2.5.1 直线与圆的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系，以"基础认知-技能应用-综合拓展"分层设计，覆盖定义判断、计算应用到实际情境，培养推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|位置关系定义、定点判断|选择1-3直接考查概念，如第3题辨析公共点与位置关系| |技能应用|相切计算、弦长公式|选择4平移后相切、填空13过点切线方程，强化运算能力| |综合拓展|对称问题、反射最短路径|解答16含参数直线与圆相交证明，培养创新意识与逻辑推理|

2.5.1 直线与圆的位置关系 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相交 D. 直线与圆相离 【答案】C 【解析】直线过定点（3，1）， （3，1）代入计算在圆内，所以直线与圆相交，所以选择C。 2.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 【答案】C 【解析】方法一　圆心(0,0)到直线x－ky＋1＝0的距离为d＝≤1，故直线与圆相交或相切． 方法二　直线x－ky＋1＝0经过定点(－1,0)，且点(－1,0)在圆x2＋y2＝1上，结合图形(图略)知，若k＝0，则直线与圆相切；若k≠0，则直线与圆相交． 3.若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 【答案】D 【解析】当只有一个公共点时，直线l与圆C相切； 当有两个公共点时，直线l与圆C相交． 4.将直线3x＋y＋a＝0沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线与圆x2＋y2＋2x－6y＝0相切，则实数a的值为(　　) A.－7或13 B.7或13 C.1或－19 D.－1或19 【答案】A 【解析】直线3x＋y＋a＝0沿x轴向右平移1个单位长度，得3(x－1)＋y＋a＝0，即3x＋y＋a－3＝0.圆的方程x2＋y2＋2x－6y＝0变形为(x＋1)2＋(y－3)2＝10，得圆心坐标为(－1,3)，半径长为.则＝，即|a－3|＝10，解得a＝－7或a＝13. 5.如图，是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是(　　) A.5米 B.米 C.米 　　 D.7米 【答案】B 【解析】∵OD⊥AB， ∴AD＝DB＝AB＝×10＝5米， 在Rt△OAD中，设半径OA＝R， 则OD＝CD－R＝7－R， ∴OA2＝OD2＋AD2， 即R2＝(7－R)2＋52， 解得R＝. ∴此隧道圆的半径OA是米，故选B. 6.圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0 【答案】C 【解析】∵()2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上．∴P为切点． ∵切点与圆心连线的斜率为－， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为y＋1＝(x－)，即x－y－4＝0. 7.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C 【解析】由题意易知圆心C(－1，2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上， 所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d， 易求d＝＝3， 所以切线长的最小值为＝＝4. 8.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是(　　) A.6－2 B.8 C.4 D.10 【答案】B 【解析】点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为＝10，且圆的半径为2. ∴所求最短路程为10－2＝8. 二、多选题（共3小题） 9.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　) A.(x－4)2＋(y－6)2＝6 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6 C.(x－4)2＋(y－6)2＝36 D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36 【答案】CD 【解析】∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)(b>0)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36. 10.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A.0 B.4 C.－2 D. 【答案】AB 【解析】由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2. 又直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离d＝＝. 又d＝， 所以|a－2|＝2， 解得a＝4或a＝0. 11.已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】对于A，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝>r，所以直线l与圆C相离，故B正确； 对于C，若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2， 所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝<r， 所以直线l与圆C相交，故C不正确； 对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，D正确.故选ABD. 三、填空题（共3小题） 12.已知直线与圆有且仅有一个公共点，则                  . 【答案】 【解析】由圆得圆心为,半径为; 由直线与圆有且仅有一个公共点得圆心到直线的距离等于半径; 故; 即,得. 13.过点P(6，－8)与圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0相切的直线方程为                  ． 【答案】x＝6和3x＋4y＋14＝0. 【解析】圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25， ∴圆心的坐标为C(1,2)，半径r＝5. 易知点P(6，－8)在圆C的外部，显然直线x＝6是其中一条切线， 设另一条切线的斜率为k， 则另一条切线的方程为y＋8＝k(x－6)，即kx－y－6k－8＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得＝5， 解得k＝－. ∴切线的方程为－x－y－6×－8＝0， 即3x＋4y＋14＝0. 综上可知，切线的方程为x＝6和3x＋4y＋14＝0. 14.已知直线y＝x＋m与曲线x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，若|AB|≥2，则实数m的取值范围是                  ． 【答案】[－，] 【解析】设线段AB的中点为D，圆心为O，由|OD|2＋|AB|2＝4≥|OD|2＋×12＝|OD|2＋3，解得|OD|≤1. 由点到直线的距离公式可得|OD|＝≤1，解得－≤m≤，故实数m的取值范围是[－，]. 四、解答题（共2小题） 15.已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系. (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 【答案】解　(1)将圆C的方程化标准方程为x2＋(y－1)2＝5， 所以圆心为C(0，1)，半径r＝. 圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离D＝＝<1<， 因此直线l与圆C相交. (2)设圆心C到直线l的距离为D， 则D＝＝. 又D＝，则＝，解得m＝±1， 所以所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 16.已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明l与圆C总相交； (2)m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长． 【答案】(1)证明　直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)， 由点斜式可知，直线恒过点P(4，－3)． 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交． (2)解　圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25. 如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短． 此时PC⊥l， 又kPC＝＝3， 所以直线l的斜率为－， 则2m＝－，所以m＝－. 在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5. 所以|AB|＝2＝2. 故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆相交 D. 直线与圆相离 2.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 3.若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 4.将直线3x＋y＋a＝0沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线与圆x2＋y2＋2x－6y＝0相切，则实数a的值为(　　) A.－7或13 B.7或13 C.1或－19 D.－1或19 5.如图，是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是(　　) A.5米 B.米 C.米 　　 D.7米 6.圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0 7.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 8.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是(　　) A.6－2 B.8 C.4 D.10 二、多选题（共3小题） 9.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　) A.(x－4)2＋(y－6)2＝6 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6 C.(x－4)2＋(y－6)2＝36 D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36 10.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A.0 B.4 C.－2 D. 11.已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 三、填空题（共3小题） 12.已知直线与圆有且仅有一个公共点，则                  . 13.过点P(6，－8)与圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0相切的直线方程为                  ． 14.已知直线y＝x＋m与曲线x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，若|AB|≥2，则实数m的取值范围是                  ． 四、解答题（共2小题） 15.已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)判断直线l与圆C的位置关系. (2)若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程. 16.已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0. (1)当m∈R时，证明l与圆C总相交； (2)m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长． 学科网（北京）股份有限公司 $