21.2.3二次函数解析式的确定 学案 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“二次函数解析式的确定”，课堂导入通过复习一次函数待定系数数量及求法，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，帮助学生迁移方法，理解前后知识脉络。 导学案分顶点法、交点法、一般式法教学，步骤清晰且例题与变式结合，巩固训练和作业覆盖不同情境，培养学生根据条件选方法的能力，提升运算能力和推理意识，形成模型观念，助力学生掌握核心方法。

分课时学案 课题 21.2.3二次函数解析式的确定 单元 21 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1.经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法 2.能灵活地根据条件恰当选取解析式 3.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题 重点 掌握待定系数法求解析式的方法 难点 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题 教学过程 导入新课 复习提问，温故孕新 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 新知讲解 创设情境，引入课题 问题：有一个抛物线的立交桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在如图所示的平面直角坐标系中，请求出这条抛物线所对应的函数表达式. 要想确定函数表达式，应该确定几个抛物线上的点的坐标才能求出来。 合作探究，活动领悟 思考 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？ 二次函数y=a(x-h)2+h(a≠0)中有几个待定系数？分别需要几个条件才能求出来? 已知二次函数图象的顶点坐标为(1，-1),且经过原点,求这个二次函数的表达式. 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x+h)2+k； ②先代入顶点坐标 ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 已知二次函数y=x2+bx+c，当x=-2时，y=0；当x=时，y=0，求这个二次函数的表达式. 还有其他解法吗？ 归纳： 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将第三个点的坐标代入上面的方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 师生互动，变式深化 例：已知抛物线经过(-1，12.5)，(1，4.5)，(0，8)三点. （1）求这条抛物线对应的函数表达式. （2）若该抛物线的顶点为A，且与直线y=x+1交于B，C两点，在同一直角坐标系中画出它们的图象，并求△ABC的面积. 归纳： 这种已知抛物线上的几个点的坐标，求表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 巩固训练 尝试练习，巩固提高 尝试练习，巩固提高 1.已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线对应的函数表达式为(　 　) A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象过,和 三点,则此二次函数的表达式为( ) A. B. C. D. 3.二次函数y＝x2－4x－2的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，点C是该二次函数图象的顶点，则△ABC的面积是 . 4.二次函数y＝x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为 .抛物线与x轴正半轴和y轴的交点及顶点围成的三角形面积是 . 5．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，OA＝OB＝3.求b，c的值． 作业布置 1.已知抛物线经过点A(2，0)，B(－1，0)，且与y轴交于点C.若OC＝2，则该抛物线对应的函数表达式为(　　) A.y＝x2－x－2 B.y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 C.y＝－x2＋x＋2 D.y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 2. 如图，抛物线对应的函数表达式可能是( ) A. B. C. D. 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中x和y的部分对应值如下表： （1） m的值为　　　　. （2） 这个二次函数的表达式为 　　　　　　. 4.若关于x的函数y＝a(x＋h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2－2x＋3相同，则此函数的表达式　　　　___. 5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，求抛物线的表达式 答案： 课堂练习 尝试练习，巩固提高 1.已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线对应的函数表达式为(　D　) A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图象过,和 三点,则此二次函数的表达式为( B ) A. B. C. D. 3.二次函数y＝x2－4x－2的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，点C是该二次函数图象的顶点，则△ABC的面积是 . 4.二次函数y＝x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为 4 .抛物线与x轴正半轴和y轴的交点及顶点围成的三角形面积是 3 . 5．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，OA＝OB＝3.求b，c的值． 解：因为OA＝OB＝3，点A和点B分别位于x轴负半轴和y轴负半轴， 所以点A(－3，0)，点B(0，－3)． 把点A、B的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c， {得 解得 作业设计 1.已知抛物线经过点A(2，0)，B(－1，0)，且与y轴交于点C.若OC＝2，则该抛物线对应的函数表达式为(　D　) A.y＝x2－x－2 B.y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 C.y＝－x2＋x＋2 D.y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 2. 如图，抛物线对应的函数表达式可能是( D ) A. B. C. D. 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中x和y的部分对应值如下表： （1） m的值为 　3　. （2） 这个二次函数的表达式为 　y＝x2－4x＋3　. 4.若关于x的函数y＝a(x＋h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2－2x＋3相同，则此函数的表达式_y＝-2(x-2)2＋8或y＝-2(x+2)2＋8___. 5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，求抛物线的表达式 解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c 得 16－4b＋c＝－3，即 c＝4b－19. ∵ 对称轴是 x＝－3， ∴＝－3. ∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5. ∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5. 学科网（北京）股份有限公司 $