1.1反比例函数的概念（知识梳理+同步练习） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦反比例函数概念，通过基础辨析-情境应用-综合建模三阶分层，强化概念理解与实际问题解决，培养抽象能力、模型意识与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|定义辨析、表达式识别|单选1-5题结合反例对比，填空11-15题强化参数取值，夯实符号意识| |理解应用层|图像性质、实际情境关联|单选6-10题融入几何与生活场景（如人均耕地），填空16-20题结合点坐标求参数，发展推理意识| |综合拓展层|函数关系建立、数据分析|解答题21-25题通过表格数据（运输天数、装订本数）构建模型，提升应用意识与抽象能力|

1.1反比例函数的概念 知识梳理+同步练习 一、反比例函数的定义 1. 严格定义 一般地，形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数。 其中：是自变量，是的函数。 2. 三种等价表达形式（重点拓展） 反比例函数可灵活变形，三种形式本质完全一致，考试中高频考查变形判断： · 标准分式型：（），最基础、最常用形式 · 乘积型：（），快速判断变量反比例关系 · 负指数型：（），多用于根据函数定义求参数取值 3. 自变量与函数值取值范围（易错点💥） · 自变量x：不等于0的一切实数 原因：在分式分母位置，分母为0时分式无意义。 · 函数值y：不等于0的一切实数 原因：、，二者乘积不可能为0，故。 三、反比例函数判定四大黄金条件（解题核心） 判断一个函数是否为反比例函数，必须同时满足4个条件，缺一不可： 1. 函数解析式可化为反比例函数三种标准形式之一； 2. 自变量的次数为-1（负指数形式判定专用）； 3. 比例系数（最容易遗漏的条件！）； 4. 变量为两个独立变量，无其他附加限制干扰反比例关系。 举反例快速区分 ① ❌ 不是反比例函数（分母是多项式，不是单一自变量x） ② ❌ 未说明，不满足定义 ③ ✅ 是反比例函数（符合负指数标准形式，） 同步练习 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数是y关于x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列数量关系中，成反比例关系的是（     ） A．橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高 C．学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D．速度一定，路程与时间 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 5．（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北承德·二模）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 8．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 9．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·河北唐山·期末）面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）王老师买了一些糖果分给学生，若每人3颗，可以分给25名学生；若每人颗，可以分给名学生，则用式子表示与之间的关系为_____． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 13．（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 14．（25-26八年级下·河南周口·期末）反比例函数过点和，则________． 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）若函数是反比例函数，则k的值为__________． 16．（2026·福建厦门·三模）在平面直角坐标系中，若点，在某反比例函数的图象上，则的值为________． 17．（25-26八年级下·吉林长春·期末）功率P与时间t成反比例，图像经过，若，则_________． 18．（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数，当时，那么的值为________． 19．（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 20．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 三、解答题 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 22．（25-26八年级·上海·寒假作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 23．（25-26九年级上·陕西延安·期末）已知反比例函数的图象经过点，求的值． 24．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 试卷第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D D B D D C A 1．C 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 2．B 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 3．C 【详解】解：当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 4．D 【详解】解：把点代入可得． 5．D 【详解】解：反比例函数的值是． 6．B 【详解】解：将依次代入各选项计算函数值， 选项A，，，，不符合题意； 选项B，，，满足函数值为的条件，符合题意； 选项C，，，，不符合题意： 选项D，，，，不符合题意． 7．D 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 8．D 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 9．C 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 10．A 【详解】解：由题意可得，， ∴y＝， 故选：A． 11． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 12．， 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 13．（2）、（3） 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 14． 【详解】解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 15．0 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 16． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， ∵点，都在这个反比例函数的图象上， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 综上，的值为2． 17．45 【详解】解：根据图像经过， 设此函数表达式为： ， 则 ， ∴若，则. 18． 【详解】解：将代入，得 19．或 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 20． 【详解】解： 函数的图象经过点和， ， 整理得，， ． 21．(1)函数关系式为，是反比例函数 (2)函数关系式为，是反比例函数 【详解】（1）解：， ， 是常数且， 是常数且， 是的反比例函数． （2）解：， ， 是常数且， 是的反比例函数． 22．（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 23． 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ， 解得． 24．(1)500吨 (2) (3)成反比例关系， 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 25．(1)补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2)解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 解：（页）． 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $