21.3 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“二次函数与一元二次方程的关系”，通过复习根的判别式及类比一次函数与一元一次方程的关系搭建学习支架，引导学生探索两者联系，理解交点个数与根的个数关系等核心内容。 以探究活动为主线，结合具体函数实例与竖直上抛实际问题，培养学生几何直观与推理意识，习题设计从基础到应用层次分明，助力学生建立方程与函数的联系，发展数学思维与模型意识。

21.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 学习目标： 1．探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．理解一元二次方程的根就是二次函数的图象与直线y＝h(h是实数)交点的横坐标． 一、基础扫描 1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式 当△＞0时 ； 当△﹤0时 ；当△=0时 . 2.类比一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程_______，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程_______的解． 二、探究1 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？ 函数： ① y＝x2＋2x ② y＝x2－2x＋1 ③y＝x2－2x＋2 图象： 一元二次方程： ⑴ x2＋2x＝0 ⑵ x2－2x＋1＝0 ⑶ x2－2x＋2＝0 一元二次方程根的形式： ⑴△__0有_______ ⑵△__0 有_______ ⑶△__0 有_______ 一元二次方程的解： ⑴___________ ⑵___________ ⑶___________ 函数与x轴交点的个数： ①___________ ② ___________ ③___________ 函数与x轴交点的坐标： ①___________ ②___________ ③___________ 结合元二次方程根的形式和函数与x轴交点的个数得出的结论是： 结合一元二次方程的解和函数与x轴交点的坐标得出的结论是： (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 探究2 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么 (1) h与t的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流． (3)在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ 三、知识超市 1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ． 2．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ． 3．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 抛物线y=x2－2x＋3可变形为 y=（x－__）（x＋__）且与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 . 5.画出函数y=x2－2x＋3的草图. 6．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点． （1）求m的取值范围； （2）判断点P（1，1）是否在抛物线上； （3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图． 四、课后总结： 学科网（北京）股份有限公司 $