广东广州市为明中学2025-2026学年高三下学期第三次质量检测数学试题

**基本信息** 高三数学质量检测卷以传统文化（刺绣色彩设计）、实际应用（工厂零件正态分布）和创新情境（高斯函数）为载体，通过多梯度问题设计，考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配高三复习阶段能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、数列、三角函数等|基础概念与运算结合，如第2题等差等比综合考查推理能力| |多选|3/18|正态分布、椭圆、高斯函数|选项分层设计，如第11题通过取整函数辨析数学思维严谨性| |填空|3/15|二项式定理、数列融合、立体几何折叠|第14题折叠问题考查空间观念与几何直观| |解答|5/77|解三角形、立体几何、概率、解析几何|第18题棋手破局概率模型体现应用意识，第19题解析几何综合考查逻辑推理与运算能力|

2025-2026学年高三下学期第三次质量检测数学试题 （考试用时：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，﹣1），则（　　） A．﹣1﹣3i B．1﹣i C．1﹣3i D．﹣1+i 2．已知等差数列{an}的公差不为0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1，a3，a9的公比是（　　） A．1 B．2． C．3 D．5 3．已知实数c＜0＜a＜b，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 4．将函数的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）为偶函数，则φ＝（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，则△ABC的形状一定是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x+1．函数g（x）＝e﹣|x﹣2|（﹣1＜x＜5），则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（　　） A．6 B．8 C．10 D．14 7．中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，后相继研发出双面三异绣、双面异色绣等绣技．其中双面异色绣是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面对应部位图案相同而色彩不同的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为如图中三片花瓣图案做一幅双面异色绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面异色绣作品的不同色彩设计方案有（　　） A．144种 B．264种 C．288种 D．432种 8．“﹣2≤b＜2”是“直线y＝x+b与曲线恰有1个公共点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．工厂生产了20000件零件，其尺寸X服从正态分布N（4，0.012）．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827．下列结论正确的是（　　） A．若P（X≤m）＝P（X＞m），则m＝4 B．若P（X≥2）＝0.8，则P（X≥6）＝0.2 C．尺寸在区间（3.99，4.01]的零件约有13654件 D．若P（X≥a）＝P（X≤b）（a＞b），则a+b＝4 10．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆C的离心率为 B．|PF1|的最小值为2 C．|PF1|•|PF2|的最大值为16 D．可能存在点P，使得∠F1PF2＝65° 11．∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（　　） A．∃x∈R，x≥[x]+1 B．∃x∈R，[4x]＝4[x]+2 C．∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y] D．函数y＝x﹣[x]（x∈R）的值域为[0，1） 三．填空题（满分15分，每小题5分） 12．展开式的常数项为　 　 ．（用数字作答） 13．已知an＝2n﹣1，，将{an}，{bn}中所有项从小到大排列，形成一个新的数列{cn}，设{cn}含有{an}中p项和{bn}中q项，当时，{cn}的前n项和Sn为　 　 ． 14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A'，并且平面A'BD⊥平面BCD．则下面四个命题中正确的是 　 　 ．（把正确命题的序号都填上） ①A'D⊥BC；②三棱锥A'﹣BCD的体积为；③BA′⊥CA′；④平面A'BC⊥平面A'DC． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC为锐角三角形，已知b＝2，且满足条件（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac． （1）求B的大小； （2）求△ABC面积的最大值； 16．（15分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E，F分别为PB，PD的中点．设平面AEF∩平面ABCD＝m． （1）求证：BD∥m； （2）求平面AEF与平面ABCD夹角的正切值； （3）若平面AEF与棱PC交于点M，求PM的长度． 17．（15分）已知函数f（x）＝（4a﹣7）•ax+b﹣4（a＞0且a≠1）是指数函数． （1）求f（x）的解析式； （2）若不等式bx（m+ax+1）﹣ax（bx+1+m）≤0对任意x≥0恒成立，求m的取值范围． 18．（17分）一位棋手持续破解一个残局，该残局共有十种走法，其中仅一种可获胜，其余九种均失败．在这十种走法中，有六种属于他的偏好棋路（均为失败走法），另外四种为非偏好棋路（含一种获胜走法和三种失败走法）．在偏好棋路局里，所有待选走法机会均等，并且一旦某一走法无法破解残局，将彻底舍弃该走法；非偏好棋路局同理；一旦成功破局后便不再尝试． （1）若该棋手将所有偏好棋路尝试完之后才尝试非偏好棋路，记X为该象棋爱好者成功破解该残局所需的局数，求P（X＝7）； （2）该棋手以每两局切换一次棋路的方式尝试破局，直至成功，并且前两局采用偏好棋路，记Y为该棋手成功破解该残局所需的局数，求Y的分布列； （3）倘若该棋手在第一局采用偏好棋路尝试破局的概率为．当偏好棋路失败时，下一局尝试切换为非偏好棋路的概率为，当非偏好棋路失败时，下一局尝试切换为偏好棋路的概率为，记Z为该棋手成功破解该残局所需的局数，求P（Z＝2）． 19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆外，且对C1上任意一点M，点M到直线l：x＝﹣3的距离比点M到点C2的距离小1． （1）求曲线C1的方程； （2）若直线l上一动点N，过点N作圆C2的两条切线，切点分别为S，T，求四边形NSC2T面积的最小值； （3）设为直线l上一动点，过点N作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点E，F和G，H．探究：点E，F，G，H的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．A．2．C．3．B．4．A．5．C．6．C．7．B．8．A． 二．多选题 9．ABC． 10．BC． 11．BD． 三．填空题 12．﹣160． 13．5154． 14．③④． 四．解答题 15．解：（1）因为（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac， 所以（a+c）2﹣b2＝3ac，即a2+c2﹣b2＝ac， 所以由余弦定理得：， 因为B∈（0，π），所以； （2）因为b＝2，a2+c2﹣b2＝ac，所以ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4， 所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2，即△ABC为等边三角形时取等号， 所以， 所以△ABC面积的最大值为． 16．解：（1）证明：在△PBD中，因为E，F分别为PB，PD的中点， 所以EF∥BD， 又因为EF⊂平面AEF，BD⊄平面AEF， 所以BD∥平面AEF， 又因为BD⊂平面ABCD，平面AEF∩平面ABCD＝m， 所以BD∥m． （2）设AC∩BD＝O，连接PO， 因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以O为正方形ABCD的中心， 所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD， 以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知，A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2）， E（0，1，1），F（0，﹣1，1），，， 设平面AEF的法向量为， 则，则，即， 令x＝1，则 因为PO⊥平面ABCD， 所以为平面ABCD的法向量，， 设平面AEF与平面ABCD夹角为φ， 则， 所以， 故． （3）连接AM，设，所以， 因为，所以， 已知平面AEF的法向量为， 所以平面AEF的法向量为， 由AM⊂平面AEMF，可知， 即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）＝0，解得， 所以，故． 17．解：（1）∵f（x）＝（4a﹣7）•ax+b﹣4（a＞0且a≠1）是指数函数， ∴4a﹣7＝1，b﹣4＝0，解得a＝2，b＝4， ∴f（x）的解析式为f（x）＝2x； （2）将a＝2，b＝4代入不等式bx（m+ax+1）﹣ax（bx+1+m）≤0， 得4x（m+2x+1）﹣2x（4x+1+m）≤0， 由2x＞0，得2x（m+2×2x）﹣（4×22x+m）≤0， 整理得（2x﹣1）m﹣2•（2x）2≤0， ∵x≥0，令t＝2x﹣1≥0，则2x＝t+1， ∴不等式转化为mt﹣2•（t+1）2≤0，整理得tm≤2t2+4t+2恒成立， 当t＝0时，0≤2恒成立． 当t＞0时，化为， ∵，当且仅当，即t＝1时等号成立， ∴m≤8，即m的取值范围是（﹣∞，8] 18．解：（1）该棋手先尝试偏好棋路，偏好棋路共6种且全部为失败走法，所以前6局必定全部失败， 第7局开始尝试非偏好棋路，非偏好棋路共4种，其中包含1种获胜走法和3种失败走法，且机会均等， 所以第7局获胜的概率为； （2）由题意知，棋手按两局偏好、两局非偏好的方式循环切换，直到成功， 前两局为偏好棋路（必败），所以Y的可能取值为3，4，7，8， 第3、4局切换为非偏好棋路（4种，1胜3败）：，， 若前4局均失败（概率为），第5、6局又切换回偏好棋路（剩余4种，必败）， 第7、8局再切换为非偏好棋路（剩余2种，1胜1败）：，， 注：第7局若失败，第8局必为剩下的那一种获胜走法，概率为1， 所以，Y的分布列为： Y 3 4 7 8 P （3）要使得Z＝2（即第1局失败，第2局成功），分析第1局的两种可能性： 第1局为偏好棋路： 偏好棋路必败（概率1），此时有的概率切换为非偏好棋路， 切换后，非偏好棋路共有4种走法（1胜3败），所以第2局获胜的概率为， 此分支概率为， 第1局为非偏好棋路： 非偏好棋路失败的概率为，此时有的概率不切换，继续尝试非偏好棋路， 继续尝试时，非偏好棋路还剩3种走法（1胜2败），所以第2局获胜的概率为， 此分支概率为， 综合上述两种情况，． 19．解：（1）由题意，设点M的坐标为（x，y）， 由题意得，易知点C2位于直线l：x＝﹣3的右侧， 因此x+3＞0，所以，化简得y2＝16x，曲线C1的方程为y2＝16x． （2）由题意得，C2的圆心为（4，0），半径， 又因为四边形NSC2T的面积， 因为当NC2的值最小时，四边形NSC2T的面积最小，又NC2的最小值为：3+4＝7， 所以四边形NSC2T面积的最小值． （3）当点N在直线l：x＝﹣3上运动时，设点N的坐标为（﹣3，y0）．又， 所以过点N且与圆C2相切得直线的斜率k存在且不为0， 每条切线都与C1有两个交点，则切线方程为y﹣y0＝k（x+3）， 即kx﹣y+y0+3k＝0，所以，整理得．① 设过点N所作的两条切线NS，NT的斜率分别为k1，k2， 则k1，k2是方程①的两个实数根， 所以． 联立得．③ 设点E，F，G，H的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实数根， 所以． 同理可得．⑤ 联立①③⑤三式，得 ， 所以当N在直线l：x＝﹣3上运动时，点E，F，G，H的纵坐标之积为定值2304． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/19 20:35:15；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $