1.3 有理数的乘法与除法（讲义，知识点&11大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，从乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）到多个有理数相乘的符号判断，再到乘法运算律（交换律、结合律、分配律），衔接倒数概念及除法法则（转化为乘法），最终延伸至乘除混合及加减乘除混合运算，构建从基础到综合的学习支架。 该资料特色在于结合行程变速、商品盈亏等真实情境理解运算意义，通过自主推导符号法则培养推理意识，设置随学随练和分层题型（如登山气温计算、销售利润问题）提升运算能力与模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，强化知识应用。

第一章 有理数 1.3 有理数的乘法与除法 课标要点 1.结合行程变速、商品盈亏、水位升降等真实情境理解有理数乘法、除法的实际意义，掌握有理数乘法法则、除法法则，理解倒数的定义，掌握 “除以一个数等于乘这个数的倒数” 的转化方法，能准确完成有理数乘除运算与乘除混合运算，掌握乘法交换律、结合律、分配律并用于简便运算。 2.能借助实例自主推导有理数乘除的符号法则，规范书写运算步骤，能基于运算规则理解符号判断的依据，建立 “先定符号、再算绝对值” 的运算认知逻辑。 3. 能基于有理数乘除运算解决生活中的行程速度、销售盈亏、工程效率等实际问题，能运用运算律简化复杂乘除混合运算，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.有理数乘法法则、除法法则的核心内容，倒数的概念，以及 “除法转化为乘法” 的转化运算方法。 2. 有理数乘除混合运算的规范步骤，乘法运算律的简便应用与符号处理。 难点： 1.多个有理数相乘的符号判断逻辑，理解除法转乘法的算理，建立 “先定符号、再算绝对值” 的运算思维模型。 2.乘法分配律在含负数、带分数场景下的灵活运用，以及乘除混合运算中运算顺序与符号的准确处理。 3. 复杂实际情境中乘除数量关系的梳理，多步实际问题的列式与结果解读。 知识点 有理数的乘法 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。 （1）任何数同1相乘都得原数，任何数同-1相乘得原数的相反数； （2）在乘法算式中，若第一个数是负数，则该数可以不加括号；若负数不在首位，则该负数必须加括号； （3）在进行乘法计算时，带分数要化成假分数，以便于约分； （4）数字与字母、字母与字母、数字与括号之间可省略乘号。 有理数的乘法的运算步骤 第一步：确定积的符号； 第二步：绝对值相乘。 随学随练 1．下列说法中错误的是（   ） A．一个数与0相乘，积为0 B．一个数与1相乘，积仍为这个数 C．一个数与相乘，积为这个数的相反数； D．一个数与它本身相乘，积为正数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法性质，需逐一判断各选项的正确性，特别注意特殊值0的情况，据此进行判断即可 【详解】解：选项A：任何数与0相乘，积为0，正确； 选项B：任何数与1相乘，积仍为该数，正确； 选项C：任何数与相乘，积为该数的相反数，正确； 选项D：当数为0时，0不是正数，故错误； 故选：D 2．若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有是负数， 故选：A． 知识点 有理数乘法法则的推广 1．几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定。当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正。简记为＂偶正奇负，绝对值相乘＂。 几个不等于0的有理数相乘，先确定积的符号，再把它们的绝对值相乘。 2．几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0。 在乘法运算中，一般先把式子中所有的小数化为分数，带分数化为假分数，再确定符号，并把绝对值相乘。 多个有理数相乘的步骤 第一步：看因数中有没有 0 ； 第二步：判断积的符号（根据负因数的个数判断；偶正奇负）； 第三步：计算积的绝对值。 随学随练 1．36的所有因数的个数有（      ）个 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据因数的定义即可求出36的不同因数的个数． 【详解】解：36的全部因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，因数的个数有9个． 故选：C． 【点睛】考查了有理数的乘法，解题的关键是得出36的不同因数． 2．________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 知识点 有理数的乘法运算律 1．乘法交换律 两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变，即，其中a, b表示有理数。 2．乘法结合律 三个有理数相乘时，可以先把前两个数相乘，再把积与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把积与第一个数相乘。按两种顺序得到的运算结果相等，即，其中a, b, c表示有理数。 3．乘法对加法的分配律 一个有理数与两个有理数的和相乘，等于这个数分别与这两个加数相乘，再把积相加，即，其中a, b, c表示有理数。 4．乘法运算律的推广 （1）乘法交换律和乘法结合律可以推广到多个有理数相乘：三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个乘数相乘。 （2）分配律也可以推广到一个不为0的有理数与多个有理数的和相乘，即 。此外，对于某些算式，逆用分配律能使计算简便。 利用有理数乘法运算律进行计算，关键是根据算式的特点，选择合适的方法，这样才能保证计算得又快又对。 适当运用乘法交换律和乘法结合律，把能够凑整、便于约分的数结合在一起，进行简便计算。 随学随练 1．介于和之间的最简分数有（    ）个． A． B． C． D．无数 【答案】D 【分析】本题主要考查最简分数，有理数的乘法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据把和的分子分母同时扩大倍，倍无数倍，可得最简分数的数量也在无限上升，可得介于和之间的最简分数有无数个． 【详解】解：∵和之间的分数有个，最简分数有个， ∴把和的分子分母同时扩大倍，即和之间的分数有个，最简分数有个， 把和的分子分母同时扩大倍，即和之间的分数有个，最简分数有个， ， ∴还可以将和的分子分母同时扩大无数倍， ∴介于和之间的最简分数有无数个． 故选：D． 2．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 知识点 倒数 1．倒数 （1）概念：乘积是1的两个数互为倒数。 例如：和互为倒数，的倒数是的倒数是。当时，和互为倒数。 （2）性质：若a, b互为倒数，则；反之，若，则a, b互为倒数。 （1）倒数是它本身的数只有1和－1；（2）原数与它的倒数的符号相同；（3）0没有倒数。 2．倒数的求法 （1）对于一个非零整数，只需将这个整数放在分母位置，分子为1，即得其倒数。如3的倒数是的倒数是。 （2）对于一个形如这样的分数，交换分子、分母的位置，即得其倒数。如的倒数是。 （3）对于一个带分数，先将其化为假分数，再交换分子、分母的位置。如的倒数是。 （4）对于一个小数，先把小数化为分数，再交换分子、分母的位置。如0.3的倒数是。 一个数的倒数不能写成的形式，而应是，如的倒数为2，而不能写成。 3．判断一个数是不是另一个数的倒数，只需看这两个数的乘积是否为1，若乘积是1，则它们互为倒数，否则不是。 随学随练 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．的倒数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是倒数的定义，根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此直接计算 的倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， 故答案为：． 知识点 有理数的除法 1．有理数的除法法则 1 两数相除，除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 ，其中 a, b 表示有理数，且 不等于 0 。 （1）除法转化为乘法时，小数与带分数都化为分数或假分数进行计算； （2）在将除法转变为乘法的过程中，改变的只是除法的形式，而不应改变除数的符号； （3）一般地，除不尽的情况下常把除法转化为乘法计算，即利用除法法则1； （4） 0 不能作除数。 2．有理数的除法法则 2 （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； ②0除以任何不为 0的数，都得 0。 此法则与除以一个数等于乘这个数的倒数的说法是统一的，只是它更直观地表述了除法的意义，把小学除法的范围扩大到有理数范围内而已，也就是说确定商的正负性后，就与小学除法完全相同了。如果两数能整除，一般选择除法法则 2 直接计算。 （1）运用法则1的思路：先转化为乘法运算，再按照乘法法则计算； （2）运用法则2的思路：先确定商的符号，再求商的绝对值。 随学随练 1．计算：　 　． 【分析】先把带分数、小数化为分数，再根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．________； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，将带分数转换为假分数，利用除以一个数等于乘以它的倒数的法则，进行乘法运算并约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点 有理数的乘除混合运算 1．运算顺序 有括号先算括号里面的，没有括号时，根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次计算。 2．运算方法 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后约分相乘求出结果。 进行乘除混合运算时，将除法转化成乘法，算式化成连乘的形式。先由负因数的个数确定积的符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行计算，也可按从左到右的顺序计算。 随学随练 1．计算：　 　． 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：12． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 将带分数和小数化为分数形式，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 知识点 有理数的加减乘除混合运算 先算乘除，后算加减，如果有括号，先算括号内的部分。同一级运算按照从左到右的顺序进行。 在算式中，若有多重括号，可按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层去括号。 随学随练 1．计算：　 　 ． 【分析】先根据乘法分配律计算括号里面的，再算乘方即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握乘法分配律和有理数混合运算法则． 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型 两个有理数的乘法运算 ▌例1计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的非负性，正数的绝对值是它本身，可得，再结合小数与分数的乘法运算求出结果． 【详解】解：，故． 故答案为：． ▌对点练1-1绝对值不大于的所有负整数的积是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值，理解其定义是解题的关键． 根据题意，绝对值不大于 的所有负整数有 和 ，再计算它们的积即可． 【详解】解：，绝对值不大于此值的负整数有 和 ， 它们的积为 ：． 故答案为 ：2． ▌对点练1-2计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 题型 多个有理数的乘法运算 ▌例2下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数，有理数的乘法，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则．由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， 综上分析，其中正确的结论有2个． 故选：B． ▌对点练2-1从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．要使三个数的乘积最小，结果应为负数.而三数相乘结果为负数有两种情况：一负两正或三负．根据题中数据，负数只有两个，故只能是“一负两正”的情况．要使“一负两正”的积最小，应取绝对值最大的负数与两个正数相乘． 【详解】解：最小的积为：． 故答案为：． ▌对点练2-2计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数的四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 直接运用分数的四则运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型 有理数乘法的实际应用 ▌例3在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，理解题意，根据题意正确列式计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意，最后得分为（分）， 故答案为：11． ▌对点练3-1在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降约6℃．已知登山大本营所在位置的气温是，山顶比大本营海拔高4.5千米，山顶的气温是______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解题意．根据登山大本营所在位置的气温是，山顶比大本营海拔高4.5千米，海拔每升高1千米，气温下降约6℃，列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． ▌对点练3-2在走进田间课程中，某校六年级学生来到劳动实践基地挖红薯，一共挖了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，等于25千克记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)以每筐25千克为标准，这10筐红薯总计超过或不足多少千克？ (2)若红薯每千克售价12元，则售出这10筐红薯可得多少元？ 【答案】(1)不足7千克 (2)2916元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解，然后作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：（千克）， 答：10筐红薯总计不足千克； （2）（元）， 答：售出这筐红薯可得元． 题型 倒数 ▌例4一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数和相反数的定义．熟练掌握倒数和相反数的定义是解题的关键． 根据倒数的定义，先求出原数，再求其相反数． 【详解】解：∵该有理数的倒数为， ∴该有理数为， ∴该有理数的相反数为． 故选：D． ▌对点练4-1 的倒数是________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数．先将带分数化为假分数，再根据倒数定义求解，即可作答． 【详解】解：化为假分数为，其倒数为， 故答案为：． ▌对点练4-2 与b互为相反数，c与d互为倒数，e是绝对值最小的数，则_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算. 由题意可得：，，，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是最小的数， ，，， ． 故答案为：． 题型 有理数乘法运算律 ▌例5计算：； 【答案】14 【分析】利用乘法分配律展开原式，再按照有理数乘法和加减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． ▌对点练5-1计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练计算是解题的关键． 将除法转换成乘法，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练5-2计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用乘法交换律进行简便运算即可． 【详解】解∶原式 ． 题型 有理数的除法运算 ▌例6如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除，同号得正,异号得负,并把绝对值相除．（0除以任何一个非0的数,都得0） 公式：． 根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则即可得出答案． 【详解】解：数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选：A． ▌对点练6-1计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练6-2 一个数的是的倒数，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键；根据倒数的定义直接计算即可． 【详解】解：由题意知，这个数为：， 所以这个数为． 题型 理数除法的应用 ▌例7把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（    ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，根据把一根长度为5米的绳子平均分成4段，得出每一段绳子的长度是米，即可作答． 【详解】解：∵把一根长度为5米的绳子平均分成4段， ∴（米）， ∴每一段绳子的长度是米， 故选：C． ▌对点练7-1如果将3吨稻谷平均分成5份，则每份稻谷的重量是___吨． 【答案】0.6/ 【分析】根据有理数除法列式3÷5计算即可． 【详解】解：3÷5=0.6吨， ∴每份稻谷的重量是0.6吨． 故答案为：0.6． 【点睛】本题考查有理数的除法，掌握有理数的除法运算法则是解题关键． ▌对点练7-2古时候采用“斤两”作为重量单位常说的“半斤八两”是指半斤八两，唐朝的王二去甲店铺买了二斤八两猪肉花了二两银子，同种类猪肉在乙店铺花费五两银子可以买斤半（指四斤多半斤），请问哪家店铺卖的猪肉便宜，为什么?（写出计算的过程） 【答案】甲店更便宜，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式计算的应用，有理数大小的比较，读懂题意，根据题意列出正确的代数式，比较结果，得出结论． 根据题意，计算出甲乙店铺一斤猪肉需要的银子，然后比较大小，得出结论． 【详解】解：根据题意， 甲店铺一斤猪肉需要银子：（两/斤）， 乙店铺一斤猪肉需要银子：（两/斤）， ∵ 甲店更便宜． 题型 有理数乘除混合运算 ▌例8＝________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算和乘除运算，掌握相关法则是解题的关键．先计算乘方，将带分数化为假分数，再根据除法法则转化为乘法，最后进行有理数乘法运算． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练8-1计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． ▌对点练8-2 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 题型 有理数四则混合运算 ▌例91．计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练9-1计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．先算括号里的运算，再把除法转为乘法，接着算乘法，最后算加法即可． 【详解】解： ． ▌对点练9-2计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用有理数的乘除和加减运算进行求解即可． 【详解】解： ． 题型 有理数四则混合运算的实际应用 ▌例10气象观测资料表明，高度每增加，气温降低大约．如果地面气温是，那么空中气温为的位置距离地面高度是______千米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，审清题意、正确列式是解题的关键． 根据气温随高度变化的规律，气温降低量与高度增加成正比，计算气温降低总量，再除以每千米降低的温度即可解答． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为4． ▌对点练10-1 下面是李老师今年5月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【答案】(1) 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)元； (3) 【分析】（1）收入用正数表示，支出用负数表示，据此求解即可； （2）将所有收入项目相加，计算得到总收入即可； （3）先将所有支出项目相加得到总支出，再用总支出除以总收入，计算即可得到对应的百分比． 【详解】（1）解：略 （2）解：元， 答：李老师8月份一共收入2950元； （3）解：， 答：李老师这个月的总支出占总收入的． ▌对点练10-2普洱市某茶叶加工厂从生产的袋装茶叶中抽出样品30袋（每袋的标准质量为），检测每袋的质量是否符合标准，超过和不足的部分分别用正数、负数表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 袋数 3 1 4 6 8 6 2 (1)茶叶外包装袋上标有“净重”的字样，则这批抽样茶叶中有几袋质量合格？ (2)这30袋样品一共多少克？总计超过或者不足多少克？ 【答案】(1)24 (2)30袋样品一共3003克，总计超过3克 【分析】（1）先求出超过部分多于及不足部分多于的不合格袋数，即可求得质量合格的袋数； （2）计算出30袋的标准总质量和30袋与标准质量的总偏差， 即可求得样品总质量和超过或者不足多少克． 【详解】（1）解：由表知：超过部分多于及不足部分多于的袋数共有：（袋）， ∴这批抽样茶叶中质量合格的共有（袋）． （2）解：30袋的标准总质量为， 30袋与标准质量的总偏差为 ， ∴30袋样品一共，总计超过标准质量， 答：30袋样品一共3003克，总计超过3克． ▌对点练10-3张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 题型 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ▌例11如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． ▌对点练11-1如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的位置与数的大小、符号关系，需结合数轴确定、的取值范围，再逐一分析选项． 【详解】解：由数轴可知，，，且，故选项D错误； ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C正确； 故选：C． ▌对点练11-2已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特点，理解图示上点的位置，判定式子的正负是解题的关键． 根据数轴特点可得 ，由此进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，， ∴A、，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 基础通关 （24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据，可判断a，b同号，再根据，可得都是负数． 【详解】解：， a，b同号， 又， 都是负数， 故选B． （24-25六年级上·上海·阶段检测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，有理数的除法计算，有理数四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 若a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值．根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断a，b，c的符号，根据到原点的距离即可判断绝对值的大小，再根据有理数的加法法则即可作出判断． 【详解】解：根据数轴可知：，且，则 A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原选项错误，符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：C． 某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了_________辆汽车． 【答案】18750 【分析】本题考查分数混合运算的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据题意进行列式计算即可． 【详解】解：由题意可得： （辆）， 故答案为：18750． 计算： 【答案】 7 【分析】根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】解：原式． （25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．先把小数写成分数，带分数写成假分数，再由乘法分配律及除法运算计算即可． 【详解】解： ． 计算： 【答案】35 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先算括号里面的减法，接着算乘除，最后算加减即可． 【详解】解：原式 （25-26六年级上·上海·阶段检测）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为______个，最少为______个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按元发工资，超额完成的部分每个按元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额． 【答案】(1)， (2)元 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据正负数的实际意义，进行有理数的大小比较即可； （2）先计算每天的工资，再相加即可求解． 【详解】（1）解：增产记为正，减产记为负，， 日实际产量最多为：（个）， 日实际产量最少为：（个）． 故答案为：，； （2）解：由题意得，该厂这一周发放的工资总额为： （元）， 答：该厂这一周发放的工资总额为元． 素养提升 有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． （25-26六年级上·上海金山·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底          1份      38.00 精品羊肉      1份      48.00 雪花牛肉      1份      58.00 毛肚          1份      68.00 贡丸          1份      28.00 金针菇        1份      18.00 蔬菜拼盘      1份      28.00 可乐（饮料）  1瓶      10.00 共计                 296.00 元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 【答案】第二种支付方式最优惠 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与实际应用，读懂题意，列出算式并正确计算是做题的关键．分别计算三种优惠方式的实际支付金额，比较后选择最小值即可． 【详解】解：由题意得， 第一种优惠方式的实际支付金额为：（元）； 第二种优惠方式的实际支付金额为：（元）； （元），， 第三种优惠方式的实际支付金额为：（元）． ， 选择第二种支付方式最优惠． （24-25六年级上·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天共销售儿童滑板车_________辆，本周销售量最多的一天比最少的一天多销售_________辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每日每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；若未完成计划，则少销售一辆扣15元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)312；27 (2) 解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． (3)21370元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）． （2）略 （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是21370元． （25-26六年级上·上海·期中）某市为了提高中心城区路内停车泊位周转率，对车长不超过6米的小型、微型汽车进入停车泊位实行阶梯式收费，具体方案如下： 方案 收费时段，停车不超过30分钟不收费； 停车超过30分钟需收费，其中不足30分钟按30分钟收费； 收费时段外停车免费． 阶梯梯次 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 停车时长 不超过1小时 超过1小时不超过3小时 3小时以上 计费标准 4元/30分钟 5元/30分钟 6元/30分钟 例如：在收费时间段内停车时间为3小时56分，则应付的停车费是元； (1)若A汽车在停车泊位的进场时间是，离场时间是分，则A汽车______交费（填“需要”或“不需要”）； (2)若B汽车进入停车泊位时间是晚上，离场时间是第二天早上，请求出B汽车应交停车费多少元？ (3)若C汽车早上时进入停车泊位，离开时收费46元，请求出C汽车离开泊位的时间范围． 【答案】(1)不需要 (2)23 (3) 【分析】本题考查停车收费方案的理解与应用． （1）根据方案，停车不超过30分钟不收费，计算停车时间判断； （2）先确定收费时段内的停车时间，再按阶梯收费标准计算； （3）根据收费46元反推停车时间范围，从而得到离开时间范围． 【详解】（1）解：∵进场时间，离场时间，停车时间22分钟， ∴停车时间不超过30分钟， ∴A汽车不需要交费． （2）解：∵B汽车进入时间，离场时间，收费时段为， ∴收费时间从到，共2小时28分钟． ∵停车时间超过30分钟， ∴第一阶梯1小时收费（元）， 第二阶梯剩余1小时28分钟（88分钟）按3个30分钟收费，收费（元）， ∴总收费（元）． 答：B汽车应交停车费23元． （3）解：∵C汽车进入时间，收费从开始，设收费时间为t分钟，收费46元． ∵收费（第一和第二阶梯最大收费）， ∴分钟． ∵第一和第二阶梯收费28元， ∴第三阶梯收费（元）， ∴还需2个30分钟以外至3个30分钟以里， 则分钟， ∴分钟， ∴离开时间从后241分钟到270分钟，即到． ∴C汽车离开泊位的时间范围． 迁移创新 （24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． （24-25六年级上·上海·期中）有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 【答案】，，，，或，，，， 【分析】本题主要考查有理数的乘法，先将5个有理数两两的积由小到大排列，5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数，再据此分类讨论解答． 【详解】解：将5个有理数两两的积由小到大排列： ， 因为5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0， 所以这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数， 分两种情况： 若这5个有理数是1负4正，可设，则 ， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 若这5个有理数1正4负，可设，则 ， 其中，的大小关系暂时不能确定， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 综上，这五个有理数是，，，，或，，，，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.3 有理数的乘法与除法 课标要点 1.结合行程变速、商品盈亏、水位升降等真实情境理解有理数乘法、除法的实际意义，掌握有理数乘法法则、除法法则，理解倒数的定义，掌握 “除以一个数等于乘这个数的倒数” 的转化方法，能准确完成有理数乘除运算与乘除混合运算，掌握乘法交换律、结合律、分配律并用于简便运算. 2.能借助实例自主推导有理数乘除的符号法则，规范书写运算步骤，能基于运算规则理解符号判断的依据，建立 “先定符号、再算绝对值” 的运算认知逻辑. 3. 能基于有理数乘除运算解决生活中的行程速度、销售盈亏、工程效率等实际问题，能运用运算律简化复杂乘除混合运算，解释运算结果的实际含义. 学习重难点 重点： 1.有理数乘法法则、除法法则的核心内容，倒数的概念，以及 “除法转化为乘法” 的转化运算方法. 2. 有理数乘除混合运算的规范步骤，乘法运算律的简便应用与符号处理. 难点： 1.多个有理数相乘的符号判断逻辑，理解除法转乘法的算理，建立 “先定符号、再算绝对值” 的运算思维模型. 2.乘法分配律在含负数、带分数场景下的灵活运用，以及乘除混合运算中运算顺序与符号的准确处理. 3. 复杂实际情境中乘除数量关系的梳理，多步实际问题的列式与结果解读. 知识点 有理数的乘法 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得_________，异号得_________，并把绝对值_________.任何数与0相乘，积为0. （1）任何数同1相乘都得原数，任何数同-1相乘得原数的相反数； （2）在乘法算式中，若第一个数是负数，则该数可以不加括号；若负数不在首位，则该负数必须加括号； （3）在进行乘法计算时，带分数要化成假分数，以便于约分； （4）数字与字母、字母与字母、数字与括号之间可省略乘号. 有理数的乘法的运算步骤 第一步：确定积的符号； 第二步：绝对值相乘. 随学随练 1．下列说法中错误的是（    ） A．一个数与0相乘，积为0 B．一个数与1相乘，积仍为这个数 C．一个数与相乘，积为这个数的相反数； D．一个数与它本身相乘，积为正数 2．若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（    ） A．2 B． C．0 D． 知识点 有理数乘法法则的推广 1．几个不等于零的数相乘，积的符号由_________的_________决定. 当_________的个数是_________时，积的符号为_________； 当_________的个数是_________时，积的符号为_________. 简记为＂_________正_________负，绝对值_________＂. 几个不等于0的有理数相乘，先确定积的符号，再把它们的绝对值相乘. 2．几个数相乘，如果其中有乘数为_________，那么积为0. 在乘法运算中，一般先把式子中所有的小数化为分数，带分数化为假分数，再确定符号，并把绝对值相乘. 多个有理数相乘的步骤 第一步：看因数中有没有 0 ； 第二步：判断积的符号（根据负因数的个数判断；偶正奇负）； 第三步：计算积的绝对值. 随学随练 1．36的所有因数的个数有（      ）个 A．7 B．8 C．9 D．10 2．________； 知识点 有理数的乘法运算律 1．乘法交换律 两个有理数相乘时，交换_________的位置，_________不变，即，其中a, b表示有理数. 2．乘法结合律 三个有理数相乘时，可以先把_________相乘，再把积与第_________个数相乘；或者先把_________相乘，再把积与第_________个数相乘.按两种顺序得到的运算结果相等，即，其中a, b, c表示有理数. 3．乘法对加法的分配律 一个有理数与两个有理数的_________相乘，等于这个数分别与这两个加数_________，再把积_________，即，其中a, b, c表示有理数. 4．乘法运算律的推广 （1）乘法交换律和乘法结合律可以推广到多个有理数相乘：三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个乘数相乘. （2）分配律也可以推广到一个不为0的有理数与多个有理数的和相乘，即 .此外，对于某些算式，逆用分配律能使计算简便. 利用有理数乘法运算律进行计算，关键是根据算式的特点，选择合适的方法，这样才能保证计算得又快又对. 适当运用乘法交换律和乘法结合律，把能够凑整、便于约分的数结合在一起，进行简便计算. 随学随练 1．介于和之间的最简分数有（    ）个． A． B． C． D．无数 2．计算：__________． 知识点 倒数 1．倒数 （1）概念：乘积是_________的两个数互为倒数. 例如：和互为倒数，的倒数是的倒数是.当时，和互为倒数. （2）性质：若a, b互为倒数，则_________；反之，若_________，则a, b互为倒数. （1）倒数是它本身的数只有1和－1；（2）原数与它的倒数的符号相同；（3）0没有倒数. 2．倒数的求法 （1）对于一个非零整数，只需将这个整数放在分母位置，分子为1，即得其倒数.如3的倒数是的倒数是. （2）对于一个形如这样的分数，交换分子、分母的位置，即得其倒数.如的倒数是. （3）对于一个带分数，先将其化为假分数，再交换分子、分母的位置.如的倒数是. （4）对于一个小数，先把小数化为分数，再交换分子、分母的位置.如0.3的倒数是. 一个数的倒数不能写成的形式，而应是，如的倒数为2，而不能写成. 3．判断一个数是不是另一个数的倒数，只需看这两个数的乘积是否为1，若乘积是1，则它们互为倒数，否则不是. 随学随练 1．的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．的倒数是________． 知识点 有理数的除法 1．有理数的除法法则 1 两数相除，除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的_________，即 ，其中 a, b 表示有理数，且 不等于 0 . （1）除法转化为乘法时，小数与带分数都化为分数或假分数进行计算； （2）在将除法转变为乘法的过程中，改变的只是除法的形式，而不应改变除数的符号； （3）一般地，除不尽的情况下常把除法转化为乘法计算，即利用除法法则1； （4） 0 不能作除数. 2．有理数的除法法则 2 （1）两数相除，同号得_________，异号得_________，并把绝对值_________； ②0除以任何不为 0的数，都得_________. 此法则与除以一个数等于乘这个数的倒数的说法是统一的，只是它更直观地表述了除法的意义，把小学除法的范围扩大到有理数范围内而已，也就是说确定商的正负性后，就与小学除法完全相同了.如果两数能整除，一般选择除法法则 2 直接计算. （1）运用法则1的思路：先转化为乘法运算，再按照乘法法则计算； （2）运用法则2的思路：先确定商的符号，再求商的绝对值. 随学随练 1．计算：　 　． 2．________； 知识点 有理数的乘除混合运算 1．运算顺序 有括号先算括号里面的，没有括号时，根据有理数的乘法法则和除法法则，按照从左到右的运算顺序依次计算. 2．运算方法 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后约分相乘求出结果. 进行乘除混合运算时，将除法转化成乘法，算式化成连乘的形式.先由负因数的个数确定积的符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，再进行计算，也可按从左到右的顺序计算. 随学随练 1．计算：　 　． 2．计算： 知识点 有理数的加减乘除混合运算 先算乘除，后算加减，如果有括号，先算括号内的部分.同一级运算按照从左到右的顺序进行. 在算式中，若有多重括号，可按照小括号、中括号、大括号的顺序逐层去括号. 随学随练 1．计算：　 　 ． 2．计算：． 题型 两个有理数的乘法运算 ▌例1计算：______． ▌对点练1-1绝对值不大于的所有负整数的积是_______． ▌对点练1-2计算： 题型 多个有理数的乘法运算 ▌例2下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练2-1从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． ▌对点练2-2计算：． 题型 有理数乘法的实际应用 ▌例3在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． ▌对点练3-1在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降约6℃．已知登山大本营所在位置的气温是，山顶比大本营海拔高4.5千米，山顶的气温是______． ▌对点练3-2在走进田间课程中，某校六年级学生来到劳动实践基地挖红薯，一共挖了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，等于25千克记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：． (1)以每筐25千克为标准，这10筐红薯总计超过或不足多少千克？ (2)若红薯每千克售价12元，则售出这10筐红薯可得多少元？ 题型 倒数 ▌例4一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-1 的倒数是________． ▌对点练4-2 与b互为相反数，c与d互为倒数，e是绝对值最小的数，则_________． 题型 有理数乘法运算律 ▌例5计算：； ▌对点练5-1计算：． ▌对点练5-2计算： 题型 有理数的除法运算 ▌例6如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 ▌对点练6-1计算： __________． ▌对点练6-2 一个数的是的倒数，求这个数． 题型 理数除法的应用 ▌例7把一根长度为5米的绳子平均分成4段，下列说法正确的是（     ） A．每一段绳子的长度是米 B．每一段绳子的长度是米 C．每一段绳子的长度是米 D．每一段绳子的长度是米 ▌对点练7-1如果将3吨稻谷平均分成5份，则每份稻谷的重量是______吨． ▌对点练7-2古时候采用“斤两”作为重量单位常说的“半斤八两”是指半斤八两，唐朝的王二去甲店铺买了二斤八两猪肉花了二两银子，同种类猪肉在乙店铺花费五两银子可以买斤半（指四斤多半斤），请问哪家店铺卖的猪肉便宜，为什么?（写出计算的过程） 题型 有理数乘除混合运算 ▌例8＝________． ▌对点练8-1计算： ． ▌对点练8-2 计算：． 题型 有理数四则混合运算 ▌例91．计算：_____． ▌对点练9-1计算：． ▌对点练9-2计算： 题型 有理数四则混合运算的实际应用 ▌例10气象观测资料表明，高度每增加，气温降低大约．如果地面气温是，那么空中气温为的位置距离地面高度是______千米． ▌对点练10-1 下面是李老师今年5月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ ▌对点练10-2普洱市某茶叶加工厂从生产的袋装茶叶中抽出样品30袋（每袋的标准质量为），检测每袋的质量是否符合标准，超过和不足的部分分别用正数、负数表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 袋数 3 1 4 6 8 6 2 (1)茶叶外包装袋上标有“净重”的字样，则这批抽样茶叶中有几袋质量合格？ (2)这30袋样品一共多少克？总计超过或者不足多少克？ ▌对点练10-3张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 题型 根据点在数轴的位置判断式子的正负 ▌例11如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 ▌对点练11-1如图，数轴上点、点分别对应的数是，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练11-2已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 基础通关 （24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 （24-25六年级上·上海·阶段检测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 若a，b，c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 某汽车制造厂计划今年第一季度生产15000辆汽车，但实际生产的轿车数量比计划增加了，那么该汽车制造厂今年第一季度实际生产了_________辆汽车． 计算： （25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 计算： （25-26六年级上·上海·阶段检测）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量/个 (1)日实际产量最多为______个，最少为______个； (2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按元发工资，超额完成的部分每个按元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额． 素养提升 有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （25-26六年级上·上海金山·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底          1份      38.00 精品羊肉      1份      48.00 雪花牛肉      1份      58.00 毛肚          1份      68.00 贡丸          1份      28.00 金针菇        1份      18.00 蔬菜拼盘      1份      28.00 可乐（饮料）  1瓶      10.00 共计                 296.00 元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ （24-25六年级上·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天共销售儿童滑板车_________辆，本周销售量最多的一天比最少的一天多销售_________辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每日每销售一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；若未完成计划，则少销售一辆扣15元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ （25-26六年级上·上海·期中）某市为了提高中心城区路内停车泊位周转率，对车长不超过6米的小型、微型汽车进入停车泊位实行阶梯式收费，具体方案如下： 方案 收费时段，停车不超过30分钟不收费； 停车超过30分钟需收费，其中不足30分钟按30分钟收费； 收费时段外停车免费． 阶梯梯次 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 停车时长 不超过1小时 超过1小时不超过3小时 3小时以上 计费标准 4元/30分钟 5元/30分钟 6元/30分钟 例如：在收费时间段内停车时间为3小时56分，则应付的停车费是元； (1)若A汽车在停车泊位的进场时间是，离场时间是分，则A汽车______交费（填“需要”或“不需要”）； (2)若B汽车进入停车泊位时间是晚上，离场时间是第二天早上，请求出B汽车应交停车费多少元？ (3)若C汽车早上时进入停车泊位，离开时收费46元，请求出C汽车离开泊位的时间范围． 迁移创新 （24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ （24-25六年级上·上海·期中）有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $