精品解析：天津市滨海新区经济技术开发区第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末检测数学试卷

天津经济技术开发区第一中学2025—2026学年度第二学期高一年级数学期末检测试卷 一、单选题：（本题共12小题，每小题4分） 1. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 3. 中国运动员谷爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌．自由式滑雪大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛．在某次自由式滑雪大跳台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同．如果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他23位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（ ） A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差 4. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 5. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 6. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. αβ，mα，则mβ B. m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβ C. m⊥n，m⊥α，nβ，则α⊥β D. m⊥α，mn，αβ，则n⊥β 7. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知事件A与B相互独立，，则（ ） A. 0.58 B. 0.12 C. 0.7 D. 0.88 9. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，方差为4，乙组样本数据，，，的平均数为5，则下列说法错误的是（ ） A. a的值为1 B. 两组样本数据的样本极差不同 C. 两组样本数据的样本中位数一定相同 D. 乙组样本数据的标准差为4 10. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ） A. 1:2 B. 4:5 C. 4:9 D. 5:7 11. 已知向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分） 13. 化简________． 14. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______． 15. 如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________． 16. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 17. 若，且，则的最小值是__________. 18. 在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________． 三、解答题： 19. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）求实数的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 20. 为了减轻流感对师生身体健康的影响，某学校建议师生进出学校佩戴口罩，现将该学校1000名师生一周的口罩使用数量统计成下表，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人． 口罩使用数量/只 频率 0.2 0.3 0.1 （1）求m，n的值，根据表中数据，完成上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）． （2）根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的75%分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）． （3）按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，从这6人中随机抽取2人检查其口罩使用情况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这2人恰好来自同一组的概率． 21. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 22. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，． ①求的面积； ②若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津经济技术开发区第一中学2025—2026学年度第二学期高一年级数学期末检测试卷 一、单选题：（本题共12小题，每小题4分） 1. 关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；根据平面向量的定义即可判断B；根据共线向量及相等向量的定义即可判断CD, 【详解】解：时，方向未知，不成立，A错误； 向量不能比较大小，B错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，C正确； 表示向量方向相同或相反，不能得到，D错误. 故选：C. 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，. 选项A，因为事件可能同时发生，即，所以不是对立事件，故A错误； 选项B，，即B正确. 选项C，第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误. 选项D，由A项知，即两者并不互斥，故D错误. 3. 中国运动员谷爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌．自由式滑雪大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛．在某次自由式滑雪大跳台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同．如果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他23位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（ ） A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合中位数的定义，即可判断和选择. 【详解】其他23位参赛同学，按成绩从高到低排列，这23个数的中位数恰好是第12位选手的成绩． 若选手甲的成绩大于该选手的成绩，则进入决赛，否则不能进入决赛， 因此可根据中位数判断选手甲是否能进入决赛. 故选：． 4. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，； 所以原图形的面积为． 故选：D 5. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示求出，，再利用模长公式求解即可． 【详解】因为，，， 所以，则，故， 所以，则． 故选：A. 6. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. αβ，mα，则mβ B. m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβ C. m⊥n，m⊥α，nβ，则α⊥β D. m⊥α，mn，αβ，则n⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】解：对于A选项，αβ，mα，则mβ或m⊂β，所以A选项错误. 对于B选项，m⊂α，n⊂α，mβ，nβ，则αβ或α和β相交，只有加上条件m与n相交时，才有结论αβ，所以B选项错误. 对于C选项，m⊥n，m⊥α，nβ，则αβ或α与β相交，所以C选项错误. 对于D选项，m⊥α，mn，则n⊥α，又αβ，则n⊥β，所以D选项正确. 故选：D. 7. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出圆锥的半径母线和高，根据侧面积与底面积的比找到母线和半径的关系，再找到高和半径的关系最后根据体积值求出半径再利用表面积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为， 因为其侧面积与底面积的比为， ，即， 由圆锥的基础知识可知：，所以， 又因为圆锥的体积为，所以，所以， 所以圆锥的表面积为， 故选：D 8. 已知事件A与B相互独立，，则（ ） A. 0.58 B. 0.12 C. 0.7 D. 0.88 【答案】A 【解析】 【分析】由随机事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】因事件A与B相互独立，故， . 故选：A. 9. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，方差为4，乙组样本数据，，，的平均数为5，则下列说法错误的是（ ） A. a的值为1 B. 两组样本数据的样本极差不同 C. 两组样本数据的样本中位数一定相同 D. 乙组样本数据的标准差为4 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据平均数的性质分析求解；对于B：根据题意结合极差的定义分析判断；对于C：根据中位数的定义分析判断；对于D：根据标准差的性质分析求解. 【详解】因为的数据各不相同，不妨设， 对于选项A：因为甲组样本数据的平均数为3，方差为4， 则乙组样本数据的平均数为，解得，故A正确； 对于选项B：可知甲组样本数据的极差为， 则乙组样本数据的极差为， 所以两组样本数据的样本极差不同，故B正确； 对于选项C：设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为， 令，解得， 所以当且仅当时，两组样本数据的样本中位数相同，故C错误； 对于选项D：因为甲组样本数据的方差为4，即标准差为2， 乙组样本数据的标准差为，故D正确； 故选：C. 10. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ） A. 1:2 B. 4:5 C. 4:9 D. 5:7 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设易知为直三棱柱，即侧面为矩形，利用柱体体积公式、锥体体积公式求，进而确定比值. 【详解】不妨令，且上下底面等边三角形， 又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形， 所以三棱柱体积， 而，故， 所以，故， 所以. 故选：D 11. 已知向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定的投影向量求出，再利用夹角公式计算即得. 【详解】依题意，在上的投影向量为，则， 所以，又， 所以，即与的夹角为． 故选：D． 12. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】确定，，根据正弦定理得到，解得答案. 【详解】，，，， 则，即，， 故选：B 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分） 13. 化简________． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意，所求概率为. 故答案为：. 15. 如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角即为， 设正方体的棱长为，则，， 所以. 16. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 17. 若，且，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图： 可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 18. 在直角梯形中，已知，，，点F是边的中点，点是线段上一个动点．则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案. 【详解】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 三、解答题： 19. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）求实数的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值； （2）利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值； （3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 所以，为纯虚数， 所以，，解得. 【小问2详解】 解：， 因此，. 【小问3详解】 解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 20. 为了减轻流感对师生身体健康的影响，某学校建议师生进出学校佩戴口罩，现将该学校1000名师生一周的口罩使用数量统计成下表，其中每周的口罩使用数量在6只以上（包含6只）的有700人． 口罩使用数量/只 频率 0.2 0.3 0.1 （1）求m，n的值，根据表中数据，完成上面的频率分布直方图（不要求写出过程，画图即可）． （2）根据频率分布直方图估计该学校师生一周口罩使用数量的75%分位数和平均数（每组数据用每组中间值代替）． （3）按分层抽样的方法在前三组中抽取一个容量为6的样本，从这6人中随机抽取2人检查其口罩使用情况记为事件，请列出事件的样本空间，并求这2人恰好来自同一组的概率． 【答案】（1）； （2）只，只 （3）记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为， ， 这两人恰好来自同一组的概率为. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，依次求得的值. （2）根据百分位数和平均数的求法求得分位数和平均数. （3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【小问1详解】 由每周的口罩使用个数在6只 以上（含6）的有700人得： ， 故所求， 频率分布直方图如下： 【小问2详解】 由（1）知，又因为口罩使用数量在的频率是0.3， ， 所以假设分位数为， 则， 由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为： （只）， 故估计所求分位数为9只，平均数估计为7只. 【小问3详解】 记第一组抽取的2人为．第二组抽取的1人为，第三组抽取的3人为，可知样本空间： ， 共含有15个样本点，可以认为这个样本点出现的可能性是相等的． 记“这两个人来自同一组”为事件D，则， 样本点有4个，故. 21. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 【答案】（1）取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，根据面面平行的判定定理，可证得平面平面，再根据面面平行的性质，即可证明平面； （2）由题意，先证得，，根据线面垂直的判定定理，可得平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 22. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，． ①求的面积； ②若，求． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）对原式展开后利用余弦定理和正弦定理得，再利用两角差的正弦公式即可得到答案； （2）①利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理求出，最后利用三角形面积即可得到答案；②根据向量线性运算得，最后利用转化法即可求出模长. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即，又， 所以，所以，则. 【小问2详解】 ①因为，由正弦定理可得.又， 由， 所以， 解得或(舍去)，所以， 所以. ②因为， 所以. 所以. 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $