1.2反比例函数的图像与性质 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固，培养数学眼光与思维 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|图像名称、k值正负影响|单选题1考中心对称，填空题11考象限分布，强化概念辨析| |中档应用|对称性、k几何意义|填空题12结合面积求k，单选题6融合一次函数与正方形，提升推理能力| |综合拔高|跨知识整合、动态问题|解答题25动态几何证明面积不变，培养模型意识与创新思维|

1.2反比例函数的图像与性质（知识梳理+同步练习） 一、基础铺垫：反比例函数图像总认知 1.图像名称 反比例函数y=K(k≠0)的图像叫做双曲线欲 2.图像核心特征 ·双曲线由两支曲线组成，永不相交、永不相连 图像无限靠近坐标轴，但永远不与×轴、y轴相交 ·原因：x≠0，y≠0，横、纵坐标均不可能为0 二、核心重点：k值正负决定图像与性质 反比例函数所有性质，全由比例系数k的正负决定，是本节重中之重☑ 1.当k>0时（正k型） ·图像分布象限：第一、三象限 ·增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小 ·图像走势：从左上向右下倾斜，两支曲线分别在一、三象限对称分布 ·取值特点：第一象限X、y均为正；第三象限x、y均为负 2.当k<0时（负k型) ·图像分布象限：第二、四象限 ·增减性：在每个象限内，y随x的增大而增大 ·图像走势：从左下向右上倾斜，两支曲线分别在二、四象限对称分布 。 取值特点：第二象限x负y正；第四象限x正y负 超级易错口诀（必背） k正一三、递减；k负二四、递增 重中之重：增减性必须加“在每个象限内”，绝对不能说“全体定义域内”！（考试高 频扣分点) 三、高频考点：反比例函数的对称性 反比例函数双曲线是双重对称图形，考试选择、填空高频考 1.中心对称 对称中心：坐标原点(0,0) 性质：若点(a,b)在双曲线上，则其关于原点的对称点（-a,b)也在双曲线上。 2.轴对称 两条对称轴：直线y=X、直线y=-x 性质： ·点(a,b)关于y=x对称点(b,a)在图像上 ·点(a,b)关于y=-x对称点(-b,a)在图像上 四、重难点拔高：k的几何意义（必考压轴基础） k的几何意义是本章计算、面积题型的核心，90%的图像计算题都会用到众 1.基础几何结论 若点P(x,y)是反比例函数y=k(k≠0)图像上任意一点： X 过点P分别作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积恒等于k 连接原点、点P、垂足， 围成的k直角三角形面积恒等于 2.核心公式 S矩形=k 5-n8-aiki 3.关键注意点 面积永远为正数，所以必须带绝对值 已知面积求k时，一定要根据图像象限判断k的正负，切勿漏符号 经典考法 图像在一、三象限→k>0;图像在二、四象限→k<0 已知面积求k:先算绝对值数值，再根据象限判断正负！ 五、本节核心知识汇总表 k的取值 图像象限 象限内增减性 对称性 图像特征 k>0 第一、三象限 每个象限内， 原点中心对 两支曲线分居 y随x增大而 称、直线 一三象限，远 减小 y=x、y=-x轴 离坐标轴 对称 k<0 第二、四象限 每个象限内 原点中心对 两支曲线分居 y随x增大而 称、直线 二四象限，远 增大 y=x、y=-x轴 离坐标轴 对称 同步练习 一、单选题 1,已知一条过原点的直线与双曲线y-(k≠0)的一个交点为(2,3).则它们的另一个 交点坐标是（) A.(2,3) 8.(1-2) c.(2,-3) D.（-2-3) 2.若一次函数y=r+b的图象经过第一、二、四象限，点），（，）(2)都 在反比例色致y史的图象上，则() A.为>%>1B.为>%>为 c.片>为> D.为>h>为 k2 ks 3·如图是三个反比例函数片=，为少 x 在x轴上方的图象，则k,k,k的大小 关系为() y◆ y3= A.东>>6 8.6>6>6 c.>6>6 D.6>k>6 4,在平面直角坐标系中，点PUm,川在反比例函数y=c>0的图像上，若m从1逐 渐增大到5，则OP的长() A.逐渐减小 B.逐渐增大 C.先增大后减小D.先减小后增大 5关于反比例属数下列说法错误的是() A·函数图象在第一、三象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而减小 C.当x>-1时，y<-3 D.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a)也在它的图象上 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3x+6的图象与x轴、y轴分别交于 A、B两点，正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y=k≠0) 的图象上.若正方形ABCD沿x轴向左平移n个单位长度后，顶点C恰好落在反比例函 数的图象上，则n的值是() y B OA A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为6,0)、(0,4)点D为线段B 的牛点音O6D沿销向右平移至人A1CG处，若面数)年(0：>0)的图家经 过点E.则k的值为() B A.6 B.8 C.12 D.18 8.在平面直角坐标系0中，已知二次函数'=+r+c(如≠0)图象的顶点为，-2) 则一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象可能是（) Q.如图，点Ba可在双自线y套(0且>0)上，作MLx于点4BCLy轴 于点C,将四边形OABC绕点A顺时针旋转g0~得到四边形ADB,若双曲线y-,经过 m EF的中点P,则n的值为() W B F y= 0 A A.2 2 2v2 5 B.4 c.5 D.5 10.如图，矩形ABCD对角线的交点M在x轴上，边AB平行于x轴，OE:OF=1:3, 数乃经过点B、反比例函数为二经过D ) B A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 1.若反比例函数y=a x的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 12.一个反比例函数在第三象限的图象如图，A是图象上任意一点，AM⊥x轴于点M, 0 AOM 3 是坐标原点·如果 “的面积是，那么这个反比例函数的表达式是 13.已知点P(-5,-)在反比例函数y=(m≠0)的图象上，则m的值是 14.如果反比例函数=(m+“(m是常数的图像在第二、四象限那么m的值 是】 15.如图。反比例函数y=的图象经过平行四边形ABCD的顶点ACD在，轴上.点 B在'轴上，Sm=16 则实数的值为 11 16.函数y=与y=x-3图象的-个交点坐标为(a,b).则。6的值为 3 17.如图，点A、B在反比例函数y=x的图像上，过点A、B分别向x轴、y轴作垂线段 已知阴影部分的面积等于1，则+成， S B S2 18.如图，已知点A是反比例函数y=图象上的一点，过点A作ABly轴，交x轴于 点B,点C在x轴负半轴上，连接AC交y轴于点D,若BO=2CO,则S△Moc= B 1日，如图，点4在双由线y上点6在议曲线y上，仍编过点作 AD⊥x 轴于D,连接B与P相交于点C若B=30D则 ,则的值为 B 20.如图，4，B是双曲线y(x>0)上的两点，过点A作4C1x轴，垂足为点C,文 于点D若△100的面积为5，D为的中点则太的值为 OB OB y B 三、解答题 21.已知反比例函数y= 的图像与正比例函数y=-2x的图像相交于点(1，m)· (1)求k和m的值，并画出这个反比例函数的图像， (2)根据反比例函数图像，指出当x>1时，y的取值范围， 22·已知y与x+2成反比例函数关系，且当x=-1时，y=3 (1)求y与x之间的函数表达式： (2)当x=0时，求y的值. 23.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)与一次函数y=m+b(a≠0) 的图象相交于点4(2，m)与点B(4,2) D (1)求一次函数和反比例函数的解析式 (2)根据图象，当x>0,r+b>时，求x的取值范围. (3)求△AOB的面积. 24.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点.如图，一次函数y=r+b(a为常数 a0)与反比创函数y一年：为常数k40）的图家相交于点42)利点Bm、 (①)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C;过点A作x轴的垂线，过 点B作y轴的垂线，相交于点D.求证：C,O,D三点在同一条直线上 25.如图，点A在y轴的正半轴上，过点A作x轴的平行线，交反比例函数 片-（>0)的图像于点。过点B作y轴的平行线，交反比例函数1-二(x>0的园像 6 于点C,过点C作x轴的平行线，交y轴于点D,记四边形ABCD的面积为S. y2= 6(x>0) A B D C y1= 2(x>0) 0 (1)若点A的纵坐标为2，求$的值； (2)求证：无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变. 答案 题号 1 2 3 6 7 8 10 答案 C C B D C B D A A & 1.C 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为 （-2,3) 则另一个交点为23) 故选：C. 2.C 【详解】解：因为一次函数y=+b的图象经过第一、二、四象限 所以a<0,b>0 则ab<0 所以反比例函数y-的图象位于第二、四条限且在每一个象限内y随x的增大而增 大 因为-1<0<1<2 所以片>0>⅓>为 故选：C. 3.B 【详解】解：反比例函数为=生的图象分布在第二家限，反比例函数⅓-冬和 k 的图象分布在第一象限 y= .k<0,k2>0,k3>0 当引时，由图象可得，>>0 ∴k2>k>k 故选：B 4.D 【详解1解如图.设直线y=与反比例函数y>0的图像文交于点M y=x M y=x 4 联立方程y= 解得x=2,y=2 .M(2,2) 设该反比例函数上另一点W的坐标为(a,b), (a-b)2=a2-2ab+b2≥0 ∴.a2+b2≥2ab 0W=Va2+b2≥V2ab=2√2=0M 由此可得，当点P与M重合时，OP的长最小 此时x=2, :1<2<5 ..OP 的长先减小后增大· 故选：D 5.C 【详架1解反比剑函数y中=3>0 ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，故A正确，不符合 题意 当x>O时，图象在第一象限，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意； 3 当x=1时y=3, 当x<0时，图象在第三象限，y随x的增大而减小， 当-1<x<0时，y<-3, 又当x>0时，y>0 ∴当x>-1时，y的取值范围是y<-3或y>0,故C错误，符合题意； 若点a)在函数图象上，则b-】即b= 即点(b,a)也在函数图象上，故D正确，不符合题意· 6.B 【详解】解：过D、C分别作DE⊥x轴，CF上y轴，垂足分别为E、F,CF交反比例 函数的图象于G D A,B为函数y=-3x+6与x轴、y轴的交点. ∴当x=0时y=6;当y=0时，x=2, ·42,0)B0,6) .0A=2,OB=6: ,ABCD是正方形 ∴.∠BAD=90° .∠BAO+∠DAE=90° .∠BAO+∠OBA=90° .∠OBA=∠EAD 在△AOB和△DEA中 ∠OBA=∠EAD ∠BOA=∠AED AB=AD ·△AOB2aDEA(AAS) 同理可证得： △AOB≌ABFC(AAS) ·△AOB≌ADEAS△BFC(AAS) .DE=BF=OA=2 AE=CF=OB=6 D(8,2）F(0,8) 把D82.代入y=中 解得：k=16 16 ∴y= 16 把y=8代入y=中， 解得：x=2 .FG=2 .CG=CF-FG=6-2=4 .n=4 故选：B. 7.D 【详解】解：点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,4) 点D为线段AB的中点， :D(32)0A=6 ·将△OBD沿x轴向右平移至△ACE处， ∴.平移距离为6， E(9,2) .k=9×2=18 故选：D 8.A 【详解】解：“二次函数'=+br+c图象的顶点为l-2刃 可设y=a(x+-2即y=am2+2cx+a-2 x=-1, 该二次函数图象的对称轴为 b :.2d =-1, ∴.b=2a, 一次函数为y=r+2a,即y=a(x+2) ∴一次函数y=+b的图象恒经过定点-2,0)排除B,C, 当a<0时，b=2a<0,排除D. 故选A. 9.A 【详解】解：由题意可得OA=BC=m,OC=AB=n, 将四边形OABC绕点A顺时针旋转9O°得到四边形FADE .AD=AB=n AF=DE=BC=m ..OD=OA+AD=m+n F(m,m）E(m+n,m) 点P是EF的中点， (2m+n k 点B和点P都在双曲线y= =x（k>0且x>0)上， '.mn 2m+”m 2 m 1 整理得m2 10.B 【详解】解：如图，连接OB 矩形 对角线的交点M在x轴上 ABCD :.MA=MCMD=MB∠DAB=∠ABC=90° 又'∠AMD=∠CMB ∴.aAMD≌aCMB(SAS) :边AB平行于x轴 ∴.AB∥EF 、.∠AEF=∠BFE=90° ·M证和MF是△MMD △CMB 和 的高 ..ME =MF .OE:OF=1:3 .OE-OM-TME-TMF 2 MF2 OF 3 ..S.wt._MF_2 S.OBF OF 3 S.BMF =1 3 :S.cm=2, 反比例函数)经过点只、D两点 .k>0 .k=3 故选：B 11.a>3 【详】解“反比何正数y-的网象有一支位于苹三家限 ∴a-3>0 .a>3 故答案为：a>3 12.少=6 【详解1设这个反比例函数的表达式为y-k0,因为S心=3.所以=3，所 以利=6 因为双曲线的一支在第三象限内，所以k>0,所以k=6, 即这个反比例函数的表达式为y=6 故答案为：y=6 13.5 【详解】解：~点P(-5,-)在反比例函数y=心(m≠0)的图象上， 1-m -5 .m=5 故答案为：5 14.-3 【详解】解：“反比例函数的一般形式为)= ；其中k0 m-4=-1 可得m+1≠0，解得m=3且m≠ :反比例函数的图像在第二、四象限， .m+1<0,解得m<-l, ∴.m=-3 15.-16 【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴 A B DECO衣 ,四边形ABCD是平行四边形 .AB∥CD S网边形ABOE=S网边形HD=ABOB SARCD =16 S矩形HOB=S平行四边形BCD=16 反比例函数的图象在第二象限 .k=-16 故答案为：-16 16.-3 1 【详解】解：~函数y=x与y=x-3图象的-个交点坐标为(a,b), 61 a'b=a-3 .ab=1,b-a=-3 11_b-a=-3 .a b ab 故答案为：-3 17.4 【详解】解：由题意得， S影+S=3,S影+S2=3 S阴影=1 .S1=2,S2=2 ∴S1+S2=4 故答案为：4 18.1 4 x,-(x>0) 【详解】解：设点A的坐标为x 则点B的坐标为（化0），MB=4 x OB=x 则5m寸00=2 B0=2C0 1 21 19.24 【详解】解：过点B作BE⊥x轴于E,延长线段BA,交y轴于F, Fh. B E :AB∥x轴 :AF上y轴 AFOD OEBF 四边形 是矩形，四边形 是矩形 .AF=OD BF=OE ..AB=DE :点4在双曲线y=6 上 ∴S矩形AFoD=6 同理卡 .AB=30D .DE=30D .0E=40D ∴S矩形0Er=4S矩形AOD=24 .k=24 故答案为：24. 20.4 【详解】解：设点B(2m,2m） ..4mn=k .D OB 为的中点， ..D(m,n) :AC⊥x轴， ∴4m≤ m ∴.A(m,4n) .AADO 1.5 的面积为 1 SMon=2AD-OC 4n-n)×m=1.5 2 ∴.mn=1 ∴.k=4mn=4 21.(1)k=-2,m=-2 (2)-2<y<0 【详解】(1)解：根据题意，将x=1代入y=-2x,解得y=-2, k “交点坐标为（亿，-2）：再代入反比例函数y=中，解得k=-2 二反比例函数解析式为y= x 列出几组x、'的对应值： -4 -2 -1 1 2 4 0.5 2 -2 -1 0.5 描点连线，即可画出函数图像，如图： 43 2 -6-5-4-3-2- (2)当x=1时，y=-2 根据图像可知，当x>1时，-2<y<0. 故当x>1时，y的取值范围是-2<y<0 22.(1)y=3 +2 网 【详解】(1)y与x+2成反比例函数关系， k ·设该函数的解析式为y= x+2, x=-1时，y=3 .3=-k -1+2 .k=3 y与*之间的函数表达式为：y=3 +2 3 (2)y= x+2 33 当x=0时y=0+22· 8 23.(1)一次函数的解析式为y=-x+6,反比例函数的解析式为y= (2)2<x<4 (3)△AOB的面积是6 【详解】)解反比例函数（x>0)的图象过点B42) 「42解得8 :反比例函数的解析式为y=8 8 点2a在的图象上 m至-4则2. :一次函数'=瓜+b(a0)的图象过点42,4刊和点B(42列 [2a+b=4 .4a+b=2 [a=-1 解得b=6, 一次函数的解析式为'=x+6 (2)解：“一次函数与反比例函数的交点为1(2,4)和B(4,2）,由图象可知，在两个交 点之间，一次函数图象在反比例函数图象的上方， :当+6>会时4的取省苑国为2<4 (③)解：当x=0时.y=6.则点D0,6) A(2,4)B(4,2) 片5m分x6x4=2.Sm-方x6x2-6 则5A0s=Sam-S.4m=12-6=6 24. k 【详解1(1)解：把42,5)代入y=x中得：k=2x5=10: ~反比例函数解析式为y=10 把B(m-4到代入y= x中得4= m:解得m= 2 3- 2k+b=5 把42S834入y+6中符：+64 [k=2 解得b=1 一次函数解析式为y=2x+1: (2)证明：过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴 的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D, .c3e-4 同理可得直线OD解析式为y=-2x,直线OC解析式为y=-2x ∴.C,O,D三点在同一条直线上. 25 【详解】(1)解：由题意可知B点的纵坐标为2， 把y=2代入为x>0 可得2= x解得x=3 B(3,2) ∴.C点的横坐标为3， 把x=3代入y-名>0得y= 2 ÷AB=3: BC=2-2、4 33 S-4B-BC-3x4-4: 3 (2)证明：延长BC,交x轴于E, y y2= 6(x>0) B o 2(x>0) 0 E :AB∥CD∥x轴，BC∥y轴 6 2 又~点B在反比例函数=x>0)的图像上，点c在反比例函数乃=c>0)的图像 上 S四边形AB0=6S四边形DCO=2 .S=S四边形BB0-S四边形DCE0=6-2=4 ∴.无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变.