27.1 反比例函数的概念（课件）-- 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，通过舞台灯光电阻与电流、高铁速度与时间等生活情境导入，引导学生从现实问题中抽象出y=k/x（k≠0）的形式，对比正比例、一次函数，构建知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，通过实例抽象概念，用数学思维辨析反比例关系与函数的区别，结合待定系数法培养推理意识。资料结构清晰，练习分层，助力学生理解本质，教师可高效开展教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第27章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 反比例函数的概念专项练习 （人教版数学九年级上册 27.1） 一、基础知识点梳理 本节课核心掌握反比例函数的定义与基本特征。一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数常见变形形式：xy=k、y=kx⁻¹，核心特征为两个变量的乘积始终为定值k，变量成反比例关系。区别于正比例函数与一次函数，反比例函数自变量次数为-1，无常数项，k的正负决定函数图象分布，是后续学习反比例函数图象与性质的基础。 二、专项练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 反比例函数y=5/x的比例系数k=________，自变量x的取值范围是________。 2. 若函数y=(m-2)/x是反比例函数，则m的取值范围是________。 3. 已知xy=8，则y与x的函数关系式为________，属于________函数。 4. 反比例函数y=k/x经过点(2,3)，则k的值为________。 5. 若y=(m+1)x⁻¹是反比例函数，则m满足的条件是________。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（） A. y=3x B. y=5/x C. y=3x+1 D. y=3x² 2. 关于反比例函数y=-4/x，下列说法正确的是（） A. 自变量取值为全体实数 B. 比例系数为4 C. x≠0 D. 是一次函数 3. 若函数y=(k-3)/x为反比例函数，则k的值不能是（） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知y与x成反比例，当x=2时y=4，则函数解析式为（） A. y=8/x B. y=6/x C. y=2x D. y=x/8 5. 下列变量关系中，成反比例关系的是（） A. 路程一定，速度与时间 B. 单价一定，总价与数量 C. 身高与体重 D. 周长一定，边长与边数 （三）解答题（共60分） 1.（20分）判断下列函数是否为反比例函数，若是，写出比例系数k：（1）y=-6/x；（2）y=1/2x；（3）y=2x+3；（4）xy=9。 2.（20分）已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点(-3,4)。（1）求该函数的解析式；（2）判断点(6,-2)是否在该函数图象上。 3.（20分）已知函数y=(m²-4)/(m-2)·x⁻¹是反比例函数。（1）求m的值；（2）写出该反比例函数的解析式。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. 5、x≠0 解析：根据反比例函数定义，y=k/x中k=5，自变量不能为0。 2. m≠2 解析：反比例函数分母系数不为0，即m-2≠0。 3. y=8/x、反比例 解析：变形可得反比例函数标准形式。 4. 6 解析：代入x=2，y=3，得k=xy=6。 5. m≠-1 解析：反比例函数系数不为0，m+1≠0。 （二）选择题 1.B 2.C 3.C 4.A 5.A （三）解答题 1. 解：（1）是反比例函数，k=-6；（2）是反比例函数，k=1/2；（3）不是反比例函数，为一次函数；（4）是反比例函数，k=9。 2. 解：（1）将点(-3,4)代入解析式，k=-12，解析式为y=-12/x；（2）当x=6时，y=-2，故点(6,-2)在函数图象上。 3. 解：（1）由题意得m²-4≠0且m-2≠0，解得m=-2；（2）代入得解析式y=4/x。 （字数：1012） 情境导入 1. 理解反比例函数的概念，判断两个变量之间的关系是否为反比例函数关系.（重点） 2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.（重点） 3. 体会并理解函数是刻画变量之间关系的数学模型.（难点） 学习目标 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? 情境导入 3 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (1) 京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化； 在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量 v 随着 t 的变化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为v = . 探究新知 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m²的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化； 在问题(2)中，有两个变量y与x，当一个量x变化时，另一个量y随着x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为y = . 探究新知 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (3) 李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q（单位：GB）随使用完流量的总时间t（单位：天）的变化而变化. 在问题(3)中，有两个变量Q与t，当一个量t变化时，另一个量Q随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，Q都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为Q = . 探究新知 思考：这些解析式有什么共同特点？ v = ，y = ，Q = . 上述解析式都具有 y = 的形式，其中 k 是非零常数. 探究新知 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数. 注意：在 y = 中，当x=0 时，分式 无意义. 探究新知 1. 返回 下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) C 举一反三 9 返回 2. 已知反比例函数y＝ ，则k的值不可能是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C 举一反三 反比例关系 反比例函数 区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x−5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y = ​（k 为常数，k≠0）的函数. 联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y= 表示 y 与 x2​ 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 辨析 反比例关系与反比例函数的区别和联系 探究新知 下列函数： ① ；② ；③ xy8=0；④ +1；⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ （a 为常数）. 其中  是  的反比例函数的有___________________.（填序号） 例1 ①②③⑦⑧ 易错：在反比例函数y=kx－1(k≠0)中，自变量x的指数是1，要与正比例函数y=kx (k≠0)相区别 反比例函数的常见形式： ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 探究新知 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (1)当圆锥的体积是 50 cm3 时，它的高 h (cm) 与底面圆的面积 S (cm2 ) 之间的关系； (2)我国某磁悬浮列车最高速度可达 600 km/h，该列车以最高速度行驶路程 s (km) 与它行驶的时间 t (h) 之间的关系； 解：(1) 依题意，得 50=Sh，则 h=，该函数是反比例函数. (2) 依题意，得 s=600t，该函数是正比例函数. 例2 探究新知 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (3)当做功是 50 J 时，力 F (N) 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s (m) 之间的关系； (4)用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部用完），设菜园的一边长为 x (m)，菜园的面积 S (m2 ) 与 x (m) 之间的关系. W=Fs （ W：功(J) ；F：力(N)；s：在力的方向上移动的距离(m) ） 解：(3) 依题意，得 F=，该函数是反比例函数. (4) 依题意，得 S=x(10－x)，即 S=－x2+10x，该函数是二次函数. 例2 探究新知 例3 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y= . 把 x=2，y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=2 时，y=6， 所以 解得 k = 12. 因此 (2) 把 x=4 代入 y， 得 探究新知 用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 实质是代入一对 x，y 的对应值解方程 探究新知 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式. 探究新知 1. [高频易错]反比例函数 y＝－ 中比例系数 k 为(　 ) A. －3 B. 2 C. － D. － D 当堂检测 2. [教材变式] 下列函数：① y＝；② 3xy＝1； ③ y＝；④ y＝. 其中 y 是 x 的反比例函数的 有 (填序号). 3. 若 y＝ 是反比例函数，则 m 满足的条件 是 ⁠. ①②③　 m≠　 当堂检测 4. [教材变式]已知甲、乙两地相距 200 km，汽 车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t (单 位：h) 关于行驶速度 v (单位：km/h)的函数解析式 是 ⁠. t＝(v＞0)　 当堂检测 (1)写出 y 关于 x 的函数解析式；：(2)当y＝2时，－＝2，解得x＝－6. 解：(1)∵变量 y 与 x 成反比例， ∴设 y＝ (k≠0).∵当 x＝2 时，y＝－6， ∴k＝2×(－6)＝－12. ∴ y 关于 x 的函数解析式是 y＝－. 解：(2)当 y＝2 时，－＝2，解得 x＝－6. 5. [教材变式]已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x＝2 时，y＝－6. (2)当 y＝2 时，求 x 的值. 当堂检测 6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求： (1) y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)， 则 . ∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1， －3=－k1+k2 ， ， 解得 k1=1，k2=－2. ∴ ∴ 当堂检测 (2) 当 x = 时，求 y 的值. 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 当堂检测 返回 3. 在反比例函数y＝ 中，系数k＝__________，自变量x的取值范围是________． x≠0 举一反三 返回 4. (1)若函数y＝ 是反比例函数，则a的值为________； (2)若函数y＝5x2m－3是反比例函数，则m的值为________． －1 1 举一反三 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ 返回 5. 解：②④⑧⑨是反比例函数，相应的k值分别是－3， ，－2，a2＋1. 举一反三 【河北人文气息】[沧州期末]国道G107马头南至冀豫界段是我省重点建设项目，其某段施工需运送土石方104 m3，则土石方日运送量V(m3/天)与完成运送任务所需时间t(天)满足(　　) A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 返回 6. A 举一反三 返回 7. 某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数解析式为(　　) A．y＝x＋50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝ C 举一反三 返回 8. 当三角形的面积为9 cm2时，它的底边长a(cm)与底边上的高h(cm)之间的关系式为____________． 举一反三 返回 9. 学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得的图书本数如下表： 每名学生分得的图书本数 2 3 4 学生人数 300 200 150 用y表示学生人数，x表示每名学生分得的图书本数，用式子表示y与x的关系为________，y与x成________比例函数关系． 反 举一反三 30 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数 ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 三种形式 概念 确定解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式 设、代、解、写 反比例函数 实际问题 抽象 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．y＝ B．y＝x C．y＝ D．y＝ － － ①y＝＋1；②y＝－；③y＝；④xy＝；⑤y＝；⑥＝2；⑦y＝；⑧y＝－2x－1；⑨y＝(a为常数)． a＝ y＝ $