河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假高一数学专项测试卷（13）---空间向量研究距离问题

**基本信息** 以空间向量法为核心，系统覆盖点面、线面、面面、点线距离问题，通过坐标系构建与法向量应用实现距离转化与计算，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到平面距离|单选1,3,6,填空12,解答15(2),17(3)|坐标系+法向量+点面距公式|基础核心，其他距离转化本源| |线面距离|单选2,解答16(2),17(4)|线面平行→点面距|基于点面距的拓展应用| |面面距离|单选4,5|面面平行→点面距|通过平行关系转化为点面距| |点到直线距离|单选8,填空14|向量投影公式|利用向量模与投影计算|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年暑假高一数学专项测试卷（13） 范围：空间向量研究距离问题 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．如图，正方体的棱长为4，其中，点F为的中点，则点C到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 3．已知正方体的棱长为1，为的中点，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 4．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 5．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 7．如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 8．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）   A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 10．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 11．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（   ） A．平面 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时，点G到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知棱长为1的正方体中，分别为的中点，则直线与平面之间的距离为____________． 13．如图所示，在直四棱柱 中，，点在棱上，且，则点到平面的距离为______. 14．在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 16．(本小题15分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面; (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 17．(本小题15分）如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 18．(本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. (1)证明：平面PAD； (2)求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； (3)在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 19．(本小题17分）如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点. (1)求证：平面CPM； (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小； (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A B B A D ABD BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 可得，, 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 其中， 点C到平面的距离. 故选：C． 2．D 【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 3．D 【分析】建立坐标系，求出平面的法向量，利用点面距的向量公式可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则; ; 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 得平面的一个法向量为， 设到平面的距离为， 则. 故选：D 4．A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 5．B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 6．B 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 7．A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，再结合棱锥的体积公式求解. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以. 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 8．D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 9．ABD 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】    如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 11．AC 【分析】利用共面向量定理可判断A；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD. 【详解】因为，所以共面，又均过点， 所以共面，所以平面，故A正确； 以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 当时，，所以， 所以，又，所以不平行于平面，故B错误； 所以，所以，所以平面，故C正确； 当时，， 所以点G到平面的距离为，故D错误. 故选：AC. 12． 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故答案为： 13．/ 【详解】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由距离公式求解即可. 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 点到平面的距离. 故答案为：. 14． 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.    因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 15．(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 16．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】1）建系后，设，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用即可证明； （2）利用点到平面的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以，所以直线平面. （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 又因为，所以直线到平面的距离为. （3）由题意得平面， 所以平面的一个法向量 设平面与平面夹角为，则 则，所以平面与平面夹角的正弦值为. 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立坐标系，求出向量坐标，利用点到直线的向量公式求解即可； （2）根据平行关系，把直线间的距离转化为点到直线的距离，代入公式求解即可； （3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式可得答案； （4）线面距转化为点面距，利用点面距的公式可求答案. 【详解】（1）以为原点， ， ，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则； ，则， ， 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为. （2）直线与直线平行 ， 因此直线到直线的距离 ， 即点到直线的距离. ， 则, 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为, 故直线到直线的距离为. （3），设平面的法向量， 则，取 ， 则 ， ， 所以平面的一个法向量为 . 又， 所以， 所以点到平面的距离为. （4）因为， 平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离 . 由 ( 3 ) 可知平面的一个法向量为. 因为，所以. 所以点到平面的距离为， 故直线到平面的距离为. 18．(1)证明：取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； (2) (3)存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行和边长关系，故四边形为平行四边形，，从而证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值； （3）设，，求出，在（2）基础上，平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式得到方程，求出，求出. 【详解】（1）略 （2）平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； （3）设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接EM，证得，利用线面平行判定定理即可证明平面MPC； （2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. （3）设，则，从而，由（2）知平面PMQ的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出，进而得到，利用点到平面距离公式求出答案. 【详解】（1）证明：连接EM，因为，， 所以， 又因为，所以四边形PABQ为平行四边形， 因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且， 因为，，F为CD的中点，所以且， 可得且，即四边形EFCM为平行四边形， 所以，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC. （2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 依题意可得，，，，，，， ，，，， 设为平面PQM的法向量， 则，不妨设，可得， 设为平面PMC的法向量， 则，不妨设，可得. 所以， 设平面PQM与平面PMC夹角为， 所以， 即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为，平面PQM与平面PMC夹角大小为. （3）设，即， 则. 从而. 由（2）知平面PMQ的法向量为， 而直线DN与平面PMQ所成的角为， 所以， 即， 整理得，解得或， 因为， 所以，所以，， 由（2）知：为平面的法向量， 故点N到平面CPM的距离为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $