专题02 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2026-2027学年上学期高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从空间直角坐标系的建立（含坐标轴、坐标平面等概念）到点的坐标表示，延伸至空间向量的坐标及运算（加减、数乘、数量积），最终落脚于向量平行垂直的坐标条件，构建完整知识脉络作为学习支架。 该资料亮点在于知识点结构化呈现（表格对比坐标特点、运算公式），高频考点覆盖全面（含选择、填空、解答题）。通过具体题目培养数学思维（运算能力、推理意识）和数学语言表达（坐标表示应用），课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过典型题巩固，查漏补缺。

专题02 空间向量及其运算的坐标表示高频考点精讲 知识点1：空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点2：空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 知识点3：空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 知识点4：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　空间向量与点坐标的表示 考点三　空间中点的对称问题 考点四　空间向量投影的问题 考点五　空间向量模长的问题 考点六　空间向量平行的坐标表示 考点七　空间向量垂直的坐标表示 考点八　空间向量夹角的问题 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量四则运算的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故选：D 2．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法运算即可求解. 【详解】由题意可得． 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）已知，则______. 【答案】4 【分析】根据空间向量的数量积公式计算求解. 【详解】，，所以. 故答案为：. 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点，点，则线段中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式直接求解即可. 【详解】，，根据中点坐标公式可得：线段中点坐标为. 故选：B. 考点二　空间向量与点坐标的表示 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可. 【详解】因为，，设， 所以，， 因为，所以， 解得，得到. 故答案为： 6．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 【答案】 【分析】由题可知，设，然后根据向量坐标运算求出 和的坐标，再利用列出方程，进而求解点M的坐标． 【详解】由，得.设， 由，得， 即. 解得，即. 故答案为：． 7．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用关系列出方程即可求解. 【详解】设点，则，, 由于，所以，解得：，所以点C的坐标为 故选：B 8．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知A，B，C三点的坐标分别是，，，点，则点P的坐标是__________. 【答案】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】，设， 所以，解得. 故答案为：. 考点三　空间中点的对称问题 9．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 10．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 11．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 考点四　空间向量投影的问题 13．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 14．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，再利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 16．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______. 【答案】4 【分析】由投影向量计算公式即可求解. 【详解】若在上的投影向量为， 即， 则，解得. 故答案为：4 考点五　空间向量模长的问题 17．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 18．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可. 【详解】向量，，共面，存在实数使得，即， ，解得，， ， . 故选：A. 19．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的加法、减法、数量积、模的坐标公式运算. 【详解】由题意得，，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 20．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量的减法运算求出，再由空间向量模的计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：B. 考点六　空间向量平行的坐标表示 21．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 22．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 23．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 24．（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【分析】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 考点七　空间向量垂直的坐标表示 25．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 26．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 27．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 28．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 29．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 30．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知，，如果，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接计算可得. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A 考点八　空间向量夹角的问题 31．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 32．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 33．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 34．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 35．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 36．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 【答案】C 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量及其运算的坐标表示高频考点精讲 知识点1：空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． (2)有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点2：空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)． 知识点3：空间向量的坐标运算 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 知识点4：空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　空间向量与点坐标的表示 考点三　空间中点的对称问题 考点四　空间向量投影的问题 考点五　空间向量模长的问题 考点六　空间向量平行的坐标表示 考点七　空间向量垂直的坐标表示 考点八　空间向量夹角的问题 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）已知，则______. 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点，点，则线段中点坐标为（    ） A． B． C． D． 考点二　空间向量与点坐标的表示 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知，，且，则点的坐标为______． 6．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 7．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知A，B，C三点的坐标分别是，，，点，则点P的坐标是__________. 考点三　空间中点的对称问题 9．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 10．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 考点四　空间向量投影的问题 13．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______. 考点五　空间向量模长的问题 17．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 18．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 19．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，则（   ） A．2 B． C．3 D． 考点六　空间向量平行的坐标表示 21．（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 22．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 23．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 24．（25-26高二上·江西宜春·期末）（多选）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 考点七　空间向量垂直的坐标表示 25．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 26．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 27．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 28．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 29．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 30．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知，，如果，则（   ） A．5 B． C． D． 考点八　空间向量夹角的问题 31．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 32．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 33．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 34．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 35．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 36．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $