四川成都市温江区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷

**基本信息** 以AI智能软件图标等科技情境引入，覆盖中心对称图形、不等式性质、因式分解等八年级核心知识，通过基础题、几何综合题及创新定义题（如“一生一世数”）形成梯度，检测数学抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|中心对称（1题）、不等式性质（2题）|结合AI科技情境，基础概念辨析| |填空题|10/40|因式分解（9题）、旋转性质（21题）|设置开放型问题，如“一生一世数”定义新运算| |解答题|8/78|旋转综合（18题）、动态几何（26题）|几何与代数结合，如旋转与勾股定理应用，检测推理能力|

四川省成都市温江区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 1．（4分）AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）若x＞y，则下列不等式正确的是（　　） A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．2x＞2y D．﹣2x＞﹣2y 3．（4分）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式： （1）a2﹣b2 （2）﹣x2﹣y2 （3）﹣x2+9 （4）4m2﹣25n2 A．第（1）道题 B．第（2）道题 C．第（3）道题 D．第（4）道题 4．（4分）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 5．（4分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 7．（4分）如图，一次函数y1＝﹣x+b（b是常数），与正比例函数y2＝kx（k是常数，k≠0）的图象相交于点M（2，1），则关于x的不等式kx＞﹣x+b的解集是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 8．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（D是点B的对应点），若AB∥DE，则∠DAC的大小是（　　） A．70° B．40° C．30° D．10° 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为a4﹣■＝（a2+4）（a+2）（a﹣▲），那么式子中的■，▲处对应的两个数字分别是　 　 ． 10．（4分）关于x的不等式（a﹣4）x|a﹣3|+1＞0是一元一次不等式，则a的值为　 　 ． 11．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝　 　 ． 12．（4分）如图，将长为6cm、宽为4cm的长方形ABCD先向右平移3cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则图中阴影部分的面积为 　 　 cm2． 13．（4分）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB＝8，AC＝6，BC＝5，则△APC周长的最小值是　 　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（15分）（1）分解因式： ①﹣2x3+8x2﹣8x； ②x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． （2）解不等式组：． 15．（7分）先化简，再求值：（），其中x． 16．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）． （1）△ABC与△A1B1C1关于原点O中心对称，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标； （2）△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2． 17．（8分）为了奖励校运动会上表现积极的同学，某班计划购买甲、乙两种笔记本．经了解，购买2本甲种笔记本和1本乙种笔记本共需40元，购买4本甲种笔记本和6本乙种笔记本共需120元． （1）求甲、乙两种笔记本的销售单价各是多少元； （2）该班级需购买甲、乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过344元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 18．（10分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB． （1）旋转角为　 　 度；PQ的长度＝　 　 ； （2）求∠BPC的度数； （3）求△ABC的面积． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（4分）已知a﹣b＝3，则4a2﹣8ab+4b2＝　 　 ． 20．（4分）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 　 　 ． 21．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△DEC．当点A的对应点D落在边BC上时，连接BE，则线段BE的长为 　 　 ． 22．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2020a+4＝0，则代数式的值是　 　 ． 23．（4分）若规定：一个四位自然数且各数位上数字各不相等，若满足（a+c）（b+d）＝140，则称这个四位数M为“一生一世数”，例如：四位数3678，因为（3+7）×（6+8）＝140，所以3678是“一生一世数”，按照这个规定，最小的“一生一世数”为　 　 ；若M是一个“一生一世数”，M的千位与十位数字所组成的两位数记为s，M的百位与个位数字所组成的两位数记为t，若为整数，且s﹣t＝k2（k为整数），则满足条件的“一生一世数”M的最大值为　 　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（8分）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法． （1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝　 　 ； 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整结合能构成可分解的一组，然后再对整体进行因式分解，这种方法叫分组分解法．例如：“分解因式：x2﹣y2+3x+3y”，具体过程为x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）． （2）请在上述方法的启发下，分解因式：x2+y2﹣9+2xy； 【迁移应用】 （3）已知等腰△ABC的两边长分别为a，b（a，b为整数），且满足ab﹣4a﹣2b+8＝1，求△ABC的周长． 25．（10分）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 　 　 ，△AOB　 　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”； 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（16，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C． （1）直接写出点C的横坐标 　 　 ； （2）作点C关于y轴的对称点D，连接DA交OB于点E，求OE的长； （3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH，则OH的最小值为 　 　 ．（直接写出结果） 四川省成都市温江区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C A A A C 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 1．（4分）AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合”进行解答即可得． 【解答】解：根据中心对称图的定义可知：只有A选项符合题意， 故选：A． 2．（4分）若x＞y，则下列不等式正确的是（　　） A．x+2＜y+2 B．x﹣2＜y﹣2 C．2x＞2y D．﹣2x＞﹣2y 【答案】C 【分析】各项利用不等式的基本性质判断即可得到结果． 【解答】解：由条件可知x+2＞y+2，x﹣2＞y﹣2，2x＞2y，﹣2x＜﹣2y， 选项C符合题意， 故选：C． 3．（4分）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式： （1）a2﹣b2 （2）﹣x2﹣y2 （3）﹣x2+9 （4）4m2﹣25n2 A．第（1）道题 B．第（2）道题 C．第（3）道题 D．第（4）道题 【答案】B 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），它是利用平方差公式因式分解的； （2）﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），它不能利用平方差公式因式分解的； （3）﹣x2+9＝﹣（32﹣x2）＝（3+x）（3﹣x），它利用平方差公式因式分解的； （4）4m2﹣25n2＝（2m+5n）（2m﹣5n），它是利用平方差公式因式分解的； 综上，第（2）道题错误， 故选：B． 4．（4分）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设有x间宿舍，根据“每间住4人，2人无处住”可得学生有（4x+2）人，再根据“每间住6人，空一间还有一间不空也不满”列出不等式组即可． 【解答】解：设有x间宿舍，则学生有（4x+2）人，由题意得： ． 故选：C． 5．（4分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式组的解集，再判断即可． 【解答】解：解不等式组得1≤x≤3， 在数轴上表示如下： 故选：A． 6．（4分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可． 【解答】解：， 所以如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值不变， 故选：A． 7．（4分）如图，一次函数y1＝﹣x+b（b是常数），与正比例函数y2＝kx（k是常数，k≠0）的图象相交于点M（2，1），则关于x的不等式kx＞﹣x+b的解集是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【答案】A 【分析】根据函数图象可以直接得到答案． 【解答】解：不等式kx＞﹣x+b对应的函数图象是直线y2在直线y1“上方”的那一部分，即点M的右侧，其对应的x的取值范围，构成该不等式的解集， 所以，关于x的不等式kx＞x+b的解集是x＞2， 故选：A． 8．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（D是点B的对应点），若AB∥DE，则∠DAC的大小是（　　） A．70° B．40° C．30° D．10° 【答案】C 【分析】利用旋转前后对应角相等的性质求角度即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°， 由已知，△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴∠ADE＝∠B＝70°， ∵AB∥DE， ∴∠BAD＝∠ADE＝70°， ∴∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝70°﹣40°＝30°， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．（4分）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为a4﹣■＝（a2+4）（a+2）（a﹣▲），那么式子中的■，▲处对应的两个数字分别是　16，2　 ． 【答案】16，2． 【分析】根据因式分解的方法即可求得答案． 【解答】解：a4﹣16 ＝（a2+4）（a2﹣4） ＝（a2+4）（a+2）（a﹣2）， 则式子中的■，▲处对应的两个数字分别是16，2， 故答案为：16，2． 10．（4分）关于x的不等式（a﹣4）x|a﹣3|+1＞0是一元一次不等式，则a的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据一元一次不等式的概念得出a的值即可． 【解答】解：由题意得， 解得a＝2， 故答案为：2． 11．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC＝　30°　 ． 【答案】30°． 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD＝BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD＝∠A，然后求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC（180°﹣∠A）（180°﹣40°）＝70°， ∵MN垂直平分线AB， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30． 12．（4分）如图，将长为6cm、宽为4cm的长方形ABCD先向右平移3cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则图中阴影部分的面积为 　9　 cm2． 【答案】9． 【分析】由平移的性质可得A'F＝3cm，A'E＝3cm，即可求解． 【解答】解：如图，∵将长为6cm、宽为4cm的长方形ABCD先向右平移3cm，再向下平移lcm，得到长方形A′B′C′D′， ∴A'F＝3cm，A'E＝3cm， ∴图中阴影部分的面积＝3×3＝9cm2， 故答案为：9． 13．（4分）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB＝8，AC＝6，BC＝5，则△APC周长的最小值是　14　 ． 【答案】14． 【分析】根据线段垂直平分线的性质及轴对称的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵直线m是线段BC的垂直平分线， ∴PB＝PC， ∴PA+PC＝PB+PC． ∵当点P在AB与直线m的交点处时，PA+PB取得最小值为AB的长， 又∵AB＝8，AC＝6， ∴PA+PC的最小值为8， ∴△APC周长的最小值是8+6＝14． 故答案为：14； 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（15分）（1）分解因式： ①﹣2x3+8x2﹣8x； ②x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． （2）解不等式组：． 【答案】（1）①﹣2x（x﹣2）2； ②（3x﹣2）（x+1）（x﹣1）； （2）﹣3＜x≤2． 【分析】（1）①先提公因式﹣2x，再利用完全平方公式进行因式分解即可； ②先提公因式3x﹣2，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）根据一元一次不等式组的解法进行解答即可． 【解答】解：（1）①原式＝﹣2x（x2﹣4x+4） ＝﹣2x（x﹣2）2； ②原式＝x2（3x﹣2）﹣（3x﹣2） ＝（3x﹣2）（x2﹣1） ＝（3x﹣2）（x+1）（x﹣1）； （2）， 解不等式①得，x＞﹣3， 解不等式②得，x≤2， 在数轴表示两个不等式的解集如下： 所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2． 15．（7分）先化简，再求值：（），其中x． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式•， 当x时，原式＝2． 16．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）． （1）△ABC与△A1B1C1关于原点O中心对称，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标； （2）△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2． 【答案】（1）△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1，如图1即为所求； 由图可知，点A1的坐标是（1，﹣4）； （2）△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，如图2即为所求． 【分析】（1）利用中心对称的性质作出△A1B1C1，根据平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标之间的关系得到点A1的坐标； （2）分别画出点A、C绕原点O顺时针旋转90°得到的对应点A2、B2、C2，连接点A2、B2、C2，得到△A2B2C2即为所求． 【解答】解：（1）△ABC关于原点O中心对称的△A1B1C1，如图1即为所求； 由图可知，点A1的坐标是（1，﹣4）； （2）△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，如图2即为所求． 17．（8分）为了奖励校运动会上表现积极的同学，某班计划购买甲、乙两种笔记本．经了解，购买2本甲种笔记本和1本乙种笔记本共需40元，购买4本甲种笔记本和6本乙种笔记本共需120元． （1）求甲、乙两种笔记本的销售单价各是多少元； （2）该班级需购买甲、乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过344元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价是15元，乙种笔记本的单价是10元； （2）最多可以购买甲种笔记本8本． 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据购买2本甲种笔记本和1本乙种笔记本共需40元，购买4本甲种笔记本和6本乙种笔记本共需120元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种笔记本y本，则购买乙种笔记本（30﹣y）元，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过344元，列出y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种笔记本的单价是15元，乙种笔记本的单价是10元； （2）设购买甲种笔记本y本，则购买乙种笔记本（30﹣y）元， 根据题意得：15y+10（30﹣y）≤344， 解得：y≤8.8， ∵y为正整数， ∴y的最大值为8． 答：最多可以购买甲种笔记本8本． 18．（10分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB． （1）旋转角为　60　 度；PQ的长度＝　4　 ； （2）求∠BPC的度数； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）60；4； （2）150°； （3）． 【分析】（1）根据△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案；连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4； （2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可． （3）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的， ∴旋转角为60°； 连接PQ，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BA＝BC， ∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的， ∴△QCB≌△PAB， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5， ∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PQ＝PB＝4； 故答案为：60；4； （2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4， 而32+42＝52，PC2+PQ2＝CQ2， ∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°， ∵△PBQ是等边三角形， ∴∠BPQ＝60°， ∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°； （3）如图，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H， ∵∠BPC＝150°， ∴∠CPH＝30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．（4分）已知a﹣b＝3，则4a2﹣8ab+4b2＝　36　 ． 【答案】36． 【分析】利用提公因式法与公式法进行分解因式即可解答． 【解答】解：4a2﹣8ab+4b2＝4（a2﹣2ab+b2）＝4（a﹣b）2＝4×9＝36． 故答案为：36． 20．（4分）若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，根据x为非负数，y为整数，求出m的范围即可． 【解答】解：， ②﹣①×2得：y＝3m﹣4， 把y＝3m﹣4代入①得：x， 根据题意得：3m﹣4＞0，， 解得：， 故答案为：． 21．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△DEC．当点A的对应点D落在边BC上时，连接BE，则线段BE的长为 　2　 ． 【答案】2． 【分析】由旋转知CD＝CA＝8，DE＝AB＝6，∠EDC＝∠BAC＝90°，则BD＝2，再利用勾股定理可得BE的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC10， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在BC上， ∴CD＝CA＝8，DE＝AB＝6，∠EDC＝∠BAC＝90°， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣8＝2， 在Rt△BDE中，由勾股定理得， BE2， 故答案为：2． 22．（4分）已知a是实数，并且a2﹣2020a+4＝0，则代数式的值是　2020　 ． 【答案】2020． 【分析】先由已知等式变形得到a2﹣2020a＝﹣4与a2+4＝2020a，再将这两个关系代入所求代数式，通过化简计算得出结果． 【解答】解：由条件可知a2﹣2020a＝﹣4， a2+4＝2020a． ∴ ＝2020． 故答案为：2020． 23．（4分）若规定：一个四位自然数且各数位上数字各不相等，若满足（a+c）（b+d）＝140，则称这个四位数M为“一生一世数”，例如：四位数3678，因为（3+7）×（6+8）＝140，所以3678是“一生一世数”，按照这个规定，最小的“一生一世数”为　1698　 ；若M是一个“一生一世数”，M的千位与十位数字所组成的两位数记为s，M的百位与个位数字所组成的两位数记为t，若为整数，且s﹣t＝k2（k为整数），则满足条件的“一生一世数”M的最大值为　9456　 ． 【答案】1698；9456． 【分析】最小“一生一世数”：分解140为两两不同数字和的因数对，仅10×14有效，最小四位数需高位尽可能小，故 a＝1，c＝9，b+d＝14，b从最小可用数字试，得b＝6，d＝8，组成1698； 最大“一生一世数”：分解140为14×10，最大四位数需a尽可能大，故a＝9，c＝5，b+d＝10，b从最大可用数字试，验证s﹣t＝k2和为整数，得b＝4，d＝6，组成9456． 【解答】解：140＝10×14， 要最小四位数，a尽可能小，取a＝1， 则c＝10﹣1＝9，b+d＝14， b尽可能小且数字不重复，试b＝6，d＝14﹣6＝8（1，6，9，8均不同）得四位数1698； 140＝14×10， 要最大四位数，a尽可能大，取a＝9， 则c＝14﹣9＝5，b+d＝10，b尽可能大且数字不重复，试b＝4，d＝10﹣4＝6（9，4，5，6均不同）． 验证条件：s＝95，t＝46，s﹣t＝49＝72，（整数）， 得四位数9456． 故答案为：1698；9456． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．（8分）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法． （1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝　3（x﹣1）2 ； 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整结合能构成可分解的一组，然后再对整体进行因式分解，这种方法叫分组分解法．例如：“分解因式：x2﹣y2+3x+3y”，具体过程为x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）． （2）请在上述方法的启发下，分解因式：x2+y2﹣9+2xy； 【迁移应用】 （3）已知等腰△ABC的两边长分别为a，b（a，b为整数），且满足ab﹣4a﹣2b+8＝1，求△ABC的周长． 【答案】（1）3（x﹣1）2； （2）x2+y2﹣9+2xy＝（x+y+3）（x+y﹣3）； （3）11或13或7． 【分析】（1）利用提取公因式法和公式法因式分解即可； （2）用分组分解法和公式法因式分解即可； （3）利用分组分解法并结合等腰三角形的性质进行分情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2， 故答案为：3（x﹣1）2； （2）∵x2+y2﹣9+2xy＝（x2+2xy+y2）﹣9＝（x+y）2﹣9＝（x+y+3）（x+y﹣3）， ∴x2+y2﹣9+2xy＝（x+y+3）（x+y﹣3）； （3）∵ab﹣4a﹣2b+8＝1， ∴（ab﹣4a）﹣（2b﹣8）＝1， ∴a（b﹣4）﹣2（b﹣4）＝1， ∴（a﹣2）（b﹣4）＝1． ∵a，b为整数， ∴a﹣2和b﹣4也为整数， ∴或， 解得或． 当a＝3，b＝5时，三角形的三边为3，3，5或3，5，5，均满足三角形三边关系， 此时三角形的周长为：3+3+5＝11或3+5+5＝13； 当a＝1，b＝3时，三角形的三边为1，1，3或1，3，3，∵1+1＜3，不满足三角形三边的关系，舍去．∴三角形的三边为1，3，3，符合三角形三边关系，此时三角形的周长为1+3+3＝7． 综上，△ABC的周长为：11或13或7． 25．（10分）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）． （1）∠ABO的度数为 　30°　 ，△AOB　不是　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”； 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB＝90°，求得∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，得到∠OAB＝3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”； （2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”； （3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD∥EF，得到∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB不是“和谐三角形”； 故答案为：30°，不是； （2）∵∠ACB是△AOC的一个外角， ∴∠ACB＝∠O+∠OAC， 又∠O＝60°，∠ACB＝84° ∴∠OAC＝24°， ∠ACO＝180°﹣84°＝96°， ∴∠ACO＝4∠OAC， ∴△AOC是“和谐三角形”； （3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE， 而∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∵DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“和谐三角形”， ∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180° ∴∠B＝30°或者∠B＝80°． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（16，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C． （1）直接写出点C的横坐标 　12　 ； （2）作点C关于y轴的对称点D，连接DA交OB于点E，求OE的长； （3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH，则OH的最小值为 　8　 ．（直接写出结果） 【答案】（1）12； （2）4； （3）8． 【分析】（1）过点C作CH⊥OA，垂足为H．由等边三角形的性质可得AC＝BC＝8，由直角三角形的性质可求AH＝4，即可求解； （2）由“AAS”可证△DEF≌△AEO，可得OE＝EFOF，即可求解； （3）由“SAS”可证△HAO≌△PAB，可得OH＝PB，当BP⊥y轴时，PB有最小值为8，即可求解． 【解答】解：（1）如图1所示：过点C作CH⊥OA，垂足为H． ∵点A（16，0）， ∴OA＝16， ∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB， ∴AO＝AB＝16，AC＝BC＝8， ∵CH⊥OA，∠OAC＝60°， ∴∠ACH＝30°， ∴AHAC＝4， ∴OH＝12， ∴点C的横坐标为12， 故答案为：12； （2）如图2所示：连接CD，交OB于F． ∵点C与点D关于y轴对称， ∴CD∥OA， ∴△BCF为等边三角形， ∴CF＝8，CD＝24． ∴DF＝24﹣8＝16＝OA． 在△DEF和△AEO中， ， ∴△DEF≌△AEO（AAS）， ∴OE＝EFOF， ∵BF＝BC＝8， ∴OF＝8， ∴OE＝4； （3）如图3，连接PB． ∵∠HAO+∠PAO＝∠BAP+∠PAO＝60°， ∴∠HAO＝∠PAB， 在△HAO和△PAB中， ， ∴△HAO≌△PAB（SAS）， ∴OH＝PB， 当BP⊥y轴时，PB有最小值为8， ∴OH的最小值为8， 故答案为8． 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