2.5.1　第1课时　直线与圆的位置关系 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦直线与圆的位置关系，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|位置关系判断、弦长计算、圆方程求解|以单选、填空为主，直接应用定义公式，强化概念理解| |中档层|参数讨论、切线方程分类、中点弦问题|设置多选与中档解答题，融入分类思想，提升综合运算能力| |提升层|米勒问题应用、存在性探究|结合实际情境与开放问题，发展创新意识与逻辑推理|

第1课时　直线与圆的位置关系 1.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.随a的变化而变化 2.直线x＋y＋12＝0被圆x2＋y2＝100所截得的弦长为（　　） A.2 B.4 C.8 D.16 3.圆心为（3，0）且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（　　） A.（x－）2＋y2＝1 B.（x－3）2＋y2＝3 C.（x－）2＋y2＝3 D.（x－3）2＋y2＝9 4.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为（　　） A.x－y＋5＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－y－5＝0 D.x＋y－3＝0 5.（多选）（2024·汕尾月考）给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x2－4x＋y2＝m－5，则（　　） A.实数m的取值范围为（0，＋∞） B.当l与圆C相切时，m＝ C.当1＜m＜2时，l与圆C相离 D.当l与圆C相交时，m＞ 6.（多选）与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（　　） A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x＝0 D.x＋y＝4 7.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　　　　. 8.（2024·苏州月考）由直线y＝x＋1上的点向圆（x－3）2＋y2＝1作切线，则切线长的最小值为　　　　. 9.一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为　　　　. 10.已知直线l：2x＋y－4＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们的交点坐标. 11.已知直线2x＋my－8＝0与圆C：（x－m）2＋y2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数m＝（　　） A.2　　　 B.14　　　 C.2或14　　　 D.1 12.（2024·济宁质检）直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足（　　） A.｜b｜＝ B.－1＜b≤1或b＝－ C.－1≤b＜1 D.非以上答案 13.（多选）已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则（　　） A.直线l与圆C的位置关系无法判定 B.当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为＋2 C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0 D.若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆 14.已知圆C过点（1，1），圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切. （1）求圆C的标准方程； （2）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且｜AB｜＝2，求直线l的方程. 15.（2024·淮安月考）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点.根据该结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点M（－1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是　　　　. 16.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C： x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点. （1）求四边形PACB面积的最小值； （2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 第1课时　直线与圆的位置关系 1.B　∵直线y＝ax＋1恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，∴直线与圆相交. 2.D　圆x2＋y2＝100的圆心坐标为（0，0），半径为10，圆心（0，0）到直线x＋y＋12＝0的距离d＝＝6，则直线x＋y＋12＝0被圆x2＋y2＝100所截得的弦长为2＝16.故选D. 3.B　由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝3，故选B. 4.A　由圆的一般方程可得圆心为M（－1，2）.由圆的性质易知M（－1，2）与C（－2，3）的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. 5.BC　圆C：x2－4x＋y2＝m－5的标准方程为（x－2）2＋y2＝m－1，圆心为C（2，0），半径r＝.对于A：由r＝＞0，解得m＞1，故A错误；对于B：因为C（2，0）到直线l：3x＋4y＝0的距离d＝＝，所以当l与圆C相切时，r＝＝，解得m＝，故B正确；对于C：当1＜m＜2时，0＜r＜1＜，所以l与圆C相离，故C正确；对于D：当l与圆C相交时，＞，解得m＞，故D错误.故选B、C. 6.ABD　圆C的方程可化为（x－2）2＋y2＝2.可分为两种情况讨论： ①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，所以直线方程为y＝±x； ②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1（a≠0），即x＋y－a＝0（a≠0），则＝，解得a＝4（a＝0舍去），所以直线方程为x＋y－4＝0. 7.x＋2y－5＝0　解析：设切线斜率为k，则由已知得 k·kOP＝－1. ∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0. 8.　解析：切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，易知圆心（3，0）到直线的距离d＝＝2，圆的半径r＝1，所以切线长的最小值为＝＝. 9.－或－　解析：由已知得点（－2，－3）关于y轴的对称点为（2，－3），由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点（2，－3）.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－. 10.解：由直线l和圆的方程，得 消去y，得5x2－12x＋4＝0. ∵Δ＝（－12）2－4×5×4＝64＞0， ∴直线l与圆C相交，有两个公共点. 由5x2－12x＋4＝0，得x1＝2，x2＝. 把x1＝2代入方程①，得y1＝0；把x2＝代入方程①，得y2＝. ∴直线l与圆相交，有两个公共点，它们的坐标分别是（2，0）和（，）. 11.C　由题意知圆C的半径r＝2，则有｜AC｜＝｜BC｜＝2.因为△ABC为等腰直角三角形，则圆心（m，0）到直线的距离d＝r＝，即d＝＝，解得m＝14或m＝2.故选C. 12.B　曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧（含与y轴的交点）的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝（即x2＋y2＝1，x≥0）的图象，如图所示.当直线与曲线相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1. 13.BCD　由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得（x－3）2＋（y－4）2＝4，所以圆心C的坐标为（3，4），半径为2.由直线l的方程可得y－3＝k（x－4），则直线l恒过定点（4，3），此点在圆C内，故直线l与圆C相交.故A错误；当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0.设圆心C（3，4）到直线l的距离为d，则d＝＝，所以圆C上的点到直线l的最远距离为＋2.故B正确；当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C（3，4）到直线l的距离为1，由＝1，得k＝0.故C正确；设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，故D正确.故选B、C、D. 14.解：（1）由题意，设圆心坐标为C（a，0）（a＞0）， 由题意，得＝， 解得a＝－6（舍）或a＝2， 所以圆的半径为r＝＝， 则圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝2. （2）若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为， 则｜AB｜＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k（x－1）， 即kx－y－k＋3＝0. 弦心距d＝，得｜AB｜＝2＝2， 解得k＝－，直线方程为4x＋3y－13＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0. 15.1　解析：∵点M（－1，2），N（1，4），则线段MN的中点坐标为（0，3），易知kMN＝1，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y＝3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为（x－a）2＋（y－3＋a）2＝2（1＋a2），由题中结论得，当∠MPN取最大值时，圆S必与x轴相切于点P，则此时点P的坐标为（a，0），代入圆S的方程得2（1＋a2）＝（a－3）2，解得a＝1或a＝－7，即对应的切点分别为P（1，0）和P'（－7，0），对于定长的弦在弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M，N，P'的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，∴∠MPN＞∠MP'N，故点P（1，0）即为所求，则点P的横坐标为1. 16.解：（1）如图，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P坐标为. 圆的方程可化为（x－1）2＋（y－1）2＝1， 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××｜AP｜×｜AC｜＝｜AP｜. 因为｜AP｜2＝｜PC｜2－｜CA｜2＝｜PC｜2－1， 所以当｜PC｜最小时，｜AP｜最小. 因为｜PC｜2＝（1－x）2＋（1＋2＋x）2＝（x＋1）2＋9. 所以当x＝－时，｜PC＝9. 所以｜AP｜min＝＝2. 即四边形PACB面积的最小值为2. （2）由（1）知圆心C到点P距离为3是C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°，则需｜PC｜＝2，这是不可能的，所以这样的点P不存在. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $