26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数模型解决抛物线形实物及运动轨迹问题，通过拱桥、喷水等探究题导入，引导学生从二次函数顶点式等基础过渡到实际建模，以填空、选择及解答题构建学习支架。 其亮点在于结合大量实际案例，通过“建立坐标系-设解析式-求解”步骤培养数学眼光、思维与语言，课堂小结明确解题流程，助力学生形成模型意识，教师可利用分层练习提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题 2026年7月31日 人教版九年级上册26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 拱桥、隧道、投篮轨迹、喷水轨迹等曲线问题，均可建立________函数模型求解。 2. 解决抛物线实物问题的核心步骤：建立平面直角坐标系、________、代入已知点求解析式、利用解析式求解实际问题。 3. 建模时通常将抛物线顶点放在________或y轴上，简化计算，减少未知参数。 4. 二次函数顶点式________最适合抛物线实物建模，可直接读出顶点、最值。 5. 抛射运动中，物体飞行高度随水平距离变化，最高点对应抛物线的________。 6. 抛物线开口向下，说明物体先________后下降，存在最大高度。 7. 拱桥问题中，桥面宽度对应抛物线与________轴两个交点之间的距离。 8. 喷水问题中，水流落地的水平距离对应函数值$$y=$$________时的横坐标绝对值。 9. 实际建模中，横、纵坐标均为________数，需舍去不符合实际的解。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 下列实际轨迹不能用抛物线模型求解的是（） A.投篮路线 B.自由落体抛射 C.匀速直线运动 D.喷泉水流 2. 建模解决拱桥问题，最优建系方式是（） A.任意位置建系 B.以拱桥顶点为坐标原点 C.以桥面端点为原点 D.以桥下任意点为原点 3. 某投篮高度函数$$y=-0.1(x-2)^2+3$$，则篮球最大飞行高度为（） A.2 B.0.1 C.3 D.2.9 4. 抛物线拱桥解析式$$y=-\frac{1}{4}x^2+4$$，拱桥最高点高度为（） A.1 B.4 C.2 D.0 5. 水流抛物线$$y=-0.2x^2+1.6x$$，当水流落地时，高度y为（） A.0 B.1 C.1.6 D.0.2 6. 关于抛物线实物模型，说法正确的是（） A.开口一定向上 B.均存在最大值 C.自变量取值有实际范围 D.坐标可以为负数 7. 物体斜抛运动的高度变化规律是（） A.匀速上升 B.先升后降 C.匀速下降 D.先降后升 三、解答题（共42分） 1. 基础建模题型（每题6分，共24分） 1. 已知抛物线拱桥顶点在原点，开口向下，且过点$$(4,-2)$$，求拱桥抛物线解析式。 2. 某喷水水流轨迹为$$y=-0.1x^2+x$$，求水流的最大高度。 3. 篮球飞行轨迹$$y=-0.05(x-4)^2+2.2$$，求篮球飞行的最高点坐标。 4. 抛物线隧道解析式为$$y=-\frac{1}{9}x^2+4$$，求隧道的最大宽度。 2. 拱桥实际应用题（9分） 一座抛物线型拱桥，以顶点为原点建立坐标系，拱桥最大高度4m，桥面跨度8m，求抛物线解析式，并判断水平距离原点2m处的桥高。 3. 运动轨迹综合题（9分） 足球从地面踢出，飞行轨迹为抛物线，已知足球在水平距离5m处达到最大高度2.5m，求足球飞行轨迹解析式和落地水平距离。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 二次 2. 设解析式 3. 坐标原点 4. $$y=a(x-h)^2+k$$ 5. 顶点（最高点） 6. 上升 7. x 8. 0 9. 非负 二、选择题 1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 三、解答题 1. 解：（1）设$$y=ax^2$$，代入$$(4,-2)$$得$$a=-\frac{1}{8}$$，解析式为$$y=-\frac{1}{8}x^2$$。 （2）$$a=-0.1\lt0$$，顶点$$x=5$$，最大高度$$y=2.5$$。 （3）最高点坐标为$$(4,2.2)$$。 （4）令$$y=0$$，解得$$x=\pm6$$，隧道最大宽度18m。 2. 解：设解析式$$y=ax^2+4$$，代入$$(4,0)$$得$$a=-\frac{1}{4}$$，解析式$$y=-\frac{1}{4}x^2+4$$；$$x=2$$时，桥高3m。 3. 解：设顶点式$$y=a(x-5)^2+2.5$$，代入$$(0,0)$$得$$a=-0.1$$，解析式$$y=-0.1(x-5)^2+2.5$$；落地水平距离10m。 拓展思考题 思考：实物抛物线问题为什么优先用顶点式建模？ 答：实际抛物线问题大多已知最高点、最大高度等顶点条件，顶点式可直接代入顶点简化计算，快速求出解析式和最值。 （总字数：1020） 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 能运用二次函数的图象与性质进行决策． 推进新课 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 分析： (1) 建立合适的直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 探究 (2,-2) (-2,-2) x y O 3 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式， 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 水面下降一米，即此时y=-3. 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 解： 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(-2，1)代入解析式， 可得1=a · (-2)2+3. y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 水面下降一米，即此时y=0. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. 你还有其他的方法吗？   y O (2,0) (-2,0) x (0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 1. 返回 [连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运动，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为________m. 8 举一反三 8 返回 2. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽6 m，水面下降________m，水面宽8 m. 举一反三 随堂演练 基础巩固 1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)( ) A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 m B 2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 . y=-3.75x2 A B 综合应用 3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米， 离地面 米，求水流落地点B离墙的距离. 返回 3. [广东中考]如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式． 举一反三 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线的顶点坐标为(0，0.001 5)， 即A(0.85，0.18)． 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋0.001 5， 将A(0.85，0.18)的坐标代入y＝ax2＋0.001 5， 得0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝ ， ∴该抛物线的解析式为y＝ x2＋0.001 5. (建立平面直角坐标系不唯一，所求解析式不唯一) 返回 举一反三 拓展延伸 4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0), ∴0=a+0.5，解得a=-0.5. ∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. 令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1. 令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m) ∴这条防护栏需要不锈钢支柱 的总长度至少为160m. 返回 4. [唐山路北区期中]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(　　) A．5秒 B．10秒 C．1秒 D．2秒 D 举一反三 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s＝－5t2＋30t，遇到刹车时，汽车从刹车到停下来共用了________． 5. 返回 3 s 举一反三 某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)近似满足函数关系y＝ax2＋bx(a≠0)．由电子监测获得滑行时间x与滑行距离y的几组数据如下： 返回 6. 滑行时间x/s 0 2 4 6 8 10 滑行距离y/m 0 114 216 306 384 450 (1)根据上述数据，求出满足的函数关系式y＝ax2＋bx(a≠0)； 举一反三 返回 解：根据表格可以得出函数图象过点(2，114)，(4，216)， 举一反三 (2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？ 解：根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来， 此时滑行距离y取得最大值， ∴飞机着陆后滑行600 m才能停下来，此时滑行的时间是20 s. 返回 举一反三 7. [石家庄期中]图①是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8 cm，杯底CD＝4 cm，且AB∥CD，杯深12 cm.如图②，将盛有部分水的该水杯倾斜45°，水面正好经过点B(即∠ABP＝45°)．嘉淇在图①中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论，判断正确的是(　　) 结论Ⅰ：图①中，玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y＝x2－16； 结论Ⅱ：图②中，点P到杯口AB的距离为5 cm. A．Ⅰ不对，Ⅱ对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 B 返回 举一反三 返回 8. [保定一模如图，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2 m的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间．已知A点距离地面2 m，窗上沿B距离地面14 m. (1)以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式； 举一反三 解：由题意知A(0，2)，B(2，14)， 设水流抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋14， 把A(0，2)的坐标代入，得2＝a(0－2)2＋14，解得a＝－3， ∴水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14. 返回 举一反三 返回 (2)实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距离0.6 m处，且比窗上沿B低2 m的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？(不计其他因素，请设计两种移动方案．参考数据： ≈2.45，结果精确到0.1 m) 举一反三 解：由题意知，失火中心点坐标是(2.6，12)． 方案一：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当x＝2.6时，y＝－3×(2.6－2)2＋14＝12.92， 即抛物线向下平移12.92－12＝0.92(m)≈0.9 m， 抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流抛物线的解析式是y＝－3(x－2)2＋14， 当y＝12时，12＝－3(x－2)2＋14， 返回 举一反三 返回 ∴抛物线向左平移2.817－2.6＝0.217(m)≈0.2 m， 抛物线正好经过失火中心． ∴消防员把喷水头向下平移0.9 m或向左平移0.2 m， 可以使水流刚好落在失火中心． 举一反三 课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢观看 THANKS A， ∴解得 ∴函数关系式为y＝－x2＋60x. ∵y＝－x2＋60x，且－<0，∴当x＝－＝20时，y取得最大值，最大值为－×202＋60×20＝600，　 解得x1＝2＋，x2＝2－(舍去)， ∵2＋≈2.817， $