河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（15）-用空间向量研究距离夹角问题

**基本信息** 聚焦空间向量在立体几何中的应用，通过三棱锥、正方体等几何体考查线面角、二面角等，体现空间观念与推理能力，适配新高二暑假自主学习巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面角正弦值、点到直线距离|结合正方体、四棱锥等基础几何体，注重空间向量基本应用| |多选题|3/18|体积定值、异面直线夹角、线面角存在性|设置动态点运动情境，考查空间想象与推理能力| |填空题|3/15|异面直线夹角余弦值、面面夹角余弦值|以正方体、四棱柱为载体，强化向量运算技能| |解答题|5/77|点到平面距离、二面角余弦值、存在性探究|综合证明与计算，如第19题结合面面垂直证明、距离及二面角探究，体现分层设计|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（15） 范围：用空间向量研究距离夹角问题 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（    ）   A． B． C． D． 6．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ） A．1 B． C． D． 8．正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（    ） A．四面体的体积为定值 B．点到平面的距离 C．异面直线与所成的角为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 10．如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（   ）　 A．线段的长度为 B．异面直线和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 11．在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．当时，点到平面的距离为 C．三棱锥的体积不变 D．若，则二面角的平面角的正弦值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为_______. 13．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______． 14．如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 16．(本小题15分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形，且分别在棱上，平面. (1)若是的中点，求与平面所成角的余弦值； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17．(本小题15分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．   (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 18．(本小题17分）如图，在三棱锥中，两两垂直，   (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 19．(本小题17分）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D A C A D ABD BC 题号 11 答案 BC 1．C 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以，故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，又因为分别是棱的中点，所以.设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 .故选：C. 2．D 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为故选：D 3．A 【详解】 因正方体的棱长为2，由图可知： ，，，，， 而，分别是棱，的中点，可得，， 则，，设平面的法向量为， 依题意在平面上，所以，则， 因为，所以，则，令，则，，故， 由，则点到平面的距离为 故A正确.故选：A 4．D 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段，设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得,所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为，所以令则 所以，因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是，故选:D. 5．A 【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则．由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为．故选:A． 6．C 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以，又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则.故选：C. 7．A 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，， 设，，则，， 因为，所以，解得. 故选：A 8．D 【详解】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，   ，不妨取 则，， 设异面直线与所成角为，则， ∴异面直线与所成角的余弦值为．故选：D． 9．ABD 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面，又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故，故点到平面的距离 ，B正确； C选项，，， 则， 故异面直线与所成的角不为，C错误；D选项，设，， 由B选项知，平面的法向量为设直线与平面所成角为， 则， 令，解得，负值舍去， 故存在点，使得直线与平面所成的角为，D正确.故选：ABD 10．BC 【详解】A选项，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意得，，，，，， 则，所以线段的长度为，选项A错误； B选项，又，所以异面直线和夹角余弦值为： ，选项B正确； C选项，设直线上存在点满足，且， 则，所以， 则，又，所以， 解得，则， 所以点到直线的距离为：，选项C正确； D选项，因为，选项D错误． 故选：BC． 11．BC 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，． A（×），，设， 依据共线向量设坐标故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 注意范围的限制故直线与所成的角不可能是． B（√）当时，结合A中分析可得，故，故，而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为． C（√）因为，平面，平面，所以平面，所以为定值． D（×）当时，结合B的分析可得，此时，故，而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量，又，， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 故，故二面角的平面角的正弦值为．故选：BC 12． 【详解】以为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，则，， . ，解得（舍去）.故答案为：. 13．/ 【详解】 如图，分别取，则，且， 而由， ， ， 设与的所成角为，则.故答案为：. 14．/ 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有，易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则，即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 15．【详解】（1）以为坐标原点，直线分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为，即点到平面的距离为； （2）．设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为，显然是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16． 【详解】（1）由题意：底面是正方形；连接交于点，连接； 因为平面，平面平面平面， 所以；又是中点，故是中点； 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 不妨设，则. 因是的中点，则；故； 设平面的法向量为， 则，故可取； 记与平面所成角为，则， 因，故.故与平面所成角的余弦值为. （2）由（1）可知，故， ，又平面， 故平面，即平面的法向量可取为， 而平面的法向量， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17．【详解】（1）因为平面，平面，所以，． 又因为，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，，，． 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为． 所以点到平面的距离为． 18．【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系； ，,； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知平面的一个法向量为，易求平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为.    19．(1) 证明：取PB的中点D，连接CD；因为，D为PB的中点， 故；因为平面平面，且交于PB，故平面； 因为平面，故；又因为，且，平面， 故平面； （2） 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO；因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面；故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，，故，，； 故，，，， ，，；设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； （3） 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量；为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则；综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $