第14讲 第四章指数函数与对数函数单元复习+小测（核心知识+7易错辨析+11典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学指数函数与对数函数单元，系统梳理指数幂运算、指数函数图像性质、对数运算、对数函数图像性质及函数应用等核心知识点，从基础运算到函数性质再到实际应用，构建完整知识支架，助力学生形成知识脉络。 该资料通过7大易错辨析强化数学思维严谨性，11类典例精讲结合变式训练提升运算能力与模型意识，如实际应用题型培养用数学语言解决问题的能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识盲点。

第14讲 第四章指数函数与对数函数单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【题型一】指数幂的化简与求值 【题型七】指对函数不等式求解 【题型二】对数综合运算（恒等式+公式） 【题型八】根据指对函数零点个数求参数范围 【题型三】指对函数过定点问题 【题型九】二分法求方程近似解 【题型四】指对幂大小比较 【题型十】反函数 【题型五】指对复合函数定义域与值域 【题型十一】指数对数函数实际应用（函数的应用二） 【题型六】复合函数单调区间判定 【知识点01】指数与指数幂运算 1. n次方根定义 若，则叫做的次方根。 根式性质： 2. 分数指数幂定义 正分数指数幂： 负分数指数幂： 3. 指数运算性质（） 【知识点02】指数函数图像与性质 1. 标准定义 函数称为指数函数 定义域：，值域：，恒过定点： 2. 单调性分类 ，函数在上单调递增； ，函数在上单调递减。 3. 图像特征 图像恒在轴上方，无限趋近于轴，无零点、无最值。 【知识点03】对数与对数运算 1. 对数定义（指数逆运算） 若，则。 常用对数：；自然对数： 2. 对数核心恒等式 3. 对数四则运算法则（） 4. 换底公式及推论 ， 【知识点04】对数函数图像与性质 1. 标准定义 ，为指数函数的反函数 定义域：，值域：，恒过定点： 2. 单调性分类 ，在单调递增； ，在单调递减。 3. 反函数性质 指数函数与对数函数图像关于直线对称。 【知识点05】函数的应用（二） 1. 指数、对数实际模型 指数增长：；指数衰减： 对数增长模型：，适配增速放缓、饱和型问题 2. 函数的零点与方程的解 零点定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点。 等价关系： 零点存在性定理：若在区间上连续，且，则在内至少存在一个零点。 3. 二分法求方程近似解 适用条件：函数在区间上连续、单调，且区间端点函数值异号。 核心原理：不断取区间中点，缩小区间范围，逼近零点，直至达到预设精度。 易错点1：分数指数幂与根式运算误区 偶次根式结果非负，负数无法开偶次方；分数指数幂运算必须保证底数有意义，不可直接套用公式。 易错点2：对数三重限制遗漏 对数问题必须满足：真数、底数、，求解单调区间、不等式、方程优先定域。 易错点3：对数公式错误套用 ，对数无和差展开公式，仅支持积、商、幂变形。 易错点4：复合函数同增异减滥用 指对复合函数判断单调性，必须先求有效定义域，无定义域的单调区间全部无效。 易错点5：零点定理理解偏差 ⇒区间内至少一个零点；但不能说明无零点（可能多个零点）。 易错点6：二分法适用条件混淆 二分法只能求变号零点，不变号零点无法用二分法求解；未判断连续性直接使用二分法会出错。 易错点7：含参指对函数不分类讨论 底数含参时，必须分、讨论单调性，默认递增极易漏解。 【题型一】指数幂的化简与求值 【典例1-1】（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）计算：. 【变式1-1】（25-26高一上·广西钦州·期中）（1）计算：①；②； （2）已知，，求，，，. 【变式1-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【变式1-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【题型二】对数综合运算（恒等式+公式） 【典例2-1】（25-26高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，请用表示． 【变式2-1】（25-26高一上·江西景德镇·期末）请计算或化简下列式子： (1)； (2). 【变式2-2】（25-26高一上·广东清远·期末）求下列各式的值： (1) (2) 【变式2-3】（25-26高一上·广东广州·期末）求值： (1)； (2)； (3)． 【题型三】指对函数过定点问题 【典例3-1】（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·山东济南·期末）函数（且）图象恒过定点坐标为______． 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·阶段检测）已知且，则下列函数的图象过定点的有（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知函数且的图象恒过定点，且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式 【题型四】指对幂大小比较 【典例4-1】（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·吉林延边·期末）已知，，，则，，的大小关系是__________. 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】比较下列各组数的大小． (1)，，； (2)，，. 【题型五】指对复合函数定义域与值域 【典例5-1】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是_____________. 【典例5-3】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 【变式5-1】（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·天津南开·期中）函数，，则此函数的值域为______________． 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数满足，其中，且. (1)若，求函数的定义域； (2)讨论的值域. 【题型六】复合函数单调区间判定 【典例6-1】（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 【变式6-2】求函数的单调区间. 【变式6-3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【题型七】指对函数不等式求解 【典例7-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是__________． 【变式7-1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·广东深圳·期末）若函数的定义域是，对于，定义集合.（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，当时，，则 【变式7-3】（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【题型八】根据指对函数零点个数求参数范围 【典例8-1】（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）若函数，有零点，则实数a的取值范围是__________. 【变式8-3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 【题型九】二分法求方程近似解 【典例9-1】（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【变式9-3】（2025高一上·全国·专题练习）用二分法求方程在区间内的一个近似解（精确度0.01）． 【题型十】反函数 【典例10-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式10-1】（24-25高一上·北京·阶段检测）若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 【变式10-2】（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 【变式10-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围． 【题型十一】指数对数函数实际应用（函数的应用二） 【典例11-1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【变式11-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知一种液体的蒸发速度（单位：）与液体所处环境的温度（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该液体在的蒸发速度是，在的蒸发速度是，则该液体在的蒸发速度为________. 【变式11-2】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）由于某种寄生菌的大面积繁殖，某个池塘遭到了严重污染．塘主购买了杀菌剂，由于顾及池塘内鱼类的生存，杀菌剂一次只能投放一定的剂量．已知每投放1次杀菌剂能使池塘内的寄生菌减少． (1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的百分之多少？ (2)要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，则至少要投放多少次？ 参考数据：． 【变式11-3】（25-26高一上·云南昭通·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数，现有的物体，放在的空气中冷却，20min以后物体的温度是． (1)求的值； (2)若要将该物体的温度降为，求需要冷却的时间． 1. 运算核心 指数、对数互为逆运算，根式化分数指数幂、对数积商幂公式是化简核心，换底公式统一底数是求值关键。 2. 两大函数核心性质 指数函数值域恒正、定义域为R；对数函数定义域恒正、值域为R，定点与单调性是图像题、比较大小题的突破口。 3. 复合函数解题模板 定义域优先 → 拆分内外层 → 分别判单调 → 同增异减定区间，值域遵循“先内层、后外层”。 4. 比大小与不等式技巧 依托0、1中间量分层，结合函数单调性；指对不等式等价转化，始终坚守定义域限制。 5. 实际应用建模思路 增长衰减用指数模型，增速放缓饱和用对数模型，建模后代入数据，结合实际场景取舍结果。 6. 单元应试避坑总结 对数必看真数、底数；复合必看定义域；含参必分类讨论；实际问题必符合现实意义。 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南洛阳·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁大连·期末）设函数，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·云南·期中）已知关于的函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到大约需要10min，那么继续降温到大约再需要（    ） （参考数据：） A．14min B．15min C．16min D．17min 二、多选题 9．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，有4个零点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一上·广东茂名·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．函数 的零点为0和； B．函数的零点个数为1； C．函数的零点所在的区间为； D．已知方程的实数解落在区间内，用二分法求方程的近似解时，如果将该区间进行一次二等分，则下一个有解的区间是. 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 13．（25-26高一上·广东·期中）已知函数的反函数为，则 的单调递减区间为________. 14．（24-25高一下·青海海东·期末）已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 四、解答题 15．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）（1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 16．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 17．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域． 18．已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 19．（25-26高一下·贵州毕节·期中）某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. (1)若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； (2)若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 第四章指数函数与对数函数单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【题型一】指数幂的化简与求值 【题型七】指对函数不等式求解 【题型二】对数综合运算（恒等式+公式） 【题型八】根据指对函数零点个数求参数范围 【题型三】指对函数过定点问题 【题型九】二分法求方程近似解 【题型四】指对幂大小比较 【题型十】反函数 【题型五】指对复合函数定义域与值域 【题型十一】指数对数函数实际应用（函数的应用二） 【题型六】复合函数单调区间判定 【知识点01】指数与指数幂运算 1. n次方根定义 若，则叫做的次方根。 根式性质： 2. 分数指数幂定义 正分数指数幂： 负分数指数幂： 3. 指数运算性质（） 【知识点02】指数函数图像与性质 1. 标准定义 函数称为指数函数 定义域：，值域：，恒过定点： 2. 单调性分类 ，函数在上单调递增； ，函数在上单调递减。 3. 图像特征 图像恒在轴上方，无限趋近于轴，无零点、无最值。 【知识点03】对数与对数运算 1. 对数定义（指数逆运算） 若，则。 常用对数：；自然对数： 2. 对数核心恒等式 3. 对数四则运算法则（） 4. 换底公式及推论 ， 【知识点04】对数函数图像与性质 1. 标准定义 ，为指数函数的反函数 定义域：，值域：，恒过定点： 2. 单调性分类 ，在单调递增； ，在单调递减。 3. 反函数性质 指数函数与对数函数图像关于直线对称。 【知识点05】函数的应用（二） 1. 指数、对数实际模型 指数增长：；指数衰减： 对数增长模型：，适配增速放缓、饱和型问题 2. 函数的零点与方程的解 零点定义：对于函数，使的实数叫做函数的零点。 等价关系： 零点存在性定理：若在区间上连续，且，则在内至少存在一个零点。 3. 二分法求方程近似解 适用条件：函数在区间上连续、单调，且区间端点函数值异号。 核心原理：不断取区间中点，缩小区间范围，逼近零点，直至达到预设精度。 易错点1：分数指数幂与根式运算误区 偶次根式结果非负，负数无法开偶次方；分数指数幂运算必须保证底数有意义，不可直接套用公式。 易错点2：对数三重限制遗漏 对数问题必须满足：真数、底数、，求解单调区间、不等式、方程优先定域。 易错点3：对数公式错误套用 ，对数无和差展开公式，仅支持积、商、幂变形。 易错点4：复合函数同增异减滥用 指对复合函数判断单调性，必须先求有效定义域，无定义域的单调区间全部无效。 易错点5：零点定理理解偏差 ⇒区间内至少一个零点；但不能说明无零点（可能多个零点）。 易错点6：二分法适用条件混淆 二分法只能求变号零点，不变号零点无法用二分法求解；未判断连续性直接使用二分法会出错。 易错点7：含参指对函数不分类讨论 底数含参时，必须分、讨论单调性，默认递增极易漏解。 【题型一】指数幂的化简与求值 【典例1-1】（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）计算：. 【答案】 【分析】根据根式、指数、特殊角的三角函数值等知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】 . 【变式1-1】（25-26高一上·广西钦州·期中）（1）计算：①；②； （2）已知，，求，，，. 【答案】（1）①；② （2）；；； 【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1）； ； （2）； ； ； . 【变式1-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以 ， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 【变式1-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【详解】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 【题型二】对数综合运算（恒等式+公式） 【典例2-1】（25-26高一上·山西太原·期末）（1）求的值； （2）已知，请用表示． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）由对数运算性质直接计算即可得解； （2）先由指数式与对数式的互化得到，再由对数运算性质和换底公式即可计算得解. 【详解】（1）； （2） ， . 【变式2-1】（25-26高一上·江西景德镇·期末）请计算或化简下列式子： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即得； （2）根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【详解】（1）因为 （2） . 【变式2-2】（25-26高一上·广东清远·期末）求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）将根式、指数幂、零次幂分别化简，再进行数值计算； （2）利用对数运算性质与换底公式化简式子，再计算数值. 【详解】（1）. （2） . 【变式2-3】（25-26高一上·广东广州·期末）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）运用指数运算法则即可得到答案； （2）运用对数运算性质和运算法则即可得到答案； （3）注意到各对数式底数均不相同，运用换底公式消除底数的差异即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式． 【题型三】指对函数过定点问题 【典例3-1】（2025高一上·湖北武汉·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴， 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·山东济南·期末）函数（且）图象恒过定点坐标为______． 【答案】 【分析】利用对数函数性质求解. 【详解】因为对任意且，， 令得，将代入， 得， 所以函数的图象恒过定点坐标为. 故答案为： 【变式3-2】（多选）（24-25高一上·云南曲靖·阶段检测）已知且，则下列函数的图象过定点的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用函数取求值，是否恒等于2，来判断即可. 【详解】对于A，根据函数，可知当时，，满足图象过定点，故A正确； 对于B，根据函数，可知当时，，不满足图象过定点，故B错误； 对于C，根据函数，可知当时，，不满足图象过定点，故C错误； 对于D，根据函数，可知当时，，满足图象过定点，故D正确； 故选：AD. 【变式3-3】（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知函数且的图象恒过定点，且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出定点，将代入，即可求解； （2）令，通过换元即可求解. 【详解】（1）令，得，此时， 所以函数图象恒过定点， 又点在函数的图象上， 所以，所以，所以； （2）由（1）知， 令，则， 所以， 所以. 【题型四】指对幂大小比较 【典例4-1】（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别判断与 0、1的大小关系，即可求解. 【详解】指数函数 在上单调递增，所以，即； 指数函数 在上单调递减，所以， 又因为指数函数的值域大于0，所以，即. 对数函数在上单调递减，所以，即. 由上述分析可知，所以. 【变式4-1】（25-26高一上·吉林延边·期末）已知，，，则，，的大小关系是__________. 【答案】 【分析】由指对数函数的单调性，通过中间量0和1即可比较大小. 【详解】函数在上单调递增，故， 在上单调递减，， 在上单调递减，， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用特殊值法、指数函数和对数函数的性质逐个判断即可． 【详解】对于A，令，，，得，即，故A错误； 对于B，令，是减函数，又，所以，故B正确； 对于C，令，是减函数，又，所以，故C正确； 对于D，由C可知，则，即，故D正确． 故选：BCD． 【变式4-3】比较下列各组数的大小． (1)，，； (2)，，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性即可求解， （2）根据对数函数以及幂函数的单调性，结合换底公式即可求解. 【详解】（1） ，, 因为在上是增函数， 所以. （2）因为对数函数在上是减函数， 所以. 又幂函数在上是减函数， 所以, 故 【题型五】指对复合函数定义域与值域 【典例5-1】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域的含义及解根式不等式及指数函数的性质即可求解. 【详解】由，解得，故定义域为. 故选：A 【典例5-2】（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是_____________. 【答案】 【分析】由指数型复合函数的值域求解即可. 【详解】定义域为， 令， 当时，，值域为， 当时，，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【典例5-3】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）代入计算求参，再根据真数为正可求函数的定义域； （2）根据对数复合函数的单调性，再根据单调性结合定义域计算得出值域. 【详解】（1），即，则. 由题意得解得，故的定义域为. （2）， 令，设， 的对称轴：， 在上单调递增，在上单调递减. 在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增. ， 在上的值域为. 【变式5-1】（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的限制条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，即且， 所以，函数的定义域为． 【变式5-2】（25-26高一上·天津南开·期中）函数，，则此函数的值域为______________． 【答案】 【分析】通过换元法将问题转化为求二次函数的值域. 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数满足，其中，且. (1)若，求函数的定义域； (2)讨论的值域. 【答案】(1) (2)当时，的值域为；当时，的值域为. 【分析】（1）根据函数的解析式，列出不等式求解即可； （2）对分类讨论，利用指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，，则， ∴，则，即， 解得， 所以函数的定义域为. （2）∵，又， 当时，在上单调递增， 所以，故值域为； 当时，在上单调递减， 所以，故值域为. 综上，当时，的值域为；当时，的值域为. 【题型六】复合函数单调区间判定 【典例6-1】（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 【变式6-1】（25-26高一下·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 【答案】 【分析】由二次函数，对数函数，复合函数单调性可得答案. 【详解】函数定义域为或. 又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增， 从而函数的单调减区间为. 【变式6-2】求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】分别判断函数和的单调性，结合“同增异减”原则判断复合函数单调性． 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则，当时，由，得，可得其减区间， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【变式6-3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 【题型七】指对函数不等式求解 【典例7-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】先移项化简不等式，结合指数函数的值域判断不等式无实解，进而得到解集. 【详解】依题意，与对任意实数，均有矛盾，所以原不等式的解集是. 【变式7-1】（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及运算性质，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 当时，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，解得，结合前提，所以. 综上，a 的取值范围是. 故选：D 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·广东深圳·期末）若函数的定义域是，对于，定义集合.（   ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，当时，，则 【答案】ABD 【分析】根据定义，结合指数函数的单调性可判断A,B,C，根据集合包含关系可判断的单调性，从而可求. 【详解】对于A, ，由可得，所以A正确； 对于B,因为为增函数，，所以， ，所以，B正确； 对于C,因为是偶函数，且在上单调递减，在上单调递增， 等价于，，，所以，C不正确； 对于D,因为是偶函数，且在的单调性由决定， ，， 因为，所以当时，的解集包含的解集， 所以在单调递减，即，D正确. 故选：ABD 【变式7-3】（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到点坐标，再代入到中，解方程可得答案； （2）利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）当 时，，与 无关， 故定点 的坐标为 ， 点 在函数 的图象上， 所以 ，即： ， 得：， 解得： （2）由第 1 问知 ，所以： 原不等式为：， 由对数真数必须大于 0， 得：，解得：； 由底数 ，对数函数在上单调递减， 因此原不等式等价于：， 整理得： ， 即，解得：， 又因为 ， 所以， 不等式的解集为： 【题型八】根据指对函数零点个数求参数范围 【典例8-1】（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 【变式8-1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，令，可得或. 作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围. 【详解】设，令，得， 即，解得或. 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是. 【变式8-2】（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）若函数，有零点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】令，，再参变分离得，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】令，，则，令， 即在有解，又在上单调递增， 所以，即的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)时最大值为 (3) 【分析】（1）利用对数函数的定义列式求出定义域. （2）求出在上的最大值，再结合对数函数单调性求出最大值. （3）由函数的性质，结合直线与函数的图象有两个交点求出范围. 【详解】（1）函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，而函数是增函数， 所以当时，函数取得最大值. （3）由（2）知，当时，，单调递增，取值集合为， 当时，，单调递减，取值集合为， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个不同的实数解， 所以实数的取值范围是. 【题型九】二分法求方程近似解 【典例9-1】（25-26高一上·江苏镇江·期末）已知函数的零点为，则与最接近的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二分法，结合选项确定所在区间即可. 【详解】函数在上单调递增，，则， 又，则，而，则， 又，因此，， 而，所以与最接近的数为. 故选：B 【变式9-1】下列方程中不能用二分法求近似解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的定义逐项判断即可. 【详解】根据二分法的定义，用二分法求近似解，需函数在上连续，且. 对于A，令，显然在其定义域上单调递增， ，所以可用二分法求方程近似解，所以A错误； 对于B，令，显然在其定义域上连续，，所以可用二分法求方程近似解，所以B错误； 对于C，令，显然在其定义域上连续， ，所以可用二分法求方程近似解，所以C错误； 对于D，令，所以不能用二分法求方程的近似解.所以D正确. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【分析】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【详解】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为： 【变式9-3】（2025高一上·全国·专题练习）用二分法求方程在区间内的一个近似解（精确度0.01）． 【答案】1.32 【分析】根据二分法求解函数的零点即可. 【详解】设，经计算， 所以函数在内存在零点． 取的中点，经计算， 因为， 所以． 如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： 的中点 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.328125 1.3203125 因为， 所以方程的一个精确度为0.01的近似解可取为1.32． 【点睛】本题考查了二分法求解函数的零点的过程，解题的关键是正确的计算． 【题型十】反函数 【典例10-1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先求出的反函数，将点代入反函数的解析式求出，进而确定的解析式，即可求出. 【详解】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 故选：D 【变式10-1】（24-25高一上·北京·阶段检测）若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以，所以. 故选：B. 【变式10-2】（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 【答案】4 【分析】令，用来表示即得反函数表达式，代入可得答案. 【详解】令，则,因为,所以, 由反函数的定义可知,所以. 故答案为：4. 【变式10-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数是函数（，且）的反函数，的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据的图象经过的点坐标求出，然后求出其反函数即可； （2）结合对数函数的定义域及其单调性求解不等式即可. 【详解】（1）因为（，且）的图象过点， 所以，解得，所以． 又因为函数是函数的反函数， 所以． （2）因为函数的定义域为，且在上单调递减，， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【题型十一】指数对数函数实际应用（函数的应用二） 【典例11-1】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由题意知，五分记录法的数据L和小数记录法的数据满足， 因为某同学视力的五分记录法的数据为，可得，解得， 结合对数的运算法则，可得. 【变式11-1】（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知一种液体的蒸发速度（单位：）与液体所处环境的温度（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该液体在的蒸发速度是，在的蒸发速度是，则该液体在的蒸发速度为________. 【答案】 【分析】由题意可得，求出，再将代入即可得解. 【详解】由题意得， 两式相除得，所以， 当时，， 所以该液体在的蒸发速度为 .. 故答案为： 【变式11-2】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）由于某种寄生菌的大面积繁殖，某个池塘遭到了严重污染．塘主购买了杀菌剂，由于顾及池塘内鱼类的生存，杀菌剂一次只能投放一定的剂量．已知每投放1次杀菌剂能使池塘内的寄生菌减少． (1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的百分之多少？ (2)要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，则至少要投放多少次？ 参考数据：． 【答案】(1) (2)5次． 【分析】（1）应用已知结合指数幂求解； （2）应用已知列出指数式，再应用指对数运算得出，最后应用换底公式计算求解. 【详解】（1）投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的． （2）设投放次，可使池塘内剩余的寄生菌少于最初的， 则，即．     ， ∴要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，至少要投放5次． 【变式11-3】（25-26高一上·云南昭通·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的常数，现有的物体，放在的空气中冷却，20min以后物体的温度是． (1)求的值； (2)若要将该物体的温度降为，求需要冷却的时间． 【答案】(1) (2)30分钟 【分析】（1）代入公式直接求; （2）令函数值为39，代入求值即可. 【详解】（1）解：由题知，    当，由得，    则，所以．    即． （2）设再经过分钟，温度可由降为，即，    解得，    即．    所以．    物体的温度由降为需要冷却30分钟． 1. 运算核心 指数、对数互为逆运算，根式化分数指数幂、对数积商幂公式是化简核心，换底公式统一底数是求值关键。 2. 两大函数核心性质 指数函数值域恒正、定义域为R；对数函数定义域恒正、值域为R，定点与单调性是图像题、比较大小题的突破口。 3. 复合函数解题模板 定义域优先 → 拆分内外层 → 分别判单调 → 同增异减定区间，值域遵循“先内层、后外层”。 4. 比大小与不等式技巧 依托0、1中间量分层，结合函数单调性；指对不等式等价转化，始终坚守定义域限制。 5. 实际应用建模思路 增长衰减用指数模型，增速放缓饱和用对数模型，建模后代入数据，结合实际场景取舍结果。 6. 单元应试避坑总结 对数必看真数、底数；复合必看定义域；含参必分类讨论；实际问题必符合现实意义。 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用指数运算法则直接计算即可. 【详解】由可得. 故选：A. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数的定义域求复合函数的定义域，再结合对数函数的性质可得. 【详解】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，， ． 4．（25-26高一下·河南洛阳·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对选项A，由反比例函数性质得在上单调递增，故A错误， 对选项B，由幂函数性质得在上单调递增，故B错误， 对选项C，由题意得. 令， 由一次函数性质得在上单调递减； 由对数函数性质得在上单调递增. 由复合函数性质得复合函数在上单调递减，故C正确， 对选项D，当时，，由指数函数性质得单调递增. 因此在上不可能单调递减，故D错误. 5．（25-26高一上·辽宁大连·期末）设函数，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 令，即，易知恒成立. 故选：B. 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 7．（25-26高一上·云南·期中）已知关于的函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数（且）的图象过定点，利用整体法求解. 【详解】因为指数函数（且）的图象过定点， 令，即，得对应的函数值， 所以函数（且）的图象恒过定点． 故选：C． 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到大约需要10min，那么继续降温到大约再需要（    ） （参考数据：） A．14min B．15min C．16min D．17min 【答案】A 【分析】由题意数据求得，设降温到大约再需要，则，利用指对互化及换底公式求解即可. 【详解】由题意，即，即，即， 设降温到大约再需要，则，即， 即，即， 所以. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本初等函数单调性，判断函数值大小即可. 【详解】已知在上单调递减，由可知，所以A正确； 已知在上单调递减，由可知，所以B错误； 已知在上单调递增，由可知，所以C正确； 因为，所以在上单调递减，且时， 由可知，所以D错误； 故选：AC 10．已知函数，有4个零点，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，转化为与的图象的交点个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数， 令0，可得，作出的大致图象，如图所示， 当时，，因为， 所以由图可知，当时，直线与的图象有4个公共点， 要使得有4个零点，则， 即实数的取值范围为，结合选项BC符合题意. 故选：BC. 11．（2025高一上·广东茂名·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．函数 的零点为0和； B．函数的零点个数为1； C．函数的零点所在的区间为； D．已知方程的实数解落在区间内，用二分法求方程的近似解时，如果将该区间进行一次二等分，则下一个有解的区间是. 【答案】BCD 【分析】由零点的概念，零点存在性定理结合单调性逐项判断即可. 【详解】由当时，，得， 当时，，得，不满足，故A错； 由，由解析式可知在定义域上单调递增， 又， 由零点存在性定理结合单调性可知：函数的零点个数为1，B对； 因为在(0,＋∞)上单调递增，又  ， ，所以f ， 故在上存在零点；C对； 设，由解析式可知其在定义域上单调递增， ，， 又 所以零点所在区间为， 所以方程下一个有解的区间是.D对. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 13．（25-26高一上·广东·期中）已知函数的反函数为，则 的单调递减区间为________. 【答案】 【分析】求出对数函数的反函数，再由复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数的反函数， 所以， 令，则可以看作由与复合而成， 当时，单调递减，而在上单调递增 所以的单调递减区间为， 故答案为： 14．（24-25高一下·青海海东·期末）已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解. 【详解】由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即， 函数在上单调递增，且， 所以不等式的解集为， 从而不等式的解集为． 四、解答题 15．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）（1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1） . （2） . （3）由 得 ，； 由 得 ，， 故 . 16．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式； （2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 17．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先因式分解再利用一元二次不等式的解法求得，根据指数函数的单调性即可求出解集； （2）先求出函数的定义域，再由对数的运算性质与换底公式将其化成关于的不等式，通过换元，求解一元二次函数的值域即可 【详解】（1）由， 可得，即得，     则，故， 所以不等式的解集为． （2）函数的定义域为， 且，      令，则，记，     则，故函数的值域为． 18．已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 【答案】(1)； (2)证明：由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立， 综上，，得证. 【分析】（1）先说明的单调性，再由，，应用二分法求近似解； （2）由题设可得，进而有，且，转化为证，结合（1）即可证结论. 【详解】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）略. 19．（25-26高一下·贵州毕节·期中）某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. (1)若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用待定系数可得到函数关系，即可估计每周玩手机时长； (2)利用函数的中心对称性，先证明恒等式成立，即可利用倒序相加法求和. 【详解】（1）已知 ​，代入和得： ， 消可得：， 所以解得，再代入， 即， 由张三同学希望数学成绩不低于90分，则， 所以有， 两边取常用对数得： 由于，则每周玩手机时长最大值为小时； （2）由题意可知：， 则先计算 设， 则， 所以，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $