2.3 解直角三角形（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

2.3  解直角三角形

【学习目标】

1. 理解解直角三角形的概念，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数解直角三角形.
2. 知道直角三角形中五个元素的关系.
3. 通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力.

重点难点

重点：用锐角三角函数的知识解直角三角形.

难点：根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解.

【预习导学】

自主预习教材P75—76完成下列问题：

1、如图，在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。

(1) 直角三角形三条边的关系是：　　　　　　　　　　。

（2）直角三角形两个锐角的关系是：　　　　　　　　　。

（3）直角三角形边和锐角的关系有：　　　      　　　　

　　　      　　　　　　　、　                        

2、如上图，在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。

（1）若∠A=40°，b =3cm ，则∠B=　　，a= 　　    ， c=　　    ；

（2）若∠A=40°，a =3cm ，则∠B=　　，b = 　　    ，c=　　    ；

（3）若∠A=40°，c =3cm ，则∠B=　　，a= 　　    ， b =　　    ；

（4）若a =3cm ，c =4cm ，则b =　　  ，∠A==　　，∠B = 　　    ；

【探究展示】

（一） 合作探究

1.议一议：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？

（1）给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？

 

（2）给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？

 

（3）给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？

 

（4）给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明.

 

 

（5）给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明，关键在哪里？

 

 

通过上面的分析总结得出：

在直角三角形中，除直角以外的5个元素（     条边和    个锐角），只要知道其中的2

个元素（至少有一个是      ），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.

 

 

2. 如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b，c.

（1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？            

（2）学生独立思考，自己解决.

（3）小组讨论一下各自的解题思路.

解：∠B＝90°-    =90°-     =    

又∵  tanB=         ∴ b=        =         =      

∵sinA=            ∴c=         =         =      

总结：像这样，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作              .

（二）展示提升

1. 在 Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，a=6cm,c=10cm,求b，∠A，∠B.

 

 

2.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.

 

 

【知识梳理】

1. 什么叫解直角三角形？它的依据是什么？

 

 

2. 解直角三角形有哪几种种情况？

 

【当堂检测】

1. 在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠B=45°，b=3cm，求a，c的长度.

 

 

 

2. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，求tan∠DBE的值.

 

 

 

 

 

 

3.如图，在△ABC中，已知∠Ｃ＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求