专题1.5 有理数的乘法与除法 知识点与习题训练 2026-2027学年沪教版【五四制】 六年级上册数学

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）、运算律（交换律、结合律、分配律）、倒数概念、除法法则（除以非零数等于乘其倒数）及混合运算，构建从乘法到除法再到综合运算的递进式学习支架。 该资料通过分层题型（基础随测、题型变式）和运算律简算设计，培养学生运算能力（数学思维），结合符号判断、倒数与相反数综合题提升抽象能力（数学眼光），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

＆1.4 有理数的乘法与除法 目标 1. 会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的乘除混合运算. 难点 （1）有理数的乘除运算及其混合运算； （2）有理数的乘法运算律； （3）有理数的乘除运算的综合应用。 知识要点1 有理数的乘法法则 1.一个数乘1或-1 一个数乘1所得的积是原数，一个数乘-1所得的积是原数的相反数.例如： 2×1=2,2×(-1)=-2. 2.有理数的乘法法则 两数相乘时，如果其中一个乘数换成它的相反数，那么所得的积是原来的积的相反数.例如：2×4=8,2×(-4)=-8. 同样地，我们有 (-2)×4=-8,(-2)×(-4)= -(-8)=8. 从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积是正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数；负数乘负数，积是正数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 任何数与0相乘都得0.例如：0×4=0,(—4)×0=0,0×0=0. 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，积为0. 知识要点2 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 4.判断积的符号 几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定.当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正. 知识要点3 有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.举例， 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 3.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【基础随测】 1．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) ；(2)；(3)6；(4)0；(5)；(6) 【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答． 【详解】（1） ＝ =； （2） ＝ = （3） = =6 （4） ＝0 （5） = ＝ （6） = ＝ 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” 2．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．简便运算 （1）． (2) （3） 【答案】，1，314 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握分配律进行简便计算，是解题的关键．利用分配律，即可求解． 【详解】解： ． （2）． 【详解】解； ， 故答案为：1． （3）【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4.的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”进行解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 5．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 6．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型01 两个数的乘法运算】 填空题 1．（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟记有理数的乘法的运算法则是解本题的关键． 2．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，将带分数化成假分数后，利用有理数的乘法法则运算即可，利用有理数的乘法法则首先确定积的符号，这是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：10． 4．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法，应用有理数乘法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 【变式1-2】．计算 （1）； （2）； 【答案】（1）0；（2）1. 【详解】 （1）； （2）； 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． 【题型02 多个数的乘法运算】 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的乘法，利用乘法交换律进行计算，即可； （2）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型03有理数乘法的运算定律】 利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把带分数化成假分数即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键． (1)（25-26六年级下·上海松江·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式根据乘法分配律进行计算即可 【详解】解： (2)（25-26六年级下·上海普陀·期中）计算：． 【答案】254 【分析】逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则以及乘法分配律是解题的关键． 【变式3-1】．（25-26六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 【变式3-2】．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3-3】．（25-26七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； 【变式3-4】．计算： ． 【答案】2021 【分析】利用有理数乘法的结合律进行简便计算． 【详解】解：原式， ， 故答案为：2021． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法结合律使得计算简便． 【变式3-5】．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】将看做整体，根据乘法分配律进行计算，再进行计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法运算律是解题的关键． 【题型04 有理数乘法与结果的符号】 若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 【答案】C 【分析】根据题中已知条件可判断出x、y两个有理数的关系，即可得出答案． 【详解】解：从xy＜0可知，x、y一定异号， 从另一个条件x+y＜0可判断出x、y中负数的绝对值较大． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加法、乘法，掌握有理数加法和乘法法则是正确判断的前提． 【变式4-1】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法计算法则进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键在于两个不为0的数相乘，同号为正，异号为负． 【变式4-2】．下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 【答案】A 【分析】若ab=0，则a，b中至少一个为0；若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号；若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大． 【详解】解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确； B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误； C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误； D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【题型05 倒数的概念及性质】 的倒数是 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，即可得出结论. 【详解】解：的倒数为：， 故答案为C. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数，倒数的定义，得到，绝对值的意义，得到，然后根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵， ∴或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了倒数定义.若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数. 【变式5-1】．的相反数是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数和乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是，倒数是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查相反数、倒数，属于基础题，理解相反数和倒数的定义是解答的关键，注意求倒数时要带分数要化为假分数． 【变式5-2】．（25-26六年级下·上海长宁·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．的倒数是 D．是一个正数 【答案】A 【知识点】相反数的定义、倒数、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查的有理数的有关概念，根据相反数、绝对值、倒数和数的分类逐一判断即可． 【详解】解：A、一个数的相反数的相反数是它本身，正确； B、绝对值等于它本身的数是0和正数，原说法错误； C、 除外，的倒数是，原说法错误； D、 当时，不是一个正数，原说法错误； 故选A． 【变式5-3】．如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则的负倒数为（    ） A． B．－2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据负倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的负倒数为-2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，正确理解负倒数的定义是解题的关键． 【变式5-4】．若，互为倒数，，互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据以下性质：互为倒数的两个数乘积为1，互为相反数的两个数何为0，进行求解即可． 【解析】解：a，b互为倒数，c，d互为相反数， ，， 故答案为： 【题型06 有理数的除法运算】 计算： （1）______； （2）______； （3）______= 0； （4）____； （5）____； （6）_____． 【答案】（1）-0.6；（2）8；（3）0；（4）-36；（5）；（6）-2． 【解析】两数相除，同号得正，异号得负． 【总结】本题考查了有理数的除法． 【变式6-1】．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) (5)2 【分析】（1）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （3）根据有理数除法法则计算即可； （4）根据有理数除法法则计算即可； （5）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键． 【变式6-2】计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）-12.1； （2）4． 【分析】（1）根据有理数除法法则计算即可； （2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； 【解析】（1）； （2） 【总结】本题考查了多个有理数的除法，先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算． 【例6-3】计算：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考察有理数的除法以及分数的简便运算． 【题型07 有理数除法与结果的符号】 如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可得出答案． 【详解】数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选A 【点睛】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除．(0除以任何一个非0的数,都得0) 公式：． 如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【答案】B 【分析】直接利用有理数的除法和加法运算法则，即可得出a，b的符号． 【详解】解：∵a+b＜0，且＞0， ∴a，b同号，且a＜0，b＜0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法，正确得出a，b同号是解题关键． 【变式7-1】．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 【答案】D 【详解】试题分析：根据有理数的除法法则即可求得结果. 两个有理数的商是正数，那么这两个数一定两数同号，故选D. 考点：本题考查的是有理数的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握有理数的除法法则：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除. 【变式7-2】．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【变式7-3】．已知，，且，则 ． 【答案】或 【分析】利用绝对值的代数意义，以及除法法则求出与的值，代入计算即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，；，， 则或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式7-4】．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 因此，故A选项错误； 点A到0点的距离大于点B到0点的距离，因此，故B选项错误； 由，可得，故C选项错误； 由，可得，故D选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，解题的关键是根据数轴判断出a，b的取值范围． 【变式7-5】．若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【答案】A 【分析】根据同号得正，异号得负判断即可． 【详解】解：∵，异号， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键． 【题型08 有理数的乘除混合运算】 计算： （1）； （2）． (3)； 【答案】（1）；（2）；(3)5 【分析】（1）先计算有理数的乘法，再计算有理数的乘法即可得； （2）利用有理数的除法法则计算即可得； （3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【解析】（1） （2）； ． （3） ； 【变式8-1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式8-2】．阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 【题型09 有理数的乘除混合运算的应用】 有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【答案】1或 【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可． 【分析】解：∵， ∴，，． ∵有理数a，b，c都不为零，且， ∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负， ∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正， 当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定， ∴原式 ， 当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定， ∴原式 ． 综上，或． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式9-1】．已知、、、是有理数，，则 ． 【答案】，， 【分析】根据、、、有理数符号，，得出共有种情况，然后分别进行化简即可． 【详解】解：①若有理数，，，有一个负数，三个正数， 则 ； ②若有理数，，，有二个负数，二个正数， 则 ； ③若有理数，，，有三个负数，一个正数， 则； ④若有理数，，，有四个负数， 则 ； ⑤若有理数，，，有四个正数， 则 ； 故答案为：，，． 【点睛】本题考查绝对值的化简，关键掌握利用有理数的符号化去绝对值符号． 【变式9-2】．请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式9-3】．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．将化为即可计算． 【详解】解：， 故选：D． 【变式9-4】．设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据表示不超过x的最大整数得到，，再求出在数轴上的距离即可． 【详解】解：∵表示不超过x的最大整数， ∴，， ∵， ∴和所表示的点在数轴上的距离是， 故选：C 【点睛】此题考查了新定义、数轴上两点间的距离等知识，根据新定义求出，是解题的关键． 一、单选题 1．下列计算正确的有（      ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则进行计算，可得正确答案． 【详解】①，故此项不符合题意； ②，故此项符合题意； ③，故此项符合题意； ④，故此项不符合题意； 所以正确的有②，③ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的计算，关键是掌握乘法计算的计算法则． 2．计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 【答案】C 【分析】根据有理数乘除法的运算法则计算可求解． 【详解】解：原式=﹣8× =﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除，解题关键是熟练掌握有理数乘除法的法则，准确运用法则进行计算． 3．下列说法正确的是（    ） A．零除以任何数都得0 B．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 C．绝对值相等的两个数相等 D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数 【答案】D 【分析】A、任何数包括0，0除0无意义；B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；C、绝对值相等的两个数的关系应有两种情况；D、根据倒数及乘方的运算性质作答． 【详解】解：A、零除以任何不等于0的数都得0，故错误； B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故错误； C、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故错误； D、两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数，故正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值、倒数的概念和性质及有理数的乘除法、乘方的运算法则．要特别注意数字0的特殊性． 4.（25-264六年级下·上海长宁·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．的倒数是 D．是一个正数 【答案】A 【知识点】相反数的定义、倒数、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查的有理数的有关概念，根据相反数、绝对值、倒数和数的分类逐一判断即可． 【详解】解：A、一个数的相反数的相反数是它本身，正确； B、绝对值等于它本身的数是0和正数，原说法错误； C、 除外，的倒数是，原说法错误； D、 当时，不是一个正数，原说法错误； 故选A． 5．在下列各题中，结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据两数的符号或大小判断相应的式子是否成立即可． 【详解】解：A、两数相除，异号得负，故选项错误； B、大数减小数，一定大于0，故选项正确； C、两数相乘，同号得正，故选项错误； D、若，则可正可负，故选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数减法、乘除法运算，不确定符号的数在计算时的结果的符号也不确定． 6．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘法的分配律计算选项，可判断，由于除法没有分配律，所以先计算括号内的运算，再计算除法，可判断，先求绝对值，再利用乘法的结合律计算选项，从而可判断 【详解】解： ，故，错误； ，故错误； ，故正确； 故选： 【点睛】本题考查的是乘法的结合律与分配律，有理数的除法运算，绝对值的运算，有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 7．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（    ） A． B．3 C． D．3或 【答案】B 【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2， 原式=4-1+0=3 故选：B 【点睛】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m=±2． 8．已知，，且，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据，，可以求出，的值，再根据确定的值即可． 【详解】，， ，， ， ，异号， 当，时，， 当，时，， 综上所述：的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的除法，绝对值，有理数的乘法，解题的关键是明确同号得正，异号得负的意义． 二、填空题 9．填空：（1）（－2）×（－2）×2×（－2）的积的符号是 ； （2）×××的积的符号是 ． 【答案】 － + 【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决； （2）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决． 【详解】（1）（－2）×（－2）×2×（－2）中有3个乘数为负，积的符号是－； （2）×××中有4个乘数为负，积的符号是+． 故答案为：－；+． 【点睛】本题考查了有理数乘法及应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab 0，若a＞0，b＜0，则ab 0； （2）若a＜0，b＞0，则ab 0，若a＜0，b＜0，则ab 0； （3）若a≠0，b＝0，则ab 0． 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＞ = 【分析】根据乘法法则“两个数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘得0”解答即可． 【详解】（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0， ∵a＞0，b＜0，∴ab＜0； （2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0， ∵a＜0，b＜0，∴ab＞0； （3）∵a≠0，b=0，∴ab=0； 故答案为：＞，＜，＜，＞，=． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，解此题的关键是熟记法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 11．若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，且这两个数的积为负数，则在这两个数中，用大数除以小数所得的商是 . 【答案】 -2或- 【详解】试题分析：这两个数的积为负数，则这两个数一正一负，又因一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，则这两个数可能是8和-4，或4和-8.所以大数除以小数所得的商是-2或-. 试题解析：设|a|=8，|b|=4，则a=8或a=-8，b=4或b=-4. 因为ab<0， 所以当a=8时，b=-4，则=-2； 当a=-8时，b=4，则=-. 12．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 【答案】②④/④② 【知识点】多个有理数的乘法运算、等式的性质2、绝对值的几何意义 【分析】本题考查多个有理数的乘法、绝对值的性质及等式的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数的乘法、绝对值的性质及有理数除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：几个不等于的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故①说法错误， ∵， ∴ ∴已知为有理数，若，则，故②说法正确， 已知为有理数，若，则或；故③说法错误， ∵， ∴已知为有理数，若，则说法正确，故④说法正确， ∴正确的说法为②④． 故答案为：②④ 三、解答题 13．用简便方法计算． (1) (1－－)÷(－)；   (2)． （3） 【答案】(1) －21；(2)25（3） 【分析】（1）先将带分数转化为假分数，将除法转化为乘法，再运用乘法分配率分别计算即可； （2）逆用乘法分配律提取25，再计算括号里的加减运算，最后计算乘法即可． 【详解】解：（1） （2）解： ． （3）解： ． 【总结】本题考查了有理数的除法，以及分数的简便运算． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据多个有理数的乘法法则计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 15．阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【答案】不对；（1）；（2）． 【分析】有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； （1）先计算原式的倒数，然后即可求解； （2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解． 【解析】解：因为有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； 故答案为：不对； （1）∵， ∴； （2）∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 16．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【答案】（）负数；（）正数，负数；（）． 【分析】（）先判断负因数个数，然后根据法则即可求解； （）根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； （）先算括号内的，再根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； 本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正；根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 【详解】（）中有个负因数， ∴结果是负数； （）根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 故答案为：正数，负数； （）原式 ． 17．已知与互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】根据题意得，得到，转化为，结合，裂项求和计算即可． 本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘法，加减混合运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数． ∴， ∴， ∴转化为， ∵， ∴ ． 18．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ ＆1.4 有理数的乘法与除法 目标 1. 会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的乘除混合运算. 难点 （1）有理数的乘除运算及其混合运算； （2）有理数的乘法运算律； （3）有理数的乘除运算的综合应用。 知识要点1 有理数的乘法法则 1.一个数乘1或-1 一个数乘1所得的积是原数，一个数乘-1所得的积是原数的相反数.例如： 2×1=2,2×(-1)=-2. 2.有理数的乘法法则 两数相乘时，如果其中一个乘数换成它的相反数，那么所得的积是原来的积的相反数.例如：2×4=8,2×(-4)=-8. 同样地，我们有 (-2)×4=-8,(-2)×(-4)= -(-8)=8. 从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积是正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数；负数乘负数，积是正数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 任何数与0相乘都得0.例如：0×4=0,(—4)×0=0,0×0=0. 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，积为0. 知识要点2 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 4.判断积的符号 几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定.当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正. 知识要点3 有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.举例， 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 3.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【基础随测】 1．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.简便运算 (1)． (2) (3) 4.的倒数是 ． 5．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 6．计算： (1)． (2)． 【题型01 两个数的乘法运算】 计算： 1．（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 2．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算： ． 3．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 4．（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【变式1-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】．计算 （1）； （2）； 【题型02 多个数的乘法运算】 计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型03有理数乘法的运算定律】 利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． (1)．（25-26六年级下·上海松江·期中）计算： (2)．（25-26六年级下·上海普陀·期中）计算：． 【变式3-1】．（25-26六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【变式3-2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) (3) 【变式3-3】．（25-26七年级上·全国·随堂练习）用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) 【变式3-4】．计算： ． 【变式3-5】．计算的结果是 ． 【题型04 有理数乘法与结果的符号】 若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 【变式4-1】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 【题型05 倒数的概念及性质】 的倒数是 (   ) A． B． C． D． 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 【变式5-1】．的相反数是 ，倒数是 ． 【变式5-2】．（25-26六年级下·上海长宁·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．的倒数是 D．是一个正数 【变式5-3】．如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则的负倒数为（    ） A． B．－2 C．2 D．4 【变式5-4】．若，互为倒数，，互为相反数，则的值为 ． 【题型06 有理数的除法运算】 计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 【变式6-1】．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【变式6-2】计算： (1)； （2）． 【变式6-3】计算：． 【题型07 有理数除法的代数应用】 如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【变式7-1】．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 【变式7-2】．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式7-3】．已知，，且，则 ． 【变式7-4】．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-5】．若，且，异号，则的符号为（ ） A． 大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【题型08 有理数的乘除混合运算】 计算： （1）； （2）． (3)； 【变式8-1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式8-2】．阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【题型09 有理数的乘除混合运算的应用】 有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【变式9-1】．已知、、、是有理数，，则 ． 【变式9-2】．请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【变式9-3】．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式9-4】．设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 一、单选题 1．下列计算正确的有（      ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 3．下列说法正确的是（    ） A．零除以任何数都得0 B．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 C．绝对值相等的两个数相等 D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数 4.（25-264六年级下·上海长宁·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．的倒数是 D．是一个正数 5．在下列各题中，结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（    ） A． B．3 C． D．3或 8．已知，，且，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．填空：（1）（－2）×（－2）×2×（－2）的积的符号是 ； （2）×××的积的符号是 ． 10．用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab 0，若a＞0，b＜0，则ab 0； （2）若a＜0，b＞0，则ab 0，若a＜0，b＜0，则ab 0； （3）若a≠0，b＝0，则ab 0． 11．若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，且这两个数的积为负数，则在这两个数中，用大数除以小数所得的商是 . 12．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 三、解答题 13．用简便方法计算． (1) (1－－)÷(－)；   (2)． （3） 14．计算： (1)； (2)． 15．阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． （1）请你用解法2的方法计算：； （2）现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 16．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 17．已知与互为相反数．求的值． 18．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 学科网（北京）股份有限公司 $