+=, 所以点N(x,y)在以为圆心,为半径的圆上,记M,r=. 因为|PM|==<r,所以点P在圆M内, 则|PN|的最大值是r+|PM|=+,|PN|的最小值是r-|PM|=-, 而|AB|=2|PN|,所以|AB|的最大值是+1,最小值是-1, 所以线段AB长度的最大值与最小值的和为2. 6.解析　(1)联立方程组解得即P(-1,2). 当直线l过原点时,直线l在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时它的方程为y=-2x; 当直线l不过原点时,根据题意可设直线l的方程为+=1,a≠0, 将(-1,2)代入,得+=1,解得a=1,所以直线l的方程为x+y=1. 综上,直线l的方程为2x+y=0或x+y-1=0. (2)易知PQ为直径时,过P(-1,2)及Q(3,-4)的圆的面积最小,此时r=|PQ|=×=,圆心为(1,-1),所以圆C的面积的最小值为13π,此时圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=13. 7.解析　(1)直线AB的斜率kAB==3,所以直线AB的方程为y-7=3(x-5),整理得3x-y-8=0, 易知内切圆圆心I(1,5)到直线3x-y-8=0的距离为内切圆的半径r, 即r==. (2)设直线AC的斜率为k1,则直线AC的方程为y-7=k1(x-5),即k1x-y+(7-5k1)=0, 内切圆圆心I(1,5)到直线AC的距离为,所以=, 化简并整理可得3-8k1-3=0,解得k1=3或k1=-,又因为直线AB的斜率为3,所以k1=-,因此直线AC的方程为y-7=-(x-5),即x+3y-26=0. 设直线BC的斜率为k2,则直线BC的方程为y+5=k2(x-1),即k2x-y-k2-5=0, 内切圆圆心I(1,5)到直线BC的距离为,所以=, 解得k2=3或k2=-3,又因为直线AB的斜率为3,所以k2=-3,因此直线BC的方程为y+5=-3(x-1),即3x+y+2=0, 联立直线AC和BC的方程, 得解得故顶点C的坐标为(-4,10). (3)由题可知AB的中点为(3,1),直线AB的斜率为3,故AB的垂直平分线的斜率为-, 所以AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-3),整理得x+3y=6. 由(2)知C(-4,10),则AC的中点为,直线AC的斜率为-,故AC的垂直平分线的斜率为3, 所以AC的垂直平分线的方程为y-=3,整理得3x-y=-7. 联立解得 即D为, 圆心D到A(5,7)的距离为外接圆的半径R, 即R==, 则外接圆D的方程为+=. 8.答案　+ 解析　由题意得,圆C的圆心为C(-3,-2),半径r=. 设点P(x0,y0),由d(M,P)=2,M(4,6)得|x0-4|+|y0-6|=2,∴点P的轨迹为如图所示的正方形,其中A(4,8),B(6,6),在同一坐标系中作出圆C. 因此问题转化为求正方形上一点到圆上一点的距离的最大值,易得|AC|==,|BC|==<|AC|, ∴|PN|≤|AC|+r=+,即|PN|的最大值为+. 7 学科网（北京）股份有限公司 $