精品解析：天津英华实验学校2025-2026学年第二学期期末统练高一数学试卷

英华实验学校 2025-2026学年度第二学期期末统练高一年级数学学科试卷 出题人：吕寒梅 审阅人：李玉芹 总分：150分；考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请把Ⅰ、Ⅱ卷的答案填涂或填写在相应的答题卡上.答题时请按题号位置，在规定区域作答.考试结束后，请将试卷及答题卡依次交回.祝各位同学考试顺利！ 第Ⅰ卷：选择题 一.选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.） 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等 5. 在中，内角、、所对的边为、、，若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）nmile A. B. 8 C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②③④ 第Ⅱ卷：非选择题 二.填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知，则=____. 11. 已知事件与事件相互独立，如果，，________． 12. 如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 13. 已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 14. 设向量满足，，，则的最大值为________. 15. 如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则________，若，则________． 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知向量满足，． （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 18. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，． （1）设单位向量，若与共线，且，求A； （2）当且为斜三角形时： （i）若，求B； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 英华实验学校 2025-2026学年度第二学期期末统练高一年级数学学科试卷 出题人：吕寒梅 审阅人：李玉芹 总分：150分；考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.请把Ⅰ、Ⅱ卷的答案填涂或填写在相应的答题卡上.答题时请按题号位置，在规定区域作答.考试结束后，请将试卷及答题卡依次交回.祝各位同学考试顺利！ 第Ⅰ卷：选择题 一.选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.） 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出. 【详解】，则， 则对应的点在第二象限. 故选：B 2. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【详解】A选项：如图： 在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图： 在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图： 在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图： 过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 4. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定义判断B、C、D. 【详解】由题意，，且，即， 而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等； 由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件； 综上，A正确，B、C、D错误. 故选：A 5. 在中，内角、、所对的边为、、，若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】由余弦定理可得，可得. 由正弦定理可得. 故选：A. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的模的运算，向量的垂直算出和，再计算向量的夹角余弦值. 【详解】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D 7. 某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（ ）nmile A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得AD，再在中，利用余弦定理求解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 【答案】C 【解析】 【详解】，A错误； ， 则，B错误； 首先将数据从小到大排序：，共8个数据， 则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确； 根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍， 这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，建立空间直角坐标系，先将，再根据列式求解即可判断. 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间的距离， 而，所以的最小值为，故①正确； 对于②，，而， 所以四面体的体积为，故②正确； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ， 因为，，，平面， 所以平面， 所以当为中点，与重合时，此时， 故与垂直的不唯一，故③错误； 对于④，当为等边三角形时，， 而,， 所以，所以只需要与的夹角能等于即可， 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设， 则由题意可得，，， 则可得，， 则， 整理可得， 该方程看成关于的二次函数，， 所以存在使得为等边三角形，故④正确. 第Ⅱ卷：非选择题 二.填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知，则=____. 【答案】5 【解析】 【分析】空间向量的坐标表示求的坐标，再应用空间向量模长的坐标求法求. 【详解】由题设， ， ∴. 故答案为： 11. 已知事件与事件相互独立，如果，，________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得， 因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立， 所以. 12. 如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】将直线平移至，则线面角被转化为（或其补角），进而在等腰中求即可. 【详解】如图，过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，易知为的中点， 设正方形的边长为2，则，所以， 则， 因为，所以异面直线与所成的角即为（或其补角）， 在等腰中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 13. 已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由长方体体积可得，即而求出四面体的外接球的半径，结合球的体积公式以及基本不等式，即可求得答案. 【详解】设，由于，故； 结合长方体性质可知四面体的外接球即为长方体的外接球， 则外接球半径为， 则外接球的表面积为 ，当且仅当时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 14. 设向量满足，，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，作，则，求得，得到点的轨迹，即可得到答案. 【详解】如图所示，设，作，则， 因为向量满足，， 可得，即， 又因为，可得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以当三点共线时，取得最大值，最大值为. 15. 如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则________，若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算即可得解. 【详解】连接DF， 因为分别为的中点，所以是△ABC的中位线，所以， 则 ， 所以，所以； 因为， 所以， 故 . 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于注意到点是的重心，从而利用中位数定理得到，进而利用平面向量的相关运算即可得解. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知向量满足，． （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量模长公式计算求解； （2）先求出与同向的单位向量，再由同向向量与单位向量方向一致结合求出的坐标； （3）利用模长公式求出，进而求出，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 已知，则． 【小问2详解】 与同向的单位向量为， 已知， ． 【小问3详解】 ，解得， ， ． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 【答案】（1）证明：底面，且底面，， 为正方形，，又，且平面，平面. 平面，. 由为线段的中点，可知， ，且平面，平面． （2）（i）EF和平面夹角的正弦值为; （ⅱ）点P到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直及正方形的性质得、，再由线面垂直的判定定理、性质定理证明结论； （2）（i）取的中点，连接，根据线面角的定义确定和平面夹角的平面角，最后结合已知求其正弦值； （ⅱ）利用等体积法，设点到平面的距离为，求出和， 从而计算出，再求出，根据，可算出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取的中点，连接． 为中点，是的中位线，故，且． 又底面，底面，因此是在底面内的投影， 即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，， 故．又是中点，，故． 在中，． 在中，．因此． （ⅱ）利用等体积法， 设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，，故． 因此． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由得：． 18. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b； （2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解； （3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）知，平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75， 所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4； 【小问3详解】 第四、五两组志愿者分别有20人、5人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 过作于点，则. 以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， ∵为的中点．∴， 则，. 设平面的法向量为，则,即， 令，则，∴ ． ∴ ，又平面．∴∥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，从而可证明线面平行； （2）利用两个平面夹角的向量公式即可求解； （3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的法向量为， 则,即，令，则.. 所以平面与平面夹角的正弦值为 【小问3详解】 令，.设，∴ ， ∴， . 由（1）知，平面的法向量为. ∵ 直线与平面所成角的正弦值为， ∴ ， 化简得，∵，∴，故． 20. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，． （1）设单位向量，若与共线，且，求A； （2）当且为斜三角形时： （i）若，求B； （ii）求的最小值． 【答案】（1）或； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得解； （2）（i）利用向量垂直的坐标表示，结合三角恒等变换即可得解；（ii）利用（i）中结论，结合三角形内角的范围推得的范围，再利用正弦定理的边角变换即可得解. 【小问1详解】 由，得， 又与共线，，则， 由，得，则，整理得， 由，得，于是或，所以或. 【小问2详解】 （i）由，得，即， 于是，而， 整理得， 显然，所以. （ii）由（i）知，，则有， 而，于是，即， ，显然有，则，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的解决关键是利用向量垂直的坐标表示求得，进而得到的关系，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $