精品解析：广东广州市花都区圆玄中学2025-2026学年高三下学期5月模拟考试数学试卷

圆玄中学高三5月模拟考试数学试卷 说明：1、试卷分值为150分，考试时间为120分钟． 2、考卷含试卷与答题卡两部分，其中试卷4页、答题卡4页． 试卷共4大题，19小题，其中第1题至11题为选择题．请将选择题答案用2B铅笔正确填涂在答题卡上，非选择题用黑色签字笔或钢笔规范书写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，其中，是实数，是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则化简后，根据复数相等的条件即可得解. 【详解】, 为实数，所以, 故选：D. 2. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出，，即可根据等比中项结合已知列出式子，求解得出答案. 【详解】数列是公差为2的等差数列， ，， 成等比数列， ，即，解得， 故选：C. 3. 若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可得选项A错误；举反例可说明选项B，D错误；利用幂函数的单调性可得选项C正确. 【详解】对于A，当时，，故A错误. 对于B，取，则，，故B错误. 对于C，因为幂函数在上为增函数，且，所以，故C正确. 对于D，取，则，故D错误． 故选：C． 4. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论． 【详解】要得到函数的图象， 要得到函数的图象， 需要把函数的图象向左平移个单位长度； 故选：C 5. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 6. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由奇偶性求得时的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】因为，，， 又由是偶函数，， 令，则， 根据是偶函数，， 得到时，， 所以，时，，， 故曲线在处的切线方程为， 即. 故选：C. 7. 将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案. 【详解】将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，由于首位不能为0，则有个， 其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有种， “19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有种， “20”和“19”都出现2次的排法有种， 因此满足条件的位数的个数为：. 故选：A. 8. 已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和事件的原则，逐项判断即可. 【详解】由题意：，. 对A：因为，，所以，故A错误； 对B：因为，，所以，故B正确； 对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误； 对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确. 故选：BD 10. 已知椭圆分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 离心率 B. 的周长为18 C. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D. 若，则的面积为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据离心率的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；求出可判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D. 【详解】由，可得，，， 对于A，离心率，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确. 对于C，设，，故C正确； 对于D，，， 又因为，所以， 即，解得, 所以，故D错误. 故选：ABC 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.称为高斯函数，其中，且表示不超过的最大整数，例如，.设函数，则（ ） A. B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将代入函数表达式中根据高斯函数定义求解即可得出选项A，利用函数周期性验证选项B即可，对分9种情况进行分析得出选项C，D选项，先利用诱导公式化简得出的解析式，然后对分9种情况进行分析得出即可. 【详解】选项A，因为函数， 所以 ，故A选项不正确； 选项B，由， 所以是周期为的函数，故B选项正确； 选项C，①当时， ， ②当时， ， ③当时， ， ④当时， ， ⑤当时， ，则， ⑥当时， ，则， ⑦当时， ，则， ⑧当时， ，则， 综上所述函数的值域为，故C选项正确； 选项D，因为函数， 所以， ①当时， ， 则， 此时， 所以， ②当时， ， 则， 此时， 所以， ③当时， ， 则， 此时， 所以， ④当时， ， 则， 此时， 所以， ⑤当时， ，则， 此时， 所以， ⑥当时， ，则， 此时， 所以， ⑦当时， ，则， 此时， 所以， ⑧当时， ，则， 此时， 所以， 综上所述：对任意，， 故D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算,即可得出答案. 【详解】的展开式的通项公式， 当即时， 故的展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 若数列满足为常数)，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列新定义有为等差数列，再由等差数列前n项和公式及下标和的性质得，最后应用基本不等式求的最大值. 【详解】因为数列为调和数列，所以，故为等差数列. 由，得，所以， 所以，故，故 由于， 此时，故的最大值为 故答案为： 14. 如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题： ①四棱锥的体积为20； ②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； ③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面； ④存在唯一的点E，使得平面，且. 其中正确的是______（填写所有正确的序号）. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由给定条件可得是平行四边形，求出三棱锥体积可判断①；求出中的最小值可判断②；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算可判断③，④即可作答. 【详解】平面与棱交于点F，连接，如图， 在长方体中，平面平面，平面平面，平面平面， 则有，同理，因此，四边形是平行四边形， 而平面，所以四棱锥的体积，①正确； 因截面四边形是平行四边形，则周长为， 把矩形与矩形展开在同一平面内，如图， 连接交于E，从而得的最小值为，显然点E唯一， 所以存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值，②正确； 在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点，，， 令是平面的一个法向量，则，令得， 设AD上点，而，， 当平面时，有，即，， 由得，则有， 即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含点）上移动时，在棱AD上均存在点G，使得平面， 当时，，此时点G在线段AD的延长线上， 即当点E在棱中点到靠近点的线段（不含两个端点）上移动时，在棱AD上不存在点G，使得平面，③不正确； 由③中信息知，要有平面，必有， 而，因此，，解得， 所以存在唯一的点E，使得平面，且，④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为. （1）判断的形状； （2）若是内一点，且，求面积的最大值. 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理边角转化再结合余弦定理得出勾股定理计算即可； （2）先设，再应用正弦定理边角转化,表示面积为，最后结合三角恒等变换结合正弦函数的最值计算面积最大值即可. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以. 因为，所以，整理得， 则，故为直角三角形. 【小问2详解】 设.因为，所以. 在中，由正弦定理得. 因为，所以， 则. 设的面积为，则 . 当，即时，取得最大值，即面积的最大值为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，设的中点为M，连接． 在中，点G为中点，M为中点， ，且． 根据条件可得，且， 且， 四边形为平行四边形， ． 又平面平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）证明线面平行转化为线线平行，设的中点为M，证明；（2）证明， 根据平行线分线段成比例可得；（3）二面角用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平面，平面，平面平面， ． 又， ， ． 又， ． 【小问3详解】 解：如图，以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 可得． 设平面的法向量为，则 即令，可得． 易得平面的一个法向量为， 故平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【详解】试题分析：用换元法令来求函数的解析式（2）由（1）得的解析式代入，分离含参量，求出实数的取值范围 解析：（1）令 ∴ 即：∴. （2）由 即： 又因为：，∴ 令，则： 又在为减函数，在为增函数. ∴ ∴，即：. 点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果． 18. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级． 现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 ， 则是对两次排序的偏离程度的一种描述． (Ⅰ)写出的可能值集合； (Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有， (i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 【答案】(Ⅰ)｛0，2，4，6，8｝ (Ⅱ) (Ⅲ) (i)1/216 (ii)由于是一个很小的概率, 这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小， :我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测. 【解析】 【详解】解: ( 1 ) X的可能取值集合为{0、2、4、6、8} :在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个, 所以a2 , a4中的奇数个数等于a1 , a3中的偶数个数, 与的奇偶性相同， 所以必为偶数, X的值非赖,且易知其值不大于8， .:.X的可能取值集合为{0、2、4、6、8} ( 2 )可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列， 计算每种排列下的x的值， 在等可能的假定下， 得到 (3)①首先 将三轮测试都有X≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得 ②略 19. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线l过点T，求的面积； （3）若直线平分，求直线l的斜率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解出即可； （2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案； （3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3， 即，解得， 所以拋物线的标准方程为：． 【小问2详解】 点，设． 此时直线的斜率为，的方程可写为． 与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，，， 此时面积为． 【小问3详解】 设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：， 将其与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，. 由题意：． 又，所以． 又因为，， 代入化简得：． 即． 又，故． 即，解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆玄中学高三5月模拟考试数学试卷 说明：1、试卷分值为150分，考试时间为120分钟． 2、考卷含试卷与答题卡两部分，其中试卷4页、答题卡4页． 试卷共4大题，19小题，其中第1题至11题为选择题．请将选择题答案用2B铅笔正确填涂在答题卡上，非选择题用黑色签字笔或钢笔规范书写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，其中，是实数，是虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 4 D. 3. 若且，则（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（ ） A. B. C. 若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D. 若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 10. 已知椭圆分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 离心率 B. 的周长为18 C. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D. 若，则的面积为8 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.称为高斯函数，其中，且表示不超过的最大整数，例如，.设函数，则（ ） A. B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的常数项为______. 13. 若数列满足为常数)，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________. 14. 如图，已知在长方体中，，，，点E为上的一个动点，平面与棱交于点F，给出下列命题： ①四棱锥的体积为20； ②存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； ③当点E不与C，重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面； ④存在唯一的点E，使得平面，且. 其中正确的是______（填写所有正确的序号）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为. （1）判断的形状； （2）若是内一点，且，求面积的最大值. 16. 如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 18. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级． 现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 ， 则是对两次排序的偏离程度的一种描述． (Ⅰ)写出的可能值集合； (Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列； (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有， (i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由． 19. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线l过点T，求的面积； （3）若直线平分，求直线l的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $