第15讲 任意角和弧度制及三角函数概念（核心知识+6易错辨析+10典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学重难点复习 + 期考讲义专项（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学“任意角和弧度制及三角函数概念”核心知识，系统梳理任意角（正、负、零角，象限角、轴线角，终边相同角）、弧度制（定义、互化、扇形公式）、三角函数概念（坐标定义、符号规律、定义域）及同角关系（平方、商数关系），构建从角的概念到度量再到函数定义与关系的递进学习支架。 该资料亮点在于6个易错辨析（如终边相同角书写规范、扇形公式单位问题）、10类典例精讲（如已知终边上点求三角函数值）及分层作业，通过易错点强化严谨数学思维，典例结合具体问题培养数学语言表达能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第15讲 任意角和弧度制及三角函数概念 （核心知识+6易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【题型一】任意角终边相同角集合表示 【题型六】由条件等式求正、余弦 【题型二】角度制与弧度制互化 【题型七】sinα±cosα和sinαcosα的关系 【题型三】扇形弧长与面积计算 【题型八】已知弦(切)求切(弦) 【题型四】由终边或终边上的点求三角函数值 【题型九】正、余弦齐次式的计算 【题型五】已知正(余)弦求余(正)弦 【题型十】三角函数的化简、求值一同角三角函数基本关系 【知识点01】任意角的概念 1. 任意角定义 平面内一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所成的图形叫做角。 按旋转方向分类： 正角：逆时针旋转形成的角； 负角：顺时针旋转形成的角； 零角：未做任何旋转，角度为。 2. 象限角与轴线角 在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合： 终边落在第几象限，即为第几象限角； 终边落在坐标轴上的角称为轴线角，不属于任何象限。 3. 终边相同的角 所有与角终边相同的角（含本身）可构成集合： （角度制） （弧度制） 【知识点02】弧度制及扇形公式 1. 弧度制定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，符号：。 2. 角度与弧度互化核心公式 3. 常用特殊角互化 4. 扇形核心公式（弧度制专用） 设扇形半径为，圆心角弧度数为： 弧长公式： 扇形面积公式： 【知识点03】任意角三角函数的概念 1. 定义（坐标定义法） 设 α 是任意角，其终边上任意一点 P(x, y)（非原点），点 P 到原点距离 则： 2. 三角函数象限符号规律 口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 象限 sin α cos α tan α 第一象限 + + + 第二象限 + − − 第三象限 − − + 第四象限 − + − 第一象限：sin α、cos α、tan α 全正； 第二象限：仅 sin α > 0； 第三象限：仅 tan α > 0； 第四象限：仅 cos α > 0。 3. 定义域 sin α、cos α 的定义域为 ℝ；tan α 的定义域为： 【知识点04】同角三角函数的基本关系 1. 平方关系（万能恒等式）（对任意角恒成立） 2. 商数关系，其中 α ≠ + kπ，k ∈ ℤ。 3. 常用变形公式 易错点1：终边相同角书写不规范 角度制必须配，弧度制必须配，角度、弧度不能混用，否则直接判错。 易错点2：扇形公式乱用角度制 弧长、面积公式中，必须是弧度数，角度制需先转化为弧度再代入计算。 易错点3：三角函数符号判断失误 已知三角函数值求角或求值时，未判断角所在象限，直接开方导致正负取舍错误，是基础高频失分点。 易错点4：同角公式定义域忽略 商数关系要求，轴线角处公式不成立。 易错点5：开方不分类讨论 由求时，必须根据角的象限判断正负，不能默认取正值。 易错点6：任意角定义混淆 终边在同一直线的角与终边相同的角不同，同直线角间隔，终边相同角间隔。 【题型一】任意角终边相同角集合表示 【典例1-1】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与角终边相同的角的集合是.故A正确； 表示终边在直线上的角的集合，故B错误； 表示终边与的终边重合的角的集合，故C错误； 表示终边在直线上的角的集合，故D错误. 【变式1-1】（2025高一上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列说法正确的是_______． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 【答案】②③ 【分析】①根据三角形内角的取值范围为可知其错误；②因为，所以②正确；③直线与轴的夹角是，根据终边相同的角的定义可知③正确；④由是第三象限角可得其范围，再由此推出的范围，从而判断④错误. 【详解】因为三角形的内角的取值范围是， 所以三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的角，①错误； 因为，所以与终边相同的角的集合为 ，②正确； 直线与轴的夹角是，所以终边在直线上的角的集合为 ，③正确； 因为是第三象限角，所以， 所以，故是第二象限角或第四象限角，④错误． 故答案为：②③. 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·湖北·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则， B．若，则角为第二或第三象限角 C．满足条件的的解为或， D．终边落在轴上的角的集合为 【答案】BCD 【分析】利用特殊值可对A求解判断；因且即可对B判断求解；由即可对C判断求解；由任意角的表达可对D判断求解. 【详解】A：，但，故A错误； B：由题可知，且4弧度在第三象限，， 则为第二或第三象限角，故B正确； C：由，可解得或，故C正确； D：终边落在轴上的角的集合为，故D正确. 故选：BCD. 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知角的集合，回答下列问题： (1)集合中大于且小于的角是哪几个？ (2)写出集合中的第二象限角的一般表达式. 【答案】(1)，，，，，，， (2)， 【分析】（1）通过解不等式确定的取值范围，即可求解. （2）根据象限角及终边相同的角的集合求解即可. 【详解】（1）令，得， 因为，所以，，，，0，1，2，3， 所以集合中大于且小于的角共有8个，分别是，，，，，，，. （2）由可知，当时，为第二象限角. 故集合中所有第二象限角均与终边相同. 所以，. 【题型二】角度制与弧度制互化 【典例2-1】（25-26高一下·江西九江·期末）已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一个扇形的圆心角为， 所以这个圆心角的弧度数为. 【变式2-1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为______，______．（用弧度制表示） 【答案】/ 【详解】设这两个角为弧度，不妨设， 则，解得. 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）转化为弧度是多少弧度？转化为角度是多少度？ 【答案】； 【分析】利用角度与弧度的转换公式进行求解. 【详解】由角度与弧度的转换公式：弧度可得： ， . 【变式2-3】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）根据可得； （2）根据可得. 【详解】（1），； （2），. 【题型三】扇形弧长与面积计算 【典例3-1】（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为8米，则该花坛的弧长为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】依题意，该花坛的弧长为米． 【变式3-1】（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设该扇形的圆心角为α，半径为r． 因为扇形的弧长与面积的数值相等， 所以，解得． 【变式3-2】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 【答案】 【详解】因为扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为. 【变式3-3】（25-26高一下·辽宁·阶段检测）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为S. (1)若，求； (2)若该扇形的周长为20，求S的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用面积公式与弧长公式计算即可得； （2）利用基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以； （2）由题意知，则， 当且仅当时，等号成立，即S的最大值为. 【题型四】由终边或终边上的点求三角函数值 【典例4-1】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 【变式4-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的正切值为_________ 【答案】 【详解】终边落在直线上，则， 所以. 【变式4-2】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若角的终边在直线上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】利用三角函数定义求解即可. 由角的终边在直线上， 当角的终边在第二象限时，在的终边上任取一点， 则， 所以； 当角的终边在第四象限时，在的终边上任取一点， 则， 所以． 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课后作业）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边经过点，求，． 【答案】，． 【分析】由任意角的三角函数的定义求解. 【详解】由，， 得， 故，． 【题型五】已知正(余)弦求余(正)弦 【典例5-1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，故. 【变式5-1】（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系，结合充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】已知，若，则， 所以“”可以推出“”； 已知，若，则， 所以“”不能推出“”； 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式5-2】（25-26高一下·上海·期中），，则__________． 【答案】/ 【详解】因，， 则 . 【变式5-3】已知是第三象限角，且.求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系计算可得. 【详解】因为是第三象限角，且， 所以. 【题型六】由条件等式求正、余弦 【典例6-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，结合平方关系即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又，即，解得， 所以， 故选：B. 【变式6-1】若第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合求出即可得出. 【详解】因为第三象限角，所以， 因为，且， 解得或， 则. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以 ， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 【变式6-3】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数关系求出，结合选项判断即可得到答案. 【详解】联立，解得或， 因为，所以，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：AC 【题型七】sinα±cosα和sinαcosα的关系 【典例7-1】（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 则. 【变式7-1】（25-26高一上·四川遂宁·期末）角为的内角，且，则______ 【答案】 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由两边平方得， ， . 故答案为： 【变式7-2】（多选）（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将等式两边平方后化简得的值，从而知道取值范围，由的值算出的值，求得的值，联立方程组求得，，的值，即可得出答案. 【详解】∵，∴， ∴，∵，，∴，∴，A选项正确； ∵，∴， 又∵，，∴，D选项错误； ∴，，B选项正确； ，C选项错误； 故选：AB. 【变式7-3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）若角满足 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系计算得解. （2）由（1）确定的正负，再利用平方关系列式计算得解. 【详解】（1）由角满足， 得， 所以. （2）由（1）知，而，则且，， 所以. 【题型八】已知弦(切)求切(弦) 【典例8-1】（25-26高一上·天津·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数关系式可得答案. 【详解】将表达式分子分母同除以 ： 得：， 因为， 所以. 故选：A 【变式8-1】（25-26高一上·江苏常州·期末）若，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数关系和角的范围得到和. 【详解】由题可知为第四象限角，则， 则， 则. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，则__________. 【答案】 【分析】根据已知条件求出的关系，然后求解. 【详解】由得， 即， 由题意，所以. 【变式8-3】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知角终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求出,； （2）利用同角三角函数的商数关系即可得到结果. 【详解】（1）由三角函数定义可得： ； （2）由（1）可得：. 【题型九】正、余弦齐次式的计算 【典例9-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的定义求出，再利用齐次法求解. 【详解】由为角终边上一点，得， 所以. 故选：C 【变式9-1】（25-26高一下·上海青浦·期中）已知，则________. 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 【变式9-2】（25-26高一下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】利用定义和齐次式化简求解. 【详解】（1）． （2）. 【变式9-3】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得； 【详解】（1）由于， 则； （2）由于， 则. 【题型十】三角函数的化简、求值一同角三角函数基本关系 【典例10-1】（25-26高一下·云南昭通·期末）若，则（    ） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】利用平方关系和商的关系，将所求的表达式化为的形式，然后求解即可． 【详解】因为，又， 所以. 【变式10-1】（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，则________． 【答案】6 【详解】 . 【变式10-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简下列各式： (1); (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用平方关系化简即可； （2）利用商数关系化简即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式． 【变式10-3】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，进行化简，即可求解； （2）由（1）和，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 . （2）解：由，可得，所以， 则. 1. 任意角核心 打破0°~360°限制，区分正负零角、象限角与轴线角，终边相同角必带整数，角度弧度绝不混用。 2. 弧度制核心 以为换算基准，扇形弧长、面积公式仅适用弧度制，计算前必先统一单位。 3. 三角函数定义与符号 依托终边坐标与定义，牢记“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，符号是求值第一关键。 4. 同角公式解题逻辑 平方关系用于开方求值，商数关系用于弦切互化；知一求二必先判象限、定正负，化简优先用平方整体代换。 5. 基础避坑总结 终边区间看整数、扇形公式看弧度、三角函数看象限、公式使用看定义域，四大基础要点杜绝低级失分。 一、单选题 1．（25-26高一下·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程，结合的范围可得，应用同角三角函数的基本关系对目标式进行化简求值即可. 【详解】由可得：，解得：. 已知，该区间内，故. 所以. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，结合扇形的弧长、面积公式列方程组求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为（）， 由题意可得方程组： ，解得，， 因此该扇形的圆心角弧度数为，故A正确. 3．（25-26高一下·浙江金华·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知角终边经过点，记， 点到原点距离， 故． 二、多选题 4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列结论正确的有（   ） A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．若，为第二象限角，且，则 D．与值域相同. 【答案】AB 【分析】根据终边相同的角可判断A项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；举反例可判断C项；确定内层函数的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D项. 【详解】对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确； 对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确； 对于C ，举反例：取，，二者都是第二象限角，满足， 但，不满足，C错误； 对于D ，求值域：对：，因此，值域包含负数； 对：，因此，值域全为正数， 二者值域不同，D错误. 三、填空题 5．如果，那么的值为____________. 【答案】 【分析】根据，可得的值.而， 再将分子分母同除以化成关于的分式即可解. 【详解】由，得. 则有. 故答案为：. 【点睛】考查同角三角函数的基本关系式. ，，. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是_____________角；与角终边相同的最大负角是_____________角． 【答案】 【分析】先表示出与角终边相同的角，然后找出满足条件的角即可. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是角； 当时，与角终边相同的最大负角是角． 故答案为：. 四、解答题 7．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）（1）已知，求和的值； （2）已知且，求和的值. 【答案】（1）．． （2）．. 【分析】（1）利用同角三角函数的性质和运算法则，结合已知条件化简表达式求解； （2）两边平方，化简得，从而化简，即可得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以． ． （2）因为，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，且， 因为， 所以. 8．（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 9．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是6 cm，面积是，求该扇形的圆心角的弧度数. 【答案】(1)cm (2)或 【详解】（1）由题设，则cm； （2）由题设，可得， 所以cm或cm， 当cm，则，当cm，则，均满足题设， 所以或. 10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可； （2）（i）利用同角商数关系可求得，再利用齐次式可求值；（ii）利用，结合齐次式即可求值. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以， （2）由，得，解得. （i）； （ii） . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 任意角和弧度制及三角函数概念 （核心知识+6易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【题型一】任意角终边相同角集合表示 【题型六】由条件等式求正、余弦 【题型二】角度制与弧度制互化 【题型七】sinα±cosα和sinαcosα的关系 【题型三】扇形弧长与面积计算 【题型八】已知弦(切)求切(弦) 【题型四】由终边或终边上的点求三角函数值 【题型九】正、余弦齐次式的计算 【题型五】已知正(余)弦求余(正)弦 【题型十】三角函数的化简、求值一同角三角函数基本关系 【知识点01】任意角的概念 1. 任意角定义 平面内一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所成的图形叫做角。 按旋转方向分类： 正角：逆时针旋转形成的角； 负角：顺时针旋转形成的角； 零角：未做任何旋转，角度为。 2. 象限角与轴线角 在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合： 终边落在第几象限，即为第几象限角； 终边落在坐标轴上的角称为轴线角，不属于任何象限。 3. 终边相同的角 所有与角终边相同的角（含本身）可构成集合： （角度制） （弧度制） 【知识点02】弧度制及扇形公式 1. 弧度制定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，符号：。 2. 角度与弧度互化核心公式 3. 常用特殊角互化 4. 扇形核心公式（弧度制专用） 设扇形半径为，圆心角弧度数为： 弧长公式： 扇形面积公式： 【知识点03】任意角三角函数的概念 1. 定义（坐标定义法） 设 α 是任意角，其终边上任意一点 P(x, y)（非原点），点 P 到原点距离 则： 2. 三角函数象限符号规律 口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 象限 sin α cos α tan α 第一象限 + + + 第二象限 + − − 第三象限 − − + 第四象限 − + − 第一象限：sin α、cos α、tan α 全正； 第二象限：仅 sin α > 0； 第三象限：仅 tan α > 0； 第四象限：仅 cos α > 0。 3. 定义域 sin α、cos α 的定义域为 ℝ；tan α 的定义域为： 【知识点04】同角三角函数的基本关系 1. 平方关系（万能恒等式）（对任意角恒成立） 2. 商数关系，其中 α ≠ + kπ，k ∈ ℤ。 3. 常用变形公式 易错点1：终边相同角书写不规范 角度制必须配，弧度制必须配，角度、弧度不能混用，否则直接判错。 易错点2：扇形公式乱用角度制 弧长、面积公式中，必须是弧度数，角度制需先转化为弧度再代入计算。 易错点3：三角函数符号判断失误 已知三角函数值求角或求值时，未判断角所在象限，直接开方导致正负取舍错误，是基础高频失分点。 易错点4：同角公式定义域忽略 商数关系要求，轴线角处公式不成立。 易错点5：开方不分类讨论 由求时，必须根据角的象限判断正负，不能默认取正值。 易错点6：任意角定义混淆 终边在同一直线的角与终边相同的角不同，同直线角间隔，终边相同角间隔。 【题型一】任意角终边相同角集合表示 【典例1-1】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高一上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列说法正确的是_______． ①三角形的内角是第一象限角； ②与终边相同的角的集合为； ③终边在直线上的角的集合为； ④若是第三象限角，则是第二象限角． 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·湖北·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则， B．若，则角为第二或第三象限角 C．满足条件的的解为或， D．终边落在轴上的角的集合为 【变式1-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知角的集合，回答下列问题： (1)集合中大于且小于的角是哪几个？ (2)写出集合中的第二象限角的一般表达式. 【题型二】角度制与弧度制互化 【典例2-1】（25-26高一下·江西九江·期末）已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为______，______．（用弧度制表示） 【变式2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）转化为弧度是多少弧度？转化为角度是多少度？ 【变式2-3】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 【题型三】扇形弧长与面积计算 【典例3-1】（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某扇形花坛的圆心角为弧度，半径为8米，则该花坛的弧长为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3-1】（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 【变式3-3】（25-26高一下·辽宁·阶段检测）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为S. (1)若，求； (2)若该扇形的周长为20，求S的最大值. 【题型四】由终边或终边上的点求三角函数值 【典例4-1】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则满足条件的角的正切值为_________ 【变式4-2】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）若角的终边在直线上，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·全国·课后作业）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边经过点，求，． 【题型五】已知正(余)弦求余(正)弦 【典例5-1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·辽宁辽阳·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（25-26高一下·上海·期中），，则__________． 【变式5-3】已知是第三象限角，且.求的值. 【题型六】由条件等式求正、余弦 【典例6-1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知为第三象限角，且，则的值为______． 【变式6-3】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型七】sinα±cosα和sinαcosα的关系 【典例7-1】（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·四川遂宁·期末）角为的内角，且，则______ 【变式7-2】（多选）（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）若角满足 (1)求的值； (2)求的值. 【题型八】已知弦(切)求切(弦) 【典例8-1】（25-26高一上·天津·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式8-1】（25-26高一上·江苏常州·期末）若，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，则__________. 【变式8-3】（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）已知角终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点. (1)求，的值； (2)求的值. 【题型九】正、余弦齐次式的计算 【典例9-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一下·上海青浦·期中）已知，则________. 【变式9-2】（25-26高一下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点， (1)求的值； (2)求的值. 【变式9-3】（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【题型十】三角函数的化简、求值一同角三角函数基本关系 【典例10-1】（25-26高一下·云南昭通·期末）若，则（    ） A．7 B． C．5 D． 【变式10-1】（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，则________． 【变式10-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）化简下列各式： (1); (2)． 【变式10-3】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 1. 任意角核心 打破0°~360°限制，区分正负零角、象限角与轴线角，终边相同角必带整数，角度弧度绝不混用。 2. 弧度制核心 以为换算基准，扇形弧长、面积公式仅适用弧度制，计算前必先统一单位。 3. 三角函数定义与符号 依托终边坐标与定义，牢记“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，符号是求值第一关键。 4. 同角公式解题逻辑 平方关系用于开方求值，商数关系用于弦切互化；知一求二必先判象限、定正负，化简优先用平方整体代换。 5. 基础避坑总结 终边区间看整数、扇形公式看弧度、三角函数看象限、公式使用看定义域，四大基础要点杜绝低级失分。 一、单选题 1．（25-26高一下·广东汕头·期末）若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江金华·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列结论正确的有（   ） A．是第三象限角 B．若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9 C．若，为第二象限角，且，则 D．与值域相同. 三、填空题 5．如果，那么的值为____________. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是_____________角；与角终边相同的最大负角是_____________角． 四、解答题 7．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）（1）已知，求和的值； （2）已知且，求和的值. 8．（25-26高一下·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 9．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是6 cm，面积是，求该扇形的圆心角的弧度数. 10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $