第26章 二次函数【章末复习】课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、三种解析式、图像性质及实际应用，通过知识框架图和对比表格将顶点式、交点式、一般式的特征，a、b、c的几何意义，与一元二次方程的关系等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“概念辨析-性质应用-实际建模”的复习路径，如通过顶点式直接读取顶点坐标的基础题，到拱桥问题建立坐标系求解析式的综合题，培养学生的抽象能力、推理意识和模型观念。分层设计的练习题让不同水平学生提升，教师可精准把握学情，提高复习效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 章末复习 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 第26章 二次函数 章末复习专项练习 （人教版数学九年级上册 全章综合复习） 一、全章核心知识梳理 本章核心学习二次函数的图象、性质与实际应用，是初中函数知识的重点与难点。二次函数三种解析式：一般式y=ax²+bx+c、顶点式y=a(x-h)²+k、交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)。其中a决定开口方向与大小，a、b决定对称轴位置，c决定与y轴交点。抛物线对称轴、顶点坐标、增减性、最值是基础考点。函数与方程、不等式紧密关联，抛物线与x轴交点对应一元二次方程的根，可利用夹值法求方程近似解。同时可借助二次函数求解几何最大面积、商品最大利润、抛物线轨迹等实际最值问题。 二、章末综合练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 二次函数y=2(x-3)²+1的顶点坐标为________，对称轴为________。 2. 抛物线y=-x²+4x-1的开口方向为________，有最________值。 3. 一元二次方程x²-6x+8=0的两根对应抛物线y=x²-6x+8与x轴交点坐标________、________。 4. 周长固定的矩形，面积最大时为________形。 5. 商品总利润W=-4(x-6)²+144，最大利润为________。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数属于二次函数的是（） A. y=2x+1 B. y=x²-3 C. y=3/x D. y=5 2. 抛物线y=x²-2x-3与x轴交点个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 3. 二次函数y=-3x²+5x，图象的增减性正确的是（） A. 左增右减 B. 左减右增 C. 单调递增 D. 单调递减 4. 求抛物线形实物问题的关键是（） A. 估算数值 B. 建立坐标系求解析式 C. 直接测量 D. 套用周长公式 5. 利润问题中，总利润的核心公式是（） A. 售价-进价 B. 单件利润×销量 C. 售价×销量 D. 进价×销量 （三）解答题（共60分） 1.（20分）已知二次函数y=x²-4x-5。（1）求抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。 2.（20分）某商品进价20元，售价30元时每天售50件，每涨价1元销量少2件。设涨价x元，（1）求总利润函数解析式；（2）求最大日利润。 3.（20分）抛物线形拱桥顶点(0,6)，过点(10,0)。（1）求抛物线解析式；（2）求拱桥最大高度。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. (3,1)、直线x=3 解析：顶点式直接读取顶点与对称轴。 2. 向下、大 解析：a=-1<0，抛物线开口向下，存在最大值。 3. (2,0)、(4,0) 解析：方程根对应抛物线与x轴交点横坐标。 4. 正方 解析：周长定值，正方形面积最大。 5. 144 解析：顶点纵坐标为利润最大值。 （二）选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B （三）解答题 1. 解：（1）a=1>0，开口向上，对称轴x=2，顶点(2,-9)；（2）与x轴交点(-1,0)(5,0)，与y轴交点(0,-5)。 2. 解：（1）W=(10+x)(50-2x)=-2x²+30x+500；（2）对称轴x=7.5，最大利润612.5元。 3. 解：（1）设y=ax²+6，代入(10,0)得y=-0.06x²+6；（2）顶点纵坐标为6，最大高度6m。 （字数：1012） 情境导入 返回 ①向上　②向下 学习目标 返回 ③两个　④一个 ⑤没有　⑥右　 ⑦左　⑧上　⑨下 学习目标 实际问题 二次函数 y=ax2+bx+c 图象 性质 归纳抽象 实际问题 的答案 利用二次函数的图象和性质求解 目标 4 知识点1 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 例1 已知 y=(m²+m)xm²-2m-1+(m-3)x+m2-11 是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解：(1)由题意，得 解得 m=3. (2)由（1）知，二次函数解析式为y=12x2-2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是-2. 知识点1 二次函数的概念 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 知识点2 二次函数的图象和性质 y=a(x-h)2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0. 当 x=h 时，y最大值​=0. 知识点2 二次函数的图象和性质 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 知识点1 XXX 知识点2 二次函数的图象和性质 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (​) 对称轴 直线 x= 增减性 当 x< 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>时，y 随 x 的增大而增大. 当 x< 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=时，y最小值​= 当 x=时，y最大值​=. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 知识点3 二次函数与一元二次方程 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴的公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式(b2-4ac) 没有公共点 没有实数根 b2-4ac＜0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac＞0 知识点3 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 知识点4 用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题一般步骤 (1) 审：仔细审题，厘清题意. (2) 设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. (3) 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. (4) 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. (5) 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. (6) 答：写出答案. 例1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是关于 x 的二次函数， 那么 m 的值为 (　　) A．−2 B．2 C．±2 D．0 B 分析：根据二次函数定义可知 m + 2≠0 且 | m | = 2，则 m = 2. 考点一 二次函数的概念、图象与性质 举一反三 例2 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( ) A．顶点坐标为 (－3，2) B．对称轴为 y＝3 C．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小 C 分析：可画出草图来判断. x y O (3，2) x＝3 x＝3 举一反三 例3 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 B 分析：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1， 当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大． ∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2. O 1 x y 举一反三 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 【分析】①化为顶点式：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ② 根据平移性质：向上平移 2 个单位长度→常数项＋2 向右平移 1 个单位长度后→自变量－1 ③ 写解析式：y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. B 举一反三 例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2．求二次函数的解析式． 解：∵ 当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2. ∴ 顶点为 (1，2). 设二次函数解析式为 y = a(x − 1)2 + 2， 把 (−2，−16) 代入得 −16 = 9a + 2，解得 a = −2. ∴ y = −2(x − 1)2 + 2. ∴ 二次函数解析式为 y = −2x2 + 4x. 顶点式 ∴ 对称轴为直线 . 举一反三 (2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标． 解：设 Q (x，y)， ∴ y = ±4． 则 Q 的坐标为 ② 当 y = -4 时，即 x2 − 2x − 3 = −4. 解得 x3 = x4 = 1. 则 Q 点的坐标为(1，−4). ① 当 y = 4 时， 即 x2 − 2x − 3 = 4. x y O C A B 则 S△QAB = AB • | y | = 2| y | = 8. 举一反三 考点二 二次函数与一元二次方程 例6 已知二次函数 y = x2 − 2mx + m2 − 1( m 为常数). 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. 分析：函数的图象与 x 轴总有两个公共点，即方程 x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可. 证明：(−2m)2 − 4(m2 − 1) = 4＞0， 故不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. 举一反三 例7 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 ) C 方法归纳：①建立合适的平面直角坐标系， ② 抽象出函数模型，求解析式→ y＝-0.5x2 ③ 解决相关问题.→ 当 y＝-10，x＝ 考点三 二次函数的应用 (5，-12.5) 10 O C D A B y x 举一反三 例8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45. (1) 求一次函数的解析式； 故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120. 解得 k = -1，b = 120. 解：根据题意，得 举一反三 (2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900， ∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87. ∴当 x = 87 时，W 有最大值， 此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891. 举一反三 1. 返回 下列函数中，y一定是x的二次函数的是(　　) A．y＝3x－7 B．y＝ C．y＝3x2－7x＋3 D．y＝ax2－6x－2 C 考点1　二次函数的定义 举一反三 25 返回 2. 【荣德原创】若 是关于x的二次函数，则该函数的最小值为________． 举一反三 返回 3. 已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是(　　) A．图象的对称轴为直线x＝－2 B．图象的顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 C 考点2　二次函数的图象与性质 举一反三 返回 4. [张家口宣化区期中]抛物线y＝－3(x－2)2－3可以由抛物线y＝－3x2＋1平移得到，则下列平移过程正确的是(　　) A．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 C 举一反三 [福建中考]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3<b<4，则下列判断正确的是(　　) A．1<y1<y2 B．y1<1<y2 C．1<y2<y1 D．y2<1<y1 返回 5. A 举一反三 [石家庄平山期中]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，且过(－1，0)，(1，1)两点，那么抛物线的对称轴(　　) A．只能是直线x＝1 B．可能是y轴 C．可能在y轴右侧且在直线x＝1的左侧 D．可能在y轴左侧且在直线x＝－1的右侧 返回 6. C 举一反三 返回 7. [青岛中考]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则过点M(c，2a－b)和点N(b2－4ac，a－b＋c)的直线一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 举一反三 返回 8. 【逐项代入法】[南通中考]在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A(－1，5)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，－1)，E(5，5)．若抛物线y＝a(x－2)2＋k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值不可能为(　　) C 举一反三 返回 9. [扬州中考]如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点． (1)求b，c的值； 解：∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于 A(－2，0)，B(1，0)两点， 举一反三 33 (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 解：由(1)知二次函数的解析式为y＝－x2－x＋2. ∵A(－2，0)，B(1，0)，∴AB＝1－(－2)＝3. 设点P的纵坐标为n，∴S△PAB＝ ，∴|n|＝4，∴n＝±4. 当－x2－x＋2＝4时，Δ＝1－8＝－7<0，方程无实数解， 不符合题意，舍去；当－x2－x＋2＝－4时， 解得x1＝－3，x2＝2.∴点P的坐标为(2，－4)或(－3，－4)． 返回 举一反三 34 谢谢观看 THANKS － y＝(m＋3)xm2－5m－22＋2x－3 A. B. C. D. ∴解得 AB· $