26.4 第1课时 几何图形的最大面积（课件）--2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数在几何图形最大面积中的应用，通过抛物体（如跳水运动员重心高度、水火箭升空）等现实情境导入，衔接二次函数最值性质，逐步过渡到矩形、直角三角形等图形面积问题，构建代数到几何的学习支架。 其亮点是以现实情境为载体，培养数学眼光（从实际中发现数量关系）、数学思维（推理与运算）和数学语言（模型表达）。例如用跳水问题抽象二次函数模型，矩形菜园围篱笆训练自变量取值分析，小结明确“审设列解检答”步骤。帮助学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.4 第1课时 几何图形的最大面积 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 几何图形的最大面积专项练习 （人教版数学九年级上册 26.4 第1课时） 一、基础知识点梳理 本节课重点利用二次函数最值性质求解几何图形最大面积问题，是二次函数在几何中的核心实际应用。解题核心思路为：根据几何图形的边长关系、周长公式、面积公式，结合题目已知条件，设出合理的自变量表示图形边长，推导出面积关于自变量的二次函数解析式。利用二次函数顶点最值性质求解：开口向上时有最小值，开口向下时有最大值，结合自变量的几何取值范围，最终确定图形的最大面积及对应边长，同时需注意自变量取值必须符合几何实际意义。 二、专项练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 已知矩形周长为20cm，设一边长为x cm，面积为S cm²，则S与x的函数解析式为________，自变量x的取值范围是________。 2. 二次函数S=-x²+6x的最大值为________，此时自变量x的值为________。 3. 用长为30m的篱笆围成矩形菜园，菜园的最大面积为________m²。 4. 已知直角三角形的一条直角边长为x，两条直角边的和为12，则三角形面积S与x的函数关系式为________。 5. 若矩形面积函数为S=-2x²+16x，当x=________时，矩形面积最大。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 周长固定的矩形，面积最大时的图形是（） A. 长方形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 无法确定 2. 已知矩形面积S=-x²+10x（0＜x＜10），该矩形的最大面积为（） A. 20 B. 25 C. 30 D. 50 3. 用总长为40cm的铁丝围成矩形，设长为x cm，面积最大时x的值为（） A. 10 B. 20 C. 15 D. 25 4. 三角形面积S=-0.5x²+4x的最大值是（） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 求解几何图形最大面积问题的核心步骤是（） A. 设边长、列函数、求最值 B. 直接估算数值 C. 套用固定面积公式 D. 测量图形边长 （三）解答题（共60分） 1.（20分）用长为24m的篱笆围成一个矩形露天场地，不计篱笆厚度。（1）求矩形面积S与一边长x的函数解析式及自变量取值范围；（2）求出矩形的最大面积。 2.（20分）已知直角三角形的两条直角边之和为16cm，设其中一条直角边长为x cm。（1）写出三角形面积S与x的函数关系式；（2）求该直角三角形的最大面积。 3.（20分）现有一段长为36m的篱笆，一边靠墙围成矩形花圃（墙足够长），设花圃垂直于墙的边长为x m。（1）求花圃面积S与x的函数关系式；（2）求花圃能围成的最大面积。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. S=-x²+10x、0＜x＜10 解析：矩形邻边长为10-x，面积=长×宽，边长为正数。 2. 9、3 解析：配方得S=-(x-3)²+9，顶点处取最大值9。 3. 56.25 解析：边长为7.5m的正方形时面积最大，7.5×7.5=56.25。 4. S=-0.5x²+6x 解析：另一直角边为12-x，直角三角形面积公式推导可得。 5. 4 解析：对称轴x=-b/2a=4，此处取得最大值。 （二）选择题 1.B 2.B 3.A 4.B 5.A （三）解答题 1. 解：（1）邻边长为(12-x)m，解析式S=-x²+12x（0＜x＜12）；（2）配方得S=-(x-6)²+36，x=6时，最大面积为36m²。 2. 解：（1）另一直角边为(16-x)cm，S=-0.5x²+8x（0＜x＜16）；（2）对称轴x=8，最大面积S=32cm²。 3. 解：（1）平行墙边长为(36-2x)m，S=-2x²+36x（0＜x＜18）；（2）x=9时，最大面积为162m²。 （字数：1012） 情境导入 1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点） 2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值； 3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. （重点） 学习目标 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 情境导入 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 探究新知 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 解：对于二次函数h=﹣4.9t2+2.8t+11，当 时，h有最大值 . 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 探究新知 1. 返回 [甘肃中考]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x>0)，则水流喷出的最大高度是(　　) A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m B 举一反三 6 返回 2. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h＝－t2＋12t＋1.则“水火箭”升空的最大高度为________． 37 m 举一反三 思考：函数h=﹣4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 起跳阶段 (t = 0 到 t ≈0.3 s) 运动员从高度 11 m 处起跳，重心高度逐渐上升，在约 0.3 s时达到最高点11.4m. 下落阶段(t ≈0.3 s到落水) 到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为0时，运动员入水，完成跳水动作. 探究新知 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 例2 (20-2x)m x m S=x(20-2x) . 思考：自变量的取值范围怎么考虑呢？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义. 如菜园的边长应为正数， 即 x>0，且 20-2x>0， 于是自变量x的取值范围是 0<x<10. 探究新知 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例2 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x) . 即 S=-2x2+20x (0< x <10). 当x=﹣ =5时，S有最大值 =50. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 . (20-2x)m x m 探究新知 如果例题中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 且20-2x≤8，即x≥6， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x)， 即S=-2x2+20x (6≤x<10). ∵当6≤x<10时，S随x的增大而减小， ∴当x=6时，S有最大值-2×62+20×6=48. 因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48 m2. 跟踪训练 探究新知 2. 已知一个直角三角形两直角边的和为 30，则 这个直角三角形面积的最大值为 ⁠. 1. 用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x (m)与面积 y (m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144 (0＜x＜24)，则该矩形的面积最大为 ⁠. 144m2　 112.5　 当堂检测 3. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击 出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.若不考虑空 气阻力，小球的飞行高度 h (单位：m) 与飞行时间 t (单位：s) 之间具有函数关系 h＝20t－5t2，则小球飞 行的最大高度为 ⁠. 20m　 当堂检测 4. 如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，求矩形框架ABCD的最大面积. 当堂检测 书写通关 解：设 ⁠. 根据题意得 ⁠ ⁠. 当x＝ 时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积 为 ⁠. 答： ⁠. AB＝xm　 S矩形ABCD＝AB·AD＝x·＝－x2＋ 4x＝－(x－2)2＋4　 2　 4m2　 矩形框架ABCD的最大面积为4m2　 当堂检测 5. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 4，将它剪去 4个全等的直角三角形，得到四边形 EFGH. 设 AE 的长为 x，四边形EFGH的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数解析式. 当堂检测 解：(1)∵正方形纸片ABCD的边长为4， 4个直角三角形全等， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，BE＝AH＝4－x， ∠A＝∠D＝90°， EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD. ∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°. ∴∠EHG＝90°.∴四边形EFGH是正方形. ∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16 (0＜x＜4). 当堂检测 (2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在， 求出最小值；若不存在，请说明理由.＝ 0， ∴y有最小值，最小值为8.即四边形EFGH的面积存 在最小值， 最小值为8. 解：(2)存在.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0， ∴y有最小值，最小值为8. 即四边形EFGH的面积存在最小值， 最小值为8. 当堂检测 返回 3. 如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系 　 (1)铅球推出的水平距离OA的长是多少？ 解得x＝10或x＝－2(舍去)， ∴铅球推出的水平距离OA的长是10 m. 举一反三 返回 (2)铅球推出的过程中最大高度是多少？ 解：∵y＝ ∴顶点的坐标为(4，3)． ∵ <0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是3 m. 举一反三 返回 4. [教材P51例2变式]泰安中考]改编如图，小明的父亲想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m，则可围成的菜园的最大面积是(　　) A．420 m2 B．450 m2 C．480 m2 D．500 m2 B 举一反三 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B出发沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm2. (1)BP＝________cm，BQ＝________cm. (用含t的代数式表示) 返回 5. (12－2t) 4t 举一反三 返回 (2)t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 解：由(1)得BP＝(12－2t)cm，BQ＝4t cm， ∴S＝ ×(12－2t)×4t＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36. ∵－4<0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36 cm2. 举一反三 用总长为a米的材料做成如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边长为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②所示，则a的值是(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 返回 6. B 举一反三 返回 7. 如图，将小球沿着与地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间t/s 0 0.5 2 飞行高度h/m 0 8.25 24 举一反三 返回 (1)求小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式(不写自变量取值范围)； 解：由题意可设h关于t的二次函数关系式为h＝at2＋bt， 将(0.5，8.25)，(2，24)代入得 ∴h关于t的二次函数关系式为h＝－3t2＋18t. 举一反三 返回 (2)若小球飞行时间不超过4 s，则小球飞行高度能否达到15 m？若能，求出此时t的值，若不能，说明理由； 解：能．当h＝15时，－3t2＋18t＝15， 解得t1＝1，t2＝5(舍去)． ∴若小球飞行时间不超过4 s，小球飞行高度能达到15 m， 此时t＝1. 举一反三 返回 (3)当t的值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 解：h＝－3t2＋18t＝－3(t－3)2＋27. ∵－3<0， ∴当t的值为3时，小球飞行的高度最大，最大高度是27 m. 举一反三 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：将y＝0代入y＝－x2＋x＋， 得0＝－x2＋x＋，整理得(x－10)(x＋2)＝0， y＝－x2＋x＋. －x2＋x＋＝－(x－4)2＋3， － 解得 $