2.2 锐角的正切 学案 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦九年级上册“2.2锐角的正切”，核心内容包括正切定义、特殊角正切值及计算器应用。课堂导入通过复习正弦余弦定义和相似三角形性质，结合比萨斜塔倾斜度问题，搭建旧知到新知的学习支架。 导学案突出小组合作推理证明比值固定，培养学生推理能力，联系实际问题发展几何直观与创新意识。习题分层设计，从基础识记到拓展应用，助力巩固知识，提升用数学语言表达现实问题的能力。

分课时学案 课题 2.2锐角的正切 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级上册 学习 目标 1.知识与技能：能够规范说出正切定义，准确分辨直角三角形内锐角的对边与邻边，熟练书写表达式，牢记正切值，规范完成相关混合运算，并会使用计算器求、反求锐角正切。 2.过程与方法：类比正弦、余弦的研究思路，通过小组合作推理证明同一锐角对边与邻边比值固定不变，自主推导特殊角正切值，完整经历概念形成过程，锻炼逻辑推理、类比迁移和规范计算能力。 3.情感态度价值观：学生在小组探究与计算器实操活动中体会三角函数内在关联，乐于参与课堂讨论展示，自主推导、订正错题时收获成就感，提升几何学习兴趣与学习自信心。 重点 1.正切的概念定义，能在直角三角形中准确求解指定锐角的正切值； 2.30°、45°、60°特殊角的识记与相关代数混合运算。 难点 1. 借助相似三角形证明同一锐角的对边与邻边比值为固定常数，与直角三角形的大小无关； 2. 区分正切、正弦、余弦的边角结构，避免混淆对边、邻边、斜边。 教学过程 导入新课 【复习提问，温故孕新】 ①请分别说出sin A、cos A的定义，二者对应直角三角形中哪两条边的比值？ ②为什么同一个锐角的正弦值、余弦值不会随直角三角形的大小变化？ ③在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请写出sin30°和cos30°的结果。 【引入思考】 比萨斜塔之所以闻名世界，是因为它“斜”。如果我们要用数学语言来描述这座塔倾斜得有多厉害，你觉得应该看哪些数据？请你写出你的思考。 新知讲解 本节课来研究：标明学习内容 1. 正切的概念定义以及相关证明； 1. 特殊角的正切值； 1. 计算器求任意锐角的正切值； 1. 锐角三角函数的统称。 提炼概念（本节课主要内容提炼） 1.请你归纳正切的定义： 关键词：对边 ÷ 邻边（注意不是斜边） 2锐角三角函数： 变式1（基础定义应用）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，分别求tan A与tan B； 变式2（综合混合运算）：计算tan²45° + 3tan30°·tan60° 典例精讲 例4：计算。 课堂练习 尝试练习，巩固提高 1.基础识记填空：tan30°=____，tan45°=____，tan60°=____； 2.图形基础题：Rt△MNP中∠N=90°，MN=4，NP=4，求tan M； 3.运算提升题：(tan60° - tan45°) ÷ tan30°； 4.实操提升题：用计算器求tan47°24′（精确到0.0001）； 课堂小结 回顾这节课你学到了什么？ 课后作业 基础达标： 1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，若∠A的对边为3，邻边为4，则tanA的值为（　　） A.　　B.　　C.　　D . 2.下列关于锐角三角函数的说法中，正确的是（　　） A. tan30° > tan45° B. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，tanA = BC/AB C. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若∠A = 45°，则tanA = 1 D. 所有锐角的正切值都小于1 3.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 5，BC = 12，则tanA = ______，tanB = ______。 4.计算：tan45° + tan30° 能力提升： 5.计算：tan²60° − tan30° · tan60° 6.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，则tanA的值为（ 　） A.　　B .　　C .　　D . 7.若锐角α满足tanα =，则α的度数为（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 75° 8.计算：tan²45° + 3tan30° · tan60° 9.计算：(2tan30° − tan45°)(tan60° + 1) 拓展迁移： 10.如图，一段斜坡的铅直高度为2m，水平宽度为6m，则这段斜坡的坡度（即铅直高度与水平宽度的比）为（　　） A. 　　B. 3　　C.　　D. 11.已知锐角α的正切值tanα = ，且∠α所在的直角三角形斜边长为13，则该三角形的面积为______。 12.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3。 （1）求tanA和tanB的值； （2）求tanA + tanB的值； （3）求tanA · tanB的值，并说明你发现了什么规律。 13.某校数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度。他们在地面上一点A处测得旗杆顶端B的仰角为α，已知A点距旗杆底部C的水平距离为15m，且tanα = 。求旗杆BC的高度。 答案： 【复习提问，温故孕新】 ①请分别说出sin A、cos A的定义，二者对应直角三角形中哪两条边的比值？ 回答： 在，： 是的对边与斜边的比值，； 是的邻边与斜边的比值，。 ②为什么同一个锐角的正弦值、余弦值不会随直角三角形的大小变化？ 回答：只要锐角大小固定，所有包含这个锐角的直角三角形两两相似，相似三角形对应边长成比例，因此该锐角对应的边长比值永远相等，和直角三角形整体大小无关。 ③在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请写出sin30°和cos30°的结果。 回答：，。 课堂练习： 尝试练习，巩固提高 1.基础识记填空：tan30°=____，tan45°=____，tan60°=____； 答案： ； ； 2.图形基础题：Rt△MNP中∠N=90°，MN=4，NP=4，求tan M； 答案： 3.运算提升题：(tan60° - tan45°) ÷ tan30°； 解答：代入已知值： 化简得： 4.实操提升题：用计算器求tan47°24′（精确到0.0001）； 的具体按键步骤如下： 第一步：确认模式 首先确保计算器处于“角度模式”（DEG），而不是弧度模式（RAD）或梯度模式（GRA）。 · 检查方法： 看屏幕上方是否显示一个小写的 D 或者 DEG。 · 如果没有： 请按 SHIFT MODE (SETUP) 选择 3: Deg。 第二步：输入数值 · 按下正切函数键：tan · 输入度数 47：按下数字键 4、7 · 输入度分秒符号：按下 °\" 键（通常位于右下角，DEL键上方）此时屏幕应显示：tan 47° · 输入分数 24：按下数字键 2、4 · 再次输入度分秒符号：按下 °\" 键 · 此时屏幕应显示完整算式：tan 47°24 第三步：计算结果 · 按下等号键：= · 屏幕会显示计算结果，通常是一长串小数，例如：1.085716... 第四步：按要求修约 题目要求精确到 0.0001（即保留四位小数）。 · 观察第五位小数是 1，小于 5，直接舍去。 · 最终结果： 1.0857 注意： 如果是老式计算器（不能直接显示算式的），按键顺序可能是： 47 °\" 24 °\" tan = 作业布置： 基础达标： 1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，若∠A的对边为3，邻边为4，则tanA的值为（　A　） A.　　B..　　C..　　D. . 2.下列关于锐角三角函数的说法中，正确的是（　C　） A. tan30° > tan45° B. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，tanA = BC/AB C. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若∠A = 45°，则tanA = 1 D. 所有锐角的正切值都小于1 3.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 5，BC = 12，则tanA = ______，tanB = ______。 4.计算：tan45° + tan30° 解析：tan45° + tan30° = 1 + = 能力提升： 5.计算：tan²60° − tan30° · tan60° 解析：= ()² − () × = 3 − ( × )/3 = 3 − = 3 − 1 = 2 6.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，则tanA的值为（　C　） A.　　B. .　　C. .　　D. . 7.若锐角α满足tanα =，则α的度数为（　C　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 75° 8.计算：tan²45° + 3tan30° · tan60° = 1² + 3 × () × = 1 + 3 × (× )/3 = 1 + 3 × = 1 + 3 = 4 9.计算：(2tan30° − tan45°)(tan60° + 1) = (2 × − 1)( + 1) = (2)() + (2)(1) − 1 × − 1 × 1 = 2 × + 2 − − 1 = 2 + 2 − 3 − 1 = 1 − = 拓展迁移： 10.如图，一段斜坡的铅直高度为2m，水平宽度为6m，则这段斜坡的坡度（即铅直高度与水平宽度的比）为（　A　） A. 　　B. 3　　C.　　D. 11.已知锐角α的正切值tanα = ，且∠α所在的直角三角形斜边长为13，则该三角形的面积为____30__。 12.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3。 （1）求tanA和tanB的值； （2）求tanA + tanB的值； （3）求tanA · tanB的值，并说明你发现了什么规律。 【答案】 （1）tanA = = ，tanB = = （2）tanA + tanB = + = + = （3）tanA · tanB = × = 1 发现规律： 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A + ∠B = 90°（即∠A与∠B互余），则 tanA · tanB = 1，也就是说，互为余角的两个锐角的正切值互为倒数。 13.某校数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度。他们在地面上一点A处测得旗杆顶端B的仰角为α，已知A点距旗杆底部C的水平距离为15m，且tanα = 。求旗杆BC的高度。 解析： 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = α，AC = 15m（水平距离），BC为旗杆高度（铅直高度）。 tanα = = BC = 15 × = 12（m） 答：旗杆BC的高度为12m。 学科网（北京）股份有限公司 $